MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung, kerucut, dn ol. Hn sj pemhsn kn leih lus lgi, itu meliputi semu end-end ng memiliki sumu putr. Perhtikn gmr erikut ini! Volume end-end terseut tidk dpt dihitung dengn cr rumus segimn tung, kerucut, tu ol. Volume end-end terseut dpt dihitung dengn mudh menggunkn integrl. Setip end putr memiliki entuk sisi lengkung ng simetris. Setip sisi lengkung terseut dpt dintkn tu didekti dengn sutu fungsi pd idng krtesius. Fungsi-fungsi terseut kn mementuk derh ng kn diputr pd sutu sumu putr, isn sumu- tu sumu-. B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X Sutu derh ng diputr terhdp sumu- kn mementuk end ng memiliki sumu putr di sumu-. Untuk menghitung volume end terseut perhtikn ilustrsi erikut:
= = f() = f() = π f( ) d Untuk menghitung volume end erongg perhtikn ilustrsi erikut: = f() = f() = g() = g() π f ( ) g ( ) d CONTOH SOAL. Perhtikn gmr erikut! Bil derh di smping diputr terhdp sumu seesr 6. Mk esr volume end putrn dlh... =
Jw: Bentuk end hsil putrnn = f() = π f() d π( ) d π9 d π( 9) π stun volume Kren end putrn erentuk tung, volumen dpt dihitung jug dengn menggunkn rumus volume tung. r = πr t V = π( ) π stun volume t =. Perhtikn gmr erikut! Bil derh di smping diputr terhdp sumu, mk esr volume end putr ng terjdi dlh... Jw: Bentuk end putrn = = f() = π d d π π f() 6 π stun volume
Kren end putrn erentuk kerucut, mk volumen jug dpt dihitung pul dengn rumus volume kerucut. t = r = πr t V = π( ) 6 π stun volume. Volume end putr dri sutu derh ng ditsi oleh = +, sumu, dn < <, il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... Jw: Gmr = f() = + - π f() ( ) d π + d π + ( ) V = π 8 7 π stun volume. Volume end putr dri sutu derh ng ditsi oleh =, sumu, dn = dlh...
Jw: Plot titik = X Y 9 Gmr = f() = π f() = ( ) d V π d π d π V = π stun volume. Perhtikn gmr erikut! Volume end putr derh di smping il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... 9 =
Jw: Gmr = f() = 9 A = g() = 9 Titik A dlh perpotongn = dn = 9, kn dicri sis titik A dengn sustitusi = = 9 = + Mk sis A dlh sehingg ( ) π g() f() ( ) π 8 d π 8 d V = π 97 π stun volume 6. Perhtikn gmr erikut! Bil derh di smping diputr terhdp sumu seesr 6, mk esr volume end putrn dlh... Jw: = = Bentuk end hsil putrnn = = f() = = g() = 6
Bts ts: = f() =, Bts wh: = g() = Bts kiri: =, Bts knn: sis titik potong = dn = =, itu: = = = = ( )= = = Mk π f() g() d π ( ) ( ) d π d V = π ( ) ( ) π stun volume 7. Volume end putr dri derh ng ditsi oleh kurv =, =, =, dn = diputr mengelilingi sumu sejuh 6 dlh... Jw: Plot titik = tu = Plot titik = tu = X Y X Y - - - - + 7
Gmr kurv Bts ts: = f() =, Bts wh: = g() =. Bts kiri: =, Bts knn: =. ( ) π f() g() d π ( ) π = + V π d d 6 = + + V π 8 stun ume π vol π 8. Volume end putr dri derh ng ditsi oleh kurv = sin, = cos, 6 il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... Jw: Plot titik = sin Plot titik = cos X Y X Y 8
Gmr kurv = cos = sin Bts kiri: =, Bts knn: = o. Bts ts: = f() = cos, Bts wh: = g() = sin π f() g() d π cos sin d π ( ) ( ) cos d = V π sin V = sin6 π vo π stun l ume C. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-Y Sutu derh ng diputr terhdp sumu- kn mementuk end ng memiliki sumu putr di sumu-. Untuk menghitung volume end terseut perhtikn ilustrsi erikut: = f() π f() d 9
Untuk menghitung volume end erongg perhtikn ilustrsi erikut: = f() = g() π f () g () d CONTOH SOAL. Perhtikn gmr erikut! Bil derh rsirn pd gmr di smping diputr terhdp sumu seesr 6, mk esr volume end putrn dlh... Jw: Bts knn: = = = f( ) =, Bts kiri: = Bts ts: =, Bts wh: = = Mk π f() π d d π π stun volume
. Perhtikn gmr erikut! + = 9 Derh di smping diputr 6 mengelilingi sumu. Volume end putr ng terjdi dlh... stun volume. Jw: Bts knn: + 9 = + 9 = 9 = f() = 9 9 Bts kiri: gris mellui (, ) dn titik potong elips dengn sumu. Mencri titik potong elips dengn sumu ( = ), itu: + =, = 9 = =± Mk gris mellui (, ) dn (, ), itu + = = g() = Bts wh: =, Bts ts: =. Mk ( ) π f() g( ) d π ( 9 9 ) ( ) d ( ) π + 8 d π + π stun volume. Volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi kurv =, gris+ =, dn sumu diputr stu putrn mengelilingi sumu dlh...
