PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN Sol Dierikn du vektor segi erikut: Grkn vektor ) ) Jw: ) Untuk enggr vektor, gr dhulu vektor, llu disung dengn vektor Vektor dlh vektor yng pnjngny kli vektor dn rhny s dengn rh vektor Gr dulu yuk vektor : Keudin, dilnjutkn dengn enggr vektor Letkkn pngkl vektor pd ujung vektor : Llu n vektor? But gris errh (vektor) dri pngkl vektor pert (yitu pngkl vektor ujung vektor kedu (yitu ujung vektor ) Itulh vektor Grnye: ) ke SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
) Untuk enggr vektor, gr dhulu vektor, llu disung dengn vektor Pert, gr vektor : Selnjutny, vektor dlh vektor yng pnjngny s dengn pnjng vektor, tpi rhny erlwnn dengn rh vektor Klu vektor rhny ke knn ts: Mk vektor rhny ke kiri wh: Geser vektor ini ke vektor, pngkl vektor ditepelkn ke ujung vektor SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Nh, huungin pngkl vektor pert (yitu pngkl vektor ) ke ujung vektor kedu (yitu ujung vektor ), jdi deh vektor Sol Dikethui Jw:, Untuk sol ini, gunkn ruus enwn erikut:, sudut pit ntr vektor dn dlh o Mk cos Hflin ruus ini yuuuk!! dengn dlh sudut pit ntr vektor dn Msukkn nili-nili yng d, cos cos kudrtkn SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl 9 9 tu 9 tu Solusiny dlh se pnjng vektor disusikn positif Jdi, (Ternyt, eechkn sol vektor tidk sesulit eechkn tu krng dengn gergji!!) Sol Dikethui persn c dengn, 9 dn n k c Mk nili k + + n = Jw: Kit uli dri persn: c Msukkn nili vektor c dn,,, sehingg enjdi: 9 n k 9 7 n k 9 7 n k Dri sini, kit peroleh: 7 k 7 k 9 n 7 n Sehingg 7 7 n k
Sol Titik D(, 7), E(, ) dn F(p, ) terletk pd stu gris lurus Mk nili p = Jw: Jik titik D, E dn F segris, k erlku: Dri sini, DF DE f d ( e d) p 7 7 p p dn p p p p Mk nili dri 99 9 9 p SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Sol Apkh syrt du vektor sejjr? Jelskn! Nh, jik vektor s p q sejjr dengn vektor t k nili p q Jw: Du vektor sejjr jik vektor yng stu dlh keliptn dri vektor yng lin Jik vektor s sejjr dengn vektor t, k dpt ditulis s t Msukkn nili vektor s dn t pd sol, didptkn: Dri koponen pert, Dri koponen kedu, Dri koponen ketig, p q = = p p p = q () q ( ) q (dengn sutu ilngn riil) Mk nili p q ( ) Sol Jik p i j dn q i j k k p q Jw: SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl 7 k j i k j i j i k j i j i q p ) ( ) ( Mk 9 p q Sol 7 Dierikn dn Tentukn: (i) hsil kli sklr (ii) vektor stun serh vektor (iii) pnjng proyeksi vektor pd (iv) proyeksi vektor orthogonl pd Jw: (i) Hsil kli (ii) Vektor stun serh vektor dlh 9 ) ( (iii) Pnjng proyeksi vektor pd dlh ) ( Klu u dirsionlkn penyeutny jug oleh!! 9
SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl (iv) Proyeksi vektor orthogonl pd dlh ) ( ) ( 9 Klu ilngn 9 disukin ke dl koponen-koponen vektor jug oleh, nggk dirhin kok! 9 9 9 9 Sol Dierikn titik-titik P(,, ), Q(,, ) dn R(,, ) Tentukn: (i) Jrk PQ (ii) Jik dlh sudut yng dientuk ntr vektor PQ dn PR, tentukn nili cos Jw: (i) Cri dulu vektor PQ, keudin hitung pnjngny (yitu PQ) p q PQ Mk 7 ) ( PQ PQ
(ii) Gunkn ruus cos PQ PR PQ PR Dri sol (i) sudh didptkn PQ dn PQ 7 Sekrng kit cri PR dn PR PR r p, sehingg PR ( ) 9 Mk cos PQ PR PQ PR 7 7 7 Sol Mtetik d c: Sol yng singkt, udh dn sipel Sol yng engsyikkn Sol 9 Di sutu idng terletk titik A(7, ) dn titik B(, 7) Titik P terletk pd rus gris AB sehingg AP : PB = : Sedngkn titik Q terletk pd perpnjngn AB sedeikin sehingg AB : BQ = 7 : Tentukn koordint titik P dn titik Q! Jw: SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl 9
