METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Fitr Anugrh 1, Zulkrnin 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Bin Widy Peknbru 28293, Indonesi mth.fitr@gmil.com ABSTRACT This rticle discusses the repeted modified trpezoid method tht is the method in pproximting some Volterr integrl equtions of the second kind. This rticle presents the work of Ndjfi nd Heidri [Appl. Mth. Comput., 189 (2007), 980-985. The numericl simultion shows tht the repeted modified trpezoid method is better thn the trpezoid method. Keywords: Volterr integrl equtions, repeted modified trpezoid method, trpezoid method ABSTRAK Artikel ini membhs tentng metode trpesium terkoreksi komposit yng merupkn metode untuk mengproksimsi integrl pd persmn integrl Volterr liner jenis kedu. Artikel ini menyjikn kry dri Ndjfi dn Heidri [Appl. Mth. Comput., 189 (2007), 980-985. Hsil simulsi numerik menunjukkn bhw metode trpesium terkoreksi komposit ini lebih bik dri metode trpesium. Kt kunci: Persmn integrl Volterr, metode trpesium komposit terkoreksi, metode trpesium 1. PENDAHULUAN Persmn integrl dlh sutu persmn dengn fungsi yng tidkdikethui terletk dlm tnd integrl. Jik bts integrl konstn, mk dinmkn persmn integrl Fredholm, sedngkn jik bts integrl berup vribel mk dinmkn persmn integrl Volterr. Pd persmn integrl Volterr, jik fungsi yng tidk dikethui hny berd di dlm tnd integrl dinmkn persmn integrl Volterr jenis pertm. Sementr itu jik fungsi yng tidk dikethui d di lur dn di dlm 1
tnd integrl mk dinmkn persmn integrl Volterr jenis kedu. Bentuk umum persmn integrl Volterr liner jenis kedu dlh [3, h. 24 u(x) = f(x)+ x k(x,t)u(t)dt, x b, (1) dimn f dlh fungsi yng dikethui dn kontinu pd [,b, k(x,t) dlh fungsi yng dikethui dn kontinu pd [, b dn u dlh fungsi yng kn ditentukn. Pd persmn integrl Volterr, k(x, t) dinmkn fungsi kernel. Fungsi u(x) tidk dpt diperoleh lngsung dengn mengintegrlkn rus knn persmn (1) kren d u(t) yng jug tidk dikethui berd di dlm integrl. Mslh utm dri persmn integrl ini dlh menentukn u(t) yng terdefinisi pd [, b dn memenuhi persmn (1). Metode yng digunkn dlh menghmpiri integrl pd rus knn persmn (1) dengn metode Trpesium terkoreksi komposit yng diperkenlkn oleh Ndjfi dn Heidri [4. 2. INTERPOLASI POLINOMIAL DAN METODE TRAPESIUM Pd bgin ini dibhs mengeni interpolsi polinomil sert metode trpesium dn erorny. 2.1 Interpolsi Polinomil Teorem 1 (Polinomil Lgrnge) [2, h. 110 Jik x 0,x 1,,x n R dlh (n + 1) bilngn berbed dn f merupkn sutu fungsi yng niliny diberikn pd bilngn tersebut, mk terdpt polinomil tunggl P(x) derjt n yng memenuhi f(x k ) = P(x k ), untuk setip k = 0,1,,n, sehingg interpolsi polinomil Lgrnge diberikn oleh n P(x) = f(x 0 )L n,0 (x)+ +f(x n )L n,n (x) = f(x k )L n,k (x), (2) dimn untuk setip k = 0,1,,n, L n,k (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 0 )(x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ). Teorem 2 ( Polinomil Hermite ) [1, h. 144-145 Jik f C 1 [,b dn x 0,,x n C[,b dlh berbed. Polinomil tunggl dri derjt terkecil yng memenuhif dnf pdx 0,,x n dlhpolinomilberderjtplingtinggi2n+1 diberikn oleh n n H 2n+1 (x) = f(x j )H n,j (x)+ f (x j )Ĥn,j(x), j=0 j=0 k=0 2
