7 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Deskripsi Teori 1. Kesulitan Belajar Para guru terkadang sulit membedakan anak berkesulitan belajar learning disabilities dengan anak tunagrahita mental retardasion, karena pada umumnya mereka memiliki pemahaman yang berbeda-beda tentang pengertian anak berkesulitan belajar. Pengertian kesulitan belajar menurut National Joint Committee or Learning Disabilities yaitu: Kesulitan belajar adalah suatu batasan generik yang menunjuk pada suatu kelompok kesulitan yang dimaniestasikan dalam bentuk kesulitan yang nyata signiiant dalam kemahiran dan menggunakan kemampuan mendengarkan, berakap- akap, membaa, menulis, menalar, atau kemampuan di bidang matematika. Gangguan tersebut instrinsik dan diduga disebabkan oleh adanya disungsi sistem syara pusat. Meskipun suatu kesulitan belajar mungkin terjadi berbarengan dengan adanya kondisi gangguan lain misalnya gangguan sensoris, retardasi mental, hambatan sosial dan emosional atau pengaruhpengaruh lingkungan misalnya, perbedaan budaya, pembelajaran yang tidak tepat, aktor- aktor psikogenik, hambatan- hambatan tersebut bukan penyebab atau pengaruh langsung. Muljono dan Sudjadi, 1994:133-134 Ada beberapa maam klasiikasi kesulitan belajar, salah satunya adalah seperti yang dikemukakan Kirk dan Gallagher dari Bureau o Eduation or
8 Handiapped o the United States Oie o Eduation Muljono dan Sudjadi,1994:136 yaitu kesulitan belajar dalam : 1. Ekspresi oral 2. Pemahaman mendengarkan 3. Ekspresi tertulis 4. Ketrampilan membaa dasar atau permulaan 5. Pemahaman membaa 6. Perhitungan matematis 7. Penalaran matematis Dari ketujuh klasiikasi tersebut pada hakekatnya dapat diringkas menjadi 3 klasiikasi yaitu : 1 kesulitan bahasa resepti dan ekspresi; 2 kesulitan belajar membaa dan menulis; 3 kesulitan belajar matematika. 2. Kesulitan Belajar Matematika dan Karakteristiknya Kesulitan belajar matematika disebut dengan istilah diskalkulia, sedangkan kesulitan belajar matematika yang berat disebut akalkulia Mulyono,1996:224. Menurut Janet W. Lerner Mulyono,1996:224-226 ada beberapa karakteristik anak berkesulitan belajar matematika yaitu : a. Gangguan Hubungan Keruangan Konsep hubungan keruangan ontohnya pemahaman atas- bawah, punak- dasar, jauh- dekat, tinggi- rendah, depan- belakang, dan awal
9 akhir pada umumnya sudah dikuasi oleh anak sebelum masuk sekolah dasar. Gangguan memahami hubungan keruangan disebabkan oleh kondisi intrinsik seperi disungsi otak dan kondisi ekstrensik seperti lingkungan sosial yang tidak menunjang terselenggaranya komunikasi yang dapat menyebabkan anak mengalami gangguan pemahaman konsep ini. Gangguan ini menyebabkan anak sulit memahami sistem bilangan. Misalnya anak tidak mampu merasakan jarak antarbilangan seperti jarak angka 2 dengan 3 lebih dekat daripada jarak angka 2 dengan 7. b. Abnormalitas Persepsi Visual Abnormalitas persepsi visual adalah jika seorang anak sulit atau tidak dapat melihat berbagai objek dalam hubungannya dengan kelompok atau set. Contohnya seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan dua kelompok benda yang masing- masing terdiri dari tiga dan tujuh anggota, ia akan menghitung satu persatu jumlah tiap kelompoknya sebelum menjumlahkannya.. Asosiasi Visual-Motor Asosiasi visual-motor yaitu seserasian antara aktivitas visual dan motorik anak. Misal seorang anak yang diminta menghitung benda sambil menyentuh benda- benda tersebut satu persatu, ia baru menyentuh benda ketiga namum sudah berhitung sampai empat. Kesalahan seperti ini yang nantinya mempersulit anak dalam memahami makna bilangan- bilangan.
