ANALISIS KESTABILAN DAN BIFURKASI MODEL EPIDEMIK PENYEBARAN VIRUS PADA JARINGAN KOMPUTER BERBASIS DEKSTOP APPLICATION Steven, Viska Noviantri dan Widodo Budiharto Matematika dan Teknik Informatika School of Computer Science Bina Nusantara University Kebon Jeruk Raya No.27, Indonesia Stevenang1993@gmail.com, ABSTRACT This thesis explains SIRA (Susceptible Infected Removed - Antidotal) complementary model used for analyzing the stability and condition at each time of a computer network infected by a computer virus. By translating SIRA complementer model into a differential equation and solving the equation using jacobian matrix, the stability of the equilibrium point for disesase-free and endemic condition will be obtained. Meanwhile, the condition of the computer network at each time will be obtained by using the 4th order runge-kutta method. The application built by the writer is able to show the number of computer which belongs to the susceptible, infected, removed, and antidotal group at each time, 2- dimensional graph, and 3-dimensional graph. 2-dimensional graph shows the change of the number of computer which belongs to the susceptible, infected, removed, and antidotal group, while the 3-dimensional graph shows the bifurcation of the computer network. The network administrator is able to do a simulation for his/her computer network by giving the appropriate input and change the controllable parameter to give the best decision for the computer network he/she manages. ABSTRAK Skripsi ini menjelaskan model komplementer SIRA (Susceptible Infected Removed Antidotal) yang digunakan untuk menganalisis kestabilan dan kondisi jaringan di setiap waktu pada jaringan komputer yang terinfeksi virus. Dengan menerjemahakan metode komplementer SIRA ke dalam persamaan differensial dan menemukan solusinya matriks jacobian akan didapat kestabilan dari titik equilibrium untuk kondisi jaringan bebas virus dan endemik. Sementara itu, kondisi jaringan di setiap waktu dapat diperoleh dengan menggunakan metode numerik runge-kutta orde 4 yang diimplementasikan ke dalam aplikasi untuk analisis. Aplikasi analisis yang dibuat dapat menampilkan jumlah komputer pada kelompok susceptible, infected, removed, dan antidotal di setiap waktu, grafik 2 dimensi, dan grafik 3 dimensi. 2 dimensi menampilkan perubahan jumlah komputer yang menjadi anggota kelompok susceptible, infected, removed, dan antidotal di setiap waktu, sedangkan grafik 3 dimensi menampilkan bifurkasi dari jaringan komputer tersebut. Seorang administrator jaringan dapat melakukan simulasi dengan memberikan input yang sesuai dengan jaringannya dan mengubah parameter yang dapat dikontrol untuk memberikan keputusan terbaik bagi jaringan komputer yang ia kelola.
Kata Kunci: SIRA (Susceptible Infected Removed Antidotal), Complemeter Model, Bifurcation, Differential Equation Stability, Routh-Hurwitz Criterion PENDAHULUAN Dalam perkembangan teknologi saat ini, terdapat berbagai ancaman teknologi tersebut, salah satunya adalah virus komputer. Virus komputer adalah salah satu malware program yang menggandakan dirinya ke dalam program atau data di komputer. Salah satu cara ntuk melawan serangan dari virus komputer adalah menggunakan anti-virus. Anti-virus adalah perangkat lunak / program komputer yang berguna untuk mendeteksi keberadaan virus dan juga menghapus virus komputer. Tetapi, sebuah anti-virus berkualitas baik yang efektif melawan berbagai ancaman virus komputer tentu memiliki harga yang tidak murah. Oleh karena itu, tentu perlu diperhitungkan penggunaan anti-virus dengan jumlah yang tidak berlebihan agar biaya perusahaan tidak membengkak. