Oleh : HASNAN NASRUN SUBCHAN, MAHMUD YUNUS

Oleh : HASNAN NASRUN SUBCHAN, MAHMUD YUNUS

ABSTRAK Penyakit Tuberkulosis (TB) merupakan salah satu penyakit menular tertua yang menyerang manusia. Badan kesehatan dunia (WHO) menyatakan bahwa sepertiga penduduk dunia telah terinfeksi oleh Mycobacterium Tuberculosis, yang merupakan bakteri penyebab penyakit Tuberkulosis. Di Indonesia, jumlah pasien Tuberkulosis menempati urutan ke tiga terbanyak didunia setelah Cina dan India. Model matematis Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection dimodelkan sebagai permasalahan pengendalian optimal yang diselesaikan menggunakan metode langsung dengan mentransformasikan kedalam bentuk permasalahan pemerograman tak linear (Non linear Programing, NLP). Pengendalian dalam penelitian ini terdiri dari kendali isolasi, daya tahan tubuh dan pengobatan yang bertujuan untuk meminimalkan jumlah penduduk terinfeksi dan menular melalui penerapan pengendalian optimal. Hasil Penelitian tesis ini ditinjau dari dua keadaan dimana Ro (Bilangan Reproduksi Dasar), dengan Ro> untuk kasus terjadinya endemik dan upaya tambahan Ro < untuk kasus tidak terjadinya endemic. Kata Kunci: Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection, Pengendalian Optimal, Bilangan Reproduksi Dasar

PENDAHULUAN Latar Belakang Indonesia sebagai penyumbang Tuberkulosis terbesar nomor 3 di dunia setelah Cina dan India dengan jumlah kasus baru sekitar 539. dan jumlah kematian sekitar. pertahun. Exogenous Reinfection Merupakan Infeksi Ulang dari orang yang sudah pernah terkena Tuberkulosis tapi menjadi terkena Tuberkulosis kembali dikarenakan Infeksi ulang dari Orang lain yang sedang terkena Tuberkulosis Aktif. Oleh karena itu, Exogenous Reinfection memiliki peranan penting dalam perkembangan serta penularan penyakit Tuberkulosis.

Tujuan penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah mendeskripsikan bentuk penanganan pengendalian optimal Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection Menentukan kendali optimal dari kendali isolasi, daya tahan tubuh dan pengobatan pada Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection Mengetahui performansi dari state variable serta kendali dari pengendalian optimal Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection.

BATASAN MASALAH a. Model dasar sistem dan parameter yang digunakan diambil dari referensi. b. Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama pengendalian pada interval waktu tertentu. c. Simulasi menggunakan program MISER3 versi2..

MANFAAT PENELITIAN Manfaat dari penulisan penelitian ini adalah untuk memberikan informasi bahwa pengendalian optimal yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi optimal dalam menentukan kebijakan untuk mengatasi penyebaran serta penularan penyakit Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection

METODOLOGI PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan pada penelitian ini terdiri atas : Analisis Model Terdiri dari asumsi model, daerah penyelesaian model, titik setimbang model, dan kestabilan model Penyelesaian Kendali Optimal Penyelesaian kendali optimal Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection dilakukan dengan menggunakan kendali Isolasi, daya tahan tubuh dan pengobatan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Simulasi Simulasi menggunakan bantuan program komputer Untuk mencari kendali optimal pada model Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection.

HASIL PENELITIAN Untuk mengendalikan penyebaran Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection digunakan model kompartemen yang dikembangkan oleh Sunhwa Choi,dkk (29). ds dt de dt di dt dt dt dn dt Λ u t cs I cs p ce N u t I p ce Λ di u2 t I ke u3 t r ct k E N N u 3 t ri N S N u t u t I I u2 t ct I N d I T N S= Individu Sehat, E= Individu Terinfeksi, I= Individu menular T= Individu Sembuh, N= Total Populasi (N=S+E+I+T)

Deskripsi Model Tuberkulosis dengan Exogeenous Reinfection Populasi Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection dibagi menjadi empat kelas yaitu kelas S, E, I, dan T dengan S adalah populasi Susceptible (sehat) yaitu populasi yang rentan terhadap penyakit Tuberkulosis, E adalah populasi Exposed (terinfeksi) yang merupakan individu yang terjangkit penyakit Tuberkulosis namun tidak menularkan penyakit dan belum menunjukkan adanya gejala penyakit awal, I adalah populasi Infectious (menular) yang merupakan individu yang terjangkit Tuberkulosis dan dapat menularkan penyakit. T adalah populasi Treatment (sembuh) yang merupakan individu yang sembuh dari Tuberkulosis namun masih memiliki bibit penyakit Tuberkulosis. Jumlah total populasi yang bergantung pada waktu diberikan dengan N = S(t) + E(t) + I(t) + T(t).

