Bab 2: Tabel Mortalitas dan Teorema Peluang pada Asuransi Jiwa Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Tabel mortalitas merupakan tabel yang berisi peluang seseorang meninggal menurut umurnya dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang polis asuransi). Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan premi, jumlah asuransi, dsb pada tabel mortalitas. Berikut adalah potongan tabel mortalitas 2011 yang dipakai di Indonesia. Tabel Mortalitas 2011
Tabel Mortalitas x menyatakan usia yang dicapai. l x menyatakan jumlah orang yang tepat berusia x. Kelompok orang seperti ini mempunyai ciri yang sama (di sini sama saat lahirnya) disebut kohort. l 0 pada tabel dipilih agak sembarang dan disebut radix. d x menyatakan jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x + 1. Banyaknya d x diperoleh dari d x = l x l x+1
Tabel Mortalitas q x menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal antara usia x dan x + 1 tahun lagi. Nilai q x diperoleh dari q x = l x l x+1 l x = d x l x Contoh: e x menyatakan harapan hidup pada usia x (rata-rata usia yang akan ditempuh oleh anggota kohort yang berusia x). (Dibahas pada materi selanjutnya).
Cara Membuat Tabel Mortalitas Tabel Mortalitas Misalkan suatu perusahaan asuransi memiliki data yang mencakup usia antara 43 tahun sampai 47 tahun sebagai berikut: Usia Banyaknya yang Diamati Banyaknya yang Meninggal 43 3602 27 44 4233 34 45 5817 50 46 1849 17 47 4651 46
Tabel Mortalitas Hitung peluang meninggal selama setahun Usia Peluang Meninggal Setahun 43 0.00750 44 0.00803 45 0.00860 46 0.00919 47 0.00989
Tabel Mortalitas Pilih radix (sembarang), misalkan dipilih l 43 = 100000, maka x l x d x q x 43 100000 750 0.00750 44 99250 797 0.00803 45 98453 847 0.00860 46 97606 897 0.00919 47 96709 956 0.00989 48 95753 Perhitungan: d 43 = l 43 q 43 = (100000)(0.00750) = 750 l 44 = l 43 d 43 = 100000 750 = 99250 d 44 = l 44 q 44 = (99250)(0.00803) = 796.98 797 l 45 = l 44 d 44 = 99250 797 = 98453 dst.
Peluang Hidup Seseorang Misalkan terdapat seseorang yang berusia x, maka t p x menyatakan peluang seseorang yang berusia x tersebut akan hidup selama t tahun lagi. tp x = l x+t l x
Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun?
Contoh: Berdasarkan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang orang yang berumur 43 tahun akan hidup sampai umur 44 tahun? Penyelesaian: p 43 = l 44 l 43 = 99250 100000 = 0.9925 atau p 43 = 1 q 43 = 1 0.0075 = 0.9925
Peluang Meninggal Seseorang Sedangkan t q x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan meninggal dalam t tahun, atau dengan kata lain peluang seseorang berusia x akan meninggal antara waktu x dan x + t. tq x = 1 t p x = 1 l x+t l x = l x l x+t l x = t d x l x
s tq x menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup s tahun dan meninggal dalam t tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x + s dan x + s + t tahun. Maka s tq x = l x+s l x+s+t l x = t d x+s l x
Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun?
Contoh: Dengan menggunakan tabel mortalitas pada contoh sebelumnya, berapa peluang seseorang yang berusia 43 tahun akan meninggal antara usia 45 dan 47 tahun? Penyelesaian: 2 2q 43 = l 45 l 47 l 43 98453 96709 = 100000 = 0.01744
Tabel Mortalitas 1 Selesaikan tabel berikut x q x l x d x 95 0.3 2500 96 0.4 97 0.5 98 0.6 99 0.8 100 1 101 0
2. Misalkan keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 6 dan 10 tahun. Hitunglah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 40 tahun!
3. Buktikan bahwa: a. s t q x = s p x. t q x+s b. s+t p x = s p x s t q x