UNIVERSITS INDONESI METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN BENTUK KNONIK JORDN DENGN KRKTERISTIK WEYR SKRIPSI NURRY WIDY HESTY 976 Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu lm Progrm Stud Mtemtk Depok Februr Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
UNIVERSITS INDONESI METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN BENTUK KNONIK JORDN DENGN KRKTERISTIK WEYR SKRIPSI Djuk sebg slh stu syrt utuk memperoleh gelr Srj Ss NURRY WIDY HESTY 976 Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu lm Progrm Stud Mtemtk Depok Februr Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
HLMN PERNYTN ORISINLITS Skrps dlh hsl kry sedr, d semu phk yg dkutp mupu drujuk telh sy ytk ber. Nm : Nurry Wdy Hesty NPM : 976 Td Tg : Tggl : Februr Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
SKRIPSI : METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN BENTUK KNONIK JORDN DENGN KRKTERISTIK WEYR NM : NURRY WIDY HESTY NPM : 976 SKRIPSI INI TELH DIPERIKS DN DISETUJUI DEPOK, MRET DR. SRI HRINI M. KOM PEMBIMBING I DR. SURSIH UTM PEMBIMBING II Tggl Lulus Uj Sdg Srj, Februr Peguj : Dr. Sr Hr M. Kom Peguj : Bev D. Hdr, PhD Peguj : Dr. Ssky Mry, M.S Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
KT PENGNTR Puj syukur sy pjtk kepd Tuh Yg Mh Es, kre ts berkt d rhmt-ny, sy dpt meyelesk skrps. Peuls skrps dlkuk dlm rgk memeuh slh stu syrt utuk mecp gelr Srj Ss Jurus Mtemtk pd Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu lm Uversts Idoes. Sy meydr bhw, tp btu d bmbg dr berbg phk, dr ms perkulh smp pd peyusu skrps, sgtlh sult bg sy utuk meyelesk skrps. Oleh kre tu, sy megucpk term ksh kepd: () Dr. Sr Hr, M.Kom d Dr. Sursh Utm, selku dose pembmbg yg telh meyedk wktu, teg, d pkr utuk megrhk sy dlm peyusu skrps ; () org tu d kelurg sy yg telh memberk btu dukug mterl d morl; d (4) shbt yg telh byk membtu sy dlm meyelesk skrps. khr kt, sy berhrp Tuh Yg Mh Es berke membls segl kebk semu phk yg telh membtu. Semog skrps membw mft bg pegembg lmu. Depok, Peuls Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
v HLMN PERNYTN PERSETUJUN PUBLIKSI TUGS KHIR UNTUK KEPENTINGN KDEMIS Sebg svts kdemk Uversts Idoes, sy yg bertd tg d bwh : Nm : Nurry Wdy Hesty NPM : 976 Progrm Stud : Srj Mtemtk Deprteme : Mtemtk Fkults : Mtemtk d Ilmu Pegethu lm Jes Kry : Skrps Dem pegembg lmu pegethu, meyetuju utuk memberk kepd Uversts Idoes Hk Bebs Roylt Noeksklusf ( Noexclusve Roylt Free Rght) ts kry lmh sy yg berjudul : Metode Strcse Utuk Medptk Betuk Kok Jord Deg Krkterstk Weyr Besert pergkt yg d (jk dperluk). Deg Hk Bebs Roylt Noeksklusf Uversts Idoes berhk meymp, meglhmed/formt-k, megelol dlm betuk pgkl dt (dtbse), merwt, d memublksk tugs khr sy selm tetp mectumk m sy sebg peuls/pecpt d sebg pemlk Hk Cpt. Demk peryt sy but deg sebery. Dbut d : Depok Pd tggl : Februr Yg meytk (Nurry Wdy Hesty) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
v BSTRK Nurry Wdy Hesty (976) METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN BENTUK KNONIK JORDN DENGN KRKTERISTIK WEYR + 47 hlm () Bbl. 5 ( 989-999 ) Tugs khr membhs sutu metode utuk medptk betuk kok Jord, yg berm metode strcse. Ide dsr metode yu megguk trsforms uter utuk metrsforms sutu mtrks x ke dlm betuk blok segtg ts, tu betuk strcse, kemud megguk krkterstk Weyr utuk medptk betuk kok Jord. Hsl yg ddpt deg megguk metode dbdgk deg hsl yg ddpt deg megguk progrm utuk medptk kok Jord yg sudh d d Mtlb. Utuk membuktk kestbl kedu metode, etr pd mtrks put dber gggu tu perubh. Hsl perbdg kedu metode meujukk bhw betuk kok Jord yg ddpt mellu metode krkterstk Weyr lebh stbl dbdgk deg betuk kok Jord yg ddpt mellu progrm utuk medptk kok Jord d Mtlb. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