Perhtikn gr! Titik P terletk di dl rus gris AB Vektor posisi titik P dpt dicri dengn persn: p 7 7 7 7 7 sehingg koordint titik P dlh (, ) Untuk titik Q, perhtikn hw titik Q terletk di lur rus gris AB Perhtikn gr di ts! Kren AB : BQ = 7 :, k AQ : QB = 9 : sehingg vektor posisi titik Q dpt dinytkn dengn persn q 9 9 7 9 7 7 7 7 9 Sehingg koordint titik Q dlh (, 9) Sol Vektor 9 tegk lurus vektor Tentukn nili Jw: Jik vektor tegk lurus k erlku persn: SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl (Bukti: Jik vektor tegk lurus k sudut pitny 9, sehingg cos 9 cos, terukti) Jdi, 9 ) ( 9 9 Sol Dierikn vektor = i + j + xk dn vektor = i j + k Jik pnjng proyeksi vektor pd dlh, k x = Jw: INGAT! Pnjng proyeksi vektor pd dlh Dl entuk vektor kolo, vektor dn is jug ditulis: = i + j + xk x = i j + k Kren pnjng proyeksiny, k: = ) ( x - x x
x x x x x (Peilng dn penyeut s-s digi ) Sol Dikethui vektor-vektor stun rh suu X, Y dn Z erturut-turut dlh Tentukn: () i (ii) k (iii) k k (d) i j i, j, dn k Jw: () i (Alsn: Kren i dlh vektor stun, pnjngny tentu stun dong!) () k (Alsn: k jug vektor stun) (c) k k k k cos (INGAT! Sudut ntr vektor k dengn k dlh o INGAT jug nili cos ) (d) i j i j cos 9 (INGAT! Sudut ntr vektor i dn j dlh 9 INGAT jug cos 9 ) Sol Dikethui dn Sudut pit ntr vektor dn dlh o Nili dri SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Jw: Gunkn definisi perklin sklr cos Mk: cos cos Sol Pd jjrgenjng PQRS, vektor QP u dn QR v Titik X dlh titik tengh SR, sedngkn titik Y dlh titik tengh PS Nytkn vektor: () () QX XY dl u dn v! Jw: () Perhtikn gr! QX QR RX v u () Perhtikn gr! XY XS SY u v (Liht vektor SY dn v erlwnn rh) SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Sol Tentukn hipunn penyelesin pertidksn erikut ini: ( x )( x ) () ( x 9) () x 9 x x Jw: ( x )( x ) () Pertidksn ( x 9) Pert, tentukn titik-titik ts, yitu nili-nili x sehingg: x ( x ) ( x 9) x x x 9 x x 9 Llu letkkn nili-nili ts ini pd gris ilngn: Perhtikn hw pd ngk titikny stu uh, ngk titikny du uh, sedngkn pd ngk 9 titikny tig uh, sesui dengn pngkt pd sol ( x )( x ) ( x 9) Ingt turn pengisin tnd: Jik titikny gnjil, k derh knn dn kiriny ered tnd Jik titikny genp, k derh knn dn kiriny s tnd SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Cek tnd untuk derh pling knn Ail serng ilngn yng > 9, islkn Msukkn x = ke entuk ( x )( x ) ( x 9) ( x )( x ) ( x 9) ( )( ) ( 9) 9 hsilny positif Jdi kit isi deh derh pling knn positif: Kren ngk 9 titikny d tig (gnjil), k derh tept di seelh kiri 9 tndny ered, yitu negtif: Dn kren ngk titikny d du (genp), k derh tept di kiri tndny s, yitu negtif: Keudin, kren ngk titikny d stu (gnjil), k derh tept di kiri tnd ered dengn di knnny, yitu ertnd positif: Lengkplh sudh pengisin tnd! ( x )( x ) Pd sol, ( x 9) negtif errti yng diint dlh derh yng ertnd SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Sehingg hipunn penyelesin (HP)ny dpt ditulis segi: HP { x x tu x 9, x ilngn riil } tu is jug ditulis: HP { x x 9, x, x ilngn riil } () Cr enyelesikn pertidksn x 9 x x dlh dengn engkudrtknny enjdi: dengn syrt entuk di wh tnd kr hrus : x 9 x x (I) x 9 (II) dn x x (III) Pert, kit selesikn dulu pertidksn (I): Bgnny: x 9 x x 9 x x x (*) SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl
Berikutny, kit kerjkn pertidksn (II): x 9 ( x )( x ) x tu x (**) (Cttn: Kren d tnd = ny, ultnny penuh) Jug kit kerjkn pertidksn (III): x x ( x )( x ) x tu x (***) (Cttn: Kren d tnd = ny, ultnny penuh) Nh, penyelesin khirny dlh irisin dri ketig derh terseut (derh (*), (**), dn (***)) Irisn dlh gin yng erd di wh tig gris Yuuk kit iris: Mk HP { x x, x ilngn riil} SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl 7
SMAN Jkrt/X-IPA/Mtetik Peintn/QCQC PAT Hl