INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45
Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6 Integrl Tktentu 7 Aturn Substitusi 8 Telh Konsep (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 2 / 45
Pendhulun Beberp Terpn Integrl Permln jumlh populsi (penduduk, bkteri, dsb.) di ms yng kn dtng. Penentun ketinggin peswt ulng-lik pd wktu tertentu. Penentun konsumsi energi di Jkrt pd sutu hri. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 3 / 45
Anti-turunn Anti-turunn Definisi Fungsi F disebut nti-turunn dri fungsi f pd intervl I jik F (x) = f (x) untuk setip x I. Contoh (Anti-turunn) 1 f (x) = x 3 F (x) = 1 4 x4 2 f (x) = x 3 F (x) = 1 4 x4 + 5 3 f (x) = cos x F (x) = sin x 4 f (x) = cos x F (x) = sin x + C, C = konstnt (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 4 / 45
Anti-turunn Teorem (Anti-turunn Umum) Jik F nti-turunn dri f pd intervl I, mk nti-turunn dri f yng pling umum dlh F (x) + C (1) dengn C konstnt sebrng. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 5 / 45
Anti-turunn Formul Anti-turunn No. Fungsi Anti-turunn 1. kf (x) kf (x) + C 2. f (x) ± g (x) F (x) ± G (x) + C 3. x n, n = 1 x n+1 / (n + 1) + C 4. sin x cos x + C 5. cos x sin x + C 6. sec 2 x tn x + C 7. csc 2 x cot x + C 8. sec x tn x sec x + C 9. csc x cot x csc x + C k, C : konstnt, F (x) = f (x), G (x) = g (x) (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 6 / 45
Lus di Bwh Kurv Lus di Bwh Kurv Konsep integrl dpt didekti dengn ggsn penentun lus derh bidng rt Bgimn menentukn lus derh bidng rt S yng dibtsi oleh: kurv y = f (x) 0, sumbu x, gris x =, x = b? (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 7 / 45
Lus di Bwh Kurv Ilustrsi Pendektn Persegi Pnjng untuk Menghitung Lus Ingin ditentukn lus derh yng dibtsi kurv f (x) = x 2, sumbu-x, x = 0, x = 2 dengn pendektn persegi pnjng. DEMO Jumlh Riemnn (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 8 / 45
Lus di Bwh Kurv Pendektn Persegi Pnjng untuk Menghitung Lus But n persegi pnjng dengn lus A 1, A 2,..., A n, lus A dri derh S didekti dengn penjumlhn lus n persegi pnjng A A 1 + A 2 + + A n = R n, mkin besr n, lus n persegi pnjng mkin mendekti lus A, lus A didefinisikn sebgi penjumlhn tkhingg bnyk persegi pnjng A = lim n R n = lim n n i=1 A i. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 9 / 45
Lus di Bwh Kurv Penghitungn Lus dengn Pendektn Persegi Pnjng Untuk menentukn lus derh S yng dibtsi oleh: kurv kontinu y = f (x) 0, sumbu x, gris x =, x = b, lkukn: Bgi intervl [, b] menjdi n intervl bgin [ = x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n = b] dengn pnjng yng sm, ykni x = b n, sehingg berlku x i = + i x, i = 1, 2,..., n. Pd setip intervl bgin [x i 1, x i ] but persegi pnjng dengn lebr x dn pnjng f (x i ), sehingg lus A i = f (x i ) x. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 10 / 45
Lus di Bwh Kurv Definisi Lus A dri derh S yng dibtsi oleh kurv kontinu y = f (x) 0, sumbu x, gris x =, x = b dlh A = lim R n = lim n n n i=1 f (x i ) x = lim n [f (x 1 ) x + f (x 2 ) x + + f (x n ) x] (2) dengn x = (b ) /n, x i = + i x, i = 1, 2,..., n. R n = n i=1 f (x i) x pd (2) disebut Jumlh Riemnn. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 11 / 45
Lus di Bwh Kurv Formul Notsi Sigm 1. 2. 3. 4. 5. 6. n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 c = c n c x i = c n x i i=1 x i ± y i = n i = i 2 = n i 3 = i=1 i=1 x i ± n i=1 y i n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6 ( ) n (n + 1) 2 2 (3) c = konstnt. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 12 / 45
