Kuikulum 03 Kels mtemtik WAJIB KUADRAN SUDUT Tujun Pembeljn Setelh mempelji ini, kmu dihpkn memiliki kemmpun beikut.. Memhmi bes sudut di setip kudn.. Memhmi pebndingn tigonometi sudut-sudut di setip kudn. 3. Memhmi nili pebndingn tigonometi untuk sudut istimew. 4. Dpt menentukn sudut-sudut ng beelsi. 5. Dpt menelesikn pesoln ng behubungn dengn pebndingn tigonometi di setip kudn. A. Bes Sudut pd Setip Kudn Dlm stu putn (360 ), sudut dikelompokkn menjdi empt kudn/wilh, itu sebgi beikut. π. Kudn I : 0 < < 90 tu 0< <. Kudn II : 90 < < 80 tu π < < π 3. Kudn III : 80 < < 70 tu π < < 3π 3π 4. Kudn IV : 70 < < 360 tu < <π
Untuk lebih jelsn, pehtikn gmb beikut. 90 o Kudn II Kudn I 90 o < < 80 o 0 o < < 90 o 80 o 0 o Kudn III 80 o < < 70 o Kudn IV 70 o < < 360 o 70 o Bes Sudut pd Setip Kudn. Sudut ng Teletk pd Kudn I Letk sudut pd kudn I ditunjukkn oleh gmb beikut. A(, ) 0 Sudut pd Kudn I Bedskn gmb tesebut, nili pebndingn tigonometi pd kudn I dlh sebgi beikut.
. sin = b. cos = c. tn = d. cosec e. sec f. cotn = = = = = = sin cos tn Jdi, dpt disimpulkn bhw pd kudn I, semu pebndingn tigonometi benili positif. Contoh Sol Dikethui sin A =, dengn A dlh sudut lncip. Nili di sec A =... Pembhsn: Oleh ken A dlh sudut lncip, mk sudut A teletk pd kudn I. Dengn demikin, nili sin A dpt kit ntkn dengn segitig bntu beikut. SUPER "Solusi Quippe" sin = DEMI (depn dibgi miing) 0 A 3
Dengn teoem Pthgos, didpt + =, sehingg: = - = 3 stun Selnjutn, tentukn nili cos A. SUPER "Solusi Quippe" cos = SAMI (smping dibgi miing) cos A = 3 Dengn demikin, dipeoleh: seca = = = cosa 3 Jdi, nili seca = 3 3. 3 3. Sudut pd Kudn II Untuk menentukn pebndingn tigonometi di sudut ng melebihi 90 dn kung di 70, kmu tidk bis menggunkn sumbu- positif. Hl ini ken sumbu- positif tidk dpt membentuk segitig siku-siku dengn sudut tesebut. Oleh ken itu, dibutlh definisi bu untuk menentukn pebndingn tigonometin, itu dengn menggunkn sumbu- negtif. Untuk lebih jelsn, pehtikn letk sudut pd kudn II beikut. A (, ) β - O Sudut pd Kudn II 4
Sudut memiliki bes sudut 90 < < 80. Untuk menentukn pebndingn tigonometin, digunkn sudut b dengn ketentun beikut. b = 80 - Bedskn gmb tesebut, nili pebndingn tigonometi pd kudn II dlh sebgi beikut.. sin= sin b= b. cos= cos b= - c. tn= tn b= - d. cosec = cosec b= e. sec= sec b= - f. cotn = cotn b= - Jdi, dpt disimpulkn bhw pd kudn II, hn sinus dn kosekn ng benili positif. Contoh Sol Dikethui sin =, dengn π < < π. Nili di tn =... Pembhsn: π Oleh ken < <π, mk sudut teletk pd kudn II. Dengn demikin, dipeoleh: sin = sin b= dengn > 0 5
