MODUL IRISAN KERUCUT

MATERI MODUL 1 : IRISAN KERUCUT Stadar Kompetesi : Meerapka Kosep Irisa Kerucut dalam memecaha masalah Kompetesi Dasar : 1. Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega ligkara. Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega parabola 3. Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega ellips 4. Meyelesaika model matematika dari masalah yag berkaita dega hiperbola MATERI MODUL STATISTIKA Stadar Kompetesi : Meerapka Atura Kosep Statistika dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar : Meyajika data dalam betuk tabel Program Keahlia : Tehik Komputer da Iformatika Kelas / Semester : XII / Gajil MODUL IRISAN KERUCUT A. LINGKARAN Ligkara adalah tempat keduduka titik - titik yag berjarak sama terhadap sebuah titik tertetu yag digambarka pada bidag cartesius. Jarak yag sama disebut jari - jarii ligkara da titik tertetu disebut pusat ligkara 1. Persamaa Ligkara a. Persamaa ligkara yag berpusat di O(0,0) da berjari - jari r adalah : x + y = r Tetuka persamaa ligkara yag berpusat di O(0,0) da berjari - jari : a. 5 b. 1 a. Diketahui ligkara berpusat di O(0,0) da r = 5, maka persamaa ligkara adalah x + y = 5 x + y = 5 b. Diketahui ligkara berpusat di O(0,0) da r = 1, maka persamaa ligkaraya adalah x + y = ( 1 ) x + y = 1 x + y = 1 b. Persamaa Ligkara yag berpusat di P(a,b) da berjari - jari r adalah : ( x - a ) + ( y - b ) = r 1. Tetuka persamaa ligkara yag berpusat di (6,-3) da berjari - jari 5. Tetuka pusat da jari - jari ligkara yag persamaaya (x + 3) + (y - ) = 8 1. Diketahui ligkara berpusat di (6,-3) berarti a=6, b=-3 da r = 5 maka persamaa ligkaraya adalah ( x - a ) + ( y - b ) = r (x - 6) + (y - (-3)) = 5 (x - 6) + (y + 3) = 5 x - 1x + 36 + y + 6y + 9 = 5 x + y - 1x + 6y + 0 = 0. Persamaa ligkara berpusat di (a,b): (x - a) + (y - b) = r (x + 3) + (y - ) = 8 berarti x-a x+3 -a = 3 a=-3 da y-b y- b= maka ligkara tersebut berpusat di (-3,) da berjari - jari r = 8 r = 8 = c. Betuk Umum Persamaa Ligkara Persamaa ligkara dega Betuk Umum : x + y + Ax + By + C = 0 1 NIP. 1971050 199803 008

memiliki Pusat ( A, B ) da berjari - jari r = A B 4 + 4 C Tetuka pusat da jari - jari ligkara dega persamaa x + y - 4x - y + 4 = 0 Persamaa ligkara : x + y - 4x - y + 4 = 0 dimaa A = -4, B = - da C = 4 Pusat = P ( ( 4), ( ) ) = (,1) da r = ( 4) ( ) 4 + 4 4 = 1 Jadi ligkara tersebut memiliki pusat (,1) da jari - jari r = 1. Keduduka Titik Terhadap Ligkara a. Keduduka titik terhadap ligkara L : x + y = r Diberika ligkara L : x + y = r Titik P 1(x 1,y 1) terletak di luar ligkara L jika x 1 + y 1 > r Titik P (x,y ) terletak pada ligkara L jika x + y = r Titik P 3(x 3,y 3) terletak di dalam ligkara L jika x 3 + y 3 < r b. Keduduka titik terhadap ligkara L: (x - a) + (y - b) = r Diberika ligkara L : (x - a) + (y - b) = r Titik P 1(x 1,y 1) terletak di luar ligkara L jika (x 1 - a) + (y 1 - b) > r Titik P (x,y ) terletak pada ligkara L jika (x - a) + (y - b) = r Titik P 3(x 3,y 3) terletak di dalam ligkara L jika (x 3 - a) + (y 3 - b) < r 1. Jika titik (p,3) terletak pada ligkara (x + 1) + (y - 7) = 5. Tetuka ilai p. (p,3) (p + 1) + (3-7) = 5 p + p + 1 + 16-5 = 0 p + p - 8 = 0 (p - )(p + 4) = 0 p = atau p = - 4. Tetuka keduduka titik - titik A(3,5), B(-1,-1) da C(3,1) terhadap ligkara (x - ) + (y + 1) = 9. A(3,5) (x - ) + (y + 1) = (3 - ) + (5 + 1) = 1 + 36 = 37 > 9 B(-1,-1) (x - ) + (y + 1) = (-1 - ) + (-1 + 1) = 9 + 0 = 9 C(3,1) (x - ) + (y + 1) = (3 - ) + (1 + 1) = 1 + 4 = 5 < 9 Jadi, Keduduka titik A(3,5) terletak di luar ligkara, titik B(-1,-1) terletak pada ligkara da C(3,1) terletak didalam ligkara 3. Jika titik (-5,k) terletak pada ligkara x + y + x - 5y - 1 = 0, tetuka ilai k. (-5,k) x + y + x - 5y - 1 = 0 (-5) + k + (-5) - 5k - 1 = 0 5 + k - 10-5k - 1 = 0 k - 5k - 6 = 0 (k - 6)(k + 1) = 0 k = 6 atau k = -1 4. Jika titik (k,5) terletak pada ligkara x + y = 34, tetuka ilai k. (k,5) x + y = 34 k + 5 = 34 k + 5 = 34 k = 34-5 = 9 k = ± 9 k = 3 atau k = -3 3. Garis Siggug Ligkara a. Persamaa garis siggug ligkara dega pusat O(0,0) yag melalui titik A(x 1,y 1) yag terletak pada ligkara dapat dirumuska sebagai berikut : x 1x + y 1y = r Tetuka persamaa garis siggug ligkara x + y = 45 yag melalui titik (3,6) x 1=3, y 1=6 da r =45 maka persamaa garis siggugya adalah : NIP. 1971050 199803 008