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menangulangi serangan virus komputer adalah dengan menganalisis kondisi jaringan agar dapat menggunakan anti-virus dengan jumlah yang tepat. Analisis penyebaran virus komputer dapat dilakukan dengan menggunakan model komplementer yang juga digunakan dalam bidang kesehatan yaitu SIR (Susceptible-Infected-Removed) yang dimodifikasi dengan menggunakan komputer yang dilengkapi anti-virus menajadi SIRA (Susceptible-Infected- Removed-Antidotal). METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan oleh penulis terbagi dalam 2 proses utama, yaitu: tahap analisis dan permodelan matematika dan juga Software Development Life Cycle. Dalam tahap analisis dan permodelan matematika dimulai dari studi literatur untuk mempelajari dan menentukan tujuan dari penelitian dilanjutkan dengan identifikasi masalah. Setelah maslaah telah ditentukan dibuatlah model matematis dari masalah tersebut dan dilanjutkan dengan analisis. Setelah analisis selesai dibuatlah permodelan numerik dari masalah tersebut dan model tersebut diuji. Jika hasil belum sesuai maka proses akan diulang ke permodelan matematis. Setelah model telah sesuai, proses dilanjutkan ke software development life cycle. Dimulai dari planning, dilanjutkan ke modelling, setelah itu dilanjutkan ke construction. Jika hasil belum sesuai proses kembali ke planning. Sedangkan jika hasil telah sesuai proses dilanjutkan ke deployment. Jika modul belum selesai, proses akan dimulai untuk planning modul yang baru. HASIL DAN BAHASAN SIRA Model Model kompartemen SIRA adalah model kompartemen yang dimodifikasi dari model komplementer SIR yang ditemukan oleh W.O. Kermack dan A.G. McKendrick (1927) yang diterapkan untuk jaringan komputer. Dalam model komplementer SIRA komputer dikelompokkan menjadi 4 jenis kelompok, yaitu: Susceptible (S): Kelompok komputer yang tidak terkena virus tetapi memiliki peluang untuk terkena virus saat melakukan kontak dengan komputer yang terkena virus, Infected (I): Kelompok komputer yang telah terkena virus dan dapat menyebarkannya ke komputer lain saat melakukan kontak dengan komputer tersebut, Removed (R): Kelompok komputer yang dikeluarkan dari jaringan karena tidak dapat bekerja dengan baik, Antidotal (A): Kelompok komputer yang telah dilengkapi oleh anti-virus untuk menangkal penularan virus. Setiap komputer pada model komplemeter tersebut dapat berpindah dari satu kelompok ke kelompok lain dengan proporsi tertentu, pola perpindahan komputer dari satu kelompok ke kelompok lain dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 Model Komplementer SIRA Berdasakan Gambar 1 dapat terlihat hubungan antar kelompok yang dapat dirumuskan sebagai sistem persamaan differensial berikut: (1) Di mana total populasi (T) merupakan jumlah seluruh komputer pada jaringan. Parameter tetap untuk penambahan jumlah komputer ke dalam jaringan dilambangkan oleh N dan juga proporsi kerusakan sebuah komputer dilambangkan oleh. Peluang sebuah komputer susceptible (S) terkena virus jika melakukan kontak dengan komputer infected (I) ditandai dengan, banyaknya komputer infected (I) yang tidak dapat berkerja dengan baik sehingga dikeluarkan dari jaringan menjadi kelompok removed (R) dengan proporsi, peluang komputer removed (R) dapat diperbaiki sehingga dapat bekerja kembali dan menjadi anggota kelompok susceptible (S) dipengaruhi oleh proporsi, konversi komputer susceptible(s) menjadi komputer antidotal (A) di kontrol oleh (proporsi kontrol untuk mengkonversi komputer susceptible menjadi antidotal)., dan konversi komputer infected(i) menjadi komputer antidotal (A) di kontrol oleh (proporsi kontrol untuk mengkonversi komputer infected menjadi antidotal). Titik Ekuilibrium pada Model SIRA Pada bab ini akan dipaparkan tentang titik ekuilibium dari persamaan (1). Dengan menggunakan titik ekuilibrium pada sistem persamaan (1), dapat diketahui apakah sebuah jaringan komputer akan mengalami kondisi bebas virus atau endemik. Untuk menemukan titik ekuilibrium, akan dimisalkan N=0 dan juga =0, sehingga persamaan (1) akan menjadi: (2) Titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan berada pada saat seluruh turunan pertama dari sistem tersebut bernilai 0, oleh karena itu sistem persamaan (2) akan menjadi seperti dibawah ini: Titik Ekuilibrium Bebas Virus (3)
