Teori Relativitas Khusus Agus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id) Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung agussuroso102.wordpress.com 18 April 2017 Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 1 / 39
Materi 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 2 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 3 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein Prinsip Relativitas Galileo Prinsip relativitas Galileo: Hukum-hukum mekanik haruslah berbentuk sama menurut semua kerangka acuan inersial. Kerangka acuan inersial adalah kerangka acuan yang tidak dipercepat (diam atau bergerak dengan kecepatan konstan). Contoh: stasiun dan kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 4 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein Prinsip Relativitas Galileo Seseorang berdiri di dalam kereta yang bergerak dengan kecepatan konstan (v). y s Stasiun (s) y k v Kereta (k) x s x k vt x k x s Posisi ruangwaktu orang menurut kedua kerangka adalah: t s = t k, y s = y k, z s = z k, (1) x s = x k + vt. (2) (transformasi Galileo) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 5 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein Prinsip Relativitas Galileo Jika kemudian orang berjalan dalam kereta dengan kecepatan u k relatif terhadap kereta, Kecepatan orang menurut kedua kerangka adalah: u s = dx s dt s, u k = x k dt k. (3) Dari transformasi Galileo, u s = u k + v. (4) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 6 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein Prinsip Relativitas Galileo Bagaimana jika ada berkas cahaya yang merambat dalam kereta dengan kecepatan c menurut kereta? Kecepatan cahaya menurut stasiun menjadi: c s = c + v. (5) Kecepatan cahaya menurut kedua kerangka berbeda! Ini bertentangan dengan teori Maxwell tentang gelombang elektromagnetik, bahwa c = 1 µ0ε 0 (konstan). Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 7 / 39
Relativitas, Galileo vs Einstein Prinsip Relativitas Einstein Einstein: 1 Prinsip relativitas: hukum-hukum Fisika haruslah berbentuk sama di semua kerangka acuan inersial. 2 Laju cahaya konstan: Laju cahaya dalam vakum bernilai sama c = 3.00 10 8 m/s, bagi semua kerangka inersial, tidak bergantung pada kecepatan pengamat atau kecepatan sumber yang memancarkan cahaya. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 8 / 39
Transformasi Lorentz 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 9 / 39
Transformasi Lorentz Kereta dan Stasiun (lagi) Menurut Lorentz, hubungan antara koordinat menurut kereta dan stasiun seharusnya berbentuk dengan γ disebut faktor Lorentz. t = γ ( t + vx /c 2), (6) x = γ (x + vt ), (7) y = y, z = z. (8) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 10 / 39
Transformasi Lorentz Faktor Lorentz dan parameter kecepatan Faktor Lorentz parameter kecepatan, γ = 1 1 β 2, (9) β = v c. (10) Untuk laju kerangka yang rendah, v << c: β 0, (11) γ 1. (12) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 11 / 39
Transformasi Lorentz Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun Tulis kembali pers.(6) Bagi pers. (7) dengan v, t = γ ( t + vx /c 2. ) (13) ( ) x x v = γ v + t. (14) Kurangkan dua persamaan terakhir, t x ( v = γ vx /c 2 x ) = x Selesaikan untuk mendapatkan v v γ( v 2 /c 2 1 ). (15) x = γ (x vt). (16) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 12 / 39
Transformasi Lorentz Koordinat kereta dinyatakan dalam koordinat stasiun Dengan cara yang mirip seperti sebelumnya, didapat t = γ ( t vx/c 2). (17) Jadi secara total: t = γ ( t + vx /c 2), x = γ ( x + vt ), y = y, z = z. t = γ ( t vx/c 2), x = γ (x vt), y = y, z = z. Untuk β = v/c kecil, persamaan tersebut akan kembali ke transformasi Galileo t = t, x = x + vt. (18) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 13 / 39
Relativitas dari Keserentakan 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 14 / 39