x 1x + y 1y = r 3x + 6y = 45 x + y = 15 b. Persamaa garis siggug ligkara ( x - a ) + ( y - b ) = r yag melalui A(x 1,y 1) yag terletak pada ligkara dapat dirumuska sebagai berikut : (x - a)(x 1 - a) + (y - b)(y 1 - b) = r Tetuka persamaa garis siggug ligkara (x-) + (y+1) = 5 yag melalui titik (3,1) a=, b=-1, x 1=3, y 1=1 da r =5 maka persamaa garis siggugya adalah : (x - a)(x 1 - a) + (y - b)(y 1 - b) = r (x - )(3 - ) + (y + 1)(1 + 1) = 5 (x - )(1) + (y + 1)() = 5 x - + y + = 5 x + y = 5 c. Persamaa garis siggug ligkara x + y + Ax + Bx + C = 0, melalui titik (x 1,y 1) yag terletak pada ligkara dapat dirumuska sebagai berikut : x 1x + y 1y + ½A (x 1 + x) + ½B (y 1 + y) + C= 0 Tetuka persamaa garis siggug ligkara x + y - 4x + 6y - 1 = 0 di titik (5,1) A=-4, B=6, C=-1, x 1=5, y 1=1 maka persamaa garis siggugya adalah : x 1x + y 1y + ½A (x 1 + x) + ½B (y 1 + y) + C = 0 5x + y + ½(-4)(5 + x) + ½(6) (1 + y) + (-1) = 0 5x + y - (5 + x) + 3 (1 + y) - 1 = 0 5x + y - 10 - x + 3 + 3y - 1 = 0 3x + 4y - 19 = 0 d. Persamaa garis siggug ligkara dega gradie tertetu Persamaa garis siggug pada ligkara yag bergradie m dega pusat di (0,0) da berjari - jari r dapat ditetuka dega rumus : y = mx ± r 1 + m Sedagka utuk ligkara bergradie m dega pusat di (a,b) da berjari - jari r, persamaa garis siggugya sebagai berikut : y - b = m(x - a ) ± r 1 + m Tetuka persamaa garis siggug ligkara x + y + 6x + 8 = 0 da bergradie 3. Diketahui ligkara dega persamaa x + y + 6x + 8 = 0 maka pusat ligkara : P ( A, B ) = ( 6, 0 ) = (-3,0) da jari - jari ligkara r = A 4 6 4 + 0 4 + B 4 C = 8 = 1 berarti a=-3, b=0, m=3 maka persamaa garis siggug ligkara dapat dituliska : y - b = m(x - a ) ± r 1 + m y - 0 = 3(x - (-3) ) ± 1 1 + 3 y = 3(x+3) ± 1 10 y = 3x + 9 ± 10 berarti : y = 3x + ( 9 + 10 ) atau y = 3x + ( 9-10 ) 3 e. Garis Polar pada ligkara 1. Jika titik P(x1,y1) di luar ligkara L : x + y = r maka persamaa garis polarya adalah : x1.x + y1.y = r. Jika titik P(x1,y1) di luar ligkara L : (x - a) + (y - b) = r maka persamaa garis polarya adalah : (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r 3. Jika titik P(x1,y1) di luar ligkara L : x + y + Ax + By + C= 0 maka persamaa garis polarya adalah : NIP. 1971050 199803 008

x1.x + y1.y + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 Tetuka persamaa garis siggug pada ligkara x + y = 5 yag ditarik dari (7,1) (7,1) x + y = 5 (7) + (1) = 49 + 1 = 50 > 5, berarti keduduka titik (7,1) ada diluar ligkara karea x + y > r, sehigga Persamaa garis polarya : x 1.x + y 1.y = r 7.x + 1.y = 5 7x + y = 5 y = 5-7x y = 5-7x substitusi ke : x + y = 5 x + (5-7x) = 5 x + 65-350x + 49x = 5 50x - 350x + 600 = 0 x - 7x + 1 = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x = 3 atau x = 4 utuk x = 3 y = 5-7x = 5-7.3 = 5-1 = 4 maka koordiat titik siggug (3,4) utuk x = 4 y = 5-7x = 5-7.4 = 5-8 = -3 maka koordiat titik siggug (4,-3) Persamaa garis siggugya adalah : utk titik (3,4) x 1.x + y 1.y = r 3.x + 4.y = 5 3x + 4y = 5 3x + 4y - 5 = 0 utk titik (4,-3) x 1.x + y 1.y = r 4.x + -3.y = 5 4x - 3y = 5 4x - 3y - 5 = 0 Jadi persamaa garis siggugya : 3x + 4y - 5 = 0 da 4x - 3y - 5 = 0 Cotoh Soal Tambaha : 1. Tetuka persamaa ligkara yag berdiameter PQ dega P(8,-4) da Q(-8,4). Tetuka persamaa ligkara yag berdiameter AB dega A(-3,3) da B(7,3) 3. Tetuka persamaa ligkara yag melalui titik A(8,9), B(,9), da titik C(,3) 1. Koordiat pusat ligkara adalah : ] = [ 8+( 8) [ x p+ x q, y p+ y q Jari - jari ligkara :, 4+4 ] = (0,0) r = ½PQ = 1 [x q x p ] + [y q y p ] = 1 [ 8 8] + [4 ( 4)] = ½. [16] + [8] = ½. 56 + 64 = ½. 30 = ½. 64x5 = ½. 8 5 = 4 5 maka r = (4 5) = 16.5 = 80 jadi persamaa ligkara yag berpusat di (0,0) da berjari - jari 4 5 adalah : x + y = r x + y =80. Koordiat pusat ligkara adalah : [ x A+ x B, y A+ y B ] = [ 3+7, 3+3 ] = (,3) Jari - jari ligkara : r = ½AB = 1 [x B x A ] + [y B y A ] = 1 [7 ( 3)] + [3 3] = ½. [10] + [0] = ½. 100 + 0 = ½. 100 = ½. 10 = 5 maka r = ( 5 ) = 5 jadi persamaa ligkara yag berpusat di (,3) da berjari - jari 5 adalah : (x - a) + (y - b) = r (x - ) + (y - 3) = 5 x 4x + 4 + y 6y + 9 = 5 x + y 4x 6y + 13 5 = 0 x + y 4x 6y 1 = 0 3. Cara 1 : persamaa ligkara dega pusat (a,b) adalah : (x - a) + (y - b) = r Kemudia masukka titik titik tersebut ke persamaa ligkara diatas, sehigga diperoleh : A(8,9) (8 - a) + (9 - b) = r a + b - 16a - 18b + 145 = r. ( 1 ) B(,9) ( - a) + (9 - b) = r a + b - 4a - 18b + 85 = r.. ( ) C(,3) ( - a) + (3 - b) = r a + b - 4a - 6b + 13 = r. ( 3 ) Substitusi persamaa (1) da () diperoleh : 4 NIP. 1971050 199803 008