β b Dengn menggunkn teoem Pthgos, dipeoleh: b= - = - = - stun Selnjutn, tentukn nili di tn. SUPER "Solusi Quippe" tn = DESA (depn dibgi smping) Oleh ken pd kudn II nili negtif, mk: tn= tn b= = =-. - b. - - - Jdi, nili di tn =. - 6
3. Sudut pd Kudn III Letk sudut pd kudn III ditunjukkn oleh gmb beikut. - β A(-, -) - Sudut pd Kudn III Bedskn gmb tesebut, nili pebndingn tigonometi pd kudn III dlh sebgi beikut.. sin= sin b= b. cos= cos b= c. tn= tn b= - d. cosec = cosec b= - e. sec= sec b= - f. cotn = b= cotn - Jdi, dpt disimpulkn bhw pd kudn III, hn tngen dn kotngen ng benili positif. Contoh Sol 3 Dikethui cos =- 5 3, dengn π < < 3 π. Tentukn nili di tn! 7
Pembhsn: Oleh ken π < < 3 π, mk sudut teletk pd kudn III. Dengn demikin, dipeoleh: cos =- 5 3 - = - 5 3 Dengn menggunkn segitig bntu, dipeoleh: - 5 β O 3 A(-5, -) - Untuk menentukn pnjng sisi digunkn teoem Phtgos beikut. = - = 3 - -5 = 44 = Stun Selnjutn, tentukn nili di tn SUPER: tn = DESA Oleh ken pd kudn III nili dn negtif, mk: tn = - - 5 = 5 Jdi, nili di tn = 5. 8
4. Sudut pd Kudn IV Letk sudut pd kudn IV ditunjukkn oleh gmb beikut. β - A(, -) Sudut pd Kudn IV Bedskn gmb tesebut, nili pebndingn tigonometi pd kudn IV dlh sebgi beikut.. sin= sin b= b. cos= cos b= c. tn= tn b= d. cosec = cosec b= - e. sec= sec b= f. cotn = cotn b= - Jdi, dpt disimpulkn bhw pd kudn IV, hn kosinus dn sekn ng benili positif. Contoh Sol 4 Dikethui 3 π < < π dn nili cotn =- 9. Tentukn nili di sin + cos! 9
Pembhsn: Oleh ken 3 π dipeoleh: cotn =- 9 cotn b= - 9 < < π, mk sudut teletk pd kudn IV. Dengn demikin, Dengn menggunkn segitig bntu, dipeoleh: β 9 O β 9 - A(9, -) Pnjng sisi tepnjng tesebut dpt ditentukn dengn teoem Pthgos beikut. = + = 9 + - = 8+ 44 = 5 = 5 stun Dengn demikin, dipeoleh: sin+ cos = sinb+ cos b sin+ cos = - 9 + 5 5 sin+ cos =- 5 Jdi, nili di sin+ cos =- 5. 0
Contoh Sol 5 Dikethui b sudut di kudn IV dn cos b= 3. Tentukn nili di sec 4 Pembhsn: Oleh ken sudut b teletk pd kudn IV, mk: cos b= = 3 4 3 4 Dengn menggunkn segitig bntu, dipeoleh: β 4 3. 4 b- tn b! O 3. 4 4 - A( 3,-) 4 Pnjng sisi dpt ditentukn dengn teoem Pthgos beikut. = - = 4 - ( 3) = 6-3 = 3 stun Dengn demikin, dipeoleh: secb- tn b= sec- tn secb- tn b= - - secb- tn b= + secb -tn b= 4+ 3 3
Jdi, nili di secb- tn b= 4+ 3 3 SUPER "Solusi Quippe" Untuk memudhkn mengingt tnd pebndingn tigonometi pd setip kudn, cukup ingt sudut ng benili positif sj. Pd kudn I, semu benili positif, kudn II hn sinus (kosekn), kudn III hn tngen (kotngen), dn kudn IV hn kosinus (sekn). Semu Sisw Thu Quippe Positif Kudn I Kudn II Kudn III Kudn IV B. Sudut Istimew Sudut istimew dlh sudut ng pebndingn tigonometin dpt ditentukn sec lngsung, tnp menggunkn klkulto tu tbel mtemtik. Sudut-sudut istimew ini dlh 0, 30, 45, 60, dn 90. Untuk menci nili pebndingn tigonometi sudut-sudut istimew, dpt digunkn lingkn stun + = sepeti pd gmb beikut.. Sudut 30 Pehtikn gmb beikut! A - O 30 C B -