Titik ekuilibrium bebas virus terdapat pada kondisi dimana tidak ada virus pada jaringan, sehingga dapat disimpulkan bahwa I=0. Dengan Mensubstitusi I=0 ke dalam persamaan (3) lalu menyelesaikannya, akan didapat 2 solusi dari persamaan tersebut yaitu: (4) (5) Dan dapat dituliskan sebagai (6) (7) Kestabilan Titik Equilibrium Untuk mengetahui kestabilan dari titik ekuilibrium, perlu dibuat matriks jacobian untuk titik ekuilibrium. Matriks Jacobian untuk titik adalah: (8) Untuk mengetahui kestabilan titik ekuilibriumnya, perlu dicari nilai Eigen untuk untuk adalah sebagai berikut: Karena nilai, maka didapat:, nilai eigen (9) Karena ada nilai pada E 0 tidak stabil. (10) yang memiliki bagian real yang lebih besar dari nol maka dapat disimpulkan Kestabilan Titik Ekuilibrium Dengan cara yang sama untuk menghitung kestabilan titik ekuilibrum E 0, didapat: Karena seluruh nilai negatif, maka dapat disimpulkan E 1 stabil asimtotik. (11) Titik Ekuilibrium Endemik Kondisi endemik pada suatu infeksi virus adalah kondisi dimana infeksi tetap betahan pada jaringan tanpa perlu ada infeksi dari luar. Oleh karena itu, diperlukan kondisi dimana tetap ada komputer yang terinfeksi ( ). Karena ada komputer terinfeksi, kelompok removed juga akan tetap ada ( ) dan kondisi endemik akan tercapai pada saat tidak ada komputer pada kelompok antidotal ( ) sehingga tidak ada lagi yang melawan virus. Dengan mensubtitusi ( ) juga dengan batasan ( ) dan ( ), lalu menyelesaikan sistem persamaan (3). Didapat solusi, sebagai berikut: Perhatikan bahwa jika, maka titik equilibrium untuk kondisi endemik akan menjadi tidak ada dikarenakan tidak mungkin jumlah komputer pada kelompok infected (I) dan removed (R) bernilai negatif. Sehingga didapat syarat bahwa titik ekuilibrium endemik akan tercapai pada kondisi: (13) Kestabilan Titik Ekuilibrium Dengan cara yang sama untuk mencari kestabilan titik Ekuilibrium bebas virus, untuk titik ekuilibrium E 2 didapat solusi: (12) Sehingga didapat (14)
(15) Untuk dua nilai eigen lain perlu diklasifikasikan dengan persamaan berikut: (16) Dengan menyederhanakan persamaan (15) didapat: (17) Untuk mengklasfikasi nilai pada persamaan 16, akan digunakan test kriteria Routh Hurwitz sebagai berikut: Karena nilai memiliki bagian real yang bernilai negatif, maka dapat disimpulkan titik ekuilibrium endemik tidak stabil. Perancangan Aplikasi Analisis Jaringan Berbasis SIRA Untuk membuat aplikasi analisis jaringan berbasis SIRA yang dapat mengetahui jumlah komputer pada tiap kelompok di setiap wakti, perlu dicari solusi untuk persamaan (2). Untuk menyelesaikan persamaan (2) dalam komputer, akan digunakan metode runge-kuta Order 4. Metode runge-kutta order 4 adalah metode numerik yang digunakan untuk mencari solusi persamaan differensial. Untuk menyesuaikan persamaan (2) ke dalam metode runge-kutta orde4, akan dimisalkan persamaan (2) seperti beikua. Setelah itu, akan digunakan runge-kuttan orde 4 untuk sistem dan dirumuskan sebagai berikut: (18) (19) Untuk merancang aplikasi analisis jaringan tersebut, penulis menggunakan bahasa pemrograman
Python dan juga PyQt Sebagai Graphical User Interfacenya. Simulasi aplikasi Pada subbab ini, akan dipaparkan hasil simulasi menggunakan aplikasi yang dirancang. Simulasi akan menggunakan data yang diambil dari jurnal [1]. Untuk simulasi akan dibagi menjadi 2 bagian, yaitu: simulasi untuk mengetahui kondisi jaringan seperti apa yang memiliki titik ekuilibrium endemik dan kondisi jaringan seperti apa yang akan memiliki titik ekuilibrium bebas virus. Simulasi untuk mengetahui pengaruh nilai dan terhadap jaringan. Simulasi untuk mengetahui keberadaan titik ekuilibrium Pada simulasi pertama akan menggunakan data dengan nilai awal jaringan. Kondisi awal jaringan yang ingin dipantau adalah jaringan memiliki satu buah komputer dengan anti-virus(a = 1), 74 buah komputer susceptible (S = 74), 25 komputer terinfeksi (I = 25), dan tidak ada komputer dalam kelompok removed (R = 0). Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 2 Gambar 2. Simulasi 1 Dari hasil simulasi pertama dapat dilihat bahwa jaringan mencapati titik ekuilibrium bebas virus. Untuk Simulasi kedua akan digunakan data. Untuk kondisi jaringan pada simulasi ini adalah sebagai berikut: 95 komputer pada kelompoke susceptible (S = 95), 5 komputer terinfeksi (I = 5), tidak ada komputer pada kelompok removed dan tidak ada komputer yang dilengkapi anti-virus. Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 3. Gambar 3. Simulasi 2 Berdasarkan simulasi 1 dan simulasi 2, dan juga syarat (13). Diketahui bahwa yang