10 d. Perseverasi Gangguan perseverasi yaitu adanya perhatian yang melekat pada suatu objek pada jangka waktu yang relative lama. Pada awalnya anak tersebut dapat mengerjakan soal dengan baik, tetapi lama- kelamaan perhatiannya melekat pada sutu objek. Misal seorang anak diminta mengerjakan soal seperti di bawah ini : 5 + 1 = 6 5 + 2 = 7 5 + 3 = 8 5 + 4 = 9 4 + 4 = 9 3 + 4 = 9 Angka 9 diulang beberapa kali oleh siswa tanpa memperhatikan kaitannya dengan konsep matematika. e. Kesulitan Mengenal dan Memahami Simbol Kesulitan belajar matematika dapat disebabkan karena ketidakpahaman siswa terhadap simbol- simbol matematika seperti +, -, =, <, dan >. Bisa disebabkan oleh gangguan memori atau bisa juga karena gangguan persepsi visual.. Gangguan Penghayatan Tubuh
11 Anak yang diskalkulia bisanya sering memperlihatkan adanya gangguan penghayatan tubuh body image. Misalnya anak sulit memahami hubungan bagian- bagian tubuh sendiri. g. Kesulitan dalam Bahasa dan Membaa Kemampuan membaa jelas dibutuhkan dalam mengejakan soal- soal matematika, seprti pengertian matematika yang telah dijelaskan di subbab sebelumnya bahwa matematika adalah bahasa simbol. Anak yang kesulitan dalam membaa tentunya akan kesulitan memahami soal, terutama soal tertulis. h. Skor Perormane IQ Jauh Lebih Rendah daripada Skor Verbal IQ Tes intelengensi memiliki dua subtes, subtes verbal dan subtes kinerja perormane. Subtes verbal menakup tes tentang inormasi, persamaan, aritmetika, perbendaharaan kata dan pemahaman. Sedangkan subtes kinerja menakup melengkapi gambar, menyusun gambar, menyusun baok, menyusun objek, dan oding. Tes kinerja ini sangat terkait dengan kemampuan persepsi visual, asosiaasi visual- motor, dan konsep keruangan. 3. Objek Matematika dalam Materi Limit Fungsi Terdapat beberapa deinisi matematika yang dikemukaan oleh banyak pihak dan tokoh. Salah satu deinisi dikemukaan oleh Beth & Piaget dalam Runtukahu, 2014: 28 yang mengatakan bahwa matematika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan struktur abstrak dan hubungan antarstruktur tersebut sehingga teroganisasi dengan baik. Sedangkan R.E.
12 Reys dalam Runtukahu 2014: 28 mengemukaan bahwa matematika adalah studi tentang pola dan hubungan ara berpikir dengan strategi organisasi, analisis dan sintesis, seni, bahasa, dan alat untuk memeahkan masalahmasalah abtrak dan praktis. Sementara James & James Suherman, 2001: 18 mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep- konsep yang berhubungan satu dengan yang lain yang terbagi menjadi tiga bidang yaitu aljabar, analisis dan geometri. Perbedaan deinisi ini terjadi karena perbedaan sudut pandang dan karena matematika itu sendiri masih dapat berkembang dalam hal metode dan isinya Bell, 1978: 23. Walaupun matematika dideinisikan menjadi banyak hal, R. Soedjadi 2000:13 menyimpulkan bahwa setelah mendalami deinisi- deinisi tersebut, pada dasarnya matematika memiliki beberapa karakteriristik yaitu 1 memiliki objek abstrak, 2 bertumpu pada kesepakatan, 3 berpola pikir dedukti, 4 memiliki simbol kosong dari arti, 5 memperhatikan semesta pembiaraan, 6 dan konsisten dalam sistemnya. Salah satu karakterisktik tersebut yaitu matematika memiliki objek abstrak. Gagne Suherman, 2001: 35 mengemukakan bahwa objek matematika terdiri dari objek langsung dan tak langsung. Objek langsung terdiri dari akta, keterampilan, konsep dan prinsip. Sedangkan objek tak langsung terdiri dari kemampuan menyelidiki dan memeahkan masalah, belajar mandiri, bersikap positi terhadap matematika, dan tahu bagaimana semestinya belajar. Bell 1978:108 mengemukakan bahwa keempat objek langsung di atas adalah 4 kategori
