Transformasi- 3. Invers Transformasi- Formasi inversi untuk memperoleh dari x(n) dari X() dapat diperoleh menggunakan teorema integral Cauchy yang merupakan teorema penting dalam variabel kompleks. Transformasi- didefinisikan oleh n X ( k) x( k) Dengan mengalikan kedua ruas dengan n-1 dan mengintegralkan kedua sisi melalui kontur tertutup dalam ROC (Region Of Convergence) dari X() yang mencakup titik awalnya. Kontur tersebut diilustrasikan pada gambar di bawah ini. k Karena deret tersebut konvergen pada garis luarnya, kita dapat menukar orde integrasi dan penjumlahan pada ruas kanan. Dengan memakai integral Cauchy, yang menyatakan bahwa Dengan memakai kedua rumus di atas, maka rumus inversi yang diinginkan adalah 3.3 Sifat-Sifat Transformasi-Z 1. Linearitas, Jika Dan
Maka Contoh 1 Tentukan transformasi- dan ROC dari sinyal X(n) = [3( n ) 4(3 n )] u(n) X 1 (n) = n u(n) X (n) = 3 n u(n) Maka x(n) = 3x 1 (n) 4x (n) dan X() = 3X 1 () 4X (). Ingat bahwa Dengan memasukkan = dan = 3, diperoleh Irisan ROC dari X 1 () dan X () adalah > 3. Jadi transformasi X() keseluruhan adalah Contoh. Tentukan transformasi- sinyal (a) X(n) = (cos n) u(n) (b) X(n) = (sin n) u(n) (a) Dengan menggunakan rumus Euler, sinyal x(n) dapat dinyatakan sebagai Jadi X() dapat dinyatakan dengan Dengan memisalkan = e j ( = e j = 1) diperoleh Jadi
Sesudah beberapa manipulasi aljabar sederhana diperoleh hasil (b) Dari Identitas Euler Jadi Akhirnya. Pergeseran waktu, Jika ( ) ( ) Maka ( ) ( ) Contoh 3. Dengan memakai pergeseran waktu, tentukan transformasi- sinyal x (n) dan x 3 (n) dalam contoh X (n) = {1,,5,7,,1} dan X 3 (n) = {,,1,,5,7,,1} Dan Maka diperoleh X (n) = x 1 (n + ) X 3 (n) = x 1 (n - ) Contoh 4. Tentukan transformasi sinyal Transformasi- sinyal adalah
Dengan menggunakan sifat liniearitas dan pergeseran waktu. Perhatikan bahwa x(n) dapat dinnyatakan dari segi dua sinyal step unit. Sehingga X() dapat ditentukan dengan 3. Scaling dalam Domain- Jika ( ) ( ) ROC: r 1 < < r Maka Untuk setiap konstanta a, real atau kompleks. Bukti: Untuk pemahaman yang lebih baik tentang arti dan maksud sifat scaling, kita menyatakan a dan dalam bentuk polar sebagai a = r e j, = re j dan memperkenalkan variabel kompleks yang baru = a -1. Jadi Z{x(n)} = X() dan Z{ax(n)} = X(). Hal itu dapat dilihat dengan mudah bahwa Contoh: Tentukan transformasi- dari sinyal
(a) X(n) = a n (cos n) u(n) (b) X(n) = a n (sin n) u(n) (a) ( ( ) (b) ( ( ) 4. Pembalikan waktu Jika Maka Bukti, dari definisi sebelumnya kita mempunyai Dengan mengubah l = -n. ROC X( -1 ) l adalah ROC untuk x(n) adalah inversi x(-n). Contoh: Tentukan transformasi- dari sinyal X(n) = u(-n) Diketahui sebelumya bahwa Maka ( ) ROC: < 1 ( ) ( ) Bukti dengan mendefinisikan kedua sisi ( ) ROC : >1 Kedua transformasi mempunyai ROC yang sama