dimn, untuk L n,j (x) merupkn koefisien polinomil Lgrnge ke j berderjt n dengn H n,j (x) = [1 2(x x j )L n,j(x j )L 2 n,j(x) dn Ĥ n,j (x) = (x x j )L 2 n,j(x). Selin itu jik f C 2n+2 [,b, mk f(x) = H 2n+1 (x)+ (x x 0) 2 (x x n ) 2 f (2n+2) (ξ(x)), (2n+1)! untuk beberp ξ(x) yng tidk dikethui pd intervl (, b). 2.2 Metode Trpesium dn Erorny Metode trpesium dlh pendektn integrl tentu secr numerik yngmenggunkn interpolsi liner P 1 (x) untuk mengproksimsi f(x) [2, h. 194. Mislkn f(x) kontinu pd [,b, definisikn titik = x 0, b = x 2, dn c = x 1 = + h dengn h = (b ) 2, mk dengn menggunkn persmn (2) diperoleh sehingg P 1 (x) = (x b) ( b) b f(x)dx b f()+ (x ) (b ) f(b), P 1 (x)dx T 1 (f) = (b ) [f()+f(b). (3) 2 Persmn (3) merupkn hmpirn integrl menggunkn metode Trpesium. Selnjutny mislkn [,b diprtisi sebnyk n subintervl dengn n dlh bilngn genp dn h = b dlh pnjng dri setip subintervl. Titik-titik n prtisi yng dihsilkn dlh tu = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x j = +jh, j = 0,1,,n. Jumlh Riemnn yng merupkn pendektn untuk integrl x n x 0 f(x)dx, diberikn oleh x1 x 0 f(x)dx+ x2 x 1 f(x)dx+ + xn x n 1 f(x)dx. (4) Dengn menerpkn metode Trpesium untuk setip subintervl pd persmn (4), diperoleh T n (f) = h 2 f(x n 1 0)+h f(x n 1 )+ h 2 f(x n). (5) Persmn (5) merupkn hmpirn integrl menggunkn metode Trpesium Komposit. 3
Teorem 3 (Eror Metode Trpesium) [2, h. 206 Mislkn f C 2 [,b, h = (b ) n, dn x j = + jh, untuk setip j = 0,1,,n. Terdpt ξ [,b sedemikin hingg metode Trpesium komposit untuk n subintervl dpt ditulis dengn bentuk erorny, yitu b f(x)dx = h [ n 1 f()+2 f(x j )+f(b) b 2 12 h2 f (ξ), sehingg eror metode Trpesium Komposit ET n (f) = b 12 h2 f (ξ). 3. METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Pd bgin ini dibhs metode yng diperkenlkn oleh Ndjfi dn Heidri [4. Pembhsn dimuli dengn menurunkn modifiksi bru dri metode Trpesium kemudin menyelesikn persmn integrl Volterr liner jenis kedu dengn metode Trpesium dn metode Trpesium terkoreksi, selnjutny melkukn simulsi numerik. 3.1 Metode Trpesium Terkoreksi dn Erorny Metode Trpesium Terkoreksi dlh sutu bentuk modifiksi dri metode Trpesium, dimn metode Trpesium Terkoreksi ini diperoleh dengn menggunkn interpolsi polinomil Hermite orde tig H 3 (x) untuk mendekti fungsi f. Mislkn f(x) kontinu pd [,b, definisikn titik = x 0 = x 1 dn b = x 2 = x 3 dengn jrk yitu h = (b ), mk sehingg f(x) = H 3 (x) = f[x 0 +f[x 0,x 1 (x x 0 )+f[x 0,x 1,x 2 (x x 0 ) 2 b f(x)dx = b CT(f) = (b ) 2 +f[x 0,x 1,x 2,x 3 (x x 0 ) 2 (x x 1 ), H 3 (x)dx Persmn (6) dlh metode Trpesium Terkoreksi. [f()+f(b) (b )2 [f (b) f (). (6) 12 4
