BAB 3 Hasil Utama Pada bab ini akan disajikan hasil utama dari tugas akhir ini, yakni nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap komplemen dari graf lengkap, dinotasikan dengan P m K n Selain itu diberikan algoritma pelabelan-k total tak tertatur sisi dari graf lintasan, graf bintang, graf roda, dan korona graf lintasan terhadap komplemen dari graf lengkap, graf lintasan, graf bintang, graf lingkaran, graf roda, graf gear, dan graf friendship 31 Penentuan nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap komplemen graf lengkap (tes(p m K n )) Pada pasal ini dibahas nilai tak teratur sisi untuk korona graf lintasan terhadap komplemen graf lengkap Teorema 31 Untuk setiap n 2 dan m 2, mn ( + 1) + 1 tes( Pm Kn) = 3 Bukti Karena EP ( K) = mn ( + 1) 1, maka berdasarkan Teorema 241, m mn ( 1) 1 2 mn ( 1) 1 tes( P + + + + m Kn) = 3 3 mn ( + 1) + 1 Selanjutnya ditunjukkan tes( Pm Kn) 3 Misalkan himpunan titik dari Pm Kn adalah n { j } V ( P K ) = x, y 1 i m dan 1 j n m n i i 14
dan himpunan sisi dari Pm Kn adalah = { j } { xx 1 1 i i+ 1 i m } E( P K ) x y 1 i m dan 1 j n m n i i ( n+ 1) i+ 1 Definisikan ri = 3 untuk 2 i m Konstruksi pelabelan-r m total tak teratur sisi α sebagai berikut: 1 untuk i = 1 α( ) = r untuk 2 i m x i i j α( y j i ) = ri + j n untuk untuk i = 1dan 1 j n 2 i m 1 j α( xy i i ) = ( n+ 1) i+ 1 2ri untuk untuk i = 1dan 1 j n 2 i m dan 1 j n ( n+ 1) + 1 r2 ( ) = ( n+ 1) i+ 1 ri r α xx i i+ 1 i+ 1 untuk untuk i = 1 2 i m 1 Dengan mudah dapat dilihat dari definisi bahwa fungsi α memetakan himpunan ( m n) ( m n) V P K E P K ke Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa j j j wt( x y ) = α( x ) + α( x y ) + α( y ) i i i i i i mn ( + 1) + 1 1, 2,, 3 = n( i 1) + i + j untuk 1 i m dan 1 j n dan wt( x x ) = α( x ) + α( x x ) + α( x ) i i+ 1 i i i+ 1 i+ 1 = ( n + 1) i + 1 untuk 1 i m 1dan 1 j n Karena itu, bobot sisi dari graf P m K n terhadap pelabelan total α membentuk barisan bilangan bulat 3, 4,, (m(n+1) + 1) Hal ini berarti tidak ada dua sisi yang memiliki bobot yang sama 15
Akibatnya diperoleh tes ( Pm Kn) mn ( + 1) + 1 3 32 Algoritma pelabelan-k total tak teratur sisi Pada pasal ini ditampilkan algoritma dari pelabelan-k total tak teratur sisi pada beberapa kelas graf, yakni graf lintasan, graf bintang, dan graf roda, serta korona graf lintasan terhadap graf lintasan, graf lingkaran, graf bintang, graf roda, graf gear, graf friedship, dan komplemen graf lengkap Algoritma-algorima yang digunakan untuk mengkonstruksi pelabelan graf lintasan, graf bintang, graf roda, dan korona graf lintasan terhadap graf lintasan, graf bintang, graf lingkaran, graf roda, graf gear, dan graf friendship dikembangkan dari bukti-bukti teorema yang terdapat pada [1], [2], dan [4] Sedangkan algoritma untuk pelabelan korona graf lintasan terhadap komplemen graf lengkap dikembangkan dari pembuktian teorema yang terdapat pada Pasal 31 Adapun algoritma tersebut sebagai berikut Kasus I (pilihan P n, S n, dan W n ) 1 Masukan: nilai n dan jenis graf 2 Proses: a) menentukan ukuran matriks ketetangaan sesuai dengan nilai n, b) menentukan pengisian matriks ketetangaan sesuai pilihan graf yang akan dilabeli, c) membaca matriks sesuai input ke dalam variable resulta[i, j], d) menentukan posisi titik-titik pada graf, e) menentukan posisi garis yang menggambarkan ketetanggaan titik pada graf, f) menentukan posisi label titik dan label garis (bergantung pada posisi titik dan posisi garisnya), g) melakukan perhitungan untuk menentukan besarnya angka yang akan diperuntukkan sebagai label yang akan dipergunakan dalam pelabelan tersebut (bergantung pada nilai tes(g)-nya) 16
