MA3231 Analisis Real

MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 1 / 21

BAB 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 1 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 2 / 21

BAB 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 1 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv 2 12.2 Integrl HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 2 / 21

BAB 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 1 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv 2 12.2 Integrl 3 12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 2 / 21

12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume bend rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh) berpijk pd metode exhustion, yng telh dipki oleh Plto dn Eudoxus, dn kemudin oleh Euclid dn Archimedes, untuk menghitung lus derh lingkrn (dengn menggunkn pengethun tentng lus derh segitig tu, secr umum, segi bnyk). Pd 1630-n, Pierre de Fermt tertrik untuk menghitung lus derh di bwh kurv. Beberp puluh thun kemudin, John Wllis dn Gottfried Wilhelm von Leibniz mengembngkn metode untuk menghitung lus derh di bwh kurv, yng merupkn cikl-bkl teori integrl yng kit kenl sekrng. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 3 / 21

12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Apkh msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x)? Gmbr 12.1 Derh di bwh kurv y = f(x) Jik y, bgimn menghitungny? HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 4 / 21

12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Lus derh di bwh kurv mestilh lebih besr dripd L, yng menytkn lus derh yng dirsir pd gmbr berikut. Gmbr 12.2 Lus derh L Mislkn L menytkn himpunn semu bilngn L yng dpt diperoleh sebgi jumlh lus derh persegi-pnjng kecil di bwh kurv. Tmpkny msuk kl untuk mendefinisikn lus derh di bwh kurv y = f(x) sebgi sup L. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 5 / 21

12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Contoh 1. Mislkn f(x) = x 2, x [0, 1]. Dengn membgi intervl [0, 1] ts n intervl bgin yng sm pnjng dn menghitung jumlh lus derh persegi-pnjng yng terbentuk, lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd 1 [0 + 12 n n + 22 (n ] 1)2 + +. 2 n2 n 2 Jumlh deret ini sm dengn Mengingt (n 1)n(2n 1) 1 6n 3 3 untuk n, mk (n 1)n(2n 1) 6n 3. untuk tip n N dn (n 1)n(2n 1) 6n 3 1 3 (n 1)n(2n 1) sup = 1 n N 6n 3 3. Jdi, lus derh di bwh kurv y = f(x) dlh 1 3. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 6 / 21

12.1 Lus Derh di Bwh Kurv SOAL 1 Buktikn bhw (n 1)n(2n 1) simpulkn bhw sup n N 6n 3 1 3 (n 1)n(2n 1) 6n 3 = 1 3. untuk tip n N, dn 2 Tentukn lus derh di bwh kurv y = 1 + x, x [0, 1], dengn cr seperti pd Contoh 1. Apkh hsil yng diperoleh sesui dengn pengethun geometri kit? HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 7 / 21

12.2 Integrl Ap yng terjdi pd Contoh 1 berlku secr umum pd fungsi yng kontinu pd intervl tutup. Slh stu sift fungsi kontinu pd intervl tutup yng terpki dlm pembhsn integrl dlh sift keterbtsnny. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 8 / 21

12.2 Integrl Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Definisikn prtisi dri [, b] sebgi himpunn P := {x 0, x 1,..., x n } dengn = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b]. Jdi, diberikn sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [, b], kit dpt mendefinisikn m k := inf f(x), x k 1 x x k untuk k = 1, 2,..., n. Dengn demikin, untuk tip prtisi P, kit dpt membentuk deret L(P, f) := n m k (x k x k 1 ). k=1 (Butlh sutu ilustrsi yng menytkn nili L(P, f).) HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 9 / 21

12.2 Integrl Mislkn f terbts di ts oleh M pd [, b], ykni f(x) M, x [, b]. Mk L(P, f) M n (x k x k 1 ) = M(b ). k=1 Jdi himpunn bilngn {L(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di ts oleh M(b ), dn kren itu i mempunyi supremum. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 10 / 21

12.2 Integrl Sekrng kit smpi pd definisi integrl. Jik f kontinu pd intervl [, b], kit definisikn integrl dri f pd [, b] sebgi f(x) dx := sup L(P, f), P dengn nili supremum dimbil ts semu prtisi P dri [, b]. Dlm hl f(x) 0 untuk setip x [, b], mk f(x) dx dpt diinterpretsikn sebgi lus derh di bwh kurv y = f(x), yng bernili tk negtif (lebih besr dripd tu sm dengn 0). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 11 / 21