13 yang dapat dipisahkan dalam matematika. Penjabaran mengenai keempat objek menurut R. Soedjadi 2000:13-16 dan Bell 1978:108-109 adalah sebagai berikut. 1. Fakta Fakta adalah semua kesepakatan dalam matematika berupa simbolsimbol Matematika. Siswa dikatakan memahami akta apabila ia telah dapat menyebutkan dan menggunakannya seara tepat. Contoh pemahaman siswa terhadap akta dalam materi it ungsi adalah siswa dapat menuliskan dan membaa simbol it a. 2. Keterampilan Keterampilan adalah operasi atau prosedur yang diharapkan dapat dikuasai siswa seara epat dan tepat. Siswa dikatakan dapat menguasai keterampilan dalam materi it apabila siswa dapat menyelesaikan berbagai jenis masalah tentang it ungsi dengan prosedur yang benar. Contohnya dalam menyelesaikan soal it ungsi aljabar siswa menggunakan operasi aljabar dengan benar. 3. Konsep Konsep adalah ide abstrak yang memungkinkan seseorang dapat menentukan apakah suatu objek atau kejadian merupakan ontoh konsep atau bukan ontoh konsep. Siswa dikatakan menguasai konsep apabila ia mampu mengidentiikasi ontoh dan nonontoh konsep. Contoh pada materi it ungsi adalah siswa dapat mengidentiikasi deinisi it ungsi di suatu titik dan deinisi it ugsi di tak hingga.
14 4. Prinsip Prinsip adalah rangkaian beberapa konsep seara bersama-sama beserta hubungan keterkaitan antarkonsep tersebut. Siswa dikatakan menguasai prinsip apabila siswa dapat mengidentiikasi konsep-konsep yang terkandung di dalam prinsip tersebut, menentukan hubungan antarkonsep, dan menerapkan prinsip tersebut ke dalam situasi tertentu. Contoh pemahaman siswa dalam it ungsi adalah siswa dapat menggunakan teorema- teorema it, prinsip menari nilai it ungsi suatu ungsi di suatu titik, prinsip menari nilai it ungsi suatu ungsi di tak hingga, dan prinsip menari nilai it ungsi trigonometri di suatu titik dalam persoalan it ungsi lengkap dengan prosedur yang benar. 4. Materi Limit Fungsi Kelas XI IPA a. Limit Fungsi di Suatu Titik Seara Intuiti Seara intuiti pengertian it ungsi dapat diuraikan melalui penjelasan berikut ini: = L berarti bahwa jika dekat tetapi berlainan dengan, maka dekat ke L. Varberg & Purell, 2001:88 Contoh: Misal diketahui ungsi yang dirumuskan sebagai berikut = 2 + 2 1
15 Fungsi tersebut tidak terdeinisi di = 1 karena ketika = 1 ungsi ini memiliki penyebut 0 sehingga tidak terdeinisi. Namun perhatikan nilai ungsi ketika nilai mendekati 1 dari kanan dan kiri. Fungsi terdeinisi untuk setiap bilangan real keuali di = 1 dapat dilihat keenderungan nilai ketika nilai mendekati 1 melalui tabel berikut: 0,9 0,99 0,999 0,9999 1,0001 1,001 1,01 1,1 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1 Dari tabel di atas didapat nilai mendekati 3 ketika makin mendekati 1 dari kanan maupun dari kiri. Dengan demikian seara intuiti hal ini dapat dinyatakan dengan it ungsi untuk mendekati 1 adalah 3 dan ditulis 2 + 2 = 3 1 1 b. Limit Fungsi di Tak Hingga Nilai it ungsi di tak hingga adalah nilai suatu ungsi jika mendekati tak hingga. Maka kita dapat memperoleh nilainya dengan penjabaran sebagai berikut. Jika = 1 maka nilai it ungsi tersebut adalah 0 jika mendekati tak hingga. Hasil ini didapat dari: 1 2 10 100 1000 10000 1000000 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,000001 0
