BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equations (ODEs)) merupakan salah satu alat matematis untuk memodelkan dinamika sistem dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Salah satu contoh dinamika sistem yang dibangun dari model ODEs yang sederhana adalah gerak bandul matematis tanpa redaman dan gaya paksa. Pada model gerak bandul matematis tersebut posisi benda bergantung terhadap variabel waktu sehingga dapat ditulis menggunakan persamaan diferensial orde-2 terhadap waktu. Model ODEs untuk sistem tersebut masih termasuk dalam persamaan diferensial yang linear (Robinson, 2004). Dinamika sistem yang dapat berevolusi terhadap variabel ruang dan waktu dapat dirumuskan dengan fungsi matematis, dimana menyatakan posisi, t merupakan waktu dan N adalah dimensi sistem. Apabila variabel yang terlibat dalam ODEs mempunyai orde lebih dari satu maka ODEs dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial parsial. Salah satu dinamika sistem yang berubah terhadap variabel ruang dan berevolusi waktu dapat diturunkan melalui persamaan diferensial parsial (partial differential equations (PDEs)) (Olver, 2014). Salah satu contoh PDEs adalah persamaan gelombang satu dimensi. Persamaan gelombang mempunyai persamaan diferensial parsial orde-2 terhadap waktu dan orde-2 terhadap variabel ruang berdimensi satu. Perbedaan antara ODEs dengan PDEs adalah banyaknya variabel bebas yang dapat di diferensialkan. Jika ODEs hanya satu variabel bebas yang dapat di diferensialkan sedangkan PDEs lebih dari satu variabel bebas. Dinamika sistem ODEs maupun PDEs tidak hanya bersifat linear yang sederhana akan tetapi dapat berupa dinamika nonlinear. Dinamika sistem yang menggambarkan ODEs nonlinear banyak dijumpai di alam, sebagai contoh adalah sistem sederhana gerak bandul matematis yang teredam dan adanya gaya paksa. Adanya suku redaman dan gaya paksa pada 1
2 persamaan diferensial bandul matematis membuat ODEs menjadi persamaan diferensial nonlinear. Setiap model persamaan diferensial (ODEs atau PDEs) nonlinear dapat membawa informasi-informasi terkait keadaan fisis dinamika sistem seperti posisi, kecepatan, jenis gerak yang terjadi dan keadaan fisis yang lain. Dari keadaan fisisnya tersebut, dinamika sistem terbagi menjadi dua yaitu dinamika biasa (ordinary) dan chaos. Pada saat chaos, keadaan dinamika sistem menjadi tidak dapat diprekdisikan, seperti keadaan posisi r saat waktu t dan keadaan fisis lainya. Keadaan sistem yang tidak dapat diprekdisikan (unpredictable) ini muncul dalam kehidupan sehari-hari, seperti fluktuasi pada bursa saham dan pada cuaca serta pada sistem sederhana seperti bandul matematis dengan redaman dan gaya paksa (Creilly dkk., 1993). Untuk mengetahui dinamika sistem nonlinear yang diwakili oleh suatu PDEs, maka perlu penyelesaian PDEs tersebut secara analitik maupun numerik. Sifat yang dimiliki dari beberapa PDEs adalah adanya sifat stiff. Masalah sistem stiff banyak dijumpai di berbagai model PDEs. Menurut definisi matematis dalam penyelesaian PDEs stiff yang dirumuskan oleh Curtiss dan Hirschfelder pada tahun 1952 ersamaan-persamaan PDEs bersifat stiff dalam penyelesaiannya yang membutuhkan metode implisit tertentu dapat menghasilkan performa yang lebih baik dari pada metod Apabila PDEs mengandung unsur nonlinear dan bersifat stiff, maka penyelesaian PDEs menggunakan metode analitik secara langsung (direct method) akan sulit, sehingga penyelesaian PDEs stiff dan nonlinear menggunakan pendekatan numerik. Penyelesaian PDEs sistem stiff secara numerik sangat berkaitan dengan pemilihan nilai awal (initial condition) dan perubahan langkah variabel yang terkait (Cox