Susceptible (sehat) Susceptible (sehat) ialah populasi normal yang rentan terhadap penyakit Tuberkulosis, atau dengan kata lain ialah populasi manusia yang belum terjangkit penyakit Tuberkulosis. Populasi sehat meningkat dengan adanya laju rekruitment dari individu yang masuk ke dalam suatu wilayah dan menurun dengan laju kematian alami ( μ). Laju rekruitment meliputikelahiran, imigrasi dan emigrasi. Penularan dapat terjadi akibat hubungan antara populasi sehat dengan menular yang mengakibatkan populasi ini menjadi terinfeksi atau bahkan menjadi menular. Penularan pada populasi ini juga mengakibatkan populasi menjadi berkurang. Pada populasi ini akan kita berikan kendali Isolasi ( ) sebagai pencegah hubungan antara populasi sehat dengan populasi menular, diharapkan dengan adanya kendali ini kontak antara populasi sehat dan menular dapat diputuskan. Koefisien transmisi populasi sehat ialah β dan c.

Exposed (terinfeksi) Exposed (terinfeksi) ialah populasi yang terdeteksi sudah terinfeksi tetapi belum menginfeksi, namun secara medis gejala penyakit Tuberkulosis belum menyebar dikarenakan oleh daya tahan tubuh yang masih kuat atau bakteri penyakit yang belum berkembang. Total populasi ini dinotasikan E, berkembangnya populasi terinfeksi karena laju perubahan dari populasi sehat menjadi terinfeksi, Hal ini dipengaruhi oleh β dan c serta perubahan dari kelas sembuh ke kelas terinfeksi yang dipengaruhi oleh σβ dan c. Berkurangnya populasi pada kelas ini disebabkan berubahnya populasi terinfeksi menjadi menular, hal ini dipengaruhi oleh k (tingkat perkembangan dari Exposed menjadi Infectious), ρ (tingkat Exogenous Reinfection) serta adanya laju kematian alami dari populasi terinfeksi (μ E). Pada populasi ini nantinya akan kita berikan kendali isolasi ( ) untuk mencegah penularan dari populasi Infectious dan daya tahan tubuh ( ) untuk mengatasi penularan dengan Exogenous Reinfection (Penularan ulang populasi yang telah sembuh dari Tuberkulosis namum masih memiliki bibit tuberkulosis).

Infectious (menular) Infectious (menular) ialah populasi yang muncul setelah berkembangnya gejala terinfeksi menjadi menular yang dipengaruhi oleh k(tingkat perkembangan dari Exposed menjadi Infectious) serta penularan Exogenous Reinfection (ρ). Populasi ini berkurang dengan adanya kematian akibat penyakit Tuberkulosis (d), kematian alami (μ) dan orang yg sembuh dari penyakit Tuberkulosis (r). Hubungan populasi pada kelas ini dengan kelas lainnya dapat terjadi dengan populasi kelas sehat, terinfeksi, dan sembuh. Oleh sebab itulah maka perkembangan populasi ini harus ditekan semaksimal mungkin karena merupakan sumber dari penyebaran penyakit Tuberkulosis. Untuk menekan perkembangan populasi pada kelas ini kita berikan kendali isolasi ( ) yang nantinya akan memutus hubungan antara populasi kelas ini dengan populasi sehat dan terinfeksi. Selanjutnya akan kita berikan kendali pengobatan ( ), sehingga populasi kelas ini nantinya akan habis dan menjadi populasi kelas sembuh.

Treatment (sembuh) Treatment (sembuh) ialah Populasi yang telah sembuh dari penyakit Tuberkulosis namum masih memiliki bibit penyakit Tuberkulosis. Populasi berasal dari individu terinfeksi (I) yang telah disembuhkan dengan adanya pengobatan. Penurunan populasi ini disebabkan karena adanya laju kematian alami (μ) dan berubahnya populasi kelas ini ke populasi kelas terinfeksi yang dipengaruhi oleh σβ dan c. Pada populasi di kelas ini kita akan ) sebagai cara untuk memberikan kendali pengobatan ( memperbanyak populasi pada kelas ini, serta memberikan kendali daya tahan tubuh ( ) untuk mencegah populasi pada kelas ini kembali menjadi populasi yang terinfeksi.

