BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Influenza atau lebih dikenal dengan flu, merupakan salah satu penyakit yang menyerang pernafasan manusia. Penyakit ini disebabkan oleh virus influenza yang termasuk dalam keluarga Orthomyxoviridae. Virus yang dapat ditularkan melalui udara dari batuk maupun bersin ini, dibagi menjadi tiga tipe berdasarkan komposisi proteinnya yaitu tipe A, B dan C. Virus tipe A dan B sering menginfeksi manusia, sedangkan virus tipe C menginfeksi hewan. Untuk pembahasan selanjutnya pada skripsi ini, tipe virus yang digunakan adalah virus influenza tipe A. Virus influenza tipe A mempunyai delapan bagian RNA dengan antigen utama pada permukaan virus terdiri dari hemaglutinin (H) dan neuraminidase (N). Antigen H berfungsi untuk mengikat sel host dan antigen N berfungsi untuk membelah tunas virus dari sel yang terinfeksi. Antigen H memiliki 16 subtipe (H1-H16) sedangkan antigen N memiliki 9 subtipe (N1-N9) meskipun infeksi terhadap manusia hanya terjadi pada subtipe H1, H2, H3, N1 dan N2 (Mahon dkk, 2011). Epidemi maupun pandemi virus influenza terus menyebar di seluruh dunia diakibatkan adanya variasi antigenic. Ada dua jenis antigenic yang terjadi yaitu antigenic drift dan antigenic shift. Setiap tahun antigenic drift terjadi akibat kesalahan replikasi RNA virus influenza. Secara bertahap, drift memproduksi strain virus baru yang tidak terdeteksi sistem imun tubuh. Di lain pihak, antigenic shift terjadi secara mendadak sehingga dapat mengubah permukaan antigen serta menghasilkan antigen H baru dan/atau antigen H dan N yang baru. Shift menghasilkan subtipe virus influenza A baru dengan kombinasi antigen H dan N yang muncul dari populasi hewan. Kombinasi subtipe dari hewan ini berbeda dengan subtipe virus yang menginfeksi manusia. 1
2 Fenomena epidemi maupun pandemi virus influenza ini dapat dianalisis dari berbagai sudut pandang, salah satunya dalam bentuk model matematika. Kaitannya dengan epidemiologi, model matematika epidemi dapat dijadikan alat untuk mempelajari penyebaran penyakit pada manusia dan faktor yang mempengaruhi penyebaran penyakit tersebut. Casagrandi, dkk. menggambarkan penyebaran virus influenza dengan menggunakan model SIRC (Susceptibles, Infected, Recovered, Cross immune), dimana kompartemen SIRC mengelompokkan populasi manusia dalam kelompok manusia rentan, terinfeksi, sembuh sepenuhnya dan sembuh sebagian. Model yang digambarkan Casagrandi, dkk. ini pun telah dikembangan dari segi analitik maupun numerik (Nurul D., 2012). Kedua tulisan mengenai model SIRC ini hanya menjelaskan penyebaran satu strain virus influenza A pada populasi manusia. Pada kenyataannya tidak hanya satu strain virus influenza A yang tersebar pada populasi manusia. Akibat adanya variasi antigenic drift, secara bertahap virus influenza A bermutasi menjadi berbagai strain virus yang sewaktu-waktu dapat menyerang manusia. Manusia dapat berulang kali terinfeksi virus influenza A sebab strain virus baru yang muncul tidak teridentifikasi oleh sistem pertahanan tubuh manusia, sehingga di dalam tubuh manusia ada kemungkinan terinfeksi dua atau lebih strain virus influenza A secara bersamaan. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Pembentukan model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A pada manusia. 2. Menentukan titik ekuilibrium bebas endemik dan endemik model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A. 3. Menganalisa kestabilan titik-titik ekuilibrium dari model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A.
3 4. Melakukan simulasi numerik dari model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A. 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada pendefinisian model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A, penentuan titik ekuilibrium bebas endemik dan endemik, serta analisis kestabilan titik-titik ekuilibrium tersebut. 1.4. Tujuan Penelitian Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk: 1. Membentuk model matematika penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A pada populasi manusia. 2. Melakukan analisa terhadap model yang telah dibentuk terkait dengan titik ekuilibrium dan kestabilannya. 3. Melakukan simulasi model matematika penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A. 1.5. Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini sebagai berikut. 1. Memberikan acuan dalam menyikapi kasus epidemi sekuensial dua strain virus influenza A yang terjadi pada kehidupan sehari-hari dan kasus-kasus epidemi yang lain. 2. Memberikan masukan kepada peneliti lain yang ingin mengembangkan kasus epidemi sekuensial dua strain virus influenza A.