dan Matthews, 2002). Salah satu contoh sistem sederhana yang mempunyai sifat PDEs stiff orde-1 adalah model pembakaran simetri bola berdimensi 1 (Nugroho dan Hamadi, 2015). Terdapat dua masalah yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan PDEs yaitu suku nonlinear dan bersifat stiff, sehingga penyelesaian PDEs dilakukan dengan pendekatan secara numerik. Pendekatan numerik menggunakan metode penyelesaian diferensial biasa seperti menggunakan metode Euler biasa atau metode Runge-Kutta akan menghasilkan performa kurang baik karena metode
3 tersebut dapat mengatasi masalah nonlinear secara baik namun masalah stiff pada PDEs masih belum dapat diatasi dengan baik. Salah satu metode yang digunakan dalam menyelesaikan PDEs stiff dan nonlinear dengan baik adalah skema Exponential Time Differencing (ETD). Pengujian metode eksplisit ini dibandingkan dengan skema ETD telah dilakukan oleh Nugroho dan Hamadi (2015) pada sistem pembakaran suatu benda bersimetri bola. Banyak PDEs nonlinear dan stiff berkaitan dengan diferensial terhadap variabel ruang (spatial) berorde lebih dari satu dan diferensial terhadap waktu (temporal) berorde satu. Dua contoh PDEs yang mempunyai diferensial terhadap variabel ruang berorde lebih dari satu adalah persamaan Kuramoto-Sivashinsky (KS) dan Nikolaevskiy equation (NE). Jika ada sebuah model PDEs yang stiff maka dapat dituliskan dalam bentuk deret diferensial dengan skala ke-n untuk nilai n yang besar dan m adalah pangkat tertinggi dari diferensial terhadap ruang untuk setiap persamaan diferensial terhadap waktu. Persamaan KS mempunyai orde diferensial terhadap variabel ruang terbesar adalah m=4 sedangkan NE mempunyai orde terbesar m=6 (Cox dan Matthews, 2002). Adanya sifat nonlinear dan stiff yang dimiliki oleh persamaan KS dan NE sehingga dalam menyelesaikan kedua persamaan tersebut digunakan pendekatan numerik menggunakan skema ETD. Skema ETD digunakan karena mengandung integrasi eksak dari PDEs diikuti oleh sebuah pendekatan integral yang mengandung bentuk nonlinear. Skema ETD menggunakan skema eksplisit sehingga lebih sederhana dibandingkan skema implisit. Dalam perkembangannya, skema ETD dapat dikombinasikan dengan metode numerik lain untuk menghasilkan nilai dengan ralat kecil (Cox dan Matthews, 2002). Hasil dinamika dari penyelesaian PDEs menggunakan metode ETD mempunyai karakteristik yang berbeda-beda. Perbedaan sifat dinamika dari persamaan KS dan NE dapat dipengaruhi oleh parameter kontrol (parameter redaman (r) untuk persamaan KS dan untuk NE) yang terdapat di dalamnya. Perbedaan karakteristik dinamika KS dan NE diketahui dari hasil analisa dinamika dengan menggunakan beberapa metode seperti autocorrelation function, dan Lyapunov exponents untuk mengetahui karakteristik dinamika. Dinamika sistem
4 dapat berubah dari sistem ordinary menjadi sistem chaos atau dari order menjadi disorder dari perlakuan yang diberikan. Perubahan dinamika sistem dapat dipengaruhi oleh nilai tetapan pada persamaan yang mewakili dinamika sistem. Setiap perubahan nilai tetapan akan menghasilkan dinamika sistem tertentu. Prosedur autocorrelation diusulkan pertama kali oleh Magleby dan Miller pada tahun 1981. Magleby dan Miller mempelajari tentang kriteria atau korelasi dari puncak-puncak pada grafik histogram mepps antara amplitudo dengan frekuensi. Autocorrelation pada umumnya mempunyai tujuan menganalisa hubungan antara nilai dari sebuah proses yang berubah terhadap waktu (Bennett, 2005). Dari prosedur ini, dapat dilakukan karakteristik dinamika KS dan NE terhadap perlakuan yang diberikan. Sebagai contoh adalah perlakuan mengenai pengaruh ukuran sistem pada persamaan