Diagram kompartemen dari hubungan keempat kelas model Tuberkulosis dengan adanya kendali sebagai berikut : cs I N p cs I N S S ke E ri I ( E ct I N d )I T T

Hasil Analisis Model Titik setimbang bebas penyakit Titik setimbang Endemik Bilangan reproduksi dasar pada model Tuberkulosis dengan Exogenous Reinfection adalah R c k r d k

Kestabilan Lokal Titik Setimbang Bebas Penyakit

Penyelesaian Kendali Optimal Pada penyelesaian kendali optimal ini akan dibahas penggunaan kendali isolasi, daya tahan tubuh, dan pengobatan Kendali adalah kendali isolasi yang merupakan upaya yang mencegah infeksi individu rentan dengan individu menular. Hal ini akan mengurangi jumlah individu yang dapat mengembangkan Tuberkulosis aktif. ialah kendali daya tahan tubuh yang merupakan upaya untuk mencegah infeksi ulang dari Tuberkulosis. ialah kendali pengobatan, (pemberian Obat obatan secara intensif dan terkendali) yang merupakan upaya pada penanganan individu yang terinfeksi aktif untuk menjadi sembuh. B, B 2, B 3 adalah parameter pembobotan, menyeimbangkan kepentingan relatif dan ukuran persyaratan dalam fungsional objektif.

a. KONDISI STASIONER Selanjutnya berdasarkan prinsip maksimal didapatkan : Ada tiga kasus dalam menentukan karakter yang spesifik dalam pengendalian optimal yaitu:

Dengan mengkombinasikan tiga kasus dalam menentukan karakter yang spesifik dalam pengendalian optimal dapat dibentuk dalam bentuk kompak sebagai berikut:

SIMULASI Pada tahap simulasi ini akan dibandingkan sistem sebelum dikendalikan (tanpa memberikan kendali Isolasi, Daya tahan tubuh dan Pengobatan) dan sesudah dikendalikan (dengan memberikan kendali Isolasi, Daya tahan tubuh dan Pengobatan), sehingga kita dapat mengukur sejauh mana keefektifan dari kendali yang dilakukan. Pada sistem yang diberikan kendali kita akan membuat dua macam persoalan yaitu: Persoalan ketika R < artinya tidak ada terjadinya endemik Penyakit. Penularan penyakit tergolong normal serta masih dalam taraf yang biasa. Persoalan ketika R > Pada kasus R > artinya terjadinya endemik penyakit. Penularan penyakit tergolong diatas normal atau dikatakan dapat menular dan menyebar dengan cepat.

STRATEGI YANG DIGUNAKAN PADA KASUS < DAN > Berikut adalah berbagai macam strategi yang digunakan pada masing masing kasus

Nilai dari parameter diambil dari nilai parameter yang berasal dari Sunhwa Choi dkk(29) yaitu : PARAMETER KOMPUTASI SIMBOL NILAI t f 365 B B2 B3 Λ 47 β 8 Waktu akhir Batas bawah kendali Batas atas kendali Jumlah faktor yang mempengaruhi u Jumlah faktor yang mempengaruhi u2 Jumlah faktor yang mempengaruhi u3 Tingkat rekrutmen konstan Jumlah rata-rata individu sehat yang rentan terinfeksi oleh satu individu menular yang berhubungan langsung per unit waktu Rata rata tingkat kematian alami Jumlah rata-rata individu sembuh yang rentan terinfeksi oleh satu individu menular yang berhubungan langsung per unit waktu Hubungan rata rata perkapita Angka kematian perkapita akibat Tuberkulosis Tingkat pegembangan dari terifeksi menjadi menular Tingkat Exogenous Reinfection Tingkat pengobatan perkapita Total Populasi Nilai awal Populasi Susceptible Nilai awal Populasi Exposed Nilai awal populasi Infectious Nilai awal populasi Treatment µ σ c d k ρ r N S() E() I() T(.67.9.,.3..5.4 2 25 325 5 25

SIMULASI MODEL TUBERKULOSIS DENGAN EXOGENOUS REINFECTION TANPA 5 NORMAL TERINFEKSI 5 5 2.5.5 2.5 x 4 MENULAR 3 2 SEMBUH

SIMULASI MODEL TUBERKULOSIS DENGAN EXOGENOUS REINFECTION DENGAN PADA SAAT <. Strategi (Penerapan kendali isolasi) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75 u (VAKSINASI).5.25.75 u (PENGOBATAN).5.25

b. Grafik state 2.5 x 4 TERINFEKSI 2.5 NORMAL 5 MENULAR 25 2 SEMBUH 5 5 5

2. Strategi 2 (Penerapan kendali Daya tahan tubuh) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u (PENGOBATAN)

b. Grafik state 5 5 NORMAL 5 TERINFEKSI 2.5 x 4 MENULAR 2 25 SEMBUH 2.5.5 5 5

3. Strategi 3 (Penerapan kendali Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u (VAKSINASI).75.5.25 u (PENGOBATAN) 2

