9 III MODEL MATEMATIKA 3.1 Model SIRS Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran pengguna narkoba adalah model SIRS. Model ini dikemukakan oleh Kermac dan McKendric (1927) sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi (Keshet 1988). Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah susceptible (S), menyatakan kelompok awal populasi yang rentan terkena penyakit, infective (I) menyatakan lanjutan dari S yang terinfeksi penyakit, dan terakhir removed (R) menyatakan populasi yang telah sembuh dari sakit. Hubungan kompartemen-kompartemen tersebut diberikan pada Gambar 1. γ δn S I R ν δ δ δ Gambar 1 Model SIRS. Pada model ini N menyatakan jumlah keseluruhan populasi. Beberapa definisi parameter yang digunakan pada model SIRS adalah sebagai berikut: menyatakan rata-rata penyebaran virus, ν menyatakan rata-rata populasi yang sembuh, δ menyatakan rata-rata kelahiran atau kematian populasi, menyatakan rata-rata populasi yang rentan kembali terkena penyakit. 3.2 Model Dasar Penyebaran Pengguna Narkoba Model yang akan dibahas adalah model penyebaran penggunaan narkoba berdasarkan model White dan Comiskey (2007). Total populasi manusia, dinotasikan dengan N, dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas individu yang rentan (susceptible) menjadi pengguna narkoba dinotasikan dengan S, kelas individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan dinotasikan dengan U 1, dan kelas individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan dinotasikan dengan U 2.
10 Dapat dituliskan, N=S+U 1 +U 2. Model dasar penyebaran pengguna narkoba dapat digambarkan pada Gambar 2 berikut: Gambar 2 Model dasar penyebaran pengguna narkoba. Dari Gambar 2 dapat dijelaskan: 1. Laju individu yang rentan menjadi pengguna narkoba adalah jumlah individu dalam populasi yang memasuki populasi rentan dikurangi hasil bagi antara peluang individu menjadi pengguna narkoba dengan total populasi manusia dikurangi dengan laju kematian alami, ditulis: 2. Laju individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan adalah hasil bagi antara peluang individu menjadi pengguna narkoba dengan total populasi manusia dikurangi dengan proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan ditambah hasil bagi antara peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati dengan total populasi manusia dikurangi laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan, ditulis: 3. Laju individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan adalah proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan dikurangi hasil bagi antara peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati dengan total populasi manusia dikurangi laju kematian pengguna narkoba dalam masa pengobatan, ditulis:
11 Keterangan parameter yang ada pada model di atas: Λ = jumlah individu dalam populasi yang memasuki populasi rentan, yaitu semua individu berusia 15-64 tahun (orang), µ = laju kematian alami dari populasi (per satuan waktu), δ 1 δ 2 1 2 = tambahan laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (per satuan waktu), = tambahan laju kematian pengguna narkoba dalam masa pengobatan (per satuan waktu), = peluang individu menjadi pengguna narkoba, = peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati, ρ = proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan, Beberapa asumsi yang digunakan dalam model di atas: 1. Total populasi N dianggap konstan dalam periode waktu pemodelan dan diasumsikan, 2. Ada sebuah proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan di setiap periode waktu pemodelan, 3. Pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan dapat menginfeksi individu yang rentan dan pengguna narkoba dalam masa pengobatan, 4. Pengguna narkoba dalam masa pengobatan dapat menjadi kambuh jika melakukan kontak dengan pengguna narkoba yang tidak dalam pengobatan, 5. Pengguna narkoba dalam masa pengobatan tidak dapat menginfeksi individu yang rentan, 6. Seluruh individu dalam populasi diasumsikan sama-sama rentan terhadap kecanduan narkoba. Karena dan konstan maka sistem persamaan dari model di atas ditulis menjadi:
12 Untuk menganalisis persamaan di atas, sederhanakan persamaan di atas dengan mendefinisikan variabel baru yaitu: dengan sehingga diperoleh persamaan: Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan di atas menjadi: Setelah disederhanakan, akhirnya diperoleh persamaan: 3.3 Model yang Dikembangkan Model yang akan dibahas dalam karya tulis ini adalah pengembangan model White dan Comiskey (2007). Dalam model ini diasumsikan ada proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba (γu 1 ) dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba (αu 2 ). Berdasarkan asumsi di atas maka model penyebaran pengguna narkoba dapat digambarkan pada Gambar 3 berikut: U2 Gambar 3 Model pengembangan penyebaran pengguna narkoba.
13 Analog dengan model White dan Comiskey diperoleh persamaan berikut: (3.1) Setelah disederhanakan, akhirnya diperoleh persamaan: (3.2) di mana dengan Penurunan persamaan (3.2) dapat dilihat pada Lampiran 1. 3.4 Metode Penelitian Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkahlangkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Merekonstruksi ulang model penyebaran pengguna narkoba yang selanjutnya disebut dengan model dasar, 2. Mengembangkan model dasar dengan menambahkan asumsi ada proporsi pengguna narkoba yang tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba. Model ini selanjutnya disebut model pengembangan, 3. Menganalisis model pengembangan dengan menentukan titik tetap, nilai eigen, dan kestabilannya, 4. Melakukan simulasi model pengembangan dengan menetapkan nilai-nilai parameter yang mendekati kondisi nyata.