Relativitas dari Keserentakan Relativitas dari Keserentakan Salah satu konsekuensi dari laju cahaya konstan adalah dua orang yang bergerak relatif satu sama lain tidak akan sepakat apakah dua kejadian terjadi serentak (simultan) atau tidak. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 15 / 39
Relativitas dari Keserentakan Relativitas dari Keserentakan Jika ada dua kejadian berurutan (misalnya dua petir yang terjadi berurutan), maka kerangka kereta dan stasiun masing-masing mengamati selang waktu dua kejadian tersebut sebagai t dan t. Hubungan keduanya mengikuti pers. (6): t = γ ( t + v x /c 2). (19) Jika seseorang di kereta mengamati kedua petir terjadi secara serentak, maka t = 0, dan menurut persamaan di atas, t 0. Demikian juga jika sebaliknya, t = 0 t 0. Jadi, serentak atau tidak itu relatif! Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 16 / 39
Relativitas Kecepatan 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 17 / 39
Relativitas Kecepatan Relativitas kecepatan Dari pers.(6) dan (7), diperoleh Dengan sedikit aljabar, diperoleh u = x = γ ( x + v t ), (20) t = γ ( t + v x /c 2). (21) u + v 1 + u v/c 2 u = u v 1 uv/c 2. (22) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 18 / 39
Relativitas Kecepatan Relativitas kecepatan Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurut orang di kereta adalah u = c dan menurut orang di stasiun u = c + v = c. (23) 1 + cv/c2 Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 19 / 39
Relativitas Kecepatan Relativitas kecepatan Jika lampu dalam kereta memancarkan cahaya, maka laju cahaya menurut orang di kereta adalah u = c dan menurut orang di stasiun u = c + v = c. (23) 1 + cv/c2 Artinya, laju cahaya menurut pengamat di stasiun juga c. Demikian juga sebaliknya, jika u = c maka u = c v = c. (24) 1 cv/c2 Jadi, c konstan bagi semua pengamat. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 19 / 39
Relativitas Kecepatan Relativitas Kecepatan 1 Dua benda bergerak saling mendekat dengan kecepatan masing-masing 0, 5c. Berapakah kecepatan relatif satu benda terhadap lainnya? Bagaimana pula jika kecepatan kedua benda 0, 9c? 2 Sebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan v menyalakan lampu depan. Berapakah kecepatan cahaya menurut orang yang diam di tepi jalan? Apa kesimpulan Anda? Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 20 / 39
Kontraksi Panjang 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 21 / 39
Kontraksi Panjang Tinjau posisi jendela kereta Ahmad berada di dalam kereta. Menurutnya, posisi kursi jendela ke-1 dan ke-3 masing-masing x 1 dan x 3, dan jarak kedua jendela adalah L A x = x 1 x 3. (25) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 22 / 39
Kontraksi Panjang Tinjau posisi jendela kereta Budi, yang berada di stasiun, mengukur jarak antarjendela dengan menentukan posisi kedua jendela saat t tertentu dan menghitung selisihnya. Gunakan transformasi Lorentz, ( ) t = γ y x v t }{{} 0 Stasiun (O) L B = x = t γ y' v Kereta (O') = L A γ. (26) O x x 1 O' L x' x 2 Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 23 / 39
Kontraksi Panjang Kontraksi panjang Panjang yang diukur oleh Ahmad adalah panjang proper, L 0. Benda sepanjang L 0, jika bergerak dengan laju v akan mengalami kontraksi, hingga panjangnya berubah menjadi L = L 0 γ (27) Karena γ 1, maka L L 0. Besaran L 0 disebut sebagai panjang proper (proper length), yaitu panjang suatu benda yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerak bersama benda. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 24 / 39
Dilasi waktu 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 25 / 39
Dilasi waktu Dilasi waktu Ahmad menyantap makan siangnya di dalam kereta selama waktu t. Selama makan, Ahmad tetap duduk di kursinya (dengan demikian perubahan posisi Ahmad selama makan, menurut kerangka kereta, adalah x = 0). Selang waktu Ahmad makan menurut Budi (yang berada di stasiun) adalah ( t = γ ) t v }{{} x /c 2 = γ t. (28) 0 Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 26 / 39