v DFTR ISI LEMBR ORISINLITS... LEMBR PENGESHN... KT PENGNTR... PERNYTN PERSETUJUN PUBLIKSI.. v BSTRK... v DFTR ISI... v Bb I PENDHULUN...... Ltr belkg mslh.. Tuju.. Pembts mslh...4. Metodolog peelt.5. Sstemtk peuls.. Bb II DSR TEORI.. 4.. Blok-blok mtrks 5.. Geerlzed ege vector.. 8.. Smlrts 9.4. Mtrks lpotet, krkterstk Weyr,.. 4 d krkterstk Segre Bb III METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN 9 BENTUK KNONIK JORDN DENGN MENGGUNKN KRKTERISTIK WEYR.. Krkterstk Weyr utuk mtrks lpotet 9 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
v.. Krkterstk Weyr utuk mtrks buk lpotet 8 Bb IV PERBNDINGN METODE STIRCSE.. 7 DENGN METODE YNG UMUM DIPKI Bb V KESIMPULN.. 46 DFTR PUSTK.. 47 Lmpr. 48 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
BB I PENDHULUN.. LTR BELKNG Setp mtrks x yg mempuy buh l ege rel yg berbed smlr deg mtrks dgol. Beberp mtrks berukur x deg l ege yg berbed kurg dr buh tdk dpt ddgolk. Jk sutu mtrks berukur x deg l ege yg berbed kurg dr buh, mk byky vektor ege yg slg bebs ler dr mtrks tu kurg dr buh. Utuk medptk vektor ege yg bebs ler gr jumlhy buh dperluk geerlss vektor ege. Betuk smlr l yg medekt betuk dgol dlh betuk kok Jord. Pd betuk kok Jord, l ege berd pd dgoly, tetp beberp eleme pd super dgoly dlh tu. Betuk kok Jord dr sutu mtrks yg ddptk secr umerk bsy kurg stbl. Sutu perubh kecl pd etr mtrks wl k merubh secr drsts betuk kok Jord. Ketdkstbl tersebut bs dsebbk oleh peghtug vers dr mtrks yg hmpr sgulr, tu meerpk rels kesmlrts terhdp mtrks yg Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
hmpr sgulr. Utuk meghdr ketdkstbl tersebut lebh bk dguk lgortm yg hy melbtk trsforms uter. d sutu lgortm utuk medptk betuk kok Jord deg lebh stbl dbut oleh Ver Kublovsky (966), ytu megguk trsforms uter utuk metrsforms sutu mtrks ke dlm betuk blok segtg ts, tu betuk strcse. lgortm bsy dgmbrk dlm betuk dekomposs Schur. Ukur blok-blok dlm mtrks blok segtg tersebut k berkorespodes deg krkterstk Weyr, Dul prts dr krekterstk Weyr k meghslk krkterstk Segre. Krkterstk segre merupk ukur blok-blok mtrks pd betuk kok Jor... TUJUN d beberp tuju yg hedk dcp dlm peuls tugs khr. Tuju tersebut dlh :. Membhs teorem-teorem yg medsr metode strcse utuk medptk betuk kok Jord.. Melht kegu krkterstk Weyr yg medsr metode strcse utuk medptk betuk kok Jord. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
. Membdgk metode strcse deg metode yg umum dpk ytu progrm utuk medptk betuk kok Jord yg sudh d d Mtlb... BTSN MSLH Yg k dbhs pd peuls dlh teor dsr Weyr d bukt-bukt yg memotvs metode strcse dlm lgortm umerk..4. METODE PENULISN Stud yg dguk utuk mempeljr krkterstk Weyr merupk stud ltertur berdsrk peelt terdhulu..5. SISTEMTIK PENULISN Tugs khr dsusu dlm 5 bb. dpu s dr msg-msg bb secr grs besry dlh sebg berkut : Bb I Bers ltr belkg, tuju peuls, bts mslh, metode peuls, d sstemtk peuls. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
4 Bb II Bers lds teor yg meergk pegert dr smlrts, smlrts uter, betuk kok Jord, krkterstk Weyr, d beberp cotoh yg berkt deg hl tersebut. Bb III Bers pembhs teor dsr Weyr d bukt-bukt yg memotvs metode strcse utuk metrsforms mtrks kebetuk kok Jord. Bb IV Bers perbdg tr metode metode strcse deg metode yg umum dpk Bb V Bers kesmpul dr perbdg Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