Selnjutny pbil [, b diprtisi sebnyk n subintervl dengn n bilngn genp, mislkn h = b dlh pnjng dri setip subintervl dengn titik-titik n prtisi yng didefinisikn oleh = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b, x j = +jh, j = 0,1,,n, mk jumlh Riemnn yng merupkn pendektn untuk integrl x n x 0 f(x)dx, diberikn oleh xn x1 x2 xn f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx+ + f(x)dx. (7) x 0 x 0 x 1 x n 1 Bil diterpkn metode Trpesium terkoreksi untuk setip subintervl pd persmn (7), diperoleh CT n (f) = h 2 f(x n 1 0)+h f(x i )+ h 2 f(x n) h2 12 [f (b) f (). (8) Persmn (8) dlh metode Trpesium Terkoreksi Komposit. i=1 3.2 Penyelesin Persmn Integrl Volterr Liner Jenis Kedu Tinju kembli persmn (1). Untuk menyelesikn integrl pd persmn (1) dengn metode Trpesium terkoreksi komposit, intervl [, b dibgi ts n subintervl x i = +ih dengn h = b. Untuk x = x n i, i = 0,1,,n, penyelesin persmn (1) diperoleh u(x i ) = f(x i )+ + x1 x 0 k(x i,t 0 )u(t 0 )dt+ xi x2 x 1 k(x i,t 1 )u(t 1 )dt+ x i 1 k(x i,t i )u(t i )dt. (9) Mislkn i = 1, mk intervl [,x 1 dlh subintervl dri [,b dengn h = b n. Dengn menggunkn metode Trpesium terkoreksi komposit pd persmn (9) nili u(x 1 ) dlh u(x 1 ) = f(x 1 )+ h 2 [k(x 1,t 0 )u(t 0 )+k(x 1,t 1 )u(t 1 ) [ h2 k(x1,t 1 ) u(t 1 )+k(x 1,t 1 )u (t 1 ) 12 t k(x 1,t 0 ) u(t 0 ) k(x 1,t 0 )u (t 0 ). t 5
Untuk i = 2, intervl [,x 2 dlh subintervl dri [,b dengn h = b n dn dengn menggunkn metode Trpesium terkoreksi komposit pd persmn (9) nili u(x 2 ) jug dpt diperoleh sebgi berikut u(x 2 ) = f(x 2 )+ h 2 [k(x 2,t 0 )u(t 0 )+k(x 2,t 1 )u(t 1 ) + h 2 [k(x 2,t 1 )u(t 1 )+k(x 2,t 2 )u(t 2 ) [ h2 k(x2,t 2 ) u(t 2 )+k(x 2,t 2 )u (t 2 ) 12 t k(x 2,t 0 ) u(t 0 ) k(x 2,t 0 )u (t 0 ). t Dengn cr yng sm nili u(x 3 ),u(x 4 ),,u(x n ) dpt diperoleh, sehingg persmn umum untuk mencri u(x i ) dpt ditulis sebgi berikut u(x i ) = f(x i )+ h 2 k(x i 1 i,t 0 )u(t 0 )+h k(x i,t j )u(t j )+ h 2 k(x i,t i )u(t i ) dengn [ + h2 J(x i,t 0 )u(t 0 )+k(x i,t 0 )u (t 0 ) J(x i,t i )u(t i ) k(x i,t i )u (t i ), 12 (10) J(x,t) = k(x,t). t Mislkn u(x i ) = u i, f(x i ) = f i dn k(x i,t j ) = k ij mk persmn (10) menjdi u 0 = f 0, (11) u i = f i + h 2 k i 1 i0u 0 +h k ij u j + u i [ + h2 J i0 u 0 +k i0 u 0 J ii u i k ii u i. (12) 12 Selnjutny, dengn menggunkn turn Leibnitz [5, h. 17, turunn pertm dri persmn (1) terhdp x dpt dinytkn sebgi berikut dengn u (x) = f (x)+ x H(x, t)u(t)dt + k(x, x)u(x), (13) H(x,t) = k(x,t). x 6
Untuk menyelesikn persmn(13), kn dibedkn menjdi du ksus. Ksus pertm untuk 2 k(x,t) tidk d. Metode Trpesium komposit digunkn x t untuk mengproksimsi integrl pd ksus ini. Ksus kedu untuk 2 k(x,t) d. x t Metode Trpesium terkoreksi komposit digunkn untuk mengproksimsi integrl pd ksus ini. Ksus 1. Turunn prsil 2 k(x,t) x t tidk d Dengn menggunkn metode Trpesium komposit untuk mengproksimsi integrl pd rus knn persmn (13), diperoleh u i = f i + h 2 H i 1 i0u 0 +h H ij u j + h 2 H iiu i +k ii u i, (14) untuk i = 0, dri persmn (14) diperoleh u 0 = f 0 +k 00 u 0. (15) Kemudin dengn mensubstitusikn persmn (15) ke persmn (11) dn persmn (14) ke persmn (12), diperoleh persmn sebgi berikut Mislkn u 0 =f 0, (16) [ u i = [f i + h2 h 12 (k i0f 0 k ii f i) + 2 k i0 + h2 12 (J i0 +k i0 k 00 h 2 k iih i0 ) u 0 i 1 [ +h (k ij h2 k ii h 12 H ij)u j + 2 k ii h2 12 (J ii +kii 2 + h 2 k iih ii ) u i, (17) i = 1,2,,n. α 1 = [f i + h2 12 (k i0f 0 k ii f i), β 1 = 2 k i0 + h2 12 (J i0 +k i0 k 00 h 2 k iih i0 ), i 1 δ 1 =h (k ij h2 k ii 12 H ij), γ 1 = 2 k ii h2 12 (J ii +k 2 ii + H ii ) mk persmn (17) dpt disederhnkn menjdi u i = α 1 +β 1 u 0 +δ 1 u j 1 γ 1, i = 1,2,,n. (18), 7
Persmn (16) dn (18) dlh penyelesin persmn (1) dengn metode Trpesium komposit. Nili u i dpt diperoleh lngsung dengn menggunkn nili u 0,u 1,,u i 1 yng sudh dikethui. Ksus 2. Turunn prsil 2 k(x,t) x t d Dengn menggunkn metode Trpesium terkoreksi komposit untuk mengproksimsi integrl pd rus knn persmn (13), diperoleh dengn u i = f i + h 2 H i 1 i0u 0 +h H ij u j + h 2 H iiu i +k ii u i + h2 12 [L i0u 0 +H i0 u 0 L ii u i H ii u 0, (19) L(x,t) = 2 k(x,t). x t Untuk i = 0, dri persmn (14) diperoleh u 0 = f 0 +k 00 u 0. (20) Kemudin dengn mensubstitusikn persmn (20) ke persmn (11) dn persmn (19) ke persmn (12), diperoleh persmn sebgi berikut u 0 =f 0, u i = [f i + h2 12 k i0f 0 (f 12+h 2 i + h2 H ii + 2 k i0 + h2 12 (J i0 +k i0 k 00 ) 12+h 2 H ii i 1 +h (k ij H 12+h 2 ij )u j H ii + i = 1,2,,n 2 k ii h2 12 J ii 12 H i0f 0) 12+h 2 H ii (k ii + h 2 H ii h2 12 L ii) 2 H i0 + h2 12 (L i0 +H i0 k 00 ) u 0 (21) u i. (22) 8
Mislkn α 2 = [f i + h2 12 k i0f 0 β 2 = 12+h 2 H ii (f i + h2 2 k i0 + h2 12 (J i0 +k i0 k 00 ) i 1 δ 2 =h (k ij H 12+h 2 ij ), H ii γ 2 = 2 k ii h2 12 J ii 12+h 2 H ii 12 H i0f 0), 12+h 2 H ii (k ii + h 2 H ii h2 12 L ii) mk persmn (22) dpt disederhnkn menjdi 2 H i0 + h2 12 (L i0 +H i0 k 00 ),, u i = α 2 +β 2 u 0 +δ 2 u j 1 γ 2, i = 1,2,,n. (23) Persmn (21) dn (23) dlh penyelesin persmn (1) dengn metode Trpesium terkoreksi komposit. Nili u i dpt diperoleh lngsung dengn menggunkn nili u 0,u 1,,u i 1 yng sudh dikethui. 3.3 Simulsi Numerik Pd bgin ini dilkukn simulsi numerik yng bertujun untuk membndingkn hsil komputsi dri metode Trpesium komposit dn metode Trpesium terkoreksi komposit. Simulsi numerik ini menggunkn pliksi MATLAB v8.1. Persmn integrl yng digunkn dlm simulsi numerik ini dlh dengn solusi eksk u(x) = x+ 1 5 x 0 xtu(t)dt, 0 x 2, u(x) = xe x3 15. Solusi dengn komputsi numerik disjikn pd Tbel 1, 2 dn 3. Pd tbel, jumlh prtisi dinotsikn dengn n, metode Trpesium komposit dengn T n, metode Trpesium terkoreksi komposit dengn CT n, eror proksimsi metode Trpesium komposit dengn ET n, dn eror proksimsi dengn metode Trpesium terkoreksi komposit dengn ECT n. 9