a + b - 16a - 18b + 145 = a + b - 4a - 18b + 85-1a = -60 a = 5 Substitusi persamaa () da (3) diperoleh : a + b - 4a - 18b + 85 = a + b - 4a - 9b + 13-9b = -7 b = 6 a=5, b=6 disubstitusi ke persamaa (3) diperoleh : a + b - 4a - 6b + 13 = r 5 + 36-0 - 36 + 13 = r r = 18, Jadi persamaa ligkara tersebut adalah : (x - a) + (y - b) = r (x - 5) + (y - 6) = 18 x 10x + 5 + y 1y + 36 = 18 x + y 10x 1y + 43 = 0 Cara : persamaa ligkara dega betuk umum : x + y + Ax + By + C = 0 Kemudia masukka titik titik tersebut ke betuk umum tersebut, sehigga diperoleh : A(8,9) 8 + 9 + 8A + 9B + C = 0 8A + 9B + C + 145 = 0 ( 1 ) A(,9) + 9 + A + 9B + C = 0 A + 9B + C + 85 = 0. ( ) A(,3) + 3 + A + 3B + C = 0 A + 3B + C + 13 = 0. ( 3 ) Elemiasi ( 1 ) da ( ) didapat : Elemiasi ( ) da ( 3 ) didapat : 8A + 9B + C + 145 = 0 A + 9B + C + 85 = 0 A + 9B + C + 85 = 0 - A + 3B + C + 13 = 0-6A + 60 = 0 6B + 7 = 0 A = - 10 B = - 1 Substitusi A = - 10, B = - 1 ke salah satu persamaa [ ambil persamaa ( 3 ) ] didapat : A + 3B + C + 13 = 0 ( -10 ) + 3( -1 ) + C + 13 = 0-0 + ( -36 ) + C + 13 = 0-56 + C + 13 = 0 C 43 = 0 C = 43 Jadi Persamaa ligkaraya : x + y + Ax + By + C = 0 x + y + (-10)x + (-1)y + 43 = 0 x + y - 10x 1y + 43 = 0 B. PARABOLA Parabola adalah tempat keduduka titik - titik pada bidag datar yag mempuyai jarak yag sama terhadap suatu titik tertetu da suatu garis tertetu. Titik tersebut disebut titik api ( fokus) da garis tersebut disebut garis arah ( direktris ). I. Persamaa Parabola yag berpucak di (0,0) Betuk Umum : x² = 4py Parabola tegak / parabola vertikal / Parabola terbuka ke atas Pucak : (0,0) Fokus ( F / titik api ) : (0,p) Direktriks ( g / garis arah ) : y = - p Pajag Lactus Rectum : l 4p l Sumbu Simetri : x = 0 Jika p<0 parabola terbuka ke bawah y F(0,p) 0 x g Cotoh 1: Tetuka koordiat fokus, persamaa sumbu simetri, persamaa direktris, da pajag lactus rectum dari parabola berikut! a. x = - 16y b. x = y a. x = 4py x = - 16y maka 4p = -16 <=> p = - 4 Parabola ii merupaka parabola yag terbuka ke bawah Koordiat fokus F (0,p) F (0,- 4) Sumbu simetri berhimpit dega sumbu y, maka persamaaya x = 0 Persamaa direktris : y = -p y = 4 Pajag lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.-4 l = 16 b. x = 4py x = y maka 4p = p = 4 = ½ Parabola ii merupaka parabola yag terbuka ke ke atas 5 NIP. 1971050 199803 008

Koordiat fokus F (0,p) F (0,½) Sumbu simetri berhimpit dega sumbu y, maka persamaaya x = 0 Persamaa direktris : y = -p y = - ½ Pajag lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.½ l = Cotoh : Tetuka persamaa parabola yag pucakya di titik (0,0) da direktriksya y=5 Direktriks : y = -p y = 5 maka p = -5 Jadi persamaa parabolaya : x = 4.p.y = 4.(-5).y = -0y x = -0y Cotoh 3 : Tetuka persamaa parabola yag pucakya di titik (0,0) da fokusya (0,-) Fokus : (0,p) (0,-) maka p = - Jadi persamaa parabolaya : x = 4py = 4(-)y = -8y x = -8y C. ELLIPS Ellips adalah tempat keduduka titik - titik pada bidag datar yag jumlah jarakya terhadap dua titik tertetu yag diketahui adlah tetap (kosta). Dua titik tertetu itu disebut fokus atau titik api ( F 1 da F ), jarak F 1 da F adalah c da jumlah jarak tetap adalah a ( a>0 ). Perhatika gambar berikut!! B (0,b) D K T A 1(-a,0) F 1(-c,0) P F (c,0) A (a,0) E B 1(0,-b) L Usur - Usur Pada Ellips 1. F 1 da F disebut fokus. Jika T adalah sembarag titik pada ellips maka TF 1 + TF = a F 1F = c dega a > c. A 1A merupaka sumbu pajag ( sumbu mayor ) yag pajagya sama dega jarak tetap yaitu a. B 1B merupaka sumbu pedek ( sumbu mior ) yag pajagya sama dega b. Karea itu a > b 3. Lactus rectum yaitu segme garis yag dibatasi ellips, tegak lurus sumbu mayor, da melalui fokus ( DE da KL ) pajag lactus rectum DE = KL = b a 4. Titik pusat ( P ) yaitu titik potog sumbu mayor dega sumbu mior 5. Titik pucak ellips terletak pada A 1 da A, atau B 1, da B 6. Berlaku b = a - c I. Persamaa Ellips yag berpusat di O (0,0) : x a + y b = 1 Fokus (±c,0) Titik Pucak (±a,0) Pajag sumbu mayor = a Pajag sumbu mior = b Pajag lactus rectum (LR) = b a 6 NIP. 1971050 199803 008

