Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn dengn sebuh persmn: AX X (9.) Dimn dlh sutu sklr dn X dlh vektor yng tidk nol Sklr dinmkn nili Eigen dri mtriks A. Nili eigen dlh nili krkteristik dri sutu mtriks bujur sngkr. Vektor X dlm persmn (9.) dlh sutu vektor yng tidk nol yng memenuhi persmn (9.) untuk nili eigen yng sesui dn disebut dengn vektor eigen. Jdi vektor X mempunyi nili tertentu untuk nili eigen tertentu. Contoh 9. Mislkn Sebuh vektor Apbil mtriks A diklikn dengn X mk: Dimn: 4 AX 4 4 8 4 X Dengn konstnt 4 dn 4 4 4 4 X dn sebuh mtriks bujur sngkr orde A, 4 4 4 4 4 8 Memenuhi persmn (9.). Konstnt 4 diktkn nili eigen dri mtriks bujur sngkr 4 A 4 Eri Mrdini
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Contoh 9. Sebuh vektor X dn sebuh mtriks A. Apbil mtriks A diklikn X didpt: Dimn: 4 AX 6 X 4 6 4 dengn. Mk dlh nili eigen dri mtriks A. Contoh 9. Sebuh vektor Dimn: 4 X dn mteiks A bil mtriks A diklikn dengn X mk: 8 4 AX 8 dengn. 4 dlh nili eigen dri mtriks dn vektor 8 4 8 yng bersesuin dengn nili eigen. X dlh vektor eigen dri mtriks Eri Mrdini
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Eri Mrdini Contoh 9.4 Sebuh vektor X dn mtriks A. Mtriks A diklikn X didpt: AX X dengn dlh nili eigen mtriks A Contoh 9.5. Sebuh vektor X dn mtriks A Perklin mtriks A dn X dlh: AX 6
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) 4 6 AX 4 6 X, dengn. Mk dlh nili eigen dri A 9.. PERHITUNGAN NILAI EIGEN Kit tinju perklin mtriks A dn X dlm persmn (9.) pbil kedu sisi dlm persmn tersebut diklikn dengn mtriks identits didptkn: IAX I X AX IX I AX (9.) Persmn (9.) terpenuhi jik dn hny jik: det I A (9.) Dengn menyelesikn persmn (9.) dpt ditentukn nili eigen ( ) dri sebuh mtriks bujur sngkr A tersebut Contoh 9.6. Dptkn nili eigen dri mtriks A Jwb: Dri persmn det I A mk: det ( )( ) 4 4 Eri Mrdini 4
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) 4 Dengn menggunkn rumus bc didptkn:,, 4 ( 4) 4.. 4 6 4 4 4 Mk penyelesin dlh: dn. Nili eigen mtriks A dlh: dn Contoh 9.7 Dptkn nili eigen dri A Jwb: Nili eigen ditentukn dri persmn: det I A det ( ) 6 6 ( )( ) Eri Mrdini 5
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Penyelesin persmn tersebut dlh: dn Jdi nili eigen mtriks A dlh dn. Contoh 9.8 Crilh nili eigen dri A 4 Jwb: det I A det 4 ( )( 4)( ) ( ) ( 4)( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 6 5 ( )( )( 5) Penyelesin persmn dlh: dn 5 5 Eri Mrdini 6
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Jdi nili eigen yng bersesui untuk mtriks 4 dlh:, dn 5. Contoh 9.9 Dptkn Nili eigen dri mtriks Jwb: A Nili eigen A didptkn dri persmn: det I A det 6 8 7 ( ) ( 6)( ) 56 ( ) 5 6 56 ( ) 5 6 Mk nili dlh: 5 6 Dengn rumus bc didptkn: 6 8 7,, 5,5 5 4.6 7 Eri Mrdini 7
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com),5 7 Jdi nili eigen dri mtriks dn,5 7 A 6 7 dlh: 8 Contoh 9.. 7 Dptkn nili eigen dri A Jwb: Nili eigen didptkn dri persmn: det I A 7 det ( 7)( )( ) Mk nili dlh: 7 7 ( kli) 7 Jdi nili eigen dri mtriks A dlh dn 7 Eri Mrdini 8
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Contoh 9. 7 Dptkn nili eigen dri A Jwb: Dengn menggunkn persmn det I A mk: 7 det ( 7)( )( ) Nili dlh: 7 7 Jdi nili eigen dri mtriks A 7 dlh: 7 dn. 9. PERHITUNGAN VEKTOR EIGEN Kit tinju kembli persmn AX X dimn A dlh mtriks bujur sngkr dn X dlh vektor bukn nol yng memenuhi persmn tersebut. Dlm subbb 7. telh dibhs tentng perhitungn nili eigen dri mtriks A( ), pd subbb ini kit bhs vektor yng memenuhi persmn tersebut yng disebut vektor eigen(vektor krkteristik) yng sesui untuk nili eigenny. Kit tinju sebuh mtriks bujur sngkr orde berikut: Eri Mrdini 9
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) A Persmn AX X dpt dituliskn: (9.4) Persmn (9.4) diklikn dengn identits didptkn: (9.5) Persmn (9.5) dlm bentuk sistem persmn linier dituliskn: ( ) ( ) Persmn (9.6) dlh sistem persmn linier homogen, vektor dlm rung R n yng tidk nol didptkn jik dn hny jik persmn tersebut mempunyi solusi non trivil untuk nili eigen yng sesui. (9.6) Contoh. 9. Dptkn vektor eigen dri mtriks A Jwb: Nili eigen ditentukn dri persmn: det I A det ( ) 6 6 Eri Mrdini
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) ( )( ) Penyelesin persmn tersebut dlh: dn Jdi nili eigen mtriks A dlh dn. nili eigen didptkn dn, vektor eigen didptkn dengn persmn: ( ) mk ( ) ( ) Untuk mk: Solusi non trivil sistem persmn ini dlh: Mislkn r mk r Vektor eigen mtriks A untuk dlh: r X dimn r dlh bilngn sembrng yng tidk nol. r Eri Mrdini
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) Untuk mk: Solusi non trivil sistem persmn tersebut dlh: Mislkn s mk vektor eigen untuk dlh: s X dimn s dlh senbrng bilngn yng tidk nol. s Contoh 9.8 Dptkn vektor eigen dri mtriks A Jwb: Determinn dri I A 4 5 4 det 5 ( 4)( 5) Penyelesin persmn dlh: 4 4 dn 5 5 Jdi nili eigen dri mtriks A 4 5 dlh: 4 dn 5. Eri Mrdini
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) nili eigen mtriks tersebut dlh 4 dn 5 mk vektor eigen didptkn dri persmn: ( ) ( ) mk (4 ) (5 ) Untuk 4 didptkn sistem persmn linier berbentuk: Solusi non trivilny dlh untuk 4 dlh:, bil dimislkn r didptkn vektor eigen mtriks A r X dengn r bilngn sembrng yng tidk nol. r Untuk 5 mk: (4 5) (5 5) Sistem persmn linier menjdi: Tidk d solusi non trivil dri sistem persmn linier tersebut, jdi tidk terdpt vektor eigen dri mtriks A untuk 5. Eri Mrdini