PERHITUNGAN ARAS-ARAS TENAGA PARTIKEL TUNGGAL INTI BOLA DENGAN POTENSIAL SAXON-WOODS

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 PERHITUNGAN ARAS-ARAS TENAGA PARTIKEL TUNGGAL INTI BOLA DENGAN POTENSIAL SAXON-WOODS Raden Oktova dan Slamet Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Kampus III, Jl. Prof. Dr. Soepomo, SH, Yogyakarta 55 E-mail: oktova@uad.ac.id Program Magister Pendidikan Fisika, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Kampus II, Jl.Pramuka, Yogyakarta 55 ABSTRAK PERHITUNGAN ARAS-ARAS TENAGA PARTIKEL TUNGGAL INTI BOLA DENGAN POTENSIAL SAXON-WOODS. Telah dihitung aras-aras tenaga partikel-tunggal inti bola untuk intiinti bola menggunakan potensial Saxon-Woods ditambah koreksi kopling spin-orbit dan potensial Coloumb. Perhitungan dilakukan secara numerik dalam ruang koordinat dengan metode Numerov pada tiga inti bola dengan bilangan ajaib rangkap sebagai contoh. Nilai tenaga yang diperoleh menyimpang dari nilai eksperimental untuk aras-aras tenaga rendah, dan semakin mendekati nilai eksperimental untuk aras-aras tenaga tinggi. Struktur aras tenaga yang dihasilkan sesuai dengan data eksperimental. Kata kunci : tenaga partikel-tunggal, inti bola, Saxon-Woods, Numerov ABSTRACT CALCULATION OF SINGLE PARTICLE ENERGY LEVELS OF SPHERICAL NUCLEI USING THE SAXON-WOODS POTENTIAL. Single-particle energy levels of spherical nuclei have been calculated using the Saxon-Woods potential taking into account spin-orbit coupling and Coulomb interaction. The calculation was carried out using Numerov s method in coordinate space on three doubly-magic spherical nuclei as testing ground. The calculated energy levels deviate from the experimental values at low levels and approach the experimental values at higher levels. The calculation reproduces successfully the experimental level structure. Keywords: single-particle energy, spherical nuclei, Saxon-Woods, Numerov. PENDAHULUAN Analog dengan model kulit (shell model) untuk atom, model kulit untuk inti menganggap setiap nukleon dalam inti berada dalam suatu potensial rata-rata partikel-tunggal dan bergerak dalam orbital partikel-tunggal dengan aras-aras tenaga tertentu secara saling bebas, kecuali untuk nukleon-nukleon yang berpasangan dengan spin berlawanan []. Bagian sentral potensial rata-rata ini dapat dihampiri dengan bentuk fungsi Fermi yang dikenal sebagai potensial Saxon-Woods []. Untuk dapat menjelaskan sifat-sifat inti dengan cukup teliti, potensial Saxon-Woods perlu dikoreksi dengan memperhitungkan kopling spin-orbit (L-S) dan, untuk interaksi protonproton, juga potensial Coulomb. Potensial Saxon-Woods merupakan potensial partikeltunggal yang pertama kali berhasil menjelaskan keteraturan sifat inti-inti bola pada keadaan dasar, antara lain adanya bilangan-bilangan ajaib inti [3], dan sejak itu telah digeneralisasi untuk kasus inti terdeformasi, antara lain oleh

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 Junker dan Hadermann [] dan dipakai misalnya untuk perhitungan Random Phase Approximation (RPA) guna menjelaskan gejala resonansi magnetik inti nonbola [5]. Saat ini telah dikembangkan beberapa jenis potensialtunggal yang diperoleh secara swakonsisten, misalnya dengan menggunakan gaya efektif dua-benda Skyrme, namun dalam beberapa perhitungan swakonsisten seperti itupun potensial Saxon-Woods tetap digunakan sebagai potensial awal, misalnya []. Oleh karena itu potensial Saxon-Woods dalam bentuk paling sederhana untuk inti bola tetap menarik untuk dikaji, setidaknya