Tbel 1: Hsil Komputsi untuk n = 4. x Solusi Eksk T n CT n ET n ECT n 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5041840761 0.5063291139 0.5052255659 0.0021450378 0.0010414898 1.0 1.0689391057 1.0792804797 1.0732524187 0.0103413739 0.0043133130 1.5 1.8784840743 1.9153428231 1.8892052175 0.0368587488 0.0107211432 2.0 3.4092097306 3.5513648178 3.4320497256 0.1421550872 0.0228399949 Tbel 2: Hsil Komputsi untuk n = 20. x Solusi Eksk T n CT n ET n ECT n 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5041840761 0.5042696939 0.5042259933 0.0000856178 0.0000419172 1.0 1.0689391057 1.0693500009 1.0691142393 0.0004108952 0.0001751335 1.5 1.8784840743 1.8799305328 1.8789282489 0.0014464586 0.0004441747 2.0 3.4092097306 3.4146358950 3.4102114413 0.0054261644 0.0010017107 Tbel 3: Hsil Komputsi untuk n = 200. x Solusi Eksk T n CT n ET n ECT n 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5041840761 0.5041849322 0.5041844954 0.0000008561 0.0000004193 1.0 1.0689391057 1.0689432135 1.0689408582 0.0000041078 0.0000017524 1.5 1.8784840743 1.8784985274 1.8784885224 0.0000144531 0.0000044481 2.0 3.4092097306 3.4092638894 3.4092197840 0.0000541588 0.0000100533 Pd Tbel 1, 2 dn 3 dpt diliht bhw untuk beberp n yng berbed, perbndingn nili hmpirn yng dihsilkn oleh kedu metode pd setip titik x mendekti solusi eksk. Akn tetpi dpt diliht bhw metode Trpesium terkoreksi komposit lebih bik dibndingkn dengn metode Trpesium komposit. 4. KESIMPULAN Untuk menyelesikn persmn (1) tidk dpt diintegrlkn secr nlitik, mk dpt diselesikn dengn menggunkn slh stu metode numerik yng disebut metode Trpesium terkoreksi. Metode Trpesium terkoreksi ini dpt diperoleh dengn menggunkn interpolsi polinomil Hermite orde tig H 3 (x) untuk mendekti fungsi yng sebenrny. Dengn memodifiksi metode Trpesium diperoleh metode Trpesium terkoreksi yng memberikn nili hmpirn lebih bik dibndingkn dengn metode Trpesium dlm menyelesikn persmn (1). 10
Secr teoritis didukung dengn simulsi numerik, keungguln metode Trpesium terkoreksi dibndingkn dengn metode Trpesium dpt diliht dri nili erorny. Berdsrkn simulsi numerik, dpt disimpulkn secr umum bhw metode Trpesium terkoreksi komposit lebih bik dibndingkn dengn metode Trpesium dlm menyelesikn persmn (1). Ucpn Terim Ksih Ucpn terim ksih diberikn kepd Dr. Leli Deswit, M. Si. yng telh membimbing dn memberikn rhn dlm penulisn rtikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1 K. E. Atkinson, An Introduction to Numericl Anlysis, Second Ed., John Wiley nd Sons, New York, 1989. [2 R. L. Burden dn J. D. Fires, Numericl Anlysis, Ninth Ed., Brooks Cole, Boston, 2011. [3 A. J. Jerri, Introduction to Integrl Equtions with Applictions, Second Ed., John Wiley nd Sons, New York, 1999. [4 J. S. Ndjfi dn M. Heidri, Solving liner integrl equtions of the second kind with repeted modified trpezoid qudrture method, Appl. Mth. Comput., 189 (2007), 980-985. [5 A. M. Wzwz, Liner nd Nonliner Integrl Equtions: Methods nd Applictions, Higher Eduction Press, Beijing, 2011. 11