KAJIAN SIFAT SIFAT GRAF PEMBAGI-NOL DARI RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN STUDY OF PROPERTIES OFZERO-DIVISOR GRAPH OF A COMMUTATIVE RING WITH UNITY Satrio Adi Wicaksono (1209 100 069) Pembimbing: Soleha, S.Si, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2013
Abstrak perkembangan teori graf memang sangat menarik perhatian para ilmuan, khususnya para pakar aljabar. Dalam teori aljabar konsep ring komutatif merupakan pondasi dalam mengimplementasikan graf ke bentuk aljabar atau sebaliknya. Dalam tugas akhir ini, dibahas graf pembagi-nol, yaitu graf yang simpul - simpulnya ditentukan dari anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif dan sisi - sisinya merupakan relasi pembagi-nol. Pembahasan ini penting untuk mengetahui hubungan antara graf dengan aljabar, khususnya ring, yaitu dengan menyelidiki sifat - sifat graf yang dihasilkan dari suatu bentuk ring. Sifat yang dibahas antara lain; keberhinggaan, keterhubungan, graf bintang, dan graf lengkap. Kata Kunci: Graf Bintang, Graf Lengkap, Ideal, Pembagi-nol, Ring Komutatif
Latar Belakang Tahun 1988 Istvan Beck memperkenalkan konsep graf pembagi-nol dalam jurnalnya, Coloring of Commutative Rings Penelitian beck dilanjutkan oleh Anderson dan Naseer pada tahun 1993 dan menghasilkan daftar ring berhingga dengan bilangan kromatik maksimal adalah 4 Anderson bersama dengan Livingston menyempurnakan definisi graf pembagi-nol dari penelitian sebelumnya dalam jurnalnya, The Zero- Divisor Graph of a Commutative Ring
Rumusan dan Batasan Masalah Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dikaji dalam Tugas Akhir ini antara lain: 1. Bagaimana sifat sifat graf pembagi-nol Γ(RR). 2. Apa saja syarat yang diperlukan ring agar graf pembagi-nolnya termasuk kategori sebuah graf lengkap atau graf bintang. Batasan Masalah Permasalahan dalam Tugas Akhir ini terbatas pada Ring RR yang bukan merupakan suatu daerah integral.
Tujuan dan Manfaat Tujuan Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini antara lain: 1. Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Γ(RR). 2. Menentukan syarat syarat yang diperlukan suatu graf pembagi-nol agar termasuk dalam graf lengkap atau graf bintang Manfaat Penulisan Tugas Akhir ini bermanfaat dalam hal hal berikut ini: 1. Memberikan pengetahuan mengenai graf khususnya graf pembagi-nol beserta sifat sifatnya. 2. Sebagai referensi penelitian selanjutnya baik dibidang aljabar-graf maupun dibidang lainnya yang terkait.
Ring Sebuah ring adalah himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian biner dengan syarat: 1. Grup Abelian terhadap operasi penjumlahan. 2. Assosiatif terhadap perkalian. 3. Distributif terhadap perkalian dan penjumlahan Sebuah ring yang dinotasikan dengan RR dikatakan komutatif jika aa, bb RR maka aaaa = bbbb. Pembagi nol dalam sebuah ring RR, yang dinotasikan dengan ZZ(RR), adalah elemen dalam RR yang membagi nol, artinya xx, yy RR sehingga xxxx = 0
Ring Sebuah subset tak nol II dari ring RR dikatakan ideal kanan dari RR jika: o aa, bb II aa bb II o aa II, rr RR aaaa II Dan dikatakan ideal kiri dari RR jika: o aa, bb II aa bb II o aa II, rr RR rrrr II Jika memenuhi keduanya baik ideal kiri maupun ideal kanan, maka dikatakan II adalah ideal dari RR. Suatu ideal MM dari ring RR, MM RR, dikatakan ideal maksimal jika terdapat ideal II sedemikian hingga MM II, maka II = MM atau II = RR. Misalkan AA adalah suatu ideal pada ring RR. Himpunan dari semua anggota ring, xx RR, sedemikian hingga xxxx = 0 disebut sebagai ideal penghilang dari AA dinotasikan dengan AAAAAA(AA).