1. Tetuka persamaa ellips dega titik pucak (13,0) da fokus F 1(-1,0) da F (1,0) Diketahui pusat ellips (0,0) Titik pucak (13,0) a = 13 da titik fokus (-1,0) da (1,0) c = 1 berarti : b = a - c = 13-1 = 5 b = 5, maka persamaa ellipsya adalah : x + y = 1 a b x + y = 1 x + y = 1 13 5 169 5 = 1. Tetuka fokus, titik pucak, pajag. Diketahui ellips dega persamaa x + y 81 5 sumbu mayor, pajag sumbu mior, da pajag lactus rectumya. x 81 + y 5 = 1 berarti a = 81 a = 9 da b = 5 b = 5, maka b = a - c 5 = 81 - c c = 81-5 = 56 c = 56 = 4.14 = 14 Fokus ( 14, 0) da (- 14, 0) Titik Pucak (9,0) da (-9,0) Pajag sumbu mayor = a =.9 = 18 Pajag sumbu mior = b =.5 = 10 Pajag lactus rectum (LR) = b a =.5 9 = 50 9 D. HIPERBOLA Hiperbola adalah tempat keduduka titik - titik pada bidag datar yag selisih jarakya terhadap dua titik tertetu adalah tetap. Kedua titik tertetu disebut fokus ( titik api ) Y D M K A F 1(-c,0) O B F (c,0) X 1. Pusat hiperbola adalah O da F adalah fokus Sumbu utama adalah sumbu x ( yag melalui fokus ). Sumbu sekawa adalah sumbu y ( garis yag melalui pusat hiperbola da tegak lurus sumbu utama 0 3. Sumbu yata yaitu AB = a, dimaa A da B merupaka pucak hiperbola dega koordiat A(-a,0) da B(a,0) 4. Sumbu imajier yaitu MN = b 5. Lactus rectum DE da KL yag pajagya DE = KL = b a dega b = c - a 6. Garis g 1 da g adalah asimtot I. Persamaa Hiperbola yag berpusat di O (0,0) : E g1 N L g x a y b = 1 1. Hiperbola terbuka ke kiri da ke kaa. Fokus F 1(-c,0) da F (c,0) 3. Pucak A(-a,0) da B(a,0) 4. Sumbu simetri : 7 NIP. 1971050 199803 008

Sumbu utama adalah sumbu x Sumbu sekawa adalah sumbu y 5. Sumbu Nyata = AB = a 6. Sumbu imajier MN = b 7. Asimtot : y = ± b a x 1. Tetuka persamaa hiperbola dega fokus (-13,0) da (13,0) serta pucakya (-5,0) da (5,0) Fokus (-13,0) da (13,0) c = 13 da pucak (-5,0) da (5,0) a = 5 b = c - a b = 13-5 b = 169-5 = 144 b = 1 Jadi persamaa hiperbolaya adalah : x y a b = 1 x 5 y 144 = 1. Tetuka koordiat titik pucak, fokus, da persamaa asimtot hiperbola berikut : x y = 1 9 5 a = 9 a = 3, b = 5 b = 5 da b = c - a 5 = c - 9 c = 34 c = 34 Titik Pucak (-a,0) = (-3,0) da (a,0) = (3,0) Fokus (-c,0) = (- 34,0) da (c,0) = ( 34,0) Persamaa asimtot : y = ± b a x = ± 5 3 x berarti y = 5 3 x atau y = 5 3 x Petujuk : Kerjaka Latiha dibawah ii pada double folio da dikumpulka!!! Tugas Matematika I ( Irisa Kerucut ) 1. Tetuka persamaa ligkara dega pusat ( -,5 ) da jari - jari 5. Tetuka persamaa ligkara dega pusat ( 0,0 ) da jari - jari 3 3 3. Tetuka persamaa ligkara yag berpusat di titik ( 3, ) da melalui titik ( 3,7 ) 4. Tetuka persamaa ligkara dega ujug diameter A (,4 ) da B ( - 4, ) 5. Tetuka persamaa ligkara yag berdiameter PQ dega P( 3,- ) da Q (-3, ) 6. Diketahui persamaa ligkara x + y - 4x + 10y + 13 = 0. Tetuka pusat da jari - jari ligkara tersebut 7. Jika titik ( -1,k ) terletak pada ligkara x + y = 169 maka tetuka ilai k 8. Jika titik (,k ) terletak pada ligkara x + y - 4x - y - 4 = 0 maka tetuka ilai k 9. Tetuka persamaa garis siggug melalui titik (5,1) pd ligkara x + y - 4x + 6y - 1 = 0 10. Tetuka persamaa garis yag meyiggug ligkara x + y = 10 dega gradie ⅓ 11. Tetuka persamaa garis siggug melalui titik (,3) pada ligkara x + y = 13 1. Tetuka koordiat fokus, persamaa sumbu simetri, persamaa direktris da pajag lactus rectum dari parabola x = - y 13. Tetuka persamaa parabola dega titik pucak (0,0) da fokus (0,-8) 14. Tetuka persamaa parabola yag pucakya di titik (0,0) da direktriksya y=10 15. Diketahui ellips dega persamaa x + y 16 4 = 1. Tetuka fokus, titik pucak, pajag sumbu mayor, pajag sumbu mior, da pajag lactus rectumya. 16. Tetuka persamaa hiperbola dega fokus (-17,0) da (17,0) serta pucakya (-5,0) da (5,0) 17. Tetuka koordiat titik pucak, fokus, da persamaa asimtot hiperbola berikut : x 9 y 4 = 1 MODUL STATISTIKA A. Pegertia Statistik da Statistika 8 NIP. 1971050 199803 008