BB II DSR TEORI Pd bb k dberk beberp pegert dsr yg dguk dlm pembhs bb seljuty. Beberp pegert yg k dbhs ytu blok-blok mtrks, geerlss vektor ege, smlrts, betuk kok Jord, mtrks lpotet, krkterstk Weyr, d beberp cotoh yg berkt deg hl tersebut... Blok-blok Mtrks Defs.. ( Blok-blok mtrks ) dlh sebuh mtrks x. Brs dr dpt dprts kedlm t hmpu yg bers brs pertm, brs kedu, d seterusy, smp t brs terkhr, deg + + + t. Jk kolom dr jug dprts deg cr yg sm, mk mtrks telh dpech mejd t blok. j meotsk blok berukur x j, d merupk mtrks blok dgol yg ke- ( ) berukur x. t t t t t t t 5 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
6 Defs.. (Mtrks blok segtg ts / strcse form) dlh mtrks x. Mtrks dktk mtrks blok segtg ts jk semu blok dbwh blok dgol dlh ol. Mtrks dytk sebg T ( ) t,...,, tu dpt dtuls sebg T ( ) t,...,,dm meytk blok dgol yg ke- ( ). T ( ) t,..., t t t t Mtrks B dlh mtrks deg ukur yg sm deg mtrks. Jk d B mempuy ukur yg sm utuk setp, mk perkl T ( ) t,...,,deg B T ( ) B t B B,...,,mempuy betuk B t t t t t t t t B B B B B B B B B B t t t t t B C B C C B C C C B T ( ) t B t B B,..., Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
7 Defs.. (Mtrks blok dgol) Jk semu blok sel blok dgol dlh ol ( j, utuk j ), mk dktk sebg blok dgol, tu dtuls D (,,, ). t t. D (,,, ) t Defs..4 ( Blok mtrks detts ) I k meotsk mtrks detts berukur k x k. Utuk r > s, ots I r,s berrt mtrks deg brs r d kolom k, dm s br s pertm dlh I s d rs brs ssy bereleme ol. Cotoh..5: I 5, Defs..6 ( Rk kolom peuh ) Sutu mtrks dktk mtrks deg rk kolom peuh jk kolomkolomy slg bebs ler. Mtrks I 5, dlh cotoh mtrks deg rk kolom peuh. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
8.. Geerlzed Ege Vektor Defs.. (Geerlzed ege vektor ) Sutu vektor v ) deg l ege λ jk ( λ I) k v C dktk Geerlzed ege vektor utuk mtrks ( x utuk sutu teger postve k. Defs.. (Multplsts ljbr d Multplsts geometr) Multplsts ljbr dr λ utuk dlh byky λ sebg kr yg sm dr persm krkterstk mtrks. Multplsts geometr dlh byky vektor ege yg slg bebs ler dr sutu l ege λ. Mslk mtrks x, mk utuk setp l ege λ dr terdpt kemugk :. Multplsts ljbr Multplsts geometr Jk hl terjd, mk mtrs dpt ddgolk. Teorem ( Krter utuk dgolss ) [4] : Sutu mtrks ( x ) dpt ddgolk jk d hy jk multplsts ljbr dr setp l egey sm deg multplsts geometr. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
9. Multplsts ljbr Multplsts geometr Jk hl terjd, mk mtrs tdk dpt ddgolk. Betuk smlr yg medekt betuk dgol dlh betuk kok Jord... Smlrts Defs.. (Smlrts) Jk d B dlh du mtrks berukur x, mk mtrks dktk smlr deg B jk terdpt sutu mtrks osgulr P sedemk sehgg B P - P. Jk P dlh mtrks uter (P - P*), mk dktk smlr uter deg B. Jk B berbetuk mtrks segtg ts, mk dktk smlr deg mtrks segtg ts B. Jk B berbetuk kok Jord, mk dktk smlr deg kok Jord B Cotoh.. ( Cotoh Smlr Uter ) : 4 4 4 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Nl ege() {,6,-6} Vektor ege : u, u, u Ut orm vektor ege : u, u, u 6 6 6 6 6 6 P, 6 6 6 P 6 6 P P B smlr uter deg B kre P mtrks uter ( P - P*) Defs.. (Blok Jord) Blok Jord ( ) λ J dlh sutu mtrks segtg ts x yg mempuy l ege λ mucul kl pd dgol utm, gk mucul kl pd superdgol, sedgk etr-etr ly ol. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Mk ( ) λ J dsebut blok Jord jk d hy jk : Etr, ( ) λ J λ, Etr,+ ( ) λ J Etr,j ( ) λ J, jk j, + ( ) λ λ λ λ λ J Defs..4 (Betuk kok Jord ) Sutu mtrks J ( x ) dlh betuk kok Jord jk bers blok-blok Jord, dtemptk sepjg dgol, deg etr-etr ly dlh ol J D { } ) ( ),..., ( ), ( ), ( t t J J J J λ λ λ λ. ) ( ) ( ) ( ) ( t t J J J J λ λ λ λ Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Cotoh..5 ( Smlr Deg Kok Jord ) : 5 Nl ege : 5 4 λ λ λ λ λ Geerlss vektor ege : λ I I 5, rk (I) 4, ull (I) (I) 9 9 9, rk (I), ull (I) (I) 7 7 7 9, rk (I), ull (I) kre rk (I) rk (I), mk geerlzed ege vector dcr dr (I). Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