16 Kesimpulan dari penjelasan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 = 0 Konsep di atas inilah yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan it ungsi di tak hingga.. Siat-siat Limit Fungsi Diketahui n bilangan bulat positi, k suatu konstanta, dan ungsi dan g masing-masing mempunyai it di, maka 1. Jika L dan M maka L = M Ketunggalan it ungsi 2. k k 3. 4. k k 5. g g 6. g g 7. g g 8. g g asalkan 0 g 9. n n
17 10. n n asalkan 0 untuk n genap 11. a. Jika L maka L b. Jika 0 maka 0 d. Limit ungsi Trigonometri Teorema dasar it ungsi trigonometri di bawah ini diturunkan dengan menggunakan Prinsip Apit dan rumus trigonometri. Endang Dedy, 2003:85-87 Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri sin 0 = 1 Bukti: Pada lingkaran satuan dengan persamaan 2 + y 2 = 1 pada gambar berikut: 1 C P -1 O A1,0 B 1-1 Gambar 1 Lingkaran satuan yang berpusat di 0,0
18 Pada Gambar 1 menunjukkan sudut AOP = radian, segitiga OBP siku- siku di B dan PB menyinggung juring lingkaran BOC, dengan 0 < < π 2 maka berlaku: Luas juring BOC Luas OBP Luas juring AOP 2π π OB2 1 OB. PB π OA2 2 2π 2 os 2 1 2 os. sin 2 12 2 os2 1 2 os. sin 2 os 2 os. sin os 2. os os. sin. os os sin 1 os. os 0 sin os 0 1 0 os sin 1 0 1 sin Maka = 1 0 Untuk menari nilai it yang memuat tan adalah sebagai berikut.
19 sin tan = os 0 0 sin = 0 sin = 0 1 os 1 0 os = 1 1 os 0 = 1 1 = 1 Dengan ara yang sama, maka diperoleh 0 tan = 0 sin os = os = os 0 sin 0 sin = 1 os 0 = 1 1 = 1 Jadi, terbukti tan 0 = 1 dan 0 tan = 1 5. Diagnosis Kesulitan Belajar Siswa Guru sebagai pendidik selain bertugas untuk memasilitasi siswa dalam pembelajaran di sekolah, guru juga dituntut untuk mengawasi perkembangan peserta didik. Salah satu bentuk pengawasan perkembangan peserta didik adalah guru dituntut untuk dapat mendiagnosis siswa yang berkesulitan belajar. Menurut Sugihartono 2007:149 pengertian diagnosis menurut beberapa ahli dapat disimpulkan menjadi penentuan jenis masalah atau kelainan atau ketidakmampuan dengan meneliti latar belakang penyebabnya dengan ara menganalisis gejala- gejala yang tampak. Maka
20 diagnosis kesulitan belajar adalah penentuan kesulitan belajar siswa dengan meneliti penyebab kesulitan belajar tersebut dengan menganalisis gejala yang tampak. Menurut Cooney 1975:205-206 adalah beberapa tahapan mendiagnosis siswa yang berkesulitan belajar yaitu: a. Identiikasi siswa yang berkesulitan belajar Identiikasi siswa dilakukan agar guru atau peneliti dapat okus ke siswa yang berkesulitan belajar. Proses identiikasi dapat dilakukan dengan menganalisis dan membandingkan nilai ulangan harian, ujian semester dan mid semester pada bab atau semester sebelumnya dan mengobservasi kegiatan pembelajaran materi it ungsi. b. Mengidentiikasi jenis kesulitan dan kesalahan siswa Setelah tahap pertama selesai peneliti atau guru perlu mengidentiikasi kesulitan dan kesalahan siswa pada saat pembelajaraan it ungsi. Identiikasi jenis kesulitan ini dapat dilakukan dengan memberikan tes tertulis tes diagnostik kepada seluruh siswa agar siswa yang mungkin tidak masuk pada tahap pertama dapat terindentiikasi.. Memperkirakan penyebab kesulitan dan kesalahan siswa Penyebab kesulitan belajar siswa meliputi beberapa hal seperti yang telah diungkapkan oleh Cooney 1975: 2010-214 yaitu: Faktor psikologis