Jik bes sudut AOC dlh 30, sudut AOB dlh 60. Ini beti, segitig AOB dlh segitig smsisi dn pnjng AC dlh setenghn AB, itu. Dengn menggunkn teoem Pthgos, pnjng OC dpt ditentukn sebgi beikut. OC = OA AC OC = OC = 3 4 OC = 3 Untuk sudut AOC = α = 30, koodint titik A pd gmb dlh sebgi beikut. - O 30 3 A 3, C - Dengn demikin, didpt nili pebndingn tigonometi untuk sudut 30 o sebgi beikut. 30 sin cos tn 3 3 3 3
. Sudut 45 Pehtikn pesegi OABC pd lingkn stun beikut. C B 45 - O A - Pnjng OA = AB dpt dici dengn teoem pthgos, itu sebgi beikut. OA + AB = OB OA + OA = OA = OA = OA = 4
Untuk sudut AOB = = 45, koodint titik B pd gmb dlh sebgi beikut. B, 45 - O A - Dengn demikin, didpt nili pebndingn tigonometi untuk sudut 45 o sebgi beikut. 45 sin cos tn 5
3. Sudut 60 0 Pehtikn segitig smsisi OAB, dengn BC sebgi gis tinggi beikut. B 60 - C A - Oleh ken pnjng OC = OA =, mk pnjng BC dlh sebgi beikut. BC = OB OC BC = BC = 3 4 BC = 3 6
Untuk sudut BOC = = 60, koodint titik B pd gmb dlh sebgi beikut. B, 3 60 3 - C A - Dengn demikin, didpt nili pebndingn tigonometi untuk sudut 60 0 sebgi beikut. 60 sin 3 cos tn 3 7
4. Sudut 0 dn 90 Nili-nili pebndingn tigonometi untuk sudut 30, 45, dn 60 dpt digbungkn ke dlm stu lingkn stun. Pehtikn gmb beikut., 3, 3, - O 30 45 60 - Dengn meliht pol nili sinus, kosinus, dn tngen untuk sudut-sudut tesebut, didptkn nili pebndingn tigonometi untuk sudut 0 dn 90 sebgi beikut. - (0,) 90, 3 60 30 45 0, 3, (, 0) - 8
0 90 sin 0 cos 0 tn 0 tk tedefinisi Ketengn: bsis titik sellu menjdi nili kosinus sudutn; odint titik sellu menjdi nili sinus sudutn; set pembgin odint dn bsis sellu menjdi nili tngen sudutn. SUPER "Solusi Quippe" Untuk memudhkn mengingt nili pebndingn tigonometi sudut istimew, cukup ingt nili untuk sinus. Sement itu, nili kosinus dlh uutn keblikn di sinus, dn nili tngen dlh hsil bgi nili sinus dengn kosinus. 0 30 45 60 90 sin 0 3 4 0 3 cos 3 0 tn 0 3 3 3 tk tedefinisi C. Relsi Sudut Sudut-sudut beelsi dlh sudut-sudut ng memiliki hubungn stu sm lin, sepeti jumlh tu selisih. Sutu sudut dpt beelsi dengn sudut-sudut ng besn ( ± ) ( ± ) ( ± ) (- ) 90 ±, 80, 70, k. 360, dn.. Kudn I Untuk memhmi sudut ng beelsi dengn (90 _ gmb beikut. ) tu π -, pehtikn 9