(I) b b b (I)b 5 λ I +I 5, rk (+I), ull (+I) (+I) 9 9, rk (+I), ull (+I) kre rk (+I) rk (+I), mk ege vektor dcr dr (I), ytu hy megmbl bss dr ullspce (+I). ( + I)b b, b 4, b 5 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
4 mtrks Q bers b, b, b, b 4, b 5 5 Q Q Q J Mk mtrks dktk smlr deg J, deg J dlh betuk kok Jord..4. Mtrks Nlpotet Defs.4. (Mtrks lpotet ) Sutu mtrks F dktk mtrks lpotet jk utuk teger postf, d dktk berdeks k jk k tetp k-. Cotoh.4. : 6 5 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
5 9 dlh mtrks lpotet deg deks k, kre Defs.4. (Prts) Sutu prts dr teger postf dlh brs blg teger postf tdk k π yg jumlhy sm deg, ytu π (,, m ) dm m d + + + m Prts π (,, m ) dpt dguk utuk membut dgrm btg yg dsebut dgrm Ferrers. Dgrm Ferrers megdug btg yg dsusu dlm m brs deg brs ke-k mempuy k btg. Btg-btg tersebut dsusu rt kr sehgg kolom ke-j rt / lurus. Dul prts π* dr π dlh kojugt prts, ddpt deg metrspose dgrm Ferrers. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
6 Cotoh.4.4: π (5,5,4,,,, ) mk dgrm Ferrers dlh : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d dul prtsy dlh π* (7,6,6,, ). Dul dr dul prts dlh prts wl π* * π Defs.4.5 (Krkterstk Weyr) Mslk dlh sebuh mtrks lpotet d k dlh deks lpotet dr. ( ) ull( ) ull( Brs ( ), ( ),..., ( )) ( p ). Utuk,,,k, ull ( ) dlh ults dr dsebut krkterstk Weyr dr, d dotsk deg (). Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
7 Defs.4.6 ( Krkterstk Segre ) Krterstk Segre dr mtrs lpotet dlh dul prts dr krkterstk Weyr σ * Cotoh.4.7 : Deg mtrks yg sm sepert pd cotoh.4.. dlh mtrks lpotet deg deks k. () ull ( ) ull ( ) () ull ( ) ull ( ) () ull ( ) ull ( ) krkterstk Weyr utuk mtrks : ()(,, )(,,) krekterstk Segre utuk mtrks : σ () ().4.8. Hubug krkterstk Weyr, krkterstk Segre d betuk kok Jord dlh mtrks lpotet deg krkterstk Weyr () (,, k ) d krkterstk Segre σ()(σ,σ,,σ t ). Mk betuk kok Jord dr dlh J D (S σ,s σ,,s σt ). S σ dlh mtrks berukur σ I x σ I deg eleme pd superdgol d eleme-eleme ly dlh. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
8 S σ Cotoh.4.9 : Jk () (4,,,,,,), mk krkterstk Segre dr dlh (7,6,,). D betuk Jord J D ( S 7, S 6, S, S ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
BB III METODE STIRCSE UNTUK MENDPTKN BENTUK KNONIK JORDN DENGN MENGGUNKN KRKTERISTIK WEYR Mslh k dbg dlm du bg, ytu utuk ksus mtrks lpotet d utuk ksus buk mtrks lpotet... KRKTERISTIK WEYR UNTUK MTRIKS NILPOTENT Mslk dlh mtrks lpotet berukur x. Blg teger postf terkecl k sedemk sehgg k dsebut deks dr. ull( ) ull( ), utuk,,,k, Brs blg postf,,, k dsebut krkterstk Weyr dr, dtuls deg () (,, ). k dbuktk t bhw () κ merupk brs yg tdk k. Pertm k dbhs bgm cr meghtug () mellu proses rekursf yg meghdr peghtug pgkt. Jk k, mk dlh mtrks ol. Deg demk dpt dsumsk k. Kre ull (), mk mtrks dpt dsumsk berbetuk blok yg kolom pertm y dlh ol, sebg berkut 9 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
deg berukur x ( ) d bujur sgkr berukur. Kre rk (), mk mtrks mempuy kolom-kolom yg slg bebs ler. Lemm.. Mslk dlh mtrks berukur x yg berbetuk T ( ), dm ull(). Prts X dlm F sepert, X X X deg X F d X F. Mk utuk setp postf teger r, ddpt r X jk d hy jk r X. Bukt : r r r r ( ) Mslk r X, k dbuktk r X Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Kre ( ) X X X X X r r r r r r d kre rk (), mk mtrks mempuy kolom-kolom yg slg bebs ler, sehgg Y megkbtk X Y r ( ) mslk X Y r k dbuktk r X Y ( ) X X X X r r r r ( Terbukt ) Lemm.. Mslk T ), ( dlh mtrks x, tdk ol, mtrks lpotet deg krkterstk Weyr () ) κ,, (. Mk ( ) ),,, κ (, d k. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Bukt: Lemm.. mejelsk bhw ull( ) + ull( ) (bukt dlmpr ). Jd utuk setp ddpt ull( ) ull( ) ull( ) ull( ). Sehgg( ) (, κ,, ). Utuk membuktk + dguk duks pd k, dmul deg k. Utuk k rk () rk ( ) + rk ( ) rk ( ) + ( )ull( ) ull( ) rk ( ) kre ull ( ) d rk ( ), mk Hpotess Iduks : sumsk ber utuk k rk ( ) rk (,) + rk ( ) rk (,)+ ( )ull( ) ull( ) rk (,) kre ull ( ) d rk (,) -, mk - k dbuktk utuk k + rk ( ) rk (,+) + rk ( + ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
