5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan beberapa definisi tentang konsep dasar graf yang diambil dari Deo, 998. Graf merupakan kumpulan titik dan sisi, dinotasikan dengan G = (V,E), dengan V menyatakan himpunan titik {v, v,, v n } yang tak kosong dan E menyatakan himpunan sisi {e, e,, e n } yang merupakan pasangan tak terurut dari titik-titik di V. v e v e 8 e e 6 e 4 e 5 e 7 e 8 v e v 4 Gambar. Contoh graf dengan 5 titik dan 8 sisi
6 Dua titik pada graf G dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya terhubung dengan suatu sisi. Suatu sisi dikatakan menempel (incident) dengan suatu titik u, jika titik u merupakan salah satu titik ujung dari sisi tersebut. Pada Gambar, titik v bertetangga dengan titik v dan. Sisi e menempel pada titik v dan v 4. Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik v, dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat satu. Pada Gambar, d(v ) =, d(v ) =, d(v ) =, d(v 4 ) = 5 dan d( ) = dan graf tersebut tidak memiliki daun karena setiap titiknya memiliki derajat lebih dari satu. Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai sisi ganda dan atau loop disebut graf sederhana. Pada Gambar, terdapat loop pada titik v yaitu e 8, sedangkan e, e 6, e 5 dan e 7 disebut sisi paralel. Graf pada Gambar bukan graf sederhana karena terdapat loop (e 8 ) dan sisi ganda (e 7 ). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang memiliki atau melewati titik yang berbeda-beda. Graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup, yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit yang banyak titiknya genap disebut sirkuit genap, sedangkan
7 jika banyak titiknya ganjil, maka disebut sirkuit ganjil. Pada Gambar, contoh jalan adalah v -e -v -e -v 4 -e 7 - -e 5 -v 4. Contoh lintasan adalah v -e -v - e -v 4 -e 7 - -e 8 -v. Contoh dari sirkuit adalah v -e -v -e -v 4 -e 5 - -e 8 -v -e -v. Graf T dikatakan subgraf dari graf G dinotasikan dengan T G jika dan hanya jika V(T) V(G) dan E(T) E(G). Contoh subgraf : A e C e 8 E A e c e e 4 e 5 e 6 e 7 e e 4 e 8 B e Graf G D B e Graf T D Gambar. T G.. Beberapa Kelas Graf Pohon Berikut ini akan diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan penelitian ini. Misalkan G adalah graf terhubung, G disebut pohon jika dan hanya jika G tidak memuat sirkuit dan gabungan dari pohon disebut hutan (forest).
8 T H Gambar 4. Contoh pohon dan hutan Pada Gambar 4, T adalah pohon dan H adalah hutan. Graf adalah graf yang diperoleh dari graf dan setiap titik nya dihubungkan oleh suatu lintasan. k k k X Gambar 5. Graf S 4,k Gambar 6. Graf S 4,5
9 Graf bintang K,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajat n yang disebut pusat dan titik lainya berderajat satu (Chartrand dkk., 998). Gambar 7. Graf bintang K,6 Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. jika x dan y berturut-turut berderajat a + dan b +, dinotasikan dengan S a,b (Chartrand dkk., 998). Gambar 8. Graf bintang ganda S, Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 998). Gambar 9. Contoh graf ulat
0.. Dimensi Partisi Graf Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk (998). Misalkan ( ) suatu graf, ( ) dan ( ). Jarak dari titik ke himpunan, dinotasikan dengan ( ) adalah, * ( ) + dengan ( ) adalah jarak dari titik ke. Misalkan { } adalah partisi dari ( ) dengan kelas-kelas dari. Representasi terhadap, dinotasikan dengan ( ), adalah -tupel terurut ( ( ) ( ) ( )). Selanjutnya, disebut partisi pembeda dari ( ) jika ( ) ( ) untuk setiap dua titik berbeda ( ) Dimensi partisi dari, dinotasikan ( ) adalah nilai terkecil sehingga mempunyai partisi pembeda dengan kelas. Berikut ini akan diberikan graf G dan akan ditentukan dimensi partisinya. v v 4 v v v 4 v v 7 v v v 9 v 0 v 8 Graf G Gambar 0. Dimensi partisi graf G
Graf G dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S,S,S }, dengan S = {v,v 4,,v 7,v 9,v,v }, S = {v,,v 8,v 0,v,v 4 } dan S = {v }. Perhatikan bahwa r(v ) = (0,,); r(v ) = (,,0); r(v ) = (,0,); r(v 4 ) = (0,,); r( ) = (0,,); r( ) = (,0,); r(v 7 ) = (,0,4); r(v 8 ) = (,0,4); r(v 9 ) = (0,,4); r(v 0 ) = (,0,5); r(v ) = (0,,5); r(v ) = (0,,6); r(v ) = (,0,6); r(v 4 ) = (0,,7). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf G dan pd(g). Untuk menunjukkan pd(g), andaikan terdapat partisi pembeda = {S,S } dari G. Perhatikan titik v, v memiliki daun yaitu v, v dan v 4. Jika hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut akan memiliki partisi pembeda yang sama. Akibatnya representasi kedua daun itu akan sama, karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik lainnya pada graf G, kontradiksi. Jadi pd(g). Akibatnya, pd(g) =. Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting dari dimensi partisi yang telah dibuktikan Chartrand dkk. (998). Lemma.. Diberikan G graf terhubung dengan partisi pembeda dari V(G), untuk u,v V(G), jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w V(G) {u,v}, maka u dan v merupakan elemen yang berbeda dari.
