KB. INTERAKSI PARTIKEL DENGAN MEDAN LISTRIK.1 Efek Stark. Jika sebua atom yang berelektorn satu ditempatkan di dalam sebua medan listrik (+ sebesar 1. volt/cm) maka kita akan mengamati terjadinya pemisaan dari energi eigen. Gejala ini untuk pertama kali diamati ole Stark pada taun 1913 dan sering disebut efek Stark. Dia mengamati pemisaan dari deret Balmer dalam sebua medan listrik sebesar 1. volt/cm. Hamiltonian dari atom berelektron satu yang terletak di dalam sebua medan listrik yang tetap dan omogen ε yang sejajar dengan sumbu-z adala H = H + H = p r m L + mr - eε.z (1) dimana H = - eε.z = - eεz cos θ, dan θ adala sudut antara medan listrik ε dengan sumbu-z positif. Fungsi eigen dari amiltonian yng tak terganggu (H ) adala degenerasi sebanyak n lipat. Na sekarang marila kita peratikan bagaimana medan listrik ε ini mengilangkan degenerasi tersebut. Conto: marila kita peratikan keadaan untuk n =. Fungsi gelombang untuk n = ini adala degenerasi sebanyak 4 bua (4 lipat) dan di dalam notasi ket nlm> keempat fungsi gelombang tersebut adala: > 11> () 1> 1-1> Untuk mengitung perubaan energi, kita arus menyelesaikan persamaan determinan berikut: H' E' 11 H' 1 H' 1 1 H' H' 11 11 H' 11 E' 1 H' 11 1 1 H' 11 H' 1 11 H' 1 1 H' 1 E' 1 1 H' 1 H' 1 1 11 H' 1 1 = 1 H' 1 1 1 1 H' 1 1 E' 15
Dari keenam belas elemen determinan tersebut di atas, anya dua elemen yang tidak bernilai nol, yaitu <1 H > dan < H 1>, dimana kedua elemen ini bernilai sama, seingga <1 H > = < H 1> ea ε 1 4 -ρ =- ρ ( ρ) e dρ cos θ d(cos θ) 3π 1 = eε /mze = -3 e ε a (3) Kita misalkan 3 e ε a = E, seingga persamaan ditermninan di atas menjadi: π dφ E' E E' E E' =. E' Diterminan ini memiliki empat bua akar, yaitu: E =,, +E, dan E, dimana E = 3 e ε a. (4) () Jadi kita meliat bawa medan listrik ε tela menyebabkan tingkat energi untuk n = (yaitu E ) peca menjadi tiga tingkat energi yang baru, yatiu: E () + E, E (), dan E () E. Secara diagram, pemecaan tingkat energi ini ditunjukkan pada Gambar 1 di bawa. ε = ε E () + E E E () E () - E Untuk mengitung fungsi gelombang yang baru untuk n =, kita arus mensubstitusikan nilai-nilai energi dalam persamaan (3) di atas satu demi satu ke dalam persamaan matrik 16
E' E a E' b =, (4) E E' c E' d dimana a, b, c, dan d adala komponen fungsi gelombang baru tersebut, yaitu: ϕ = a > + b 11> + c 1> + d 1-1> (5) Jika Anda selesaikan persamaan (4) di atas untuk setiap nilai E =,, +E, dan E, maka Anda akan mendapatkan empat bua fungsi gelombang baru sebagai berikut: untuk E = E () + E: 1 ϕ = ( > 1>) Untuk E = E () - E: 1 ϕ = ( > + 1>) untuk E =, kita memperole dua fungsi gelombang baru, yaitu: ϕ = 11> dan ϕ = 1 1>. Jadi pertubasi tela mencampur keadaan untuk m =, dan membiarkan keadaan untuk m = + 1 dan m = -1 tetap degenerasi. Latian: Pikirkan sebua atom idrogen yang diletakkan dalam medan listrik. Hamiltonian awal (amiltonian yang tak terganggu) untuk atom ini dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: H = - ( /m) e /r. dan amiltonian penggangu dinyatakan ole H = e F z, dimana e = muatan listrik elektron, F = medan listrik dalam ara sumbu-z positif. Tentukanla koreksi orde pertama dan kedua untuk energi! Petunjuk: gunakan tori gangguan bebas waktu yang tidak degeneras dan ikuti conto di atas. 17