12.2 Integrl Sebgi tmbhn, jik < b, mk kit definisikn f(x) dx := b f(x) dx. Selin itu, untuk sembrng R, kit definisikn f(x) dx := 0. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 12 / 21

12.2 Integrl Proposisi 2. Mislkn f kontinu pd [, b] dn m f(x) M untuk tip x [, b]. Mk m(b ) f(x) dx M(b ). Proposisi 3. Mislkn f kontinu pd [, b] dn c b. Mk f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Cttn. Bukti Proposisi 3 gk pnjng; liht [2]. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 13 / 21

SOAL 1 Buktikn Proposisi 2. 12.2 Integrl 2 Buktikn bhw c dx = c(b ). 3 Mislkn f kontinu pd [, b]. Buktikn jik f(x) 0 untuk setip x [, b], mk f(x) dx 0. 4 Dikethui f(x) = x, x [, b]. Buktikn bhw L(P, f) 1 2 (b2 2 ) untuk sebrng prtisi P dri [, b]. Selnjutny, dengn menggunkn definisi integrl, buktikn bhw f(x) dx = 1 2 (b2 2 ). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 14 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Mislkn f terdefinisi pd (, b). Mislkn F kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b) dengn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). Mk F disebut sebgi nti turunn dri f pd [, b]. Contoh 4. Jik f(x) = x 3, mk fungsi F yng didefinisikn sebgi F (x) = 1 4 x4 + 5 merupkn sutu nti turunn dri f. Secr umum, fungsi G yng didefinisikn sebgi G(x) = 1 4 x4 + C, dengn C konstnt, merupkn nti turunn dri f. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 15 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Ap urusnny nti turunn dengn integrl? Mislkn f kontinu pd [, b]. Definisikn F pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b]. Dlm teorem berikut, kit kn menunjukkn bhw F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]. Teorem ini dikenl sebgi Teorem Dsr Klkulus I, yng pertm kli dibuktikn oleh Isc Brrow dn dibuktikn ulng dengn cr yng lebih intuitif dn gmblng oleh Isc Newton pd bd ke-17. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 16 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Teorem 5 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislkn f kontinu pd [, b] dn F didefinisikn pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b]. Mk, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]; ykni, F kontinu pd [, b], mempunyi turunn pd (, b), dn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 17 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Bukti. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b], ktknlh f(t) κ untuk setip t [, b]. Selnjutny, untuk x, c [, b], kit mempunyi x F (x) F (c) = f(t) dt κ x c. Jdi F kontinu pd [, b]. Selnjutny perhtikn bhw untuk x c kit mempunyi F (x) F (c) x c f(c) = 1 x c c x c [f(t) f(c)] dt. Kren f kontinu di c, kit dpt memilih δ > 0 sedemikin sehingg f(x) f(c) < ɛ untuk x c < δ. Akibtny, kit peroleh F (x) F (c) f(c) < ɛ, x c untuk 0 < x c < δ. Ini menunjukkn bhw F (c) = f(c), dn ini berlku untuk setip c (, b). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 18 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus II). Jik f kontinu pd [, b] dn G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk f(t) dt = G(b) G(). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 19 / 21

12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Bukti. Definisikn fungsi F pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b]. Mk, menurut Teorem Dsr Klkulus I, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b], dn f(t) dt = F (b) = F (b) F (). Sekrng, jik G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk terdpt sutu konstnt C sedemikin sehingg G(x) = F (x) + C, untuk setip x [, b]. Kren itu, f(t) dt = [F (b) + C] [F () + C] = G(b) G(), sebgimn yng kit hrpkn. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 20 / 21

SOAL 12.3 Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus 1 Buktikn bhw 1 0 x2 dx = 1 3. 2 Mislkn r Q, r 1. Buktikn bhw 1 0 xr dx = 1 r+1. 3 Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn, dengn menggunkn Teorem Dsr Klkulus II, bhw untuk setip λ, µ R, berlku [λf(x) + µg(x)] dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx. 4 Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn Ketksmn Cuchy-Schwrz untuk integrl: [ ] 2 f(x)g(x) dx [f(x)] 2 dx [g(x)] 2 dx. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 13 Mrch 2017 21 / 21