ull( ) rk (,+) + ull( ) ull( + ) ull( + ) rk (,+) kre ull ( ) d rk (,) -, mk + ( Terbukt ) Lemm.. meujukk proses rekursf utuk meghtug krkterstk Weyr dr sebuh mtrks lpotet. Kt telh mereduks mslh utuk mecr krkterstk Weyr dr mtrks yg berukur lebh kecl ytu. Deg megplksk lemm tersebut berulgkl k megubh mtrks mjd betuk blok segtg dm blok dgoly dlh blok ol berukur,,, k. Kt guk Lemm.. utuk medptk betuk blok segtg ~ T,, ) d meujukk bhw blok-blok super dgoly ( mempuy rk kolom peuh. Lemm.. Mslk T dlh opertor ler lpotet pd rug vektor V deg (T) (,,, k ). Mk T dpt drepresetsk deg sutu mtrks ~ T,, ), dm rk ( ) d mempuy rk kolom peuh. ( Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
4 Bukt : Kre ull (T), T dpt dreprestsk deg mtrks B, ytu B B T (,B ) B Berdsrk Lemm.. ddpt ull (B ) sehgg terdpt mtrks osgulr Q berukur ( ) x ( ) sedemk sehgg Q - B Q T ( ~, ) ` ~ Defsk P D (I, ), mk Q I BP o P Q ~ ~ T,, ) ( B I B Q ~ sehgg T,, ) dlh mtrks represets utuk T ( Kre mempuy rk, mk kolom terkhr dr bebs ler, deg demk blok (berukur x ) mempuy rk kolom peuh. ( Terbukt ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
5 Jk k, lemm.. meergk bhw T dpt drepresetsk deg mtrks blok segtg T, ), dm blok ( mtrks ( x )mempuy kolom rk peuh, ytu rk ( ). Teorem..4 Mslk T dlh opertor ler lpotet d rug vektor V. Mk (T) (,,, k ) jk d hy jk T dpt drepresetsk oleh mtrks blok segtg T (,,, ) dm setp blok superdgol,+ mempuy rk kolom peuh, ytu rk (,+ ) +. Bukt : ( ) (T) (,,, k ). k dbuktk T dpt drepresetsk oleh mtrks blok segtg T (,,, ) dm setp blok superdgol,+ mempuy rk kolom peuh, ytu rk (,+ ) +. Kt guk duks pd k. Utuk k (T) ( ) ull(t), mk T dlh mtrks ol. Utuk k, mk lemm memberk hsl. Hpotess Iduks : sumsk ber utuk k κ κ Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
6 (T) (,,, ). mk T dpt drepresetsk oleh mtrks blok segtg T (,,, ) dm setp blok superdgol,+ mempuy rk kolom peuh, ytu rk (,+ ) +. k dbuktk ber utuk k + Deg megguk lemm.. bhw T dpt drepresetsk ~ oleh mtrks B T,, ) d B mempuy rk kolom peuh. ( B Mslk B meotsk submtrks perseg pd ( ) brs d kolom ~ terkhr, mk B dlh T (, B) Lemm.. megtk bhw (B ) (,, κ ). Meurut hpotess duks B dpt drepresetsk oleh mtrks blok segtg T, (,,, ) rty terdpt mtrks k osgulr Q berukur, sedemk sehgg Q - B Q T (,,, ) deg setp blok superdgol mempuy rk kolom k peuh. Betuk mtrks P D (I, ), mk deg megguk rels Q kesmlrts P pd B ddpt P BP Q B k k k B B ~ B Q Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
7 T (,,, ) κ ( ) db : mtrks T (,,, ) deg blok superdgol yg κ mempuy rk kolom peuh mk krkterstk Weyr ) (,,..., ) ( k Bukt : Kre blok supedgol mempuy kolom rk peuh mk kolom ke terkhr dr mtrks tersebut bebs ler, sehgg ull(). Utuk k, mk dlh mtrks ol. Utuk k > mempuy betuk T ( Α ) sepert yg dberk d lemm..,, d lemm.. megtk bhw dlh ) (,,..., ) deg ( k ) (,,..., ). Mk krkterstk Weyr mtrks dlh ( k ) (,,..., ) ( k ( Terbukt ) Dr ur dts, dpt dmbl kesmpul bhw setp mtrks lpotet dpt drepresetsk dlm betuk mtrks blok segtg T (,,, ), dm setp blok superdgol,+ mempuy κ rk kolom peuh, ytu rk (,+ ) +. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
