A. endhulun Dlrn kehidupn nt, sutu vriel terikt tidk hn dipengruhi oleh stu vriel es sj, kn tetpi dpt dipengruhi oleh eerp vriel es. d gin ini merupkn kelnjutn dri ungsi dengn stu vriel es ng telh dipeljri seelumn. Fungsi dengn leih dri stu vriel es sering kit jumpi dlm idng ekonomi dn isnis. Dintr vriel-vrtel es ini d ng sling mempenqruhi tidk es) stu sm linn, tetpi d pul ng tidk sling rnempenqruh es stu sm linn) d gin ini dihs mengeni konsep tentng derivti prsil, dierensisi totl, derivti totl, dn derivti totl prsil, dn derivti ungsi implisit untuk mengukur tingkt peruhn dri vriel terikt dependent vrile) ng dikitkn oleh peruhn stu prsil) tu keseluruhn totl) dri vriel-vriel es independent vrile). Jik = 1,,, n ), dimn 1,,, n tidk sling mempengruhi, mk derivti prsil tingkt peruhn seketik vrile terikt ng dikitkn oleh peruhn slh stu dri vrile es i dimn vrile es i linn dinggp konstn) dlh:, 1 1,,...,,..., n n tu Jik ungsi dlm entuk =u,v,w), mk derivti prsiln dlh u, v, w tu,,..., u v w Crilh derivti prsil dri ungsi, ) 5 4 Jw: 10 1 1 4 d1 4 1 6 d 1 1 1 Jik =,)
) ) 9, mk 9 9 9 9 ) 6 ) 18 ) Jik =) ) ' d d, tu Jik =,), mk: d d d dimn: d= dierensil totl Diseut derivti rsil Silng
dn = derivti prsil dri dn d dn d = dierensil dn dierensil Jik = 1,,., n ), mk dierensi totln dlh: d d1 d... dn 1 / d 1 d1 d... n dn / d i d i, dimn i=1,,,n n i1 Hitung dierensil totl dri = 5 enelesin Derivti prsil dri dn dlh: 15 1 dn n -1-6 1 6 d 15 5 Jdi dierensil totl dlh : )d 5 6 1 d 1 6 Konsep derivtive prsil hn dpt digunkn pd ungsi du tu leih vriel es, dimn dintr vrile-vriel es terseut tidk sling mempengruhi. Jik dintr vrile-vriel es sling mempengruhi stu sm lin, hrus digunkn derivtive totl. Misl : =,w) dimn : = gw) Jdi: vrile es w merupkn sumer peruhn utm, dimn w mempengruhi mellui slurn, itu: ) Secr tidk lngsung mellui ungsi g kemudin ungsi ) Secr lngsung mellui ungsi dierensil totl : d= d + w dw d d dw w dw dw dw d w, tu : dw
Bentuk umum ungsi implisit :,)=0 d d d d Jik =7 =0, mk turunn ungsi implisitn: 14 dn 1 d 14 Jdi : 14 d 1 SOAL LATIHAN. d d 1. Crilh dn dri ungsi eikut ini:.,) = 10.,) = 10 + 6 c.,) = 6 +0 d.,) = 5)+4 5 ) e.,)=4+)/-). Crilh derivti prsil kedu dri ungsi-ungsi eriku ini:.,) = + 5 + 10.,) = 5 + + c.,) = -0 5 + 10 + 6. Crilh dierensil, untuk msing-msing ungsi erikut ini:. = - +). =7 5 + 6 - c. = -8)7 + 5)
d. e. 1) 9 8) 4. Crilh dierensil totl jik dikethui ungsi:. = +-. u = + 9 + c. 5. Crilh derivti totl, jik dikethui:. = +, dimn =. = 6 +15+, dimn =7 c. =1-18), dimn = +6
A. endhulun. Seperti telh dikethui hw dierensil memhs tentng tingkt peruhn sehuungn dengn peruhn kecil dlm vrile es ungsi ersngkutn. Dengn dierensil dpt dikethui kedudukn-kedudukn khusus dri ungsi ng sedng dipeljri seperti titik mksimum, titik elok, titik peln dn titik minimumn jik d. Berdsrkn mnt-mnt inilh konsep dierensil menjdi slh stu lt nlisis ng sngt penting dlm isnis dn ekonomi. Segimn dikethui, nlisis dlm isnis dn ekonomi sngt kr dengn mslh peruhn, penentun tingkt mksimum dn tingkt minimum. Dlm hl ungsi dengn stu vrile espun dpt diturunkn lgi. Turunn erikut dri turunn prsil tdi sudh rng tentu is sngt ervrisi, tergntung dri entuk turunn prsil terseut. Apil sutu turunn prsil erentuk sutu ungsi ng terdiri dri stu vrile es, mk turunn erikutn hn d stu mcm. Konsep derivti prsil hn dpt digunkn pd ungsi dengn tu leih vrile es dimn vrile-vriel es itu seringkli mempengruhi stu sm lin. B. Apliksi Ekonomi untuk Derivti Leih dri Stu Vrile. 1. Bi Mrginl Jik ungsi i untuk menghsilkn du produk dn dlh : C=, ), mk derivti prsil dri C terhdp dn diseut segi ungsi i mrginl; jdi : C dlh i mrginl dri C terhdp C dlh i mrginl dri C terhdp Umumn i mrginl dlh positi C C 0 dn 0 ) Jik i gungn untuk menghsilkn produk X dn Y erentuk C 4, mk : C C 5 6 8