dari aspek didaktik untuk pembelajaran Fisika Inti tingkat lanjut. Motivasi ini diperkuat dengan munculnya data-data baru aras-aras tenaga partikel-tunggal inti bola [7,]. Dalam kajian ini dilakukan perhitungan aras-aras tenaga partikel-tunggal untuk inti bola dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk potensial partikel-tunggal Saxon-Woods dalam ruang koordinat dengan metode Numerov [9]. Tiga inti bola dengan bilangan ajaib rangkap, yaitu O, 0 Ca dan Ca digunakan sebagai contoh kasus untuk mengkaji bagaimana pengaruh kopling spinorbit terhadap struktur aras-aras partikeltunggal dan bagaimana ketelitian hasil perhitungan aras-aras tenaga partikel-tunggal dibandingkan nilai eksperimental.. TEORI Potensial partikel-tunggal Saxon-Woods secara lengkap dapat disajikan dalam tiga suku, yakni potensial fungsi Fermi (V SW ) dengan koreksi kopling spin-orbit (V s ) dan potensial Coulomb (V c ), dengan V=V SW + V s + V C,...() V SW V0 =,...() r R a + e yang dapat digambarkan sebagai bentuk antara potensial kotak berkedalaman berhingga dan potensial parabola osilator harmonik. Potensial Coulomb diberikan dalam persamaan V C = V C (r) V T ( A Z ),...(3) r R a A( + e ) dengan Zke,5 0,5 Rc V = C ( r) Zke, r r R c, r < R... () r R dan k konstanta gaya Coulomb. Berdasarkan parametrisasi Shlomo dan Bertsch [0] yang digunakan dalam kajian ini, nilai-nilai parameter dalam persamaan. (-) adalah A Z V 53 + VT MeV, (5) 0 A R =,5(A-) /3 fm, a = 0,5 fm, V T = 0 MeV. Adapun potensial yang diakibatkan oleh kopling spin-orbit dirumuskan sebagai e a. R( + e ( r R) / a V(l)=f l.v so,... () ( r R) / a dengan f l = l bila l < j dan f l = ( l + ) bila l j, dengan l bilangan kuantum momentum sudut orbital dan j bilangan kuantum momentum sudut total, j = l ±/. Dalam koordinat bola, persamaan Schrödinger untuk potensial Saxon-Woods () dapat ditulis h + V ( r, θ, φ) = EΨ( r, θ, ϕ) m Ψ.... (7) Dengan metode pemisahan variabel, dimisalkan Ψ( r, θ, φ) = R( r) Θ( θ ) Φ( φ).... () Dengan substitusi U = Rr, maka persamaan bagian r menjadi [] h d U l( l + ) h + V U = EU m dr + mr... (9) atau d U = F( r, U ),...(0) dr ) c c 5

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 dengan F( r, U ) = m l l V E U mr ( + ) ( ) + h,.() h artinya diferensial kedua U terhadap r hanya bergantung pada variabel bebas r dan U yang dicari dan tidak mengandung du/dr, yang merupakan syarat agar persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan metode Numerov. 3. METODE PENYELESAIAN NUMERIK Penyelesaian secara numerik persamaan (0) dengan metode Numerov dapat dilakukan dengan hampiran [] mδ r l( l + ) h U + +. + I V E UI UI h mr... () dengan Δ r adalah lebar langkah antara dua titik kisi berurutan. Jika dianggap r sangat kecil dibandingkan seluruh jangkauan r, maka berlaku hampiran [9] lebih besar dari n, maka ditetapkan batas baru, dan kembali ke langkah E = maks E. Jika cacah simpul eigenfungsi U lebih kecil dari atau sama dengan n, maka ditetapkan batas baru E min = E, dan kembali ke langkah. Loop langkah dan 3 dilakukan hingga 5 kali.. Mengulangi langkah dan seterusnya sampai semua aras masukan terbaca dan diproses. Dalam kajian ini, digunakan program perhitungan dalam bahasa Fortran 77 berdasarkan subrutin STATIC, yaitu bagian dari program RPA3 yang dikembangkan oleh Shlomo [0] dan dimodifikasi oleh Bertsch []. Masukan program adalah nomor atom dan nomor massa inti, serta orbital-orbital partikeltunggal osilator harmonik isotrop berdasarkan urutan seperti pada Tabel. Diagram alir