Rangkuman 1. Efek Stark menyatakan bawa jika sebua atom yang berelektorn satu ditempatkan di dalam sebua medan listrik (+ sebesar 1. volt/cm) maka kita akan mengamati terjadinya pemisaan dari energi eigen.. Hamiltonian dari atom berelektron satu yang terletak di dalam sebua medan listrik yang tetap dan omogen ε yang sejajar dengan sumbu-z adala = p r m L + mr - eε.z 18
Tes formatif-. Petunjuk : Jawabla soal-soal di bawa ini! 1. Berapaka momen dipol atom idrogen dalam keadaan ϕ +? a. 3 e a. b. e a. c. 3 e a. d. e a.. Berapaka rapat muatan dari atom idrogen dalam keadaan ϕ -? a. q(r, θ) = (e/16πa )[1 r sin (θ/)/a ] e -r/a. b. q(r, θ) = (e/16πa 3 )[1+ r sin (θ/)/a ] e -r/a. c. q(r, θ) = (e/16πa 3 )[1 r sin (θ/)/a ] e -r/a. d. q(r, θ) = (e/16πa 3 )[1 + r sin (θ/)/a ] e -r/a. 19
Tindak Lanjut (Balikan): Cocokanla jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif pada akir modul ini, dan berila skor (nilai) sesuai dengan bobot nilai setiap soal yang dijawab dengan benar. Kemudian jumlakan skor yang Anda perole lalu gunakan rumus di bawa ini untuk mengetaui tingkat penguasaan (TP) Anda teradap materi KB- ini. Rumus (TP) = (jumla skor/1) x 1 % Arti TP yang Anda perole adala sebagai berikut : 9 % - 1 % = baik sekali. 8 % - 89 % = baik 7 % - 79 % = cukup < 7 % = renda. Apabila TP Anda > 8 %, maka Anda bole melanjutkan pada materi Modul berikutnya, dan Selamat!!, Tetapi jika TP Anda < 8 %, Anda arus mengulang materi KB- di atas terutama bagian-bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban Tes Formatif-1. (Bobot nilai untuk setiap soal adala satu). 1. amiltonian osilator dua dimensi yang tak terganggu adala sebagai berikut: H = - m x + y + ½ mω (x + y ) = (- m x + ½ mω x ) + (- m y + ½ mω y ) Jadi amiltonian dapat dipeca menjadi dua bagian yang terpisa, dan masing-masing bergantung pada variabel x dan y.. Hamiltonian total dapat ditentukan dengan cara menggabungkan amiltonian yang tak terganggu dengan amilton pengganggu H, yaitu sebagai berikut; H = H + H dan dari jawaban (a) di atas kita punya H = (- m x + ½ mω x ) + (- m y + ½ mω y ). Jadi H = (- m x + ½ mω x ) + (- m y + ½ mω y ) + λ xy. 3. Berdasarkan pada bentuk amiltonian untuk osilator armonis dua dimensi yang diperole pada jawaban (a) di atas, Anda dapat menuliskan tingkat-tingkat energi untuk osilator armonis dua dimensi sebagai berikut: E n1,n = E n1 + E n = ω (n 1 + ½ ) + ω (n + ½ ) E n1,n = ω (n 1 + n + 1). Dengan demikian ketiga tingkat energi pertama dapat ditentukan sebagai berikut: keadaan dasar : 1
E, = ω tingkat energi tereksitasi pertama: E 1, = ω E,1 = ω Jadi tingkat energi ini adala degenerasi dua lipat. Tingkat energi tereksitasi kedua: E, = 3 ω E, = 3 ω E 1,1 = 3 ω Tingkat energi ini degenerasi tiga lipat. 4. Fungsi gelombang untuk ketiga tingkat energi tersebut di atas (jawaban c) adala sebagai berikut: untuk keadaan dasar: Ψ, (x,y) = Ψ (x) Ψ (y). untuk tingkat energi tereksitasi pertama: Ψ 1, (x,y) = Ψ 1 (x) Ψ (y) Ψ,1 (x,y) = Ψ (x) Ψ 1 (y) untuk tingkat energi tereksitasi kedua: Ψ, (x,y) = Ψ (x) Ψ (y) Ψ, (x,y) = Ψ (x) Ψ (y) Ψ 1,1 (x,y) = Ψ 1 (x) Ψ 1 (y) 5. Koreksi energi orde pertama untuk keadaan dasar dan keadaan terksitasi pertama. Koreksi untuk tingkat energi keadaan dasar.