P (, ) = P(, ) (90 0 - α) O Sudut beelsi di kudn I Di gmb tesebut, dikethui titik P (, ) dlh bngn di titik P(, ) kibt penceminn tehdp gis =. Dengn demikin, dipeoleh:. OP = dn OP = ( 90 -) ; set b. =, =, dn =. Dengn menggunkn hubungn tesebut, dipeoleh:. sin( 90 -)= = = cos b. cos( 90 -)= = = sin c. tn( 90 -)= = = cotn Jdi, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 90 - α ) dlh sebgi beikut.. sin ( 90 - )= cos d. cosec ( 90 - )= sec b. cos ( 90 - )= sin e. sec ( 90 - )= cosec c. tn ( 90 - )= cotn f. cotn ( 90 - )= tn 0
Contoh Sol 6 Tentukn elsi sudut beikut ini dengn sudut ( 90 - α )!. sin75 b. cos π 4 c. tn35 Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 90 - α ), dipeoleh:. sin75 = sin ( 90-5 )= cos 5 b. cos π cos π π = - sin π 4 4 = 4 c. tn35 = tn ( 90-55 )= cotn 55 Contoh Sol 7 Sedehnknlh bentuk sin o ( 90 - ) o cos ( 90 - )! Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 90 -, dipeoleh: o sin ( 90 - ) cos cotn o cos ( 90 - ) = sin = Jdi, bentuk sedehnn dlh cotn α.. Kudn II Untuk memhmi sudut α ng beelsi dengn 80 - tu π -, pehtikn gmb beikut!
P (, ) P(, ) (80 - α) α Sudut Beelsi di Kudn II dlh bngn di titik P(, ) Di gmb tesebut, dikethui titik P, kibt penceminn tehdp sumbu-. Dengn demikin, dipeoleh:. OP = dn OP = 80 - ; set b. =-, =, dn =. Dengn menggunkn hubungn tesebut, dipeoleh:. sin( 80 -)= = = sin b. cos( 80 - )= = - =-cos c. tn( 80 -)= = =-tn - Jdi, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 80 - α ) dlh sebgi beikut.. sin ( 80 - )= sin d. cosec ( 80 - )= cosec b. cos ( 80 - )=-cos e. sec ( 80 - )=-sec c. tn ( 80 - )=-tn f. cotn ( 80 - )=-cotn Sement itu, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 90 + π tu + dlh sebgi beikut.. sin ( 90 + )= cos d. cosec ( 90 + )= sec b cos ( 90 + )=-sin e. sec ( 90 + )=-cosec c. tn ( 90 + )=-cotn f. cotn ( 90 + )=-tn
Contoh Sol 8 Tentukn elsi sudut beikut ini dengn sudut ( 80 - )!. sin 5 b. cos 0 c. tn 65 Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 80 - ), dipeoleh:. sin5 = sin ( 80-55 )= sin 55 b. cos0 = cos ( 80-70 )=- cos 70 c. tn65 = tn ( 80-5 )=- tn 5 Contoh Sol 9 Tentukn elsi sudut beikut ini dengn sudut ( 90 + )!. sin 0 b. tn 35 Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 90 +, dipeoleh:. sin0 = sin ( 90 + 30 )= cos 30 b. tn35 = tn ( 90 + 45 )=- cotn 45 3. Kudn III Untuk memhmi sudut ng beelsi dengn (80 o + α) tu (π + α), pehtikn gmb beikut! P(, ) (80 + ) P (, ) Sudut Beelsi di Kudn III 3
dlh bngn di titik P(, ) Di gmb tesebut, dikethui titik P, kibt penceminn tehdp gis =-. Dengn demikin, dipeoleh:. OP = dn OP = 80 + ; set b. =-, =-, dn =. Dengn menggunkn hubungn tesebut, dipeoleh:. sin( 80 + )= = - =-sin b. cos( 80 + )= = - =-cos c. tn( 80 + )= = - tn - = Jdi, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 80 + dlh sebgi beikut.. sin ( 80 + )=-sin d. cosec ( 80 + )=-cosec b. cos ( 80 + )=-cos e. sec ( 80 + )=-sec c. tn ( 80 + )= tn f. cotn ( 80 + )= cotn Sement itu, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 70-3π tu - dlh sebgi beikut.. sin ( 70 o - )=-cos d. cosec ( 70 o - )=-sec b. cos ( 70 o - )=-sin e. sec ( 70 o - )=-cosec c. tn ( 70 o - )= cotn f. cotn ( 70 o - )= tn Contoh Sol 0 Tentukn elsi cos 5 dengn sudut ( 80 + ) dn 70 -! Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 80 + ) dn 70 -, dipeoleh: 4
cos5 = cos ( 80 + 45 )=- cos 45 cos5 = cos ( 70-45 )=- sin 45 4. Kudn IV Untuk memhmi sudut ng beelsi dengn (360 ) tu π -, pehtikn gmb beikut. P(, ) (360 - ) O - P (, ) Sudut Beelsi di Kudn IV dlh bngn di titik P(, ) Di gmb tesebut, dikethui titik P, kibt penceminn tehdp sumbu-. Dengn demikin, dipeoleh:. OP = dn OP = - ; set b. =, =-, dn =. Dengn menggunkn hubungn tesebut, dipeoleh:. sin( - )= = - =-sin b. cos( -)= = = cos c. tn( - )= = - =-tn 5
Jdi, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 360 - dlh sebgi beikut.. sin (-)=-sin d. cosec (-)=-cosec b. cos (-)= cos e. sec (-)= sec c. tn (-)=-tn f. cotn (-)=-cotn Relsi sudut dengn - tesebut identik dengn elsi 360 -. Misln sin( 360 -)= sin (-). Sement itu, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut 70 + dlh sebgi beikut.. sin ( 70 + )=-cos d. cosec ( 70 + )=-sec b. cos ( 70 + )= sin e. sec ( 70 + )= cosec c. tn ( 70 + )=-cotn f. cotn ( 70 + )=-tn Contoh Sol Tentukn elsi tn 300 dengn sudut ( 70 + ) dn 360 -! Pembhsn: Bedskn umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut ( 70 + ) dn ( 360 - ), dipeoleh: tn300 = tn ( 70 + 30 )=- cotn 30 tn300 = tn ( 360-60 )=- tn 60 6
SUPER "Solusi Quippe" Rumus Sudut Beelsi sin cos tn cotn sin cos tn o 90 ± o 70 ± = o 80 ± o 360 ± = cos sin cotn tn sin cos tn (α) (α) Ketengn:. Nili pebndingn tigonometi sudut ( 90 ± ) tu ( 70 ± ) sm dengn nili pebndingn tigonometi sudut. Stn, jenis pebndingn tigonometin hus beubh di sinus menjdi kosinus tu tngen menjdi kotngen, dn seblikn. Tnd nili pebndingn dpt diliht di fungsi sl dn letk kudn sudutn.. Nili pebndingn tigonometi sudut ( 80 ± ) tu ( 360 ± ) sm dengn nili pebndingn tigonometi sudut. Stn, jenis pebndingn tigonometin hus tetp. Tnd nili pebndingn dpt diliht di fungsi sl dn letk kudn sudutn. 5. Relsi Sudut Negtif Pehtikn gmb beikut! P(, ) O - P (, ) Relsi Sudut Negtif 7