program perhitungan yang digunakan ditunjukkan dalam Lampiran. Tabel. Aras-aras partikel-tunggal osilator harmonik isotrop [] l+ U ( r) = r,... (3) dengan demikian dengan lebar langkah Δr = 0,, nilai U pada dua titik pertama dapat dihampiri dengan U... () l+ l+ 0,, U 0, N E N / h ω 0 3 5 3/ 5/ 7/ 9/ / 3/ 5/ nl 00 0 0,0,03 0,,0, 3, 05 30,,,0 orbital Notasi s p s,d p, f 3s, d, g 3p,f, h s, 3d, g, i Selanjutnya aras-aras tenaga partikel-tunggal, E dapat dihitung dengan langkah-langkah sebagai berikut.. Dibaca nilai bilangan kuantum l untuk aras partikel-tunggal tertentu. Urutan aras-aras kulit nukleon dapat dihitung berdasarkan urutan pada osilator isotrop seperti ditunjukkan pada Tabel, dengan N = n + l bilangan kuantum utama osilator (0,,,3,...), dan n bilangan kuantum radial osilator adalah cacah simpul eigenfungsi U dan dibaca dari data masukan.. Dengan nilai tebakan awal E = (Emin + Emaks) /, dihitung nilai eigenfungsi U pada semua titik kisi dengan menggunakan pers. (). 3. Diperiksa apakah cacah simpul eigenfungsi U sesuai dengan n yang diperoleh dari pembacaan data masukan pada langkah pertama. Jika cacah simpul eigenfungsi U. HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil perhitungan aras-aras tenaga partikel-tunggal untuk tiga inti bola dengan bilangan ajaib rangkap, yaitu O, 0 Ca dan Ca disajikan pada Tabel. Untuk mudahnya hanya disajikan nilai mutlak tenaga (yang sebenarnya bernilai negatif). Skema aras-aras tenaga disajikan dalam Gambar sampai dengan Gambar 3. Sebagai perbandingan digunakan hasil perhitungan teoretis baru-baru ini dengan metode Hartree-Fock relativistik dengan medan skalar berupa interaksi-diri berjangkauan nol [3], serta data eksperimental dari acuan [7,]. Untuk melihat sejauh mana pengaruh kopling spin-orbit, disajikan hasil perhitungan tanpa dan dengan memperhitungkan kopling spin-orbit.

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 Tabel. Hasil perhitungan aras-aras tenaga partikel-tunggal inti bola Inti O 0 Ca Ca E ( MeV) Neutron Proton Keadaan Saxon-Woods Saxon-Woods Acuan [3] Eksp. Acuan [3] Eksp. Tanpa L-S Dengan L-S Tanpa L-S Dengan L-S s / 3,9 30,73 30,73 7 39,5,5,5 0± p 3/ 3,3,05 7,, 9, 3,97 5,.55, p /,95,05,9 5,7,9 3,97 0,3, s / 57, 39, 39,3 -,7 3,3 3,3 50± p 3/,53 9, 30,07-33,39,03,5 3± p / 37,7 9,9 7,73-9,3,03 0, 3± d 5/,9 7,0 9,5,9 7, 0,0,7,3- s /, 5, 5,3,,,7,7 0,9 d 3/ 7,7 7,0,75 5, 0,0 0,0 7,9,3 s / 59,0 3, 3, - 5, 3,95 3,95 55±9 p 3/ 3,0,9 9,37-39,33 7,5, 35±7 p /,,9 7,37-3, 7,5, 35±7 d 5/,0,0 9,79 3,0,,3 0,5 s /,,0,0, 5,30,,5 5, d 3/,7,0 5,59, 0,5,,9 5,5 f 7/ 9,9,9 9,7 9,9 - - - - p / p / p 3/ p 3/ s / s / Gambar. Skema aras-aras tenaga partikel tunggal inti O, sebelah kiri untuk neutron dan sebelah kanan untuk proton (a) acuan [3], (b) Saxon-Woods tanpa spin-orbit, (c) Saxon-Woods dengan spin-orbit dan (d) data eksperimental. d 3/ d 3/ s / s / d 5/ d 5/ p / p 3/ p / p 3/ s / s / Gambar. Skema aras-aras tenaga partikel tunggal inti 0 Ca, sebelah kiri untuk neutron dan sebelah kanan untuk proton (a) acuan [3], (b) Saxon-Woods tanpa spin-orbit, (c) Saxon-Woods dengan spin-orbit dan (d) data eksperimental. 7