Statistik adalah kumpula fakta / data yag berupa agka yag disusu dalam daftar yag meggambarka suatu persoala.statistika adalah pegetahua / ilmu tetag cara-cara da atura megumpulka, megolah, megaalisa, meyajika da meafsirka atau mearik kesimpula dari data yag berupa agka. Dari pegertia Statistika di atas, secara garis besar dapat digologka mejadi dua metode, yaitu : statistika deskriptif (deduktif) da statistika iferesial (iduktif). Bagia dari Statistika yag berhubuga dega pegumpula data, pegolaha data, peyajia data, pembuata tabel, grafik atau diagram disebut statistika deskriptif. Adapu bagia dari Statistika yag berhubuga dega pearika kesimpula maupu peafsira megeai populasi disebut statistika iferesial. Dalam hal ii yag dipelajari atara lai teori probabilitas, samplig, peaksira terhadap parameter da pegujia hipotesis. (parameter adalah kumpula data yag diperoleh dari populasi) B. Data Statistika Data adalah sejumlah iformasi yag dapat memberika gambara tetag suatu keadaa atau persoala. Cotoh-cotoh data diataraya adalah data pegawai, data siswa, data keuaga, data pejuala da sebagaiya. Jika data yag diambil haya sebagia dari aggota suatu objek peelitia maka data yag demikia disebut sampel, aggota sampel dimaksudka sebagai wakil dari seluruh objek peelitia. Keseluruha objek peelitia disebut populasi.dalam membuat suatu keputusa diperluka data yag bear, agar tidak terjadi kesalaha yag megakibatka kerugia besar maka data yag baik harus memeuhi persyarata berikut ii. Syarat data yag baik : 1. harus obyektif, artiya data yag diperoleh harus meggambarka keadaa yag sebearya.. harus releva, artiya data yag diperoleh harus ada kaitaya dega permasalaha yag aka diteliti. 3. harus sesuai zama ( up to date ), artiya data jaga ketiggala ( usag ) 4. harus represetatif, artiya sampel yag dipilih harus memiliki sifat yag sama atau meggambarka keadaa populasiya 5. harus reliable (dapat dipercaya), sumber data ( ara sumber ) harus dari sumber yag tepat 6. represetative, artiya karakteristik yag diteliti tercermi dalam data yag diambil Macam-macam data 1. Data tuggal da data kelompok Data tuggal yaitu data yag disusu sesuai observasi data ilai matematika 15 siswa : 8, 5, 6, 5, 8, 7, 6, 6, 5, 8, 9, 7, 9, 6, 6 Ada jeis data tuggal yag disebut data berbobot, yaitu data yag disajika berkelompok tetapi tidak dalam iterval tertetu. data ilai matematika dari 40 siswa di kelas XII Nilai 3 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah / frekuesi 1 3 3 6 1 4 6 4 1 9 Data kelompok yaitu data yag disajika dalam betuk kelompok iterval tertetu, sesuai dega yag dikehedaki. cotoh : peghasila orag tua dari 50 siswa SMK per bula (dalam ratusa ribu rupiah ) sebagai berikut : 1-5 ada 1 6-10 ada 3 11-15 ada 9 16-0 ada 1 1-5 ada 10 6-30 ada 6 31-35 ada 5 36-40 ada 4 NIP. 1971050 199803 008

Peghasila per bula ( dalam ratusa ribu rupiah ) Jumlah / frekuesi 1-5 1 6-10 3 11-15 9 16-0 1 1-5 10 6-30 6 31-35 5 36-40 4 Jumlah 50. Data kualitatif da data kuatitatif Data kualitatif yaitu data yag tidak berbetuk agka, seperti pejuala merosot, mutu barag baik, harga dagig aik daya beli meuru dsb. Data kuatitatif yaitu data yag berbetuk bilaga ( agka ). Berdasarka ilaiya terdiri atas data diskrit da kotiu. Data diskrit adalah data yag diperoleh dari hasil meghitug cotoh : jumlah siswa di kelas XII ada 100 orag, bayakya kedaraa di tempat parker ada 50 buah gaji yag diterima bula ii Rp 3.000.000,00 pejuala buku semester gajil 50 eksemplar Data kotiu adalah data yag diperoleh dari hasil megukur cotoh : tiggi bada siswa kelas XII rata-rata 160 cm pemakaia listrik bula ii 150 kwh suhu udara hari ii 7 0 celcius berat bada miimal calo mahasiswa 47 kg 3. Data primer da data sekuder Data primer adalah data yag dikumpulka atau diolah sediri oleh suatu orgaisasi atau peroraga. cotoh : data harga sembila baha pokok yag dikumpulka oleh Biro Pusat Statistik lagsug dari pasar kemudia megolahya. data pegguaa sabu cuci oleh ibu rumah tagga yag dilakuka oleh sebuah perusahaa Data sekuder adalah data yag diperoleh suatu orgaisasi atau perusahaa dalam betuk yag sudah jadi cotoh : data peduduk, data pedapata asioal, ideks harga kosume, daya beli masyarakat yag diperoleh dari Biro Pusat Statistik 4. Data Iteral da Eksteral Data Iteral adalah data yag meggambarka keadaa dalam suatu orgaisasi. cotoh : data pegawai data peralata data produksi Data Eksteral adalah data yag meggambarka keadaa di luar suatu orgaisasi. cotoh : data selera masyarakat data saiga dari barag sejeis 10 NIP. 1971050 199803 008