8 mempuy krkterstk Weyr () (,, ). Deg dul κ prts dr krkterstk Weyr ddpt krkterstk Segre, ytu σ() (σ,σ,,σ t ). Deg demk betuk kok Jordy bs lgsug ddpt, ytu J D (S σ,s σ,,s σt ). S σ dlh blok mtrks berukur σ x σ deg eleme pd superdgol d eleme-eleme ly dlh ol. Sekrg k dbhs jk mtrks buk mtrks lpotet... Krkterstk Weyr Utuk Mtrks Buk Nlpotet Mslk mtrks berukur x yg buk mtrks lpotet, mk dpt drubh mejd mtrks lpotet. Lgkh pertm dlh megguk smlrts uter yg megubh mejd mtrks segtg ts T (,,, t ).... MENDPTKN KRKTERISTIK WEYR DENGN SIMILRITS UNITER Du buh mtrks kompleks berukur x, d B, dlh smlr uter jk terdpt mtrks uter U sedemk sehgg B U*U. Prosesy dmul deg hsl dr Teorem Schur yg megtk bhw mtrks kompleks perseg dpt djdk mtrks segtg ts deg smlrts uter. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
9 Teorem.. Jk dlh mtrks berukur x, mk terdpt mtrks uter U sedemk sehgg U*U segtg ts. Bukt : k dbuktk deg duks mtemtk pd Utuk, mk smlr uter deg mtrks sumsk ber utuk k terdpt mtrks uter Q sedemk sehgg Q*Q segtg ts. k dbuktk utuk k + Mslk mtrks berukur (k+) x (k+). Mslk λ r dlh slh stu l ege dr d u dlh vektor ege yg bersesu deg r, mk terdpt u, u,,u k+ sedemk sehgg u, u, u,,u k+ membetuk bss utuk R k+.deg megguk proses Grm- Schmdt pd bss tersebut, ddpt bss ortoorml v, v,, v k+, deg v u u jug mejd vektor ege yg bersesu deg l ege r. Mslk P dlh mtrks uter P ( v v ) mejd P ( v Vˆ ) v. Prts P v k + deg ˆ.( v v vk + ) V. v P - P P * P V ˆ ( v Vˆ ) v V ˆ ( v Vˆ ) v v Vv ˆ v Vˆ VV ˆ ˆ Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
v dlh vektor ege utuk λ r, mk v rv. Meurut defs bss (v, v,, v k+ ) utuk R k+ ortoorml jk v v v v d v v j, utuk j. Mk v v vrv rv v rv v r x r d V ˆv Vˆ r v rvˆ v r v Vˆ r x P * P v v V ˆ v v Vˆ r C Vˆ Vˆ Okx deg C dlh mtrks x k, d mtrks berukur k x k. Berdsrk sums terdpt mtrks uter Q sedemk sehgg Q * Q dlh mtrks segtg ts. Mslk P mtrks berukur (k+) x (k+) P kx xk Q kre Q mtrks uter mk P jug mtrks uter Seljuty hrus dbuktk UP P mtrks uter d U*U dlh mtrks segtg ts. - Pertm dbuktk UP P mtrks uter, deg P d P dkethu mtrks uter. Utuk membuktk U mtrks uter hrus dbuktk U*U UU* I U*U (P P )*( P P )P *(P *P )P I UU* (P P )( P P )* P (P P *)P * I Terbukt U mtrks uter - Kedu dbuktk U*U dlh mtrks segtg ts. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
U*PU (P P )*( P P ) P *(P *P )P Terbukt U*U dlh mtrks segtg ts. ( Terbukt ) Cotoh : 6 l ege λ d λ λ vektor ege yg bersesu deg λ dlh u mbl u d u, mk u,u,u membetuk bss d R deg megguk proses Grm-Schmdt ytu > < j j j j u u u u w, d w w v ddptk bss ortoorml mtrks P P Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
6 P P T 6 B l ege utuk B dlh λ vektor ege yg bersesu deg λ dlh u d mbl u deg megguk proses Grm-Schmdt ddptk bss ortoorml mtrks Q Q d 6 QT B Q deg P d 4 P P U Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
ddpt B U T U 6 Kt dptk segtg ts utuk deg l egey berd pd dgol utmy. Sehgg, jk spec () {α, α,, α t }, dm α berjumlh, mejd berbetuk T (,,, t ) dm mtrks segtg berukur x deg α pd dgoly. Lgkh seljuty dlh meujukk bhw T (,,, t ) smlr deg D (,,, t ). Defsk N -α I, mk N dlh mtrks lpotet ( bukt d lmpr ). Deg demk krkterstk Weyr dr, terhdp l ege α dpt dcr mellu krkterstk Weyr utuk mtrks lpotet N -α I. Utuk meujukk bhw T (,,, t ) smlr deg D (,,, t ), dguk teorem Sylvester. Teorem.. ( Teorem Sylvester ) [5] Mslk mtrks berukur m x m d B mtrks berukur x. mk persm mtrks XXB C mempuy solus uk utuk setp mtrks C m x jk spec() spec(b) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
4 Lemm.. Jk T (, ) d spec () spec (B), mk smlr deg D (, ). Bukt: Mslk mtrks berukur x utuk,. Mslk X mtrks uk berukur x yg memeuh XX. Mslk S mtrks berbetuk T (I,I ) deg X berd dblok ke, I X I S I X I S, mk ) X ( X - - I X I I X I I X I I X I S S ( Terbukt ) Lemm.. dpt dperumum utuk T (,,, k ) ytu sepert dbuktk dlm teorem. 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