b. Grafik state 5 NORMAL 5, 5 25, 6 TERINFEKSI 5 4 2 MENULAR SEMBUH

4. Strategi 4 (Penerapan kendali Isolasi dan Daya tahan tubuh) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u (VAKSINASI) 2.75.5.25 u 3 (PENGOBATAN)

b. Grafik state 2.5 x 4 25 TERINFEKSI 2.5 NORMAL MENULAR 5 25 2 SEMBUH 5 5 5

5. Strategi 5 (Penerapan kendali Isolasi dan Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u (PENGOBATAN) 3

b. Grafik state 2.5 x 4 2.5 25 5 TERINFEKSI NORMAL MENULAR 5 5 SEMBUH 5

6. Strategi 6 (Penerapan kendali Daya tahan tubuh dan Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75 u (VAKSINASI) 2.5.25.75.5.25 u (PENGOBATAN) 3

b. Grafik state 2.5 x 4 2.5 NORMAL.5 MENULAR 5 5 TERINFEKSI 75 SEMBUH 5 5

6. Strategi 7 (Penerapan kendali Isolasi, Daya tahan tubuh dan Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75 u (VAKSINASI) 2.5.25.75.5.25 u (PENGOBATAN) 3

b. Grafik state 2.5 x 4 TERINFEKSI 2.5 NORMAL MENULAR 5 2 SEMBUH 5

Tabel hasil akhir pada kasus Ro< (Penyebaran Penyakit Normal) Populasi Tanpa u Strategi Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5 Strategi 6 Strategi 7 Normal 54.8 24927.9 54.8 262.58 24927.89 24877. 22447. 24877.64 Terinfeks 36.5 8.9 36.5 2864.3 8.97 6.25 788.37 6.5 i Menular 3545.95.58 3545.93 792.68.58.28 4.74578.28 Sembuh..8. 533.67.34 29.46 692.7 29.63 Total 3736.8 24947.4 5 3736.8 2223. 7 24947.7 8 24967. 24932.8 3 24968. 6

SIMULASI MODEL TUBERKULOSIS DENGAN EXOGENOUS REINFECTION DENGAN PADA SAAT >. Strategi (Penerapan kendali isolasi) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u 3 (PENGOBATAN)

b. Grafik state 2.5 x 4 5 TERINFEKSI 2.5 5 NORMAL MENULAR 25 2 SEMBUH 5

2. Strategi 2 (Penerapan kendali Daya tahan tubuh) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u 3 (PENGOBATAN)

b. Grafik state 5 NORMAL 5 TERINFEKSI 5 5 2.5 x 4 2.5.5 MENULAR 3 2 SEMBUH

3. Strategi 3 (Penerapan kendali Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u (PENGOBATAN) 3

b. Grafik state 5 NORMAL 5 TERINFEKSI 5 5 2 x 4 MENULAR.5.5 25 SEMBUH 2 5 5

4. Strategi 4 (Penerapan kendali Isolasi dan Daya tahan tubuh) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75 u (VAKSINASI) 2.5.25.75.5.25 u 3 (PENGOBATAN)

b. Grafik state 2.5 x 4 2.5 5 TERINFEKSI NORMAL MENULAR 25 SEMBUH 2 5 5 5

5. Strategi 5 (Penerapan kendali Isolasi dan Pengobatan) a. Grafik kendali.75.5.25 u (ISOLASI).75.5.25 u 2 (VAKSINASI).75.5.25 u (PENGOBATAN) 3

b. Grafik state 2.5 x 4 TERINFEKSI 2.5 5 NORMAL MENULAR 5 5 SEMBUH 5

6. Strategi 7 (Penerapan kendali Isolasi, Daya tahan tubuh dan Pengobatan) a. Grafik kendali.75 u (ISOLASI).5.25.75 u (VAKSINASI) 2.5.25.75 u (PENGOBATAN) 3.5.25

b. Grafik state 2.5 x 4 TERINFEKSI 2.5 5 NORMAL MENULAR 5 2 SEMBUH 5 5

Tabel hasil akhir pada kasus Ro> (Penyebaran Penyakit Endemik) Populasi Tanpa u Strategi Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5 Strategi 6 Strategi 7 Normal 7.66 24943.67 7.66 25.45 24943.65 24943.65 893.6 24852.49 Terinfeks 44.5 3.9 44.57 82.3 3.94 5.3 927.59 9.54 i Menular 3564.43.2554 3564.4 3349.76.2. 2.64.36 Sembuh... 454.26.25 9.88 443.92 24.9 Total 3626. 5 24947.7 6 3626.5 49.6 24948. 5 24967.85 24247.32 24968.3

Kesimpulan KESIMPULAN dan SARAN

Saran

DAFTAR PUSTAKA

terimakasih TERIMA KASIH Terima kasih TEriMa kasih terrima KAsih Terima Kasih Free Powerpoint Templates