C. Peyajia Data data perkembaga harga Data yag telah dikumpulka atau diperoleh dari sampel maupu populasi biasaya masih dalam betuk data kasar atau data metah ( raw data ). Agar data dapat dibaca dega mudah da cepat biasaya data disajika dalam betuk tabel atau daftar da dalam betuk diagram atau grafik. Peyajia data dalam betuk tabel distribusi frekuesi 1. Tabel Distribusi Frekuesi Data Tuggal : Berikut ii adalah daftar ilai ujia matematika dari 30 siswa sebagai berikut : 5 7 6 6 8 4 5 6 7 5 6 9 3 6 6 7 9 7 7 8 5 5 8 8 9 5 6 7 8 7 Data diatas bisa diragkum dalam tabel berikut : Nilai (x) frekuesi (f) 3 1 4 1 5 6 6 7 7 7 8 5 9 3 Jumlah 30 Tabel ii disebut daftar distribusi frekuesi data tuggal atau daftar distribusi frekuesi berbobot. Jumlah total frekuesi selalu sama dega ukura data. Tabel Distribusi Frekuesi Data Berkelompok Tabel distribusi frekuesi data berkelompok adalah statistika utuk meyusu data dega cara membagi ilai observasi ke dalam kelas-kelas dega iterval tertetu. Perhatika ilai ujia matematika utuk 100 siswa berikut: 80 80 70 68 90 9 80 70 63 76 49 84 71 7 35 93 91 74 60 63 48 90 9 85 83 76 61 99 83 88 74 70 38 51 73 71 7 95 8 70 81 91 56 65 74 90 97 80 60 66 98 93 81 93 43 7 91 59 67 88 87 8 74 83 86 67 88 71 89 79 8 78 73 86 68 75 81 47 75 63 108 99 78 98 90 106 100 108 3 30 107 105 30 35 67 50 51 76 80 75 11 NIP. 1971050 199803 008

Utuk membuat daftar distribusi frekuesi dega pajag kelas yag sama dilakuka lagkah-lagkah berikut: Tetuka Retaga / jagkaua / rage (R), yaitu data terbesar ( Xmax ) dikuragi data terkecil (Xmi ) Data terbesar dari data di atas adalah 108, sedagka data terkecil = 30, maka Retaga R = Xmax - Xmi = 108-30 = 78 Tetuka bayakya kelas yag diperluka, misalya 7 kelas atau 8 kelas sesuai dega keperlua. Cara lai dega megguaka atura Sturgess : Bayakya kelas ( k ) k = 1 + 3,3 log, dimaa = bayakya data k = 1 + 3,3 log = 1 + 3,3 log 100 = 1 + 3,3x = 1 + 6,6 = 7,6 Kita dapat membuat daftar dega bayakya kelas ( k ) = 7 atau 8 [ diambil k = 8 ] Tetuka pajag kelas iterval ( i ) secara perkiraa ditetuka dega atura berikut: i = R k = 78 8 = 9,75 Kita dapat membuat daftar dega Pajag kelas ( i ) = 9 atau 10 [ diambil I = 10 ] Pilih batas bawah kelas iterval pertama Batas bawah iterval kelas pertama dapat diambil dari data yag terkecil atau data yag lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihya kurag dari pajag kelas da kelas pertama tidak boleh mempuyai frekuesi sama dega ol. Dega megambil bayak kelas 8, pajag kelas 10 da dimulai dega batas bawah iterval pertama sama dega 30 diperoleh tabel distribusi frekuesi berkelompok sebagai berikut: Nilai Tally ( Turus ) frekuesi ( f ) 30-39 //// / 6 40-49 //// 4 50-59 //// 5 60-69 //// //// /// 13 70-79 //// //// //// //// //// 5 80-89 //// //// //// //// /// 3 90-99 //// //// //// /// 18 100-109 //// / 6 Beberapa istilah yag diguaka dalam tabel distribusi frekuesi atara lai: Iterval kelas Tiap-tiap kelompok disebut dega iterval kelas. Pada tabel di atas terdiri atas 8 iterval atau kelas. Batas atas ( BA ) da Batas bawah ( BB ) Bilaga palig kiri pada tiap kelas disebut batas bawah atau batas bawah adalah ilai yag terkecil dari masig masig kelas bersagkuta, yaitu 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas bawah sedagka bilaga yag palig kaa pada tiap iterval disebut batas atas kelas atau batas atas kelas adalah ilai yag terbesar dari masig masig kelas bersagkuta, yaitu 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109 disebut batas atas. Tepi kelas atas ( TA ) da Tepi kelas bawah ( TB ) 1 NIP. 1971050 199803 008