5 Teorem..4 Jk T (,,, k ), dm setp spec( ){α } d α α j deg j, mk smlr deg BD (,,, k ) Bukt : Deg duks : Utuk k T ( )D ( ) Utuk k Lemm.. sudh membuktky Hpotess duks : sumsk ber utuk k p Jk T (,, p ), dm setp spec( ){α } d α α j deg j, mk smlr deg B k dbuktk ber utuk k p + Mslk T (,C), deg C T (,,, k ), mk sesu hpotess duks C smlr deg D, rty terdpt mtrks osgulr Q sedemk sehgg Q - CQD. Betuk mtrks S D ( Ι, Q), mk C S - S D (I, Q ) D ( Ι, Q) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
6 k k k k k k k k Q I Q I C ) ( 4 4 4 D (,,, k ) B ( Terbukt ) Jd, jk kt sudh medptk dlm betuk segtg T (,,, t ), mk krkterstk Weyr setp l ege dr dpt dcr deg mecr krkterstk Weyr setp blok lpotet N -α I. N dlh blok mtrks segtg ts, ytu N T ) ( κ,,, mk (N ) ) κ,, ( d σ(n ) (σ, σ,, σ t ). Kok Jord utuk N dlh J D ( S σ,s σ,, S σt ). Deg demk Kok Jord utuk dlh J (λ ) D (λ I+ S σ,λ I+ S σ,, λ I+ S σ t ). Kok Jord utuk bers kok Jord utuk, dtemptk sepjg dgoly. J D ( J (λ ), J (λ ),, J t (λ t ) ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
BB IV PERBNDINGN METODE STIRCSE DENGN METODE YNG UMUM DIPKI Pd bb k dberk beberp permslh llu peyeles mslh tersebut deg metode strcse d metode yg umum dpk, ytu progrm yg sudh d d Mtlb. Kemud hslhsl perhtug tersebut dbdgk, utuk meetuk metode m yg memberk hsl yg lebh bk. Perhtug utuk meghslk betuk kok Jord megguk lgortm sebg berkut :. lgortm Mecr Betuk Kok Jord Deg Tekk Strcse d Megguk Krkterstk Weyr Lgkh Lgkh Iput mtrks Tetuk mtrks blok segtg ts B yg smlr deg mtrks B U* U Lgkh Tetuk blok-blok mtrks segtg tsy, llu urutk ukur blok segtg mul dr yg terbesr hgg yg terkecl utuk setp l ege 7 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
8 Lgkh 4 Ubh blok mtrks mejd blok lpotet ( N -λ I), d tetuk krkterstk Weyr utuk setp blok lpotet Lgkh 5 Lgkh 6 Tetuk krkterstk Segre d betuk blok Jord Tetuk mtrks kok Jord. lgortm Mecr Betuk Kok Jord Deg Cr Umum ( Progrm yg sudh d d Mtlb, ytu : Jord () ) Lgkh Lgkh Lgkh Lgkh 4 Lgkh 5 Lgkh 6 Iput mtrks Tetuk l ege Utuk setp l ege tetuk geerlss vektor ege Tetuk mtrks P dr geerlss vektor ege Tetuk vers mtrks P Tetuk mtrks kok Jord deg J P - P Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
TBEL PERBNDINGN HSIL NTR METODE STIRCSE DENGN PROGRM MTLB CONTOH MTRIKS PROGRM MTLB METODE STIRCSE. Betuk kok Jord Jord(). Mtrks segtg ts yg smlr deg dlh :. B 44.74. 4.64... Blok segtgy dlh :. 44.74. (.). Blok Nlpotet ( λ I) 44.74 ( ), Ideks lpotet, Ideks lpotet Krkterstk Weyr utuk λ dlh (,) Krkterstk Weyr utuk λ dlh () 4. Krkterstk Segre utuk λ dlh () Krkterstk Segre utuk λ dlh () 9 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
sehgg betuk blok Jord :, ( ) 5. Betuk kok Jordy : ( ) Jk dt pd dubh mejd Betuk kok Jord. Mtrks segtg ts yg smlr deg dlh : Jord(). 97.958.47. B. Blok segtgy dlh : 4.687.47 4.4. 97.958 (.) (.47) ( 97.958). Blok Nlpotet ( λ I) ( ), Ideks lpotet ( ), Ideks lpotet ( ),Ideks lpotet Krkterstk Weyr utuk λ dlh () Krkterstk Weyr utuk λ.47 dlh () Krkterstk Weyr utuk λ 97.958 dlh () 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
4. Krkterstk Segre utuk λ dlh () Krkterstk Segre utuk λ.47 dlh () Krkterstk Segre utuk λ 97.958 dlh () sehgg betuk blok Jord : (.), (.47), ( 97.958) 5. Betuk kok Jordy : (.) (.47) (97.958)..47 97.958. 47 64 6 69 6 4 448 66 7 79 76 488 99 6 56 Betuk kok Jord : Jord() 5. Mtrks segtg ts yg smlr deg dlh : 5 B 9.87.56. 9.5.4.. Blok segtgy dlh :. ( 5),, ( ) Urut blok segtg mul yg terbesr hgg yg terkecl : 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
. ( ) ( 5). Blok Nlpotet ( λ I)., Ideks lpotet ( ), Ideks lpotet ( ), Ideks lpotet Krkterstk Weyr utuk λ dlh (,) Krkterstk Weyr utuk λ dlh () Krkterstk Weyr utuk λ 5 dlh () 4. Krkterstk Segre utuk λ dlh () Krkterstk Segre utuk λ dlh () Krkterstk Segre utuk λ 5 dlh () sehgg betuk blok Jord :, ( ), ( 5) 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