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 f 7/ d 3/ s / d 3/ s / d 5/ d 5/ p / p / p 3/ 0 p 3/ s / s / Gambar 3. Skema aras-aras tenaga partikel tunggal inti Ca, sebelah kiri untuk neutron dan sebelah kanan untuk proton (a) acuan [3], (b) Saxon-Woods tanpa spin-orbit, (c) Saxon-Woods dengan spin-orbit dan (d) data eksperimental. Untuk inti O, ditunjukkan tiga aras tenaga terendah. Untuk aras tenaga terendah (s / ) terlihat bahwa aras tenaga hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods jauh lebih tinggi dari nilai eksperimental, baik untuk proton maupun untuk neutron, dengan selisih sekitar MeV untuk neutron dan MeV untuk proton. Perbedaan antara proton dan neutron diakibatkan oleh pengaruh potensial Coulomb, sebesar MeV. Sebaliknya hasil perhitungan acuan [3] jauh lebih teliti, dengan selisih hanya sekitar 3 MeV untuk neutron dan praktis nol (dalam batas-batas ralat) untuk proton terhadap nilai eksperimental. Untuk aras-aras di atasnya (p 3/ dan p / ) terdapat kesesuaian yang lebih baik antara hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods dengan kopling spin-orbit dan nilai eksperimental, yaitu berselisih sekitar 3- MeV untuk neutron dan -3 MeV untuk proton, dan pengaruh kopling spin-orbit adalah sebesar -3 MeV baik untuk neutron maupun proton. Untuk inti 0 Ca, ditunjukkan enam aras tenaga terendah. Secara umum, hasil perhitungan tenaga partikel-tunggal dengan potensial Saxon-Woods lebih tinggi dibandingkan acuan [3], dengan selisih hingga sekitar 3 MeV untuk aras terendah dan semakin kecil pada aras-aras lebih tinggi. Untuk tiga aras tertinggi neutron, terlihat bahwa aras tenaga hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods (dengan kopling spinorbit) sedikit lebih tinggi dari nilai eksperimental, dengan selisih sekitar - MeV. Untuk proton selisih tenaga tersebut mencapai sekitar - MeV untuk tiga aras terendah dan jauh lebih kecil untuk tiga aras berikutnya. Hasil perhitungan acuan [3] cukup sesuai dengan eksperimen, kecuali untuk aras d 5/ neutron yang menunjukkan selisih cukup besar sekitar 3 MeV. Perbedaan antara proton dan neutron akibat oleh pengaruh potensial Coulomb adalah sekitar 7 MeV, lebih besar dibandingkan pengaruh gaya Coulomb pada inti O. Untuk inti Ca, ditunjukkan tujuh aras tenaga terendah. Perbandingan antara hasil perhitungan tenaga partikel-tunggal dengan potensial Saxon-Woods dan acuan [3] mempunyai kecenderungan serupa dengan pada inti 0 Ca. Untuk neutron, kecuali untuk aras terakhir yang cukup sesuai dengan nilai eksperimental, aras-aras tenaga hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods (dengan kopling spin-orbit) lebih tinggi dari nilai eksperimental, dengan selisih sekitar MeV. Menarik untuk dilihat bahwa untuk proton selisih tenaga tersebut secara umum relatif kecil jika untuk nilai eksperimental diambil batas nilai bawahnya, kecuali untuk aras tenaga terendah yang berselisih sekitar 9 MeV. Yang mengejutkan adalah bahwa hasil perhitungan acuan [3] untuk tiga aras neutron justru jauh berbeda dengan eksperimen, dengan selisih 9-0 MeV, artinya dalam hal ini hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 (dengan maupun tanpa kopling spin-orbit) lebih teliti dibandingkan hasil acuan [3]. Perbedaan antara proton dan neutron akibat pengaruh potensial Coulomb cukup kecil yaitu sekitar MeV. Untuk ketiga inti, dapat ditarik beberapa kesimpulan yang sama. Pertama, dari Gambar -3 terlihat bahwa urutan tenaga sesuai dengan urutan tenaga eksperimental, baik untuk hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods (dengan kopling spin-orbit) maupun acuan [3]. Kedua, perubahan tenaga akibat kopling spin-orbit adalah sebesar -3 MeV baik untuk neutron maupun proton, dan kopling spin-orbit tampaknya tidak mempunyai pengaruh yang drastis dalam menentukan bilangan ajaib inti (, dan 0), namun barangkali pengaruh ini akan terasa untuk inti yang lebih berat. 