Lus di Bwh Kurv Contoh Gunkn pendektn persegi pnjng untuk menentukn lus derh yng dibtsi kurv f (x) = x 2, sumbu-x, x = 0, x = 2, dengn i) n = 4 ii) n = 10 iii) n (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 13 / 45
Integrl Tentu Integrl Tentu Konsep Jumlh Riemnn R n = n i=1 f (x i) x pd (2) dpt diperlus untuk derh yng d di bwh sumbu-x (S 2 ). Jumlh Riemnn pd S 2 negtif kren f (x i ) < 0. Pd intervl [, b], lmbng limit Jumlh Riemnn dpt dignti dengn lmbng integrl tentu, lim n n i=1 f (x i) x = b f (x) dx. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 14 / 45
Integrl Tentu Ilustrsi Integrl Tentu (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 15 / 45
Integrl Tentu Definisi (Integrl Tentu) Integrl tentu fungsi f dri ke b dlh b n n i=1 f (x) dx = lim f (c i ) x (4) dengn c i [x i 1, x i ], x = (b ) /n, [x i 1, x i ] dlh intervl bgin ke-i dri [, b] = [x 0, x n ], i = 1, 2,..., n. Titik smpel c i pd intervl bgin [x i 1, x i ] dpt berup: titik ujung knn, c i = x i titik ujung kiri, c i = x i 1 titik tengh, c i = (x i 1 + x i ) /2 Syrt cukup gr f terintegrlkn pd [, b] dlh f kontinu pd [, b]. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 16 / 45
Integrl Tentu Dri Notsi Sigm ke Integrl Lmbng b f (x) dx : integrl ( bentuk "S" = sum), b : bts bwh,ts integrl f (x) : integrn (fungsi yng diintegrlkn) dx : diintegrlkn terhdp vribel x (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 17 / 45
Integrl Tentu Ilustrsi Hsil Evlusi Integrl Tentu (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 18 / 45
Integrl Tentu Hsil Evlusi Integrl Tentu b f (x) dx, b menghsilkn sebuh bilngn dengn slh stu dri tig kemungkinn berikut: > 0 < 0 = 0 seluruh derh berd di ts sumbu-x lus derh di ts sumbu-x > lus derh di bwh sumbu-x seluruh derh berd di bwh sumbu-x lus derh di bwh sumbu-x > lus derh di ts sumbu-x f (x) = 0 tu = b lus derh di bwh sumbu-x = lus derh di ts sumbu-x (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 19 / 45
Integrl Tentu Sol (Konsep Integrl Tentu) 1 Gunkn definisi integrl tentu (dengn titik ujung knn) untuk menghitung 2 ( 0 x 2 x ) ( 2 dx, jwb: lim n 3 + 4 3n 2 + 2 ) = 2 n 3 2 Gunkn definisi integrl tentu untuk menunjukkn bhw b x dx = b2 2. 2 3 Hitung integrl berikut dengn menfsirknny sebgi bentuk lus. ) 2 (1 + ) 4 x 0 2 dx, jwb: 2 + π b) 2 2 (1 x ) dx, jwb: 0 4 Ungkpkn ( limit berikut dlm ) bentuk integrl tentu. 1 2 ) lim n 1 b) lim n n n 3 + 22 n 3 + + n2 ( n 3 1 1 + (1/n) 2 + 1 1 + (2/n) 2 + + 1 1 + (n/n) 2 ) (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 20 / 45
Integrl Tentu Sift-sift Integrl Tentu Ilustrsi Geometris (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 21 / 45
Integrl Tentu Sift-sift Integrl Tentu Sift Umum 1 2 3 4 5 6 b f (x) dx = b f (x) dx f (x) dx = 0 b b c dx = c (b ) c f (x) dx = c b f (x) dx b [f (x) ± g (x)] dx = b f (x) dx ± b g (x) dx b f (x) dx + c b f (x) dx = c f (x) dx (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 22 / 45
Integrl Tentu Sol (Sift Integrl I) 1 Dikethui 2 0 f (x) dx = 4 dn 0 2 (g (x) f (x)) dx = 5. Gunkn sift-sift integrl untuk menghitung: ) 0 2 (2f (x) 3) dx b) 2 g 0 (x) dx, jwb:. 2 b. 1 2 1 0 f (t) dt = 2, 4 0 f (t) dt = 6, dn 4 f 3 (t) dt = 1. Hitung f (t) dt. jwb: 9 3 1 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 23 / 45
Integrl Tentu Ilustrsi Geometris Sift Pembndingn Integrl (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 24 / 45