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada graf bintang ganda. Teorema.. Jika T adalah graf bintang ganda berorde n 6, dengan x dan y dua titik yang bukan daun, maka pd(t) = max{deg(x),deg(y)}. Contoh penentuan dimensi partisi graf dari graf bintang ganda. Diberikan graf bintang ganda S,, akan tentukan bahwa pd(s, ) =. v 7 v v v v 4 Gambar. Dimensi partisi graf bintang ganda S, Graf bintang ganda S, dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S,S,S }, dengan S = {v,v,v 7 }, S = {v 4, }, dan S = {v, }. Perhatikan bahwa r(v ) = (,,0); r(v ) = (0,,); r(v ) = (0,,); r(v 4 ) = (,0,); r( ) = (,,0); r( ) = (,0,); r(v 7 ) = (0,,). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf S, dan pd(g). Untuk menunjukkan pd(s, ), andaikan terdapat partisi pembeda = {S,S } dari G dengan S ={v,v,v 7 }; S ={v,v 4,, }, maka titik, akan
memiliki representasi yang sama yaitu (,0), kontradiksi. Jadi pd(s, ). Akibatnya, pd(s, ) =. Teorema.. Misalkan K,n graf bintang berode n, maka pd(k,n ) = n. Bukti : v V n+ v 0 n v v v 0 9 v v 4 v 9 8 4 7 6 v 8 v 7 5 Gambar. Dimensi partisi graf bintang K,n Graf K,n dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S,S,S,S 4,S 5,S 6,, S n } dengan S = {v,v }, S = {v }, S = {v 4 }, S 4 = { }, S 5 = { }, S 6 = {v 7 },..., dan S n = {v n+ }. Perhatikan bahwa r(v ) = (0,,,,,,,,); r(v ) = (0,,,,,,); r(v ) = (,0,,,,,,); r(v 4 ) = (,,0,,,,,); r( ) = (,,,,0,,,,); r( ) = (,,,,0,,,); ;r(v n+ ) = (,,,,,,,0). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf K,n dan pd(k,n ) n.
4 Untuk menunjukkan pd(k,n ) n, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda = {S,S,S,S 4,S 5,,S n- } dari K,n maka akan ada representasi yang sama yaitu pada titik v n dan v n+. Maka bukan merupakan partisi pembeda dari graf K,n, kontradiksi. Jadi pd(k,n ) n. Akibatnya, pd(k,n ) = n. Berikut ini akan diberikan contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang K,6. v v 7 6 v 5 v v 4 4 Gambar. Dimensi partisi graf K,6 Graf K,6 dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S,S,S,S 4,S 5,S 6 } dengan S = {v,v }, S = {v }, S = {v 4 }, S 4 = { }, S 5 = { } dan S 6 = {v 7 }. Perhatikan bahwa r(v ) = (0,,,,,); r(v ) = (0,,,,,); r(v ) = (,0,,,,); r(v 4 ) = (,,0,,,); r( ) = (,,,0,,); r( ) = (,,,,0,); r(v 7 ) = (,,,,,0). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf K,6 dan pd(k,6 ) 6. Untuk menunjukkan pd(k,6 ) 6, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda = {S,S,S,S 4,S 5 } maka akan ada representasi yang sama pada titik dan v 7.
5 Sehingga, bukan merupakan partisi pembeda dari graf K,6, kontradiksi.. Jadi pd(k,6 ) 6. Akibatnya, pd(k,6 ) = 6. Teorema..4 Jika T adalah graf ulat dengan t (T), maka t (T) pd(t) t (T) +. Untuk membuktikan Teorema..4, perhatikan partisi pembeda pada grafgraf ulat berikut ini : v 4 v 7 v 8 v v v T v v 4 T v v v 7 v v v v 4 v 8 T v6 v5 v6 v 9 v8 v v5 v4 4 v v 4 v v v v v7 v0 T 4 Gambar 4. Dimensi partisi graf ulat T, T, T dan T 4
6 Graf ulat T pada Gambar 4 memiliki pd(t ) = = t (T ) dengan minimal partisi pembeda = {S,S,S } dengan S = {v,, }; S = {v,v 4,v 7 } dan S = {v,v 8 }. Graf ulat T pada Gambar 4 memiliki pd(t ) = = t (T ) dengan minimal partisi pembeda = {S,S,S } dengan S = {v,v 4 }; S = {v, } dan S = {v, }. Graf ulat T pada Gambar 4, adalah graf bintang ganda dan berdasarkan teorema.. maka t (T ) = pd(t ) =. Graf ulat T 4 pada Gambar 4 memiliki t (T 4 ) = dengan partisi pembedanya = {S,S,S,S 4 } dari V(T 4 ), dengan S = {v,,v 9,v, }; S = {v 4,,v 8,v, }; S = {v,v 7,v 0,v,v 4 } dan S 4 = {v }. Untuk menunjukkan pd(t 4 ) = 4 cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada partisi pembeda dengan tiga kelas partisi dari V(T 4 ). Misalkan = {S,S,S } sebagai partisi pembeda dari V(T 4 ) maka akan ada kesamaan partisi pembeda dari titik v dan v sehingga mengakibatkan representasinya akan sama juga. Sehingga = {S,S,S } bukanlah partisi pembeda yang tepat untuk T 4, kontradiksi. Akibatnya, pd(t 4 ) = 4 = t (T ) +.