5. KESIMPULAN DAN SARAN Secara umum, aras aras tenaga partikel tunggal inti bola hasil perhitungan dengan potensial Saxon-Woods dengan penambahan koreksi kopling spin-orbit dan potensial Coloumb memberikan hasil yang menyimpang dari nilai eksperimental pada aras-aras tenaga rendah dan semakin mendekati nilai eksperimental pada aras-aras tenaga tinggi. Namun demikian sejauh menyangkut penentuan bilangan-bilangan ajaib inti, penggunaan potensial ini sudah cukup memadai. Untuk kajian selanjutnya, sedang dilakukan perhitungan untuk mengetahui pengaruh kopling spin-orbit terhadap eigenfungsi dan distribusi kerapatan nukleon.. DAFTAR PUSTAKA. RING, P., SCHUCK, P., The Nuclear Many-Body Problem, Springer, Berlin (000) 3-50.. WOODS, R.D., SAXON, D.S., Phys. Rev. 95 (95) 577. 3. MAYER, M.G., Phys. Rev. 75 (99) 99.. JUNKER, K., HADERMANN, J.,, Z. Phys. A (977) 39. 5. ZAWISCHA, D., SPETH, J., Orbital and spin-flip magnetic dipole resonances in heavy nonspherical nuclei, Nucl. Phys. A59 (99) 33c-35c.. GHIELMETTI, F., COLÒ, G., VIGEZZI, E., BORTIGNON, P.F., BROGLIA, R.A., The Spectral Line Shape of Exotic Nuclei, Phys. Rev. C5 (99) 3-5. 7. LÓPEZ-QUELLE, M., VAN GIAI, N., MARCOS, S., SAVUSHKIN, L., Phys. Rev. C (000) 03.. BERNARDOS, P., FOMENKO, V. N., VAN GIAI, N., LÓPEZ-QUELLE, M., MARCOS, S., NIEMBRO, R., SAVUSHKIN, L. N., Phys. Rev. C (993) 5. 9. THIJSSEN, J.M, Computational Physics, Cambridge University Press (999). 0. SHLOMO, S., BERTSCH, G., Nucl. Phys. A3 (975) 507.. OKTOVA, R., Perhitungan Momen Kelembaman Inti Genap-Genap dengan Model Superfluida, Tesis S, Program Pascasarjana UGM Yogyakarta (99).. BERTSCH, G., The Random Phase Aproximation for collective excitations, dalam LANGANKE K., MARUHN J.A., KOONIN S.E. (editors) Computational Nuclear Physics : Nuclear Structure, Springer-Verlag, New York (99). 3. MARCOS, S., SAVUSHKIN, L.N., FOMENKO, V. N., LÓPEZ-QUELLE, M., NEIMBRO, R., Description of nuclear systems within the relativistic Hartree-Fock method with zero-range self-interactions of the scalar field, J.Phys.G: Nucl. Part. Phys. 30 (00) 703 7. 9

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 LAMPIRAN Diagram alir program perhitungan aras-aras tenaga partikel-tunggal inti bola 30

PTNBR BATAN Bandung, 7 Juli 007 7. DISKUSI Fatchatul. B PTNBR-BATAN :. Apa makna dan pengaruh dalam kehidupan sehari-hari dari potensial Saxon-Woods (makna fisik dari potensial Saxon Woods).. Apa beda dari aras-aras tenaga yang saudara hitung dengan energi kinetik/energi potensial yang umum dikenal? Apakah termasuk dalam energi potensial juga? 3. Mengapa yang dipilih adalah ke-3 zat tersebut? Slamet :. Kajian ini adalah teoritis, makna yang utama adalah untuk pengkajian fisika inti lebih lanjut. Bagaimanapun juga, kemajuan fisika saat ini tidak terlepas dari teori-teori yang ada sebelumnya.. Energi potensial bermacam-macam, salah satunya adalah energi potensial inti sebagaimana dengan energi potensial yang lain. 3. Ke-3 inti tersebut stabil dibandingkan dengan inti-inti disekitarnya. Ilham.P PTNBR-BATAN : Dikemukakan bahwa terdapat perbedaan antara perhitungan dengan eksperimen sebesar 9 MeV. Untuk partikel, tenaga sebesar itu??? sangat besar. Mohon dapat diberikan berupa % besar perbedaan tadi, sehingga dapat diketahui dengan mudah apakah perhitungan telah dilakukan dengan benar dan tepat. Slamet : Potensial Saxon-Woods mendekati hasil eksperimental untuk aras-aras yang tinggi, tetapi struktur arasaras serupa (tidak ada perbedaan). Perbedaan : MeV.00% 5 3