KS. Apakah ada kesamaan sifat dinamika untuk ukuran sistem yang berbeda pada dinamika KS? Untuk menjawab pertanyaan tersebut maka dinamika KS dari beberapa variasi ukuran sistem dapat dianalisa menggunakan prosedur autocorrelation function. Analisa kedua yang dilakukan untuk mengetahui karakteristik dinamika KS dan NE adalah Lyapunov exponents. Pada tahun 1982, A.M Lyapunov pada tesisnya yang berj menuliskan tentang definisi umum kestabilan dari sistem gerak yang di dalamnya memuat tentang pengukuran kestabilan suatu titik menurut lintasan waktu dalam ruang berdimensi N. Hal ini memungkinkan suatu sistem gerak akan stabil menurut beberapa pengukuran dan parameter tertentu, akan tetapi menjadi tidak stabil menurut pengukuran dan parameter yang lain. Ide Lyapunov yang lain adalah pada suatu fungsi yang gayut terhadap variabel waktu. Misalkan ditinjau suatu fungsi, maka dapat didefinisikan suatu nilai, sedemikian rupa sehingga untuk dan untuk pada. Selanjutnya, bilangan adalah disebut characteristic number dari fungsi (Parks, 1992). Characteristic number yang dirumuskan oleh Lyapunov untuk suatu fungsi, lebih sering disebut sebagai Lyapunov exponents (LE).
5 Eksponen Lyapunov memberikan informasi tentang karakteristik kestabilan dinamika sistem dari nilai yang dihasilkan. 1.2 Rumusan Masalah Dari uraian latar belakang di atas, maka rumusan masalah dari penelitian ini adalah: 1. Bagaimanakah hasil penyelesaian persamaan KS dan NE menggunakan skema ETD? 2. Bagaimanakah pengaruh ukuran sistem (system size (L)) pada persamaan KS? 3. Bagaimanakah pengaruh parameter redaman (r) pada persamaan KS? 4. Bagaimanakah pengaruh parameter pada NE terhadap dinamika yang dihasilkan? 1.3 Tujuan Penelitian Dari uraian rumusan masalah di atas, maka tujuan dalam penelitian ini dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Menyelesaikan persamaan KS, dan NE yang mempunyai suku nonlinear dan bersifat stiff menggunakan metode ETD2. 2. Menganalisa hasil dinamika penyelesaian persamaan KS untuk setiap perubahan ukuran sistem. 3. Menganalisa hasil dinamika persamaan KS dan NE untuk setiap perubahan parameter kontrol. 1.4 Batasan Masalah Permasalahan dalam menyelesaikan PDEs terlalu luas. Sehingga untuk menghindari terlalu luasnya masalah yang dipelajari, maka perlu dibatasi yaitu: 1. Persamaan diferensial yang digunakan adalah persamaan KS, dan NE yang mempunyai suku nonlinear dan bersifat stiff. 2. Masalah PDEs diselesaikan menggunakan pendekatan numerik yaitu menggunakan skema ETD orde-2 (ETD2).
6 3. Hasil penyelesaian persamaan PDEs akan dianalisa menggunakan metode autocorrelation function, Eksponen Lyapunov. 4. Fungsi awal yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan KS dan NE adalah fungsi gelombang berjalan (travelling wave). 5. Ukuran sistem pada persamaan NE dibuat tetap yaitu sebesar 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini diantaranya dapat memberikan informasi yang terkandung dalam suatu dinamika sistem diwakili oleh persamaan diferensial parsial. Khususnya dinamika yang dihasilkan dari PDEs yang bersifat stiff. Selain itu, Skema ETD yang digunakan dalam menyelesaikan PDEs stiff dapat dimanfaatkan dalam penyelesaian persamaan diferensial pada umumnya baik ODEs maupun PDEs. Manfaat yang lain yang dari penelitian ini adalah mengetahui karakteristik yang dimiliki oleh dinamika KS dan NE. Dinamika KS merupakan salah satu perwakilan dari sistem reaksi difusi kimia, sedangkan dinamika NE merupakan salah satu contoh representasi gelombang seismik pada medium elastis. Selain itu, dinamika NE dapat digunakan sebagai model sistem soft mode turbulence dalam sistem liquid kristal.