21 Faktor sosial Faktor emosional Faktor intelektual Faktor pedagogis d. Diagnosis Kesulitan Siswa Dilihat dari Faktor Intelektual Walaupun ada beberapa aktor yang mempengaruhi kesulitan belajar siswa namun penelitian ini hanya mengkhususkan analisis kesulitan belajar siswa dilihat dari aktor intelektualnya saja. Kesulitan siswan siswa dilihat dari aktor intelektualnya dapat diidentiikasi dari ketidakmampuan siswa memahami, menyimpulkan, dan mengunakan konsep dan prinsip khususnya dalam penelitian ini konsep dan prinsip it ungsi. Kekurangan siswa pada pemahamanan materi dari sisi intelektualnya akan membuat siswa tersebut tidak dapat mengikuti pembelajaran dengan baik karena mereka tidak dapat memahami materi yang disampaikan guru apalagi menyelesaikan persoalan yang diberikan. Penjabaran diagnosis kesulitan siswa jika dilihat dari aktor intelektualnya menurut Cooney1975:216-222 adalah sebagai berikut: a Diagnosis Kesulitan Siswa dalam Penggunaan Konsep Setelah pembelajaran selesai maka dapat diasumsikan bahwa siswa sudah diberikan materi tetapi belum menguasi sepenuhnya. Contoh gejala yang
22 ditunjukkan siswa- siswa yang didiagnosis mengalami kesulitan belajar dalam penggunakaan konsep adalah seperti berikut ini: 1 Siswa tidak dapat menyebutkan nama teknis dari suatu simbol matematika, misalnya siswa tidak dapat menyebutkan bahwa adalah lambang dari bilangan tak hingga atau siswa tidak dapat menyebutkan bahwa lambang 3 dibaa mendekati 3. 2 Ketidakmampuan siswa untuk menyebutkan arti dari suatu istilah, misalnya siswa tidak paham apa yang dimaksud dengan it atau tidak paham apa yg dimaksud dengan mendekati dalam materi it. 3 Siswa tidak mampu mengingat syarat yang dibutuhkan untuk mengidentiikasi suatu istilah atau simbol. Misalnya siswa tidak ingat bahwa syarat suatu ungsi dikatakan punya it adalah apabila it kiri sama dengan it kanan. 4 Siswa salah mengklasiikasi ontoh dan nonontoh. Miisalnya siswa siswa tidak bisa membedakan mana persoalan yang menggunakan konsep it mendekati bilangan dan mana persoalan yang menggunakan konsep it tak hingga. 5 Siswa tidak dapat menggunakan konsep yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu persoalan. b Diagnosis Kesulitan Siswa dalam Penggunaan Prinsip Gejala siswa yang mengalami kesulitan belajar dalam menggunakan prinsip adalah sebagai berikut:
23 1 Siswa tidak dapat menentukan kapan suatu prinsip diperlukan untuk menyelesaikan suatu persoalan. Misalnya siswa tidak dapat menentukan kapan salah satu teorema it digunakan untuk mengerjakan persoalan it ungsi. 2 Siswa tidak dapat menjelaskan alasan mengapa ia menggunakan prinsip tersebut. Misalnya siswa dapat menggunakan suatu teorema dalam mengerjakan soal it ungsi dengan benar, namun pada tes lisan ia tidak dapat menjelaskan mengapa ia harus menggunakan teorema tersebut. 3 Siswa tidak dapat menggunakan prinsip dengan tidak benar. 4 Siswa tidak dapat membedakan prinsip yang benar dan tidak benar. 5 Siswa tidak dapat menggeneralisasi suatu prinsip dan memodiikasinya. Misalnya ketika siswa tidak dapat menyelesaikan suatu persoalan yang mengharuskan ia menggunakan dan memodikasi bentuk suatu it ungsi dan memodiikasi beberapa teorema it. B. Penelitian yang Relevan 1. Penelitian oleh Ervinta Astrining Dewi Penelitian yang relevan dengan penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Ervinta A.D. dalam skripsinya yang berjudul Kajian Kesulitan Belajar Logaritma dan Eksponen Siswa Kelas X Program CI SMAN 2 Bantul Tahun Ajaran 2010/2011 pada tahun 2012. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui beberapa kesulitan yang berkaitan dengan