Tepi atas da tepi bawah dihitug berdasarka ketelitia data yag diguaka. Jika data dicatat teliti higga satua, maka tepi bawah diperoleh dega cara meguragi batas bawah dega 0,5 atau ( TB = BB 0,5 ) utuk kelas yag bersagkuta, yaitu 30 0,5 = 9,5 ; 40 0,5 = 39,5 ; 50 0,5 = 49,5 ; dst sedagka Tepi atas diperoleh dega cara meambahka batas atas dega 0,5 atau ( TA = BA + 0,5 ) utuk kelas yag bersagkuta, yaitu 39 + 0,5 = 39,5 ; 49 + 0,5 = 49,5 ; 59 + 0,5 = 59,5 ; dstya Nilai tegah iterval / Titik tegah ( Xt ) Titik tegah kelas adalah ilai tegah dari masig - masig kelas. Xt = ( BA + BB ) :, Yaitu : (30+39): = 34,5 ; (40+49): = 44,5 ; (50+59): = 54,5 ; (60+69): = 64,5 ; dst Frekuesi Komulatif ( f k ) : a. Frekuesi Komulatif Kurag dari ( f k ) adalah Jumlah frekuesi yag memiliki ilai kurag dari tepi atas kelas itervalya b. Frekuesi Komulatif Kurag dari ( f k ) adalah Jumlah frekuesi yag memiliki ilai lebih dari tepi bawah kelas itervalya Frekuesi Relatif ( f r ) adalah Frekuesi dalam betuk persetase dega jala membagi frekuesi dega jumlah frekuesi f f A tiap tiap kelas dikalika 100%, x100% yaitu fr 1 = 6/100 x 100% = 6% ; 4/100 ra f x 100% = 4% ; 5/100 x 100% = 5% ; 13/100 x 100% = 13%, dstya Sesuai dega uraia diatas, maka tabel dibawah ii bisa dilegkapi, sebagai berikut : Nilai f BB BA TB TA X t fk fk f r 30-39 6 30 39 9,5 39,5 34,5 6 94 + 6 = 100 6% 40-49 4 40 49 39,5 49,5 44,5 6+4=10 90 + 4 = 94 4% 50-59 5 50 59 49,5 59,5 54,5 10 + 5 =15 85 + 5 = 90 5% 60-69 13 60 69 59,5 69,5 64,5 15 + 13 = 8 7 + 13 = 85 13% 70-79 5 70 79 69,5 79,5 74,5 8 + 5 =53 47 + 5 = 7 5% 80-89 3 80 89 79,5 89,5 84,5 53 + 3 = 76 4 + 3 = 47 3% 90-99 18 90 99 89,5 99,5 94,5 76 + 18 = 94 6 + 18 = 4 18% 100-109 6 100 109 99,5 109,5 104,5 94 + 6 = 100 6 6% 3. Peyajia data dalam betuk diagram da grafik Tujua meggambarka data statistika dalam betuk diagram atau grafik agar mudah memberika iformasi secara visual. Biasaya utuk membuat diagram atau grafik kita mulai dega membuat tabel terlebih dahulu. Utuk cotoh pembuata grafik, perhatika tabel di bawah ii : 13 NIP. 1971050 199803 008

HASIL PENJUALAN TELEVISI TOKO JAYA ELEKTRONIK TAHUN 006-010 Merk 006 007 008 009 010 SHARP 30 40 45 50 55 LG 40 50 0 80 60 PANASONIC 30 40 60 70 50 SONY 60 50 80 0 40 Dari Tabel di atas aka dibuat beberapa cotoh diagram da grafik : a. Diagram batag tuggal utuk merk SHARP b. Diagram batag bergada utuk semuaya c. Diagram batag horisotal utuk merk PANASONIC d. Diagram batag bertumpuk utuk merk LG da SONY e. Diagram garis utuk merk SHARP f. Diagram ligkara utuk merk PANASONIC a. Hasil Pejuala Televisi merk SHARP Toko JAYA ELEKTRONIK Tahu 006-010 b. Hasil Pejuala Televisi JAYA ELEKTONIK Tahu 006-010 60 50 40 30 0 10 0 006 007 008 009 010 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 SHARP LG PANASONIC SONY c. Hasil Pejuala Televisi merk PANASONIC d. Toko JAYA ELEKTRONIK Tahu 006-010 Hasil Pejuala Televisi merk LG da SONY Toko JAYA ELEKTRONIK Tahu 006 010 010 100% 009 008 007 006 80% 60% 40% 0% 0% 006 007 008 009 010 SONY LG 0 0 40 60 80 14 NIP. 1971050 199803 008

e. Hasil Pejuala Televisi merk SHARP f. Hasil Pejuala Televisi Paasoic Toko JAYA ELEKTRONIK Toko JAYA ELEKTRONIK Tahu 006-010 Tahu 006-010 60 50 40 30 0 10 0 006 007 008 009 010 009 8% 010 0% 006 1% 007 16% 008 4% D. Ukura Pemusata Data Pegertia : Ukura pemusata data adalah ilai tuggal dari data yag dapat memberika gambara yag lebih jelas da sigkat tetag di sekitar maa data memusat, serta mewakili seluruh data. Yag termasuk ukura gejala pusat misalya rata-rata hitug ( mea ), rata-rata ukur ( rata-rata geometris ), rata-rata harmois, modus. Sedagka ukura gejala letak meliputi media, kuartil, desil da persetil. 1. Rata-rata Hitug ( Mea ) a. Rata-rata hitug dari data tuggal x1 x x3 x Keteraga : x rata rata hitug i 1 x i bayakyadata... jumlah seluruh ilai data x atau Hituglah rata-rata hitug ( mea ) dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6 Jawab : 6 5 9 7 8 8 7 6 56 x 7 8 8 jadi rata-rata hitugya = 7 x i 1 x i b. Rata-rata hitug data tuggal berbobot f x x x rata rata hitug f x f x f x... 1 1 bayakya data f x Pada pegukura berat bada 40 siswa ditujukka oleh tabel berikut : Jawab : 15 NIP. 1971050 199803 008

Berat ( kg ) Frekuesi ( f ) 40 4 45 1 50 15 55 6 60 3 Berat ( f ) f. x 40 4 160 45 1 540 50 15 750 55 6 330 60 3 180 Jumlah 40 1960 1960 x 49, jadi rata-rata hitugya adalah 49 kg 40 c. Rata-rata hitug data kelompok Utuk mecari rata-rata hitug data kelompok, bisa megguaka : i ) ilai tegah ii) rata-rata semetara Tetuka rata-rata hitug dari data pada tabel berikut ii : Nilai Frekuesi 60-64 8 65-69 16 70-74 4 75-79 0 80-84 1 Jumlah 80 i. Megguaka ilai tegah : Nilai Nilai tegah (xi) f fi. xi 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 6 67 7 77 8 8 16 4 0 1 496 107 178 1540 984 Jumlah 80 580 f i x x i 580 80 7,75 ii. Megguaka rata-rata semetara : Nilai fi xi ci fi. ci 60-64 8 6 - -16 65-69 16 67-1 -16 70-74 4 7** 0 0 75-79 0 77 1 0 80-84 1 8 4 Jumlah 80 1 x x 0 i 5 = 7 +. 1 80 f i c i Keteraga : x 0 = rata-rata semetara = 7 i = iterval kelas ( 70 sd 74 ) = 5 = bayakya data ( f ) = 80 Jadi rata-rata hitugya = 7,75 16 NIP. 1971050 199803 008