3 Keluaran: gambar graf beserta label titik dan label sisi, serta nilai tak teratur sisinya Kasus II (pilihan P m P n, P m S n, P m C n, P m W n, P m G n, P m F n, dan P m K n ) 1 Masukan: nilai n dan m, serta jenis graf 2 Proses: a) menentukan ukuran matriks ketetangaan sesuai dengan pilihan graf yang dipilih, b) menentukan pengisian matriks ketetangaan sesuai pilihan graf yang mau dilabeli, c) membaca matriks sesuai input ke dalam variable resulta[i, j], d) menetukan fungsi untuk mencari fungsi r i, e) menentukan posisi titik-titik pada graf, f) menentukan posisi garis yang mengambarkan ketetanggaan titik pada graf, g) menentukan posisi label titik dan label garis (bergantung pada posisi titik dan posisi garisnya), h) melakukan perhitungan untuk menentukan besarnya angka yang akan diperuntukkan sebagai label yang akan dipergunakan dalam pelabelan tersebut (bergantung pada nilai tes(g)-nya) 3 Keluaran: gambar graf beserta label titik dan label sisi, serta nilai tak teratur sisinya Selanjutnya dibuat perangkat lunak yang merupakan implementasi dari algoritma-algoritma diatas dengan menggunakan Borland Delphi 7 17
33 Implementasi Algoritma Antar muka dari perangkat lunak yang dibuat seperti pada gambar dibawah ini Gambar 31 Tampilan antar muka perangkat lunak Langkah-langkah pengoperasian perangkat lunak adalah sebagai berikut: 1 Pilih kelas graf yang diinginkan untuk di labeli 2 Isi berapa nilai n dari graf (P n, S n, dan W n ) atau nilai n dan m dari beberapa pilihan graf korona yang diinginkan, kemudian tekan tombol OK, agar menginput nilai masukan tiap graf sesuai pilihan yang dinginkan 3 Pilih tombol Isi Matriks, untuk mengisi matriks ketetanggaan sesuai dengan pilihan graf yang ditentukan 4 Pilih tombol Gambar Graf, untuk melihat keluaran dari program ini yang berupa gambar graf yang dilengkapi label titik dan label sisi, serta nilai tak teratur sisinya 5 Jika ingin mengulangi dari awal penggunaan program ini, maka tekan tombol Ulang 18
Setelah digunakan, perangkat lunak ini menyelesaikan setiap pelabelan-k total tak teratur sisi dengan nilai k yang sesuai dengan tes(g), untuk graf yang memiliki maksimal 50 titik Waktu yang digunakan untuk proses kurang dari 1 detik pada komputer Pentium Celeron M 1,86GHz dan RAM sebesar 1GB 34 Hasil simulasi algoritma pelabelan-k total tak teratur sisi yang nilai k yang sesuai dengan tes(g) untuk beberapa graf Berikut akan diberikan beberapa contoh keluaran yang diperoleh sebagai hasil simulasi program Gambar 32 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 8 19
Untuk graf P 8, hasilnya dapat dilihat pada Gambar 32 Hasil program sesuai 8+ 2 10 dengan perhitungan manual yakni tes( P8 ) = = = 3 2 2 Gambar 33 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus S 9 9+ 1 10 Untuk graf S 9, dengan perhitungan manual diperoleh tes( S9) = = = 5 2 2 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 33 20
Gambar 34 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus W 7 2*7+ 2 Untuk graf W 7, dengan perhitungan manual diperoleh tes( W7 ) = = 6 3 Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 34 21
Gambar 34 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 K 4 Untuk graf P 3 K 4, dengan perhitungan manual diperoleh 3(4 + 1) + 1 tes( P3 K4) = = 6 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 34 22
Gambar 35 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 P 4 Untuk graf P 3 P 4, dengan perhitungan manual diperoleh 2(3 4) + 1 tes( P3 P4) = = 9 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 35 23
Gambar 36 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 C 5 Untuk graf P 3 C 5, dengan perhitungan manual diperoleh (2 5 + 1)3 + 1 34 tes( P3 C5) = = = 12 3 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 36 24
Gambar 37 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 S 5 Untuk graf P 3 S 5, dengan perhitungan manual diperoleh 23(5 + 1) + 1 37 tes( P3 S5) = = = 13 3 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 37 25
Gambar 38 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 W 5 Untuk graf P 3 W 5, dengan perhitungan manual diperoleh (3 5 2)3 1 52 tes( P + + 3 W5) = = = 18 3 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 38 26
Gambar 39 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 F 5 Untuk graf P 3 F 5, dengan perhitungan manual diperoleh 3(5 5 2) 1 82 tes( P + + 3 F5) = = = 28 3 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 39 27
Gambar 310 Tampilan antar muka perangkat lunak untuk kasus P 3 G 3 Untuk graf P 3 G 3, dengan perhitungan manual diperoleh 3(5 3 2) 1 52 tes( P + + 3 G3) = = = 18 3 3 Hasil Simulasi dapat dilihat pada Gambar 310 28