Dilasi waktu Dilasi waktu Jika t 0 adalah selang waktu dua kejadian yang terjadi di dalam kereta, diukur oleh pengamat di dalam kereta, maka selang waktu dua kejadian tersebut, diukur oleh orang di stasiun adalah t = γ t 0. (29) Karena γ 1, maka t t 0. Besaran t 0 disebut sebagai waktu proper (proper time), yaitu selang waktu dua kejadian yang diukur oleh pengamat yang ikut bergerak bersama kejadian tersebut. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 27 / 39
Dilasi waktu Dilasi waktu: waktu hidup Muon Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 28 / 39
Momentum 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 29 / 39
Momentum Konsep-baru Momentum (Mekanika klasik) Misal dalam suatu laboratorium terjadi peristiwa tumbukan elastik dua benda. Peristiwa tsb diamati oleh pengamat A yang diam di lab dan pengamat B yang bergerak dengan kecepatan konstan terhadap lab. Momentum yang diukur oleh A dan B akan berbeda, namun keduanya sepakat bahwa kekekalan momentum berlaku. (Relativitas) Jika definisi momentum tetap p = m x t, maka efek relativitas menyebabkan kekekalan momentum pada peristiwa tumbukan di atas tidak berlaku. Solusi: definisikan momentum sebagai p = m x = m x t = γmv p = γm v. (30) t 0 t t 0 Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 30 / 39
Energi 1 Relativitas, Galileo vs Einstein 2 Transformasi Lorentz 3 Relativitas dari Keserentakan 4 Relativitas Kecepatan 5 Kontraksi Panjang 6 Dilasi waktu 7 Momentum 8 Energi Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 31 / 39
Energi Energi relativistik Tinjau suatu benda yang dipercepat dari keadaan diam hingga memiliki kecepatan sebesar u. Usaha yang diperlukan untuk melakukan hal tsb adalah W = x2 x 1 Fdx = x2 Dengan mengingat definisi momentum (30), diperoleh dp dt = d dt Ingat pula bahwa dx = vdt. mu 1 v 2 /c 2 = x 1 dp dx. (31) dt m dv (1 v 2 /c 2 ) 3/2 dt. (32) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 32 / 39
Energi Energi relativistik Akhirnya, t m dv W = 0 (1 v 2 /c 2 ) 3/2 dt (vdt) u v = m dv 0 (1 v 2 /c 2 3/2 ) mc 2 = 1 v 2 /c 2 mc2 = γmc 2 }{{}}{{} mc 2 (33) E akhir E awal Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 33 / 39
Energi Energi relativistik Hasil ini menunjukkan bahwa benda yang diam memiliki energi sebesar mc 2, dan setelah mencapai laju v energi totalnya menjadi γmc 2. Energi kinetik benda, didapat dari energi total dikurangi energi diam, K = (γ 1) mc 2. (34) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 34 / 39
Energi Untuk kecepatan rendah, v << c Ingat bahwa untuk nilai x 0, berlaku (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 1 + 2x, (1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 1 + 3x, (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 1 + 4x,... dst. Secara umum, untuk x 0, (1 + x) n 1 + nx. (35) Sehingga γ = (1 v 2 c 2 ) 1 2 1 v 2 1 + 2 c 2. (36) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 35 / 39
Energi Untuk kecepatan rendah, v << c Sehingga, (γ 1) 1 + 1 v 2 2 c 2 1 = 1 v 2 2 c 2. (37) Jadi, K = 1 v 2 2 c 2 mc2 = 1 2 mv 2, (38) sama dengan energi kinetik pada fisika klasik. Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 36 / 39
Energi Energi relativistik Suku mc 2 tidak bergantung pada kecepatan benda, disebut energi diam, E diam = mc 2 (39) Energi total adalah jumlah dari energi kinetik K dengan energi diam E diam, E total = K + E diam = γmc 2. (40) Hubungan energi dan momentum, E 2 total = p 2 c 2 + m 2 c 4. (41) Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 37 / 39
Energi Penutup The relativity theory arose from necessity, from serious and deep contradictions in the old theory from which there seemed no escape. The strength of the new theory lies in the consistency and simplicity with which it solves all these difficulties. 1 1 A. Einstein and L. Infield, The Evolution of Physics (New York: Simon and Schuster, 1961). Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 38 / 39
Energi Ada pertanyaan? Kontak saya via: agussuroso@fi.itb.ac.id Agus Suroso (FTETI-ITB) Teori Relativitas Khusus 18 April 2017 39 / 39