5. Betuk kok Jordy : ( ) ( 5) 5 Jk dt pd dubh mejd Betuk kok Jord :. Mtrks segtg ts yg smlr deg dlh : 47 64 6 69 6 4 448 66 7 79 76 488 99 6 56 Jord() -.4 -.45 -.9 -.45.9 + 4.894 4.9 B 9.. Blok segtgy dlh :.9.5.5 99.8 6.5.4. (.9) (.) (.5) (.) 4 4. Blok Nlpotet ( λ I) ( ), Ideks lpotet ( ), Ideks lpotet ( ), Ideks lpotet 4 ( ), Ideks lpotet 4 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Krkterstk Weyr utuk λ 4.9 dlh () Krkterstk Weyr utuk λ. dlh () Krkterstk Weyr utuk λ -.5 dlh () Krkterstk Weyr utuk λ -. dlh () 4. Krkterstk Segre utuk λ 4.9 dlh () Krkterstk Segre utuk λ. dlh () Krkterstk Segre utuk λ -.5 dlh () Krkterstk Segre utuk λ -. dlh () sehgg betuk blok Jord : ( 4.9), (.), (.5), (.) 4. Betuk kok Jord : ( 4.9) (.) (.5) (.) 4.9..5. 44 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
45 Dr tbel perbdg tersebut ddptk bhw pd mtrks berukur x deg megguk progrm medptk kok Jord yg sudh d d Mtlb mupu metode strcse meghslk betuk kok Jord yg sm. Tetp bl etr pd mtrks tersebut dubh, ytu pd, teryt betuk kok Jord yg dhslk dr progrm yg sudh d d Mtlb meglm perubh yg sgt besr. Begtu jug yg terjd pd cotoh kedu. Etr pd mtrks berukur 4 x 4 dubh, ytu pd 4,4. Betuk kok Jord yg dhslk dr progrm yg d d Mtlb meglm perubh yg sgt besr, bhk terdpt etr yg mjer. Sedgk betuk kok Jord yg dhslk metode strcse lebh stbl. Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
BB V KESIMPULN Beberp kesmpul yg dpt dmbl dr pejels bb sebelumy dlh :. Metode utuk medptk betuk kok Jord secr umum bsy kurg stbl, rty sutu gggu kecl pd put k merubh secr drsts betuk kok Jord. Utuk megtsy dpt dguk metode strcse.. Metode strcse deg dekomposs Schur meghslk blok mtrks segtg ts yg teryt berkorespodes deg krkterstk Weyr.. Utuk mtrks lpotet dekomposs Schur meghslk T (,,, ) deg krkterstk Weyr () (,,, k ). Dul κ prts dr krkterstk Weyr dlh krkterstk Segre σ() (σ, σ,, σ t ), d betuk kok Jordy dlh J D ( S σ,s σ,, S σt ) 4. Utuk buk mtrks lpotet dekomposs Schur meghslk T (,,, k ) yg smlr deg D (,,, k ). Krkterstk Weyr ddpt dr blok mtrks lpotet N α I. Deg lgkh yg sm sepert pd mtrks lpotet ddpt blok Jord utuk setp. Betuk kok Jordy bers blok-blok Jord utuk setp. 46 Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
47 DFTR PUSTK Helee Shpro, (999). The Weyr chrcterstc, mer. Mth. Mothly, hl. 99-99 G.H.Golub d C.F.F Lo, (989). Mtrx Computto, d edto, The Joh Hopks Uversty Press, Bltmore d Lodo Terry Lwso, (996). Ler lgebr, The Joh Wley & Sos Ic, Frlegh / Beuregrd, (99). Ler lgebr, d edto, ddso-wesley Publshg Rjedr Bht, Grdute Texts Mthemtcs Mtrx lyss, Hl., Sprger- Verlg New York, Ic Mrt Golubtsky / Mchel Delltz, (999). Ler lgebr d Dfferetl Equto, Brooks / Cole Publshg Compy Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Lmpr () Pembukt ) ( ) ( + r r ull ull ( Hl : ) ) ( ) ( ) (,, ) ( b b b ) ( ) ( ) (,, ) ( b b b ) ( ) ( ) (,, ) ( b b b ) ( ) ( ) (,, ) ( ) ( d d d c c c c c c c c c Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
),( ) ( 4 ) (,4, ) ( 4 ) ( 4 f f f e e e e e e e e e r + + + + ),( ) ( ) ( ) ( ),(, ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r r r r r z z z y y y y y y y y y Deg reduks brs ddpt : r Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Deg pertukr brs d brs ke (r) ddpt r Mk ddpt ) ( ) ( + r r ull ull. ( Terbukt ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,
Lmpr () Pembukt N λ I dlh mtrks lpotet ( hl : ) λ λ λ N λ I N N N b b b N N N b b b 4 c c c N Mk N dlh mtrks lpotet berdeks ( Terbukt ) Metode strcse..., Nurry Wdy Hesty, FMIP UI,