Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo

Bab 6 Minggu ke 10 Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo

Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan tentang Model matematis harga Saham Membuat simulasi harga saham Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika menggunakan metode Estimasi Least Square

6.1 Proses Ito Untuk Harga Saham Proses Wiener: dx = adt + bdz, a dan b konstan Proses Wiener Tergeneralisir: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz Proses Wiener gagal dalam menangkap aspek kunci dari harga saham, yaitu ketidakpastian dari besarnya harga saham di masa mendatang proporsional terhadap harga saham Model harga saham yang sesuai: ds/s = μdt + σdz = μdt + σ dt ε dengan µ adalah nilai harapan keuntungan dan σ adalah volatilitas (i)

6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Contoh: Diketahui harga saham sekarang adalah $20 dengan harapan keuntungan µ = 14% dan volatilitas σ = 20%. Misalkan Δt = 0.01 artinya perubahan harga saham terjadi dalam interval waktu 0.01 tahun atau 3,65 hari. Dari persamaan (i), diperoleh ΔS = 0,028 + 0,4ε. Untuk periode pertama, diperoleh dari sampel, ε dari N(0,1) sama dengan 0.52 sehingga perubahan harga saham selama periode waktu pertama adalah ΔS = 0.0014 x 20 + 0.02 x 20 x 0.52 = 0.236

6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Setelah 3,65 hari lagi, harga saham menjadi 20 + 0.236 = $20,236. Selanjutnya nilai dari sampel ε untuk periode berikutnya adalah 1.44. Dari persamaan (i), perubahan selama periode waktu kedua adalah ΔS = 0.0014 x 20.236 + 0.02 x 20.236 x 1.44 = 0.611. Jadi, 3,65 hari berikutnya, harga saham menjadi 20,236+0.611 = $20,847; dan begitu seterusnya.

6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham Simulasi harga saham untuk µ = 0.14 dan σ = 0.20 dengan periode waktu 0.01 tahun. Harga Saham Sampel Random Perubahan harga saham Awal Periode untuk ε Perperiode 20.000 0.52 0.236 20.236 1.44 0.611 20.847-0.86-0.329 20.518 1.46 0.628 21.146-0.69-0.262 20.883-0.74-0.280 20.603 0.21 0.115 20.719-1.10-0.427 20.292 0.73 0.325 20.617 1.16 0.507 21.124 2.56 1.111

6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 1) Misalkan variabel x mengikuti proses Ito: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz dimana dz merupakan proses Wiener, a dan b adalah fungsi dari x dan t. 2) Ito mengusulkan jika G suatu fungsi dari x dan t, maka dipunyai ekspansi deret Taylor sebagai berikut: 3) Dengan mengabaikan suku yang berorder di atas Δt (Δt 0, demikian juga dengan suku berorde di atas Δt) diperoleh:

6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 4) Selanjutnya dengan melihat persamaan 1), diperoleh Δx = aδt + bε Δt, dan persamaan 3) menjadi: 5) Diketahui E(ε 2 Δt) = Δt, karena nilai dari E(ε 2 ) = 1.Ini dapat diartikan bahwa nilai ε 2 Δt mendekati nilai Δt, sehingga diperoleh: 6) Dengan mengambil limit diperoleh:

. 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham 7) Subtitusikan 1) ke 6) diperoleh: 8) Ternyata dapat kita lihat, bahwa proses G juga mengikuti proses Ito dengan drift rate dan standard deviasi 9) Dengan mengganti persamaan diferensial dx dengan ds pada persamaan diferensial dg, diperoleh

. 6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham Contoh: Model Harga Saham Lognormal Kita dapat menggunakan lemma Ito untuk menurunkan proses Ln S. Diketahui model persamaan diferensial harga saham ds/s = μdt + σdz. Kita definisikan G = ln S, dengan lemma Ito diperoleh: dg = d lns = (μ- ½ σ 2 ) dt + σdz Karena μ dan σ konstan, persamaan ini mengindikasikan bahwa G = Ln S mengikuti proses Wiener tergeneralisir. Selanjutnya dapat dibuktikan juga bahwa Ln S T Ln S 0 ~ N((μ -0.5σ 2 )T; σ 2 T).

