III. MODEL MATEMATIK PENYEBARAN PENYAKIT DBD 8 3.1 Model SIR Model SIR pada uraian berikut mengacu pada kajian Derouich et al. (2003). Asumsi yang digunakan adalah: 1. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan. 2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup. Dari asumsi di atas, misalkan adalah populasi manusia dan adalah populasi nyamuk. Populasi manusia dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible), manusia terinfeksi (infected), dan manusia sembuh (recovered). Populasi nyamuk dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible) dan nyamuk terinfeksi (infected). Manusia rentan adalah manusia yang bukan imun dan belum tertular virus dengue. Manusia terinfeksi adalah manusia yang telah tertular virus dan dapat menularkan virus tersebut. Manusia sembuh dianggap tidak dapat tertular lagi. Nyamuk rentan adalah nyamuk yang belum tertular virus. Nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang telah tertular virus dan dapat menularkan virus tersebut. Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut: S v I v / / S h I h R h Keterangan : Perpindahan Individu Pengaruh Gambar 1 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR.
9 Arti diagram kompartemen di atas adalah: 1. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor kelahiran, kematian, fraksi acak manusia rentan yang terimunisasi dan proporsi perpindahan dari manusia rentan ke manusia terinfeksi, ditulis: = + + = + +, dimana diambil =. Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan ( ). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan ( ) dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi ( ). Jadi, =. 2. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: = +. 3. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor kematian, fraksi acak manusia rentan yang terimunisasi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: = +. 4. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor kelahiran, kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terinfeksi, ditulis: = + = +, dimana diambil =. Proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi ( ). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan ( ) dengan rata-rata gigitan nyamuk rentan ( ). Jadi, =. 5. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terinfeksi, ditulis: =.
10 Berdasarkan uraian di atas, model SIR dinyatakan sebagai berikut: Populasi Manusia Populasi Nyamuk = + + = + = + (9) dengan kondisi serta = + (10) + + = dan + = (11) : total populasi manusia. : total populasi nyamuk. : laju kelahiran manusia. : laju kelahiran nyamuk. : laju kematian manusia. : laju kematian nyamuk. : fraksi acak manusia rentan yang terimunisasi. : proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh. : peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi. : peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan. Selanjutnya, sistem-sistem (9) dan (10) serta kondisi (11) dapat disederhanakan dengan pemisalan =, =, =, =, dan =, sehingga sistem tersebut dapat ditulis: = + + = + = 1 (12) dengan =, serta kondisi + + = 1 dan + = 1 (13)
11 Karena virus dengue membutuhkan masa inkubasi intrinsik dan ekstrinsik sebelum menyebar (Heymann 2008), maka model SIR ini dimodifikasi menjadi model SEIR. Modifikasi dilakukan dengan menambahkan tahap exposed. Pada tahap ini, manusia atau nyamuk rentan yang telah tertular virus menyelesaikan masa inkubasi intrinsik atau ekstrinsik sebelum terinfeksi. 3.2 Model SEIR Pada model ini, populasi manusia dibagi menjadi empat subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible), manusia terpapar (exposed), manusia terinfeksi (infected), dan manusia sembuh (recovered) sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible), nyamuk terpapar (exposed), dan nyamuk terinfeksi (infected). Asumsi yang digunakan ialah: 1. Total populasi nyamuk adalah konstan sedangkan total populasi manusia tidak konstan. 2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup. Penularan virus dari nyamuk ke manusia terjadi melalui gigitan pada saat virus tersebut berada di kelenjar ludah nyamuk. Setelah itu, virus memerlukan 4-6 hari yang menunjukkan masa inkubasi intrinsik sebelum menimbulkan penyakit. Dalam masa inkubasi ini, manusia rentan dianggap telah terbuka untuk diinfeksi virus. Dengan demikian, manusia rentan tersebut selanjutnya dikelompokkan ke dalam subpopulasi manusia terpapar. Penularan virus dari manusia ke nyamuk hanya dapat terjadi jika nyamuk rentan menggigit manusia terinfeksi yang sedang mengalami viremia, yaitu suatu kondisi medis dimana virus Dengue berada di dalam darah manusia. Kondisi ini berlangsung selama 2 hari sebelum demam sampai 5 hari setelah demam. Selanjutnya, virus memerlukan 8-10 hari yang menunjukkan masa inkubasi ekstrinsik sebelum menimbulkan penyakit. Ketika masa inkubasi ini, nyamuk rentan dianggap telah terbuka untuk diinfeksi oleh virus. Nyamuk-nyamuk tersebut selanjutnya dikelompokkan ke dalam suatu subpopulasi nyamuk terpapar.
12 Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut: λ S v E v I v / / λ S h E h I h R h Keterangan : Perpindahan Individu Pengaruh Gambar 2 Skema penyebaran penyakit DBD model SEIR. Arti diagram kompartemen di atas adalah: 1. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor kelahiran, kematian dan proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terpapar, ditulis: = + = +, dimana diambil =. Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terpapar dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan ( ). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan ( ) dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi ( ). Jadi, =. 2. Laju pertumbuhan manusia terpapar mempertimbangkan faktor kematian, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terpapar dan proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi, ditulis: = +. 3. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian baik kematian secara alami maupun kematian karena DBD, proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: = + +.
13 4. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor kematian dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: =. 5. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor kelahiran, kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terpapar, ditulis: = + = +, dimana diambil =. Proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terpapar dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi ( ). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan ( ) dengan rata-rata gigitan nyamuk rentan ( ). Jadi, =. 6. Laju pertumbuhan nyamuk terpapar mempertimbangkan faktor kematian, proporsi perpindahan adalah proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terpapar dan proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk nyamuk terinfeksi, ditulis: = +. 7. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian dan proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk nyamuk terinfeksi, ditulis: = Berdasarkan uraian di atas, model SEIR dapat dinyatakan sebagai berikut: Populasi Manusia Populasi Nyamuk = + = + = + + = = + = + = (14) (15)
14 dengan kondisi serta + + + = dan + + = (16) : total populasi manusia. : total populasi nyamuk. : laju kelahiran manusia : laju kematian nyamuk. : laju kematian manusia secara alami. : laju kematian manusia karena DBD. : proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi. : proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi. : proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh. : peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi. : peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan. Selanjutnya, sistem-sistem (14) dan (15) serta kondisi (16) dapat disederhanakan dengan pemisalan =, =, =, =, =, = dan =, dan juga dalam model ini dianggap bahwa nilai = =, maka sistem tersebut dapat ditulis: = + = + = + + = 1 + = (17) dengan = serta kondisi + + + = 1 dan + + = 1 (18) Sistem (17) dan kondisi (18) ini yang dibahas lebih lanjut pada bab berikut. Pembahasannya meliputi analisis kestabilan dan simulasi numerik untuk melihat dinamika populasinya.