C C Sendin = dn = 5, mk 17 dn 4 ; C 17 rtin, dengn nili dinggp konstn itu 5. Mk setip tmhn stu unit produksi kn meningktkn menmh) i seesr 17. C 4, rtin..?. ermintn Mrginl dn Elstisits ermintn rsil Jik du mcm rng mempuni huungn dlm penggunnn mk permintn kn msing-msing rng kn ungsionl terhdp hrg kedu mcm rng terseut. d =, ) dn d =, ) Derivti prsil dri ungsi terseut dinmkn permintn mrginl. Derivti dri ungsi-ungsi terseut d 4 mcm. d dlh mrginl permintn kn rng A erkenn dengn d d d dlh mrginl permintn kn rng A erkenn dengn dlh mrginl permintn kn rng B erkenn dengn dlh mrginl permintn kn rng B erkenn dengn Elstisits ermintn rsil Elstisits hrg permintn : Elstisits ng mengukur kepekn peruhn permintn sutu rng erkenn peruhn hrg rng itu sendiri % d Ed d d * % E % d % d E E d d d * d Elstisits Silng permintn: Elstisits ng mengukur kepekn peruhn permintn sutu rng erkenn peruhn hrg rng lin. % d Ed d * % E d
% % d E E d d * d Jik 0 dn 0 A dn B sling melengkpi komplementer), rtin jik hrg slh stu rng turun, kn mengkitkn kenikn permintn terhdp kedun. Jik 0 dn 0 A dn B kompetiti sustituti), rtin jik hrg slh stu rng turun, kn mengkitkn kenikn permintn terhdp rng terseut dn penurunn permintn ts rng linn Contoh 1: Fungsi permintn kn rng A dn B msing-msing dlh segi erikut: A: 1 0 d B: 1 0 d Tentukn elstisits msing-msing rng dn huungnn. Jw. 1 0 1 0 d d d 1 d 1 1 d d d 4 d 4 1 Mk: d =- d d * d d * 1 d 1 d 4 * d
d d 1 d 1 4 1 * 1 d Brng A dlh elstis Brng B dlh unitr elstis 0 dn 0 Brng A dn B ersit komplementer. Contoh : Fungsi permintn dri mcm produk dlh: 17 14 Mk ungsi permintn mrjinln dlh: 0 1 0 1 0 0 Kren 0 dn 0, mk kedu produk ersit komplementer.. roduktivits Mrginl M) roduk mrjinl dlh produk tmhn ng dihsilkn dri stu unit tmhn ktor produksi ng digunkn. Secr mtemtik, ungsi produk mrginl rnerupkn derivti pertrn dri ungsi produk totl. Beerp ktor produksi untuk memproduksi rng Antr lin misln tnh, hn ku, modl, mesin-mesin, dn segin.,,..., ), dimn : 1 n =Jumlh kelurn = msukn ng digunkn i = 1,,,n) i Jik d du mcm msukn vriel k dn l), mk ungsi produksin : =k,l)
roduk Mrjinl rsil : = roduk mrjinl erkitn dengn k k = roduk mrjinl erkitn dengn l l Contoh. / 1/ Fungsi roduksi sutu rng dintkn dengn 6k l >. Bentuklh ungsi produksi mrjinl untuk msing-msing ktor produksi >. Berp produk mrjinl terseut jik digunkn 8 unit k dn 7 unit l Jw. 1/ 1/.> M k 4k l k / / M l k l l.> Jik k=8 dn l=7, mk 1/ 1/ 4l 47) M k 6 k 1/ 1/ 8 /.8 8 M l l / 9 4. Utilits Mrginl rsil & Keseimngn Konsumsi Jik U = kepusn konsumsi i = Brng-rng ng diproduksi mk ungsi utilits : u = 1,,, n ) untuk mcm rng konsumsi : u=,) u = utilits mrjinl erkenn dengn u = utilits mrjinl erkenn dengn Kepusn konsumsi untuk rng ng dikonsumsi dn : u > Bentuklh ungsi utilits mrginl untuk msing-msing rng > Berp utilits mrjinl jik konsumen mengkonsumsi 14 unit dn 1 unit Jw. > u Mrjinl Utilits terhdp = U MU
U Mrjinl Utilits terhdp = MU > Jik =14 dn =1, mk MU 141 61.516 MU 14 1 99.7 Ltihn: 1. Dikethui psngn ungsi permintn erikut. Tentukn ungsi permintn mrjinl, sit huungn dintr kedu rng dn elstisits permintn prsil.. d 0 dn d 9. d dn d. Untuk setip ungsi produksi =K,L) erikut ini, crilh produktivits mrjinl terhdp k dn l.. 5KL K L pd K=1 dn L=1 1/ pd K=8 dn L=4 0.0K 0.4KL 0.5L