Bab 6 Minggu ke 11 Simulasi Monte Carlo Untuk Harga Opsi

Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika menggunakan metode Estimasi Least Square

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Langkah-langkah: 1) Simulasikan lintasan harga saham S secara random 2) Hitung keuntungan opsi 3) Diskontokan ekspektasi payoff pada suku bunga bebas risiko untuk mendapatkan estimasi harga opsi. 4) Ulangi langkah 1-3 sebanyak M kali 5) Hitung rata-rata M harga opsi sebagai harga opsi MC

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Contoh: Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham akan menggunakan persamaan (i). Diketahui S 0 = 300.000, dan K = 400.000. Dari simulasi tersebut kita dapatkan matriks S berikut : Lintasan S1 S2 S3 1 358.715 360.240 403.944 2 244.769 264.284 251.379 3 374.912 426.973 337.813 4 265.729 403.955 457.694 5 364.138 483.065 526.561 6 236.772 329.832 414.610 7 298.120 292.504 310.227 8 354.810 395.449 512.307 9 259.262 254.813 282.399 10 331.194 304.204 403.741

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Dari simulasi lintasan harga saham, kemudian dihitung keuntungan opsi atau payoff pada waktu jatuh tempo. Opsi put tipe Eropa menggunakan formula K-S T dengan K=400.000 adalah harga kontrak. Lintasan S3 Payoff 1 403.944 0 2 251.379 148.621 3 337.813 62.187 4 457.694 0 5 526.561 0 6 414.610 0 7 310.227 89.773 8 512.307 0 9 282.399 117.601 10 403.741 0

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Dari tabel keuntungan opsi di atas, kemudian dihitung harga opsi dengan mendiskonto semua payoff kewaktu t 0 dan mengambil nilai rata-rata sebagai harga opsi simulasi MC. Lintasan Payoff Harga Opsi 1 0-2 148.621 144.952 3 62.187 60.652 4 0-5 0-6 0-7 89.773 87.556 8 0-9 117.601 114.697 10 0 -

6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa Diperoleh estimasi harga opsi simulasi monte carlo adalah: 0 144.952 60.652 0 0 0 87.556 0 114.697 0 10 407.857 10 40.786

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah-langkah: 1) Simulasi short rate 2) Simulasi harga saham menggunakan input dari nilai short rate yang telah disimulasikan terlebih dahulu 3) Menghitungkeuntungan opsi pada tiap-tiap waktu tiap lintasan 4) Menghitung waktu optimal untuk mengeksekusi opsi amerika a) Menentukan nilai Y T-1 = e -rt f T, nilai diskonto keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo T ke waktu T-1, untuk semua lintasan. b) Meregresikan Y T-1 dengan nilai S T-1 dan r T-1, selanjutnya diperoleh nilai Y T-1 (hat).

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika c) Bandingkan nilai Y T-1 (hat) dengan f T-1. Jika nilai Y T- 1(hat) > f T-1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya. d) Ulangi proses 4-7 sampai waktu t =1. e) Untuk masing-masing lintasan diperoleh waktu yang optimal dan keuntungan opsi pada waktu tersebut. Harga opsi untuk masing-masing lintasan adalah nilai diskonto dari keuntungan optimal tersebut. 5) Hitung rata-rata harga opsi semua lintasan sebagai harga opsi MCKT.

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Contoh: Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan assetinduk berupa saham. Diketahui S 0 = $30, σ = 30% dan tingkat hasil dividen sebesar 2%. Opsi tersebut dapat dieksekusi pada harga K = $40 pada saat t 1, t 2, dan t 3, dimana saat t 3 adalah masa berakhirnya hak opsi, jadi panjang intervalnya adalah 1/3.Diketahui pula bahwa tingkat suku bunga bebas risiko saat ini adalah sebesar 2%,memiliki volatilitas sebesar 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 10 kali.

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 1 : Simulasi harga saham dan short rate

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 2 : Menghitung matriks payoff

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Langkah 3 : Menentukan nilai opsi

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi Put Amerika Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t 2, sehingga nilai 3.9760 dari matriks payoff didiskonto ke t 0 (saat ini). Diketahui dari matriks short rate, nilai short rate lintasan pertama pada t 2 adalah 0.0325 (3,25%) dan t 1 adalah 0.0287 (2.87%). Nilai saat ini dari 3.9760 adalah 0.0325. 1 0.02387. 1 3 3 3.9760. e 3.8957 Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah 94.3863 10 9.4386 Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar $9.4386.Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil dari sebuah opsi dengan data parameter yang telah diberikan adalah sebesar $9.4386.

Thank You