Di gmb tesebut, teliht bhw ketik sudut α diubh hn seh jum jm menjdi -α dipeoleh:. OP = dn OP = - b. =, =-, dn =. Dengn menggunkn hubungn tesebut, dipeoleh:. sin( - )= = - =-sin b. cos( -)= = = cos c. tn( - )= = - =-tn Jdi, umus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut (-) dlh sebgi beikut.. sin (-)=-sin d. cosec (-)=-cosec b. cos (-)= cos e. sec (-)= sec c. tn (-)=-tn f. cotn (-)=-cotn 6. Relsi Sudut α Lebih Bes di 360 Untuk sudut α ng lebih bes di 360, belku: = k.360 + dengn k dlh bilngn bult. Rumus-umus pebndingn tigonometi untuk sudut α ng lebih bes di 360 dlh sebgi beikut.. o sin ( k 360 + )= sin d. o cosec ( k 360 + )= cosec b. o cos ( k 360 + )= cos e. o sec ( k 360 + )= sec c. o tn ( k 360 + )= tn f. o cotn ( k 360 + )= cotn 8
Contoh: sin sin750 = sin k 360 + sin750 = 360 + 30 sin750 = sin 30 D. Pesoln ng Behubungn dengn Pebndingn Tigonometi di Setip Kudn Contoh Sol Tentukn tnd di setip pebndingn tigonometi beikut!. sin 45 b. cos 30 c. tn 5 Pembhsn:. sin 45 Oleh ken 90 < 45 < 80, mk sudut 45 teletk di kudn II, sehingg nili sin 45 betnd positif. b. cos 30 Oleh ken 80 < 30 < 70, mk sudut 30 teletk di kudn III, sehingg nili cos30 betnd negtif. c. tn 5 Oleh ken 90 < 5 < 80, mk sudut 5 teletk di kudn II, sehingg nili tn 5 betnd negtif. Contoh Sol 3 Ntkn pebndingn tigonometi beikut ini dlm pebndingn sudut elsin!. sin60 b. tn 45 c. cos 5 9
d. sec 30 Pembhsn:. sin60 bed pd kudn I. Oleh ken pd kudn I nili sinus positif, mk: sin60 = sin( 90 30 )= cos30 b. tn 45 bed pd kudn II. Oleh ken pd kudn II nili tngen negtif, mk: tn45 = tn( 90 + 55 )= tn( 80 35 ) tn45 = cotn55 = tn35 c. cos 5 bed pd kudn III. Oleh ken pd kudn III nili kosinus negtif, mk: cos5 = cos( 80 + 45 )= cos( 70 45 ) cos5 = cos45 = sin45 d. sec 30 bed pd kudn IV. Oleh ken pd kudn IV nili sekn positif, mk: sec30 = sec( 70 + 40 )= sec( 360 50 ) sec30 = cosec 40 = sec50 Contoh Sol 4 Mislkn dikethui titik dn sudut beikut.. A, 5 dn OA =. dn = b. B5, 8 OA θ. Tentuknlh nili sin dn tn, set cos θ dn tn θ. Pembhsn:. Koodint titik A(, 5) teletk pd kudn kedu, ken nili =- dn = 5. Dengn menggunkn segitig bntu, dipeoleh: A(-, 5) 3 5-30 α O
Bedskn teoem Pthgos, dikethui pnjng sisi tepnjng = 3. Dengn demikin, dipeoleh: sin = 5 3 tn =- 5 teletk pd kudn IV, ken = 5 dn =-8. Dengn b. Koodint titik B 5, 8 menggunkn segitig bntu, dipeoleh: O θ 5-8 7 B(5,-8) Bedskn teoem Pthgos, dikethui pnjng sisi tepnjng = 7. Dengn demikin, dipeoleh: cos θ= 5 7 tn θ=- 8 5 Contoh Sol 5 4 3. Jik cos θ=- dengn π < θ< π, tentukn nili cosec θ dn cotn θ. 5 6 3 b. Jik tn b=- dengn π < b< π, tentukn nili sin b dn cos b. Pembhsn:. Sudut θ teletk di kudn III, sehingg cos θ=- 4 dpt digmbkn sebgi 5 beikut. 3
-4-3 5 θ Nili -3 didpt bedskn tipel Pthgos. Dengn demikin, dipeoleh: 5 5 cosec θ = = =- sin θ - 3 3 cotn θ = = - 4 θ - 3 = 4 tn 3 b. Sudut b teletk pd kudn IV, sehingg tn b=- 6 beikut. dpt digmbkn sebgi O b 0-6 3
Nili 0 didpt bedskn tipel Pthgos. Dengn demikin, dipeoleh: 6 4 sin b =- =- 0 5 3 cos b = = 0 5 33