4 1.6. Tinjauan Pustaka Fakta dan keterangan mengenai virus influenza A dirujuk dari Mahon, dkk. (2011). Selanjutnya pembahasan tentang model SIRC yang mengembangkan model SIR sebelumnya dijelaskan pada jurnal yang ditulis oleh Casagrandi, dkk. (2006). Model tersebut menambahkan kompartemen Cross immune (C) yaitu populasi manusia yang sembuh setelah terinfeksi kemudian memiliki kekebalan sementara. Selain itu, epidemiologi akibat mekanisme drift virus influenza A juga dikembangkan kembali melalui skripsi yang ditulis oleh Nurul, D. (2012). Skripsi tersebut mengembangkan jurnal yang ditulis Casagrandi, dkk. (2006) dengan meninjau model SIRC dari segi analitik serta numerik. Bilangan reproduksi dasar yang merupakan parameter penentu terjadinya endemik dan bebas endemik dijelaskan oleh Diekmann dan Heesterbeek (2000). Konsep sistem persamaan, matriks, nilai eigen dan persamaan karakteristik dijelaskan pada buku H. Anton (2004). Dalam bukunya, J.A. Thrope (1997) dan Perko (1991) menjelaskan konsep fungsi diferensial kontinu. Penjelasan mengenai pengertian titik ekuilibrium dan sifat kestabilan pada titik ekuilibrium termuat dalam buku Wiggins (1990). Selanjutnya dalam buku Kocak (1991) dijelaskan definisi matriks Jacobian dari suatu fungsi nonlinear. Konsep kestabilan titik-titik ekuilibrium yang diuji dari nilai eigen bagian real negatif dijelaskan oleh Olsder (1994). 1.7. Metodologi Penelitian Penelitian mengenai model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A dengan mekanisme antigenic drift ini diawali dengan mencari fakta dan keterangan terkait sifat-sifat maupun karakteristik virus influenza yang menginfeksi manusia setiap tahun. Dibentuk pula asumsi-asumsi untuk membatasi model seperti laju kelahiran, laju kematian, kontak infeksi dan lain sebagainya. Dari fakta dan asumsi dapat dibentuk diagram kompartemen penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A yang kemudian dibentuk model matematika berdasakan diagram tersebut. Model matematika dalam skripsi ini merupakan sistem persamaan diferen-
5 sial nonlinear berdimensi tujuh. Dinamika model dapat dilihat dari perilaku solusi model disekitar titik-titik ekuilibrium. Pada awalnya, ditentukan titik-titik ekuilibrium dan bilangan reproduksi dasar untuk menganalisis apakah terjadi endemik virus influenza A atau tidak, kemudian kestabilan masing-masing titik ekuilibrium dianalisa menggunakan konsep nilai eigen matriks Jacobian maupun kriteria Routh- Hurwitz. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik dengan bantuan program aplikasi MATLAB. Dalam simulasi ini, parameter-parameter diubah ke dalam suatu nilai yang telah ditentukan sebelumnya dan menghasilkan grafik yang menggambarkan perilaku model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A dengan mekanisme antigenic drift. 1.8. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang menunjang pembahasan pada bab-bab berikutnya. Bab ini dibagi dalam beberapa bagian, yaitu sistem persamaan linear, fungsi diferensiabel, sistem persamaan diferensial, linearisasi sistem persamaan diferensial nonlinear, kestabilan titik ekuilibrium, kriteria Routh-Hurwitz, bilangan kompleks dan model SIRC. BAB III MODEL SIRC PADA PENYEBARAN SEKUENSIAL DUA STRA- IN VIRUS INFLUENZA A DENGAN MEKANISME ANTIGENIC DRIFT Bab ini akan membahas model penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A pada populasi manusia. Untuk memodelkan penyebaran sekuensial dua strain virus
6 influenza A ini dibentuk asumsi-asumsi dari fakta dan keterangan yang ada. Selanjutnya akan ditentukan titik-titik ekuilibrium dari model matematika tersebut dan dianalisis kestabilan masing-masing titik ekuilibrium. BAB IV SIMULASI MODEL PENYEBARAN SEKUENSIAL DUA STRAIN VIRUS INFLUENZA A DENGAN MEKANISMEN ANTIGENIC DRIFT Pada bab ini akan dibahas simulasi numerik penyebaran sekuensial dua strain virus influenza A dengan mensubstitusi berbagai nilai parameter yang telah ditentukan. Dengan menggunakan program MATLAB akan diperoleh hasil simulasi berupa grafik yang menggambarkan penyebaran dua strain virus influenza A pada populasi manusia. BAB V PENUTUP Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk arah penelitian selanjutnya.