Integrl Tentu Sift-sift Integrl Tentu Sift Pembndingn 1 Jik f (x) 0, x [, b], mk b f (x) dx 0 2 Jik f (x) g (x), x [, b], mk b f (x) dx b 3 Jik m f (x) M, x [, b], mk m (b ) b f (x) dx M (b ) g (x) dx (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 25 / 45
Integrl Tentu Sol Gunkn sift pembndingn integrl untuk memeriks kebenrn pertidksmn berikut tnp menghitung integrl. 1 2 1 1 1 + x 2 dx 2 2 2 1/2 2 1 1 x dx 1 3 3 x4 + 1 dx > 26/3 (dikethui: b 1 x2 dx = 1 ( b 3 3) ) 3 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 26 / 45
Teorem Dsr Klkulus Teorem Dsr Klkulus Pengntr Klkulus diferensil muncul dri permslhn gris singgung. Klkulus integrl muncul dri permslhn lus derh: perhitungn rumit seperti limit Jumlh Riemnn. Sepints, keduny tmpk tidk berkitn. Newton dn Leibniz menemukn bhw keduny sling terkit. Konsep yng mengitkn klkulus integrl dengn klkulus diferensil: Teorem Dsr Klkulus (TDK). Dengn TDK, perhitungn integrl dn pliksiny menjdi juh lebih mudh kren merupkn keblikn dri proses turunn. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 27 / 45
Teorem Dsr Klkulus Ilustrsi Geometris TDK-1 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 28 / 45
Teorem Dsr Klkulus Teorem (Teorem Dsr Klkulus 1) Jik f kontinu pd [, b], mk F (x) = x f (t) dt kontinu pd [, b], terturunkn pd (, b), dn turunnny dlh f (x) ; F (x) = d x dx f (t) dt = f (x) (5) (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 29 / 45
Teorem Dsr Klkulus Sol (TDK-1) Tentukn: d 1 dx 0 d 2 dx 0 d 3 dx x x 2 1 1 + t 2 dt, g2 (x) g 1 (x) sin t dt, petunjuk: u = x 2, jwb: 2x sin x 2 f (t) dt, jwb: f (g 2 (x)) g 2 (x) f (g 1 (x)) g 1 (x) 4 fungsi f dn konstnt yng memenuhi 6 + x > 0, jwb: f (x) = x 3/2, = 9. x f (t) t 2 dt = 2 x, (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 30 / 45
Teorem Dsr Klkulus Teorem Dsr Klkulus 2 Konsep Dri TDK-1: G (x) = x f (t) dt G (x) = f (x) (G nti-turunn f ). Ctt bhw G () = f (t) dt = 0. Mislkn F nti-turunn lin dri f, mk F (x) = G (x) + C F (b) F () = [G (b) + C] [G () + C] Jdi = G (b) G () = G (b) = b f (t) dt = b f (x) dx b f (x) dx = F (b) F () dengn F merupkn nti-turunn f tu F (x) = f (x). (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 31 / 45
Teorem Dsr Klkulus Teorem (Teorem Dsr Klkulus 2) Jik f kontinu pd [, b] dn F sebrng nti-turunn f pd [, b], mk b f (x) dx = F (x) b = F (b) F () (6) TDK-2 memberi cr yng mudh dlm mengevlusi integrl tentu, juh lebih mudh dibndingkn menggunkn limit Jumlh Riemnn. Berdsrkn TDK-2, untuk mengevlusi integrl tentu f pd [, b]: tentukn nti-turunn F dri f, evlusi F (b) F (). (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 32 / 45
Teorem Dsr Klkulus Sol Tentukn: 1 2 3 4 π/2 cos x dx, jwb: 1 0 ( 3 ) 1 2 x + 4 x dx, jwb: 10 2 4 2 1 x d dx x x dx, jwb: 7/3 0 x sin t dt, jwb: x sin x cos x + 1 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 33 / 45
Integrl Tktentu Integrl Tktentu Definisi (Integrl Tktentu) Mislkn F dlh nti-turunn f. Integrl tktentu f (x) terhdp x dlh f (x) dx = F (x) + C (7) Hsil integrl tentu (persmn 4) berup sutu bilngn, hsil integrl tktentu berup fungsi. Integrl tktentu dlh lmbng lin ntiturunn. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 34 / 45
Integrl Tktentu Formul Integrl Tktentu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kf (x) dx = k f (x) dx (f (x) ± g (x)) dx = f (x) dx ± g (x) dx x n dx = x n+1 / (n + 1) + C, n = 1 sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C sec 2 x dx = tn x + C csc 2 x dx = cot x + C sec x tn x dx = sec x + C csc x cot x dx = csc x + C (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 35 / 45