Karena tingkat energi keadaan dasar tidak degenerasi, maka kita arus menggunakan teori gangguan bebas waktu yang tak degenerasi, yaitu sebagai berikut: E, (1) = <Ψ (x) Ψ (y) H Ψ (x) Ψ (y) > = <Ψ (x) Ψ (y) λ xy Ψ (x) Ψ (y) > E, (1) = λ <Ψ (x) Ψ (y) x Ψ (x) Ψ (y)> <Ψ (x) Ψ (y) y Ψ (x) Ψ (y)> Karena operator-operator x dan y biasa dinyatakan ole persamaan berikut x = mω (a + a + ) dan y = mω (b + b + ), dimana ω merupakan frekuensi osilator yang tak terganggu, maka: E, (1) = λ <Ψ (x) Ψ (y) x Ψ (x) Ψ (y)> <Ψ (x) Ψ (y) y Ψ (x) Ψ (y)> =. Koreksi untuk tingkat energi tereksitasi pertama. Karena tingkat energi tereksitasi pertama ini adala degenerasi dua lipat, maka kita arus menggunakan teori gangguan bebas waktu yang degenerasi, yaitu sebagai berikut: Kedua fungsi gelombang untuk tingkat energi ini, yiatu Ψ 1, (x,y) = Ψ 1 (x) Ψ (y) Ψ,1 (x,y) = Ψ (x) Ψ 1 (y) akan disingkat masing-masing menjadi Ψ 1 dan Ψ seingga elemen-elemen matrik dapat ditulis sebagai berikut : H 11 = <Ψ 1 Η Ψ > = < Ψ 1 (x) Ψ (y) λ xy Ψ 1 (x) Ψ (y)> = λ< Ψ 1 (x) x Ψ 1 (x)> < Ψ (y) y Ψ (y)> =. H = <Ψ (x) Ψ 1 (y) λ xy Ψ (x) Ψ 1 (y)> 3
= λ <Ψ (x) x Ψ (x)> < Ψ 1 (y) y Ψ 1 (y)> = H 1 = λ <Ψ 1 (x) Ψ (y) xy Ψ (x) Ψ 1 (y)> = λ <Ψ 1 (x) x Ψ (x)> <Ψ (y) y Ψ 1 (y)> = λ ( /mω ) H 1 = λ <Ψ (x) Ψ 1 (y) xy Ψ 1 (x) Ψ (y)> = λ <Ψ (x) x Ψ 1 (x)> <Ψ 1 (y) y Ψ (y)> = λ ( /mω ). Jadi persamaan sekuler nya dapat ditulis sebagai berikut: H ' 11 E H ' 1 (1) H ' H ' 1 E (1) = E λ mω (1) λ mω E (1) = seingga nilai koreksi energi orde pertama ini adala: E (1) = + λ /mω. 6. Orde ke nol fungsi gelombang untuk keadaan eksitasi pertama dapat ditentukan sebagai berikut. Pertama kita substitusikan masing-masing E (1) = + λ /mω ke dalam persamaan E λ mω (1) λ mω E (1) c c 1 =, dimana c 1 dan c adala komponen dari fungsi gelombang orde ke nol untuk E (1) = + λ /mω. Dari persamaan ini Anda dapat menentukan nilai c dengan cara biasa, dan asilnya 4
adala c 1 = c. Kemudian dari sifat normalisasi fungsi gelombang kita akan dapatkan c 1 + c = 1. Dan karena c 1 = c, maka Anda dapatkan c 1 = c = 1. Dengan demikian, fungsi gelombang orde ke nol adala: Ψ + = c 1 Ψ 1 + c Ψ = 1 {Ψ1 (x) Ψ (y) + Ψ (x) Ψ 1 (y)} Dengan cara yang sama Anda dapat menentukan fungsi gelombang orde ke nol untuk E (1) = - λ /mω. Dan asilnya adala c 1 = - c, seingga fungsi gelombang untuk E (1) = - λ /mω adala Ψ = c 1 Ψ 1 - c Ψ = 1 {Ψ1 (x) Ψ (y)- Ψ (x) Ψ 1 (y)}. 5
Kunci jawaban Tes formatif- (Bobot setiap nilai adala 5) 1. a. c. 6
Kepustakaan 1. Ricard L Libooff, Introduction to Quantum Mecanics, nd ed., Addison Wesley Publising Co, Reading- Massacusetts, 199.. Claude Coen- Tannoudji, dkk, Quantum Mecanics, Vol. 1, Jon Wiley & Sons, New York, 1977. 3. Claude Coen- Tannoudji, dkk, Quantum Mecanics, Vol., Jon Wiley & Sons, New York, 1977. 4. Min Cen, Pysics Problems wit Solution, Prentice Hall of India, New Deli, 1987. 5. W. Greiner, Relativistic Quantum Mecanics, Springer-Verlag, New York, 1994. 7