24 konsep dan prinsip dalam menyelesaikan persoalan logaritma dan eksponen yang dialami siswa kelas X program CI di SMAN 2 Bantul. Dalam penelitian ini subjek penelitian sudah mempelajari materi logaritma dan eksponen pada saat proses pembelajaran di kelas. Hasil penelitian menunjukkan bahwa 13 siswa kelas X program CI SMAN 2 Bantul telah teridentiikasi mengalami kesulitan dalam menyelesaikan persoalan logaritma dan eksponen yang berkaitan dengan konsep dan prinsip logaritma dan eksponen. Konsep yang tidak dikuasai siswa adalah konsep bilangan berpangkat bulat negati, konsep bilangan berpangkat peahan, konsep bentuk akar, dan konsep logaritma. Sedangkan prinsip yang tidak dikuasai siswa adalah siat operasi pembagian bilangan berpangkat, siat perpangkatan bilangan berpangkat, siat operasi aljabar dengan bentuk akar, siat mengubah bilangan pokok, siat perkalian, siat logaritma, hubungan bilangn berpangkat bulat positi dan negates, hubungan bilangan berpangkat dan bentuk akar, dan relasi antara bilangan berpangkat dan logaritma. 2. Penelitian oleh Astrid Amreta Sari Penelitian yang relevan dengan penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Astrid A. S. dalam skripsinya yang berjudul Analisis Kesulitan Siswa Kelas VII SMPN 15 Yogyakarta Tahun Ajaran 2010/2011 dalam Menyelesaikan Persoalan Peahan pada tahun 2012. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui beberapa kesulitan yang dialami
25 siswa dalam menyelesaikan persoalan peahan yang dialami siswa kelas VII SMPN 15 Yogyakarta serta penyebab kesulitan tersebut. Hasil penelitian menunjukkan bahwa kesulitan siswa dalam menyelesaikan persoalan peahan berkaitan dengan pemahaman konsep dan prinsip peahan. Konsep yang tidak dikuasai siswa adalah konsep peahan dan desimal. Sedangkan prinsip yang tidak dikuasi siswa adalah prinsip urutan operasi hitung, penjumlahan peahan, pembagian peahan bentuk a b d = a: dan a b = a : b b d, operasi hitung peahan negative, mengubah peahan biasa menjadi deimal dan sebaliknya, mengubah lambang bilangan bulat menjadi peahan biasa, menyederhanakan peahan, pemangkatan peahan, dan perkalian peahan berpangkat. Penyebab kesulitan siswa adalah kurangnya penguasaan konsep dan prinsip peahan, kelemahan siswa dalam mengingat, dan ketidaktahuan akan konsep dan prinsip peahan. C. Kerangka berpikir 1. Materi matematika terkait dengan berbagai disiplin ilmu dan materi matematika yang lain. Sehingga memahami materi it ungsi adalah salah satu dasar untuk memahami materi kalkulus dan penggunaan kalkulus pada jenjang pendidikan selanjutnya.
26 2. Konsep dan prinsip it ungsi adalah objek matematika yang penting untuk dipahami oleh siswa dalam mempelajari materi it ungsi seara keseluruhan karena it ungsi adalah dasar dari materi kalkulus. 3. Kesalahan siswa pada saat memeahkan persoalan it mengindikasikan ketidakpahaman siswa pada objek matematika pada materi it khususnya konsep dan prinsip. 4. Kesalahan siswa dalam memeahkan soal adalah salah satu indikator kesulitan belajar siswa khusunya dalam materi it ungsi. 5. Letak kesulitan siswa dalam mempelajari it ungsi belum diketahui. 6. Untuk mengetahui kesulitan siswa dalam materi it ungsi perlu dilakukan observasi saat pembelajaran, memberikan tes diagnostik di akhir pembelajaran. 7. Penelitian akan menjelaskan kesulitan- kesulitan siswa dalam mempelajari materi it ungsi.