. Nilai Tegah ( Media = Me ) Media adalah ilai tegah dari kumpula data yag telah diurutka ( disusu ) dari data terkecil sampai data terbesar. a. Media data tuggal Tetuka media dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6, 6 Jawab : Data setelah diurutka adalah : 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 Jumlah data gajil ( = 9 ) maka mediaya adalah data yag terletak di tegahtegah. Jadi Me = 7 Tetuka media dari data : 3,, 5,, 4, 6, 6, 7, 9, 6 Jawab : Data terurut :,, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9 5 6 Jumlah data geap ( = 10 ), maka media ( Me ) = 5, 5 b. Media data tuggal berbobot Pada prisipya sama dega data tuggal. Apabila jumlah data bayak, maka tidak dibedaka geap atau gajil. Rumusya : Me = X (+1) Diketahui data tetag upah pekerja per hari PT Maju Mudur disajika dega tabel berikut ii. Tetuka mediaya. Jawab : Upah pekerja ( dalam ribua rupiah ) 50 55 60 65 70 75 frekuesi 1 18 5 13 10 Upah pekerja ( dalam ribua rupiah ) 50 55 60 65 70 75 Dari tabel sebelah kaa, bayak data ( ) = 80, maka mediaya terletak pada : 1 81 40,5 yaitu pada frekuesi kumulatif 55 X 40 X 41 60 60 10 Me = 60 Media dari data di atas adalah Rp. 60.000,00 f 1 18 5 13 10 Frekuesi kumulatif kurag dari 1 1 + 18 = 30 30 + 5 = 55 ** 55 + 13 = 68 68 + 10 = 78 78 + = 80 c. Media data kelompok Rumusya : 1 F Me = Tb F media sbl.i Keteraga : Tb = tepi bawah kelas media = bayak data F sbl = frekuesi kumulatif sebelum kelas media F media = frekuesi kelas media i = iterval 17 NIP. 1971050 199803 008

Nilai Ulaga Matematika kelas XII SMK JAYA seperti tabel berikut. Tetuka mediaya. Jawab : Nilai 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 frekuesi 4 5 14 10 4 3 Lagkah lagkah peyelesaia: = 40 40 Tetuka kelas media, terletak pada data ke = 0, yaitu di iterval 60-69 Tepi Bawah ( TB ) = 60 0,5 = 59,5 frekuesi kumulatif sebelum kelas media ( f sbl ) = 9 frekuesi kelas media ( f me ) = 14 iterval adalah bayak data (60-69) = i = 10 0 9 110 Me = 59,5 (10) 59,5 59,5 7,86 67, 36 14 14 3. Nilai yag serig mucul ( Modus ) Modus adalah ilai data yag mempuyai frekuesi terbesar ( tertiggi ) Kadagkala ada data yag mempuyai 1 modus, atau lebih atau ada data yag sama sekali tidak mempuyai modus. a. Modus data tuggal Tetuka modus dari data berikut : 45, 50, 60, 45, 70, 50, 60, 50, 80, 50 Frekuesi terbesar adalah 50 ( f = 4 ) Jadi modusya = 50 Nilai 40-49 50-59 60-69** 70-79 80-89 90-99 b. Modus data tuggal berbobot Tetuka modus dart data berikut : Nilai 0 30 40 50 60 70 Frekuesi 4 6 1 8 10 6 Pada tabel di atas frekuesi terbesar = 1 utuk ilai 40 Jadi modusya = 40 f 4 5 14** 10 4 3 Frekuesi kumulatif kurag dari 4 9 3** 33 37 40 c. Modus data kelompok Rumus: d1 Mo = Tb. i d d 1 Keteraga : Tb = tepi bawah kelas modus d 1 = selisih frekuesi kelas modus dega kelas sebelumya d = selisih frekuesi kelas modus dega kelas sesudahya i = iterval Tetuka modus dari data di bawah ii : 18 NIP. 1971050 199803 008

Kelas 10-14 15-19* 0-4 5-9 30-34 Frekuesi 4 16* 8 7 5 Jumlah 40 1 1 Mo = 14,5 + (5) 14,5.5 17, 5 Petujuk : 1 8 0 Kerjaka Latiha dibawah ii pada double folio da dikumpulka!!! Tugas Matematika II ( Statistika) I. Perhatika data dibawah ii merupaka ilai ujia matematika dari 50 orag siswa. 36 51 84 60 50 84 60 76 36 33 76 76 89 60 89 84 89 76 84 76 36 84 50 33 76 60 36 76 60 51 76 84 95 76 84 89 58 76 84 58 51 60 50 58 95 60 33 60 33 33 Buatlah tabel distribusi frekuesi berkelompok dari data di atas. ( log 50 = 1,699 ) II. Tetuka : a. Rata-rata hitug ( Mea ) b. Nilai Tegah ( Media ) c. Nilai yag serig mucul ( Modus ) dari setiap data di bawah ii 1. Pegukura berat bada beberapa siswa SMK : 45, 4, 44, 47, 50, 5, 47, 35, 4, 47, 44, 40, 49, 47, 49. Hasil seleksi ujia peerimaa pegawai suatu istasi Nilai Ujia Frekuesi 3 50 4 65 5 55 6 45 7 60 8 5 Jumlah 300 3. Usia karyawa di Perusahaa XYZ pada tahu 01 Usia 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 Frekuesi 8 11 18 10 8 3 Jumlah 60 Kelas modus : 15-19 Tb = 15 0,5 = 14,5 Frekuesi kelas modus = 16 d 1 = 16 4 = 1 d = 16 8 = 8 I = bayak data dari 15 sd 19 = 5 Jadi : 19 NIP. 1971050 199803 008