Contoh: Tentukan transformasi- sinyal berikut X(n) = n a n u(n) Sinyal x(n) dapat dinyatakan sebagai nx 1 (n), dengan x 1 (n) = a n u(n). Jadi dengan menggunakan ( ) dapat diperoeh Jika diatur a = 1, maka akan didapatkan transformasi- sinyal ramp unit Contoh Tentukan sinyal x(n) yang transformasi- nya diberikan dengan Dengan mengambil turunan pertama X(), kita peroleh Jadi Inverse transformasi- dari kondisi dalam kurung adalah (-a) n. perkalian -1 menyatakan tunda waktu dengan satu cuplikan (sifat pergeseran waktu), yang menghasilkan (-a) n- 1 u(n-1). Akhirnya dari sifat deferensiasi kita mempunyai Atau 5. Konvolusi dua barisan Jika
Maka ROC x(), sekurang-kurangnya adalah interseksi untuk X 1 () dan X () Bukti. Konvolusi dari x 1 (n) dan x (n) didefinisikan sebagai Transformasi- dari x(n) adalah Dengan mengubah orde penjumlahan dan pemakaian sifat pergeseran waktu x(n-k) - k X(), diperoleh Contoh: Hitung konvolusi x(n) dari sinyal-sinyal Karena itu
Hasil yang juga dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa Sifat konvolusi adalah salah satu sifat transformasi- yang sangat berguna karena sifat itu mengubah konvousi dua sinyal (domain waktu) menjadi perkalian transformasinya. Komputasi dari konvolusi dua sinyal, menggunakan transformasi- memerlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Hitunglah transformasi- yang akan dicakup. Kalikan kedua transformasi- 3. Carilah inverse transformasi- dari X() 6. Teorema nilai awal Jika Z[x(n)] = X(), maka x() = lim X Contoh : Tentukan nilai awal x() jika X(),9 x() = lim X 7. Teorema nilai akhir = lim = 1,9 Jika Z[x(n)] = X(), maka lim x(n) lim 1 X() Contoh : n 1
Tentukan nilai akhir x( ) jika X(),9 lim x(n) lim n 1 1 X() = lim 1 Notasi 1 =,9 Tabel Sifat-sifat transformasi- Sifat Sinyal diskrit Transformasi- ROC x(n) x 1 (n) x (n) Linieritas ax 1 (n) + bx (n) Penggesera n waktu Pembalikan waktu X() X 1 () X () ax 1 () + bx (); untuk seluruh a dan b ROC; r < < r 1 ROC 1 ROC Paling sedikit interseksi antara ROC 1 dan ROC x(n M) M X() X() kecuali = jika M>, dan =, jika M< x( n) X( 1 ) (1/r 1 ) < < (1/r ) Konvolusi x(n) * h(n) X() H() Paling sedikit interseksi antara ROC 1 dan ROC Perkalian dengan n nx(n) d d X() r 1 < < r Perkalian a n x(n) X(/a) a r < < dengan a n a r 1 Teorema nilai awal Teorema nilai akhir x() lim x n n lim X [( 1) X(x)] = -1
Tabel Pasangan transformasi- dan ROC-nya No Sinyal diskrit Transformasi- ROC 1 (n) 1 Seluruh u(n) 1 1 3 a n u(n) 1 1 a 4 n a n u(n) 5 a n u( n 1) 6 n a n u( n 1) 7 (cos n) u(n) 8 (sin n) u(n) 9 (a n cos n) u(n) 1 (a n sin n) u(n) 1 1 a a 1 1 a 1 1 a a 1 1 a a a 1 1 a 1 1 a a 1 cos cos cos 1 1 > 1 > a > a < a < a 1 1 cos > 1 1 cos sin cos 1 sin > 1 1 1 a 1 a 1 1 a 1 cos acos a 1 1 cos acos 1 sin cos asin a acos a a a > a > a Dari tabel terlihat bahwa transformasi- tidaklah unik untuk suatu sinyal, tetapi yang membedakan adalah ROC-nya. Misalnya untuk sinyal nomor 3 dan sinyal nomor 5, transformasi- dari keduanya adalah sama, tetapi ROC-nya berbeda. Hal ini akan merepotkan untuk keperluan praktis, sehingga biasanya untuk keperluan ini dipakai transformasi- satu sisi.