mempengaruhi keberadaan titik ekuilibrium pada jaringan komputer adalh nilai dari dan. Simulasi pengaruh nilai dan Untuk simulasi ini, nilai awal dari jaringan adalah sebagai berikut: 74 komputer susceptible, 25 komputer infected, tidak ada komputer removed, dan 1 komputer antidotal. Dengan parameter dan. Untuk nilai parameter dan akan menggunakan kombinasi nilai dibawah ini Tabel 1 Paremeter untuk Simulasi 6.5 7 0.015 0.025 0.015 0.20 Berdasarkan kombinasi diatas, didapat hasil seperti pada Gambar 2 hingga Gambar 9
Gambar 2 Gambar 6 Gambar 3 Gambar 8 Gambar 4 Gambar 5
Gambar 7 Gambar 9 Berdasarkan Simulasi, dapat dilihat perubahan dan hanya mempengaruhi seberapa cepat sebuah jaringan mencapai titik ekuilibrium dan mempengaruhi jumlah komputer pada tiap waktu untuk mencapai titik ekuilibrium. SIMPULAN DAN SARAN SIMPULAN Berdasarkan simulasi dan analisis pada bab 5, dapat disimpulkan bahwa sebuah jaringan akan mencapai titik ekuilibrium bebas virus jika memenuhi dan titik ekuilibrium bebas virus stabil asimtotik. Di sisi lain, jaringan akan mencapai titik ekuilibrium endemik jika memenuhi dan titik ekuilibrium endemik tidak stabil. Sementara itu, semakin tinggi nilai dari atau, akan menyebabkan jaringan mencapai titik ekuilibrium bebas virus lebih cepat dan juga menjaga jumlah komputer yang bekerja pada setiap waktu. SARAN Berdasarkan penelitian yang dilakukan dan juga kesimpulan yang didapat oleh penulis, saran yang diberikan bagi peneliti yang ingin melakukan penelitian tentang virus pada jaringan komputer menggunakan model komplemeter berbasis SIR adalah sebagai berikut: 1. Untuk penelitian berikutnya, diharapkan peneliti dapat menemukan faktor untuk membatasi sistem persamaan differensial sehingga nilai dari jumlah komputer pada salah satu kelompok S, I, R, atau A tidak dapat mencapai nilai negatif. 2. Untuk penelitian berikutnya, diharapkan dapat menerapkan teori optimal control pada setiap parameter dalam jaringan yang dapat dikontrol agar dapat menghasilkan kondisi jaringan yang paling optimal pada setiap waktu. 3. Untuk penelitian berikutnya, dapat mempertimbangkan untuk mencari model komplementer yang merupakan modifikasi berbeda dengan SIRA untuk membandingkan hasil simulasinya. 4. Untuk peneliti yang ingin mengembangkan aplikasi untuk analisis, dapat dipertimbangkan pengembangan aplikasi dimodifikasi sehingga input dari aplikasi adalah model komplementer atau sistem persamaan differensial sehingga mempermudah pengguna yang ingin menggunakan model komplementer berbeda dari SIRA.
REFERENCES [1] Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2001). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (7th ed.). Danvers: John Wiley & Sons. [2] Fan, T., Li, Y., & Feng, G. (2013). Study of Virus Propagation Model in Cloud Environment. International Journal of Security and Its Application, 7(4). [3] Hyman, J. M., & Li, J. (2009). Epidemic Models With Differential Susceptibility and Staged Progression and Their Dynamics. Mathematical, Bioscience and Engineering, 6(2), 321-332. [4] Li, C., Hu, W., & Huang, T. (2014). Stability and Bifurcation Analysis of a Modified Epidemic Model for Computer Viruses. [5] Mishra, B. K., & Ansari, G. M. (n.d.). Differential Epidemic Model of Virus and Worms in Computer Network. International Journal of Network Security, 14(3), 149-155. [6] Piqueira, J. R., & Araujo, V. O. (2009). A modified Epidemiological model for computer virus. Applied Mathematics and Computation, 213, 355-360. [7] Pressman, R. S. (2011). Software Engineering : A Practitioner's Approach. New York: McGraw-Hill. [8] Ren, J., Xu, Y., Zhang, Y., Dong, Y., & Haouosheng. (2012). Dynamics of a Delay-Varying Computer Virus Propagation Model. Discrete Dynamics in Nature and Society. [9] Shneiderman, B., & Plaisant, C. (2005). Designing The User Interface: Strategies for Effective Human- Computer Interaction. Boston: Addison-Wesley. [10] Soh, B. C., Dillon, T. S., & County, P. (1995). Qualitative Risk Assesment of Computer Virus Attack on Computer Networks. Computer Network and ISDN Syste, 27, 1447-1456. [11] Whitten, J. L., & Bentey, L. D. (n.d.). System Analysis and Design Method. New York: McGraw-Hill. [12] Zhang, C., Yang, X., & Zhu, Q. (2011). An Optimal Control Model For Computer Viruses. Journal of Information & Computational Science, 8(13), 2587-2596.
Steven lahr di kota Jakarta pada 25 Januari 1993. Steven menamatkan pendidikan S1 pada program ganda Matematika dan Teknik Informatika di Universitas Bina Nusantara pada tahun 2015.