Aturn Substitusi Aturn Substitusi Aturn substitusi digunkn pd ksus: sulit menentukn nti-turunn integrn secr lngsung, tetpi bgin tertentu integrn dpt dimislkn dengn vribel bru sehingg lebih mudh dicri nti-turunnny. Contoh Ingin ditentukn 2 2x + 3 dx Solusi Mislkn u = 2x + 3 du/dx = 2 du = 2dx 2 2x + 3dx = udu = 2 3 u3/2 + C = 2 3 (2x + 3)3/2 + C (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 36 / 45
Aturn Substitusi 2 2x + 3dx =? Jik u = g (x) = 2x + 3, g (x) = 2 = du/dx, f (u) = u, mk berlku 2 2x + 3dx = f (g (x)) g (x) dx = f (u) du (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 37 / 45
Aturn Substitusi Teorem (Aturn Substitusi) Jik u = g (x) dlh fungsi terturunkn dn f kontinu pd W g, mk f (g (x)) g (x) dx = f (u) du b f (g (x)) g (x) dx = g(b) g() f (u) du (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 38 / 45
Aturn Substitusi Integrl Fungsi Simetri Ilustrsi Geometris (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 39 / 45
Aturn Substitusi Integrl Fungsi Simetri Dengn menggunkn turn substitusi, dpt ditunjukkn 1 Jik f fungsi genp, mk f (x) dx = 2 0 f (x) dx = 2 0 f (x) dx (8) 2 Jik f fungsi gnjil, mk f (x) dx = 0 (9) (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 40 / 45
Aturn Substitusi Sol (Aturn Substitusi) Evlusi integrl (1 5) berikut: 1 x sin x 2 dx, jwb: 1 2 cos x2 + C 2 3 4 5 2 1 1 0 π/2 x 2 x dx, jwb: 14/15 x 3 ( ) x 2 + 1 dx, jwb: 2/15 2 + 1 π/2 1 0 x 2 sin x dx, jwb: 0 1 + x6 x 1 x 4 dx, jwb: π/8 6 Gunkn turn substitusi untuk menunjukkn b Jik f genp, mk Jik f gnjil, mk f (x) dx = 2 f (x) dx = 0. 0 f (x) dx. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 41 / 45
Aturn Substitusi Ekspresi Integrl Tktentu Tidk Khs Sol Tunjukkn bhw sin x cos x dx menghsilkn ekspresi berbed dengn substitusi i) u = sin x, ii) u = cos x, iii) u = 2x berdsrkn kesmn sin 2x = 2 sin x cos x Hl tersebut menunjukkn bhw fungsi yng dihsilkn dri integrl tktentu dpt memiliki ekspresi/bentuk yng berbed. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 42 / 45
Telh Konsep I Kuis Benr-Slh Telh Konsep 1 Jik f dn g kontinu pd [, b], mk ( b f (x) g (x) dx = ) ( b f (x) dx ) b g (x) dx. 2 Jik f kontinu pd [, b], mk b xf (x) dx = x b f (x) dx. 3 Jik b f (x) dx = 0, mk f (x) = 0, x [, b]. 4 Jik b [f (x)]2 dx = 0, mk f (x) = 0, x [, b]. 5 Jik f kontinu pd [, b] dn f (x) 0, mk b b f (x) dx = f (x) dx 6 Jik f (x) g (x) pd [, b], mk b f (x) dx b g (x) dx. 7 Jik f (x) g (x) pd [, b], mk b f (x) dx b g (x) dx. 8 Jik > x dn F (x) = x f (t) dt, mk F (x) = f (x). (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 43 / 45
Telh Konsep II Kuis Benr-Slh Telh Konsep 9 Jik F (x) = G (x), x [, b], mk F (b) F () = G (b) G (). 10 Jik F (x) dlh nti-turunn dri f (x), mk F (2x) dlh nti-turunn dri f (2x). 1 ( 11 x 3 2x 7 + sin x ) 1 1 + x 2 dx = 0. 11 ( 12 x 2 + bx + c ) 11 ( dx = 2 x 2 + c ) dx. 13 14 11 3 cos 2 x dx = 1 x 2 d dx 1 n n i=1 15 lim 1 5 0 cos 2 x dx + 3 1 1 + t 2 dt = 1 1 + x 4. ( ) 2i 2 cos = cos x dx. n 0 5 cos 2 x dx. (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 44 / 45
Tentng Slide Telh Konsep Penyusun: N. K. Kuth Ardn (Dosen Dep. Mtemtik FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejk 2009) Medi Presentsi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 45 / 45