Jw: Gmr kurv + = = Bts knn: + = tu = f() =, Bts kiri: = tu = g() = Bts wh: sumu, =, Bts ts: ordint titik potong = dn + =, itu: = = = + = ( + ) ( ) = tu = Mk ( ) π f( ) g() d ( ) π ( ) ( ) d ( ) π + d π + π stun volume D. BENDA-BENDA PUTAR YANG PUTARANNYA TIDAK SESUAI JENIS FUNGSINYA Normln sutu derh ng ditsi oleh fungsi- kn diputr terhdp sumu-, egitupul sutu derh ng ditsi oleh fungsi- kn diputr terhdp sumu-. Sutu derh ng ditsi oleh fungsi- il diputr terhdp sumu, volume end putrn dpt dihitung dengn cr, itu:
. Menguh fungsi- ( = f()) menjdi fungsi- ( = f()). Kemudin dikerjkn dengn rumus putrn terhdp sumu. Akn tetpi, tidk semu fungsi- is diuh menjdi fungsi-, seperti fungsi ng tidk stu-stu. Mk untuk mencri volumen dpt menggunkn cr ng kedu.. Menggunkn metode selimut tung. Metode ini digunkn untuk menghitung volume end putr ng jenis fungsi dn sumu putrn ered. Rumusn segi erikut: π f() g() d ( ) CONTOH SOAL. Perhtikn gmr erikut! = ( ) = Volume end putr dri derh rsirn il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... Jw: Kren = ( ) ukn fungsi stu-stu mk kit kn gunkn metode selimut tung. Bts-ts Kiri: = Knn: titik potong = ( ) dn = = ( ) = + = = ( )= = dn =
Ats: = f() = Bwh: = g() = ( ) Mk ( ) π f() g() d π d π ( ( ) ) ( ) d π 9π stun volume LATIHAN SOAL. Perhtikn gmr erikut! = Volume end putr dri derh di smping il diputr terhdp sumu dlh... A. B. 8 7 π 9 7 π
C. D. E. 7 π 8 7 π 7 π. Perhtikn gmr erikut! = = Volume derh rsirn il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... A. B. C. D. E. 6 π 6 π 66 π 68 π 7 π
. Perhtikn gmr erikut! = + = Derh ng dirsir pd gmr diputr terhdp sumu, mk volume end putr ng terjdi dlh... A. B. C. D. E. 6 π 6 π 7 6 π 6 π 6 π. Volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv =, gris =, gris =, dn gris = diputr mengelilingi sumu sejuh 6 dlh... stun volume. (SPMB) A. π B. 6π C. 8π D. π E. π. Derh ng ditsi kurv = sin, < < π, dn sumu diputr mengelilingi sumu sejuh 6. Volume end putr ng terjdi dlh... stun volume. (SOAL UAN) 6
A. B. C. D. π π π π E. π 6. Perhtikn gmr erikut! = = Besr volume end putr derh di smping il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... stun volume. A. π B. π C. π D. π E. π 7
7. Volume end putr dri derh ng ditsi oleh =, = dn diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... stun volume. A. B. C. D. E. π π π π π 8. Volume end putr dri sutu derh ng ditsi oleh =, =, dn sumu, il diputr terhdp sumu seesr 6 dlh... A. B. C. π π π D. π E. π 9. Derh D terletk di kudrn pertm ng ditsi oleh prol =, prol =, dn gris =. Volume end putr ng terjdi jik D diputr terhdp sumu dlh... stun volume. (SOAL UMPTN) A. π B. π C. 6π D. 8π E. π 8
. Perhtikn gmr erikut! - Volume end putr dri derh di smping il diputr terhdp sumu sejuh 6 dlh... stun volume. A. B. C. D. E. 8 π 9 π π π π 9
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL. D 6. B. B 7. A. D 8. C. E 9. C. D. A