Graf Definisi 2.2.1 [4] Sebuah graf GG adalah pasangan dari himpunan (VV, EE), dimana VV adalah himpunan simpul yang tak kosong, sedangkan EE adalah himpunan sisi yang mungkin merupakan himpunan kosong. Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop ataupun sisi ganda dan ditentukan oleh himpunan simpul dan himpunan sisi. Girth dari suatu graf GG dinotasikan gg(gg) adalah panjang sikel terpendek dari graf GG. Diameter dari suatu graf GG yang dinotasikan dengan dddddddd(gg) adalah jarak terpanjang dari lintasan terpendek yang menghubungkan setiap titik pada graf tersebut. Preposisi 2.2.3 [5] setiap graf GG yang memiliki suatu sikel memenuhi gg(gg) 2 dddddddd(gg) + 1
Graf Graf lengkap adalah sebuah graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung dengan simpul yang lain. Graf lengkap dinotasikan KK nn, sedangkan graf lengkap bipartite adalah graf bipartite sederhana yang kedua simpulnya terhubung jika dan hanya jika keduanya berada pada himpunan partisi yang berbeda. Gambar 1 Graf KK 6 Gambar 2 Graf KK 2,3
Graf Sebuah graf disebut graf bintang jika hanya ada satu simpul yang terhubung dengan s etiap simpul lainya, sedangkan simpul yang lain hanya terhubung dengan simpul tersebut. Graf bintang dinotasikan dengan SS kk dimana kk adalah banyaknya simpul yang mengellilingi simpul pusat. Gambar 3 Graf SS 4
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif Diberikan RR adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan pembagi-nol nya adalah ZZ(RR). Sebuah graf pembagi nol, Γ(RR) adalah graf sederhana dengan simpul simpulnya adalah anggota pembagi-nol dari suatu ring komutatif tersebut. Kedua simpul misalkan xx dan yy dikatakan terhubung jika dan hanya jika xx. yy = 0 dimana xx, yy 0 Dalam sebuah kasus misalnya, himpunan bilangan bulat modulo empat (Z 4 ) dengan anggotanya {0, 1, 2, 3}, jika digambar dalam sebuah graf pembagi-nol adalah berupa sebuah titik. contoh lain, misalkan bilangan bulat modulo tiga (Z 3 ) yang beranggotakan {0, 1, 2}, graf yang dihasilkan dari ring tersebu adalah graf kosong.
Graf Pembagi-nol dari Ring Komutatif Gambar 3 Γ(ZZ 3 ZZ 4 ) Gambar 4 Γ(ZZ 10 ) Gambar 5 Γ(ZZ 2 ZZ 6 )
Studi literatur Mengkaji keterhubungan graf pembagi-nol Mengkaji sifat sifat graf pembagi-nol Mengkonstruksi model Ring Komutatif Penarikan Kesimpulan
Keterhubungan Graf Pembagi-nol Setiap ring memiliki jumlah elemen pembagi-nol yang berbeda. setiap ring komutatif yang hanya memiliki nn pembagi-nol tak nol adalah berhingga dan memiliki elemen yang tidak lebih dari (nn + 1) 2 Theorema 4.1.2 diberikan suatu Ring komutatif RR. Graf Γ(RR) adalah berhingga jika dan hanya jika RR berhingga. Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap dua simpul yang berbeda terdapat suatu lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Gambar 6 Gambar 7
Keterhubungan Graf Pembagi-nol misalkan xx, yy ZZ(RR) untuk xx dan yy yang berbeda. 1. xx yy = 0, maka xx yy 2. xx yy 0, untuk xx 2 = 0 dan yy 2 = 0, maka xx xxxx yy untuk xx 2 0 dan yy 2 = 0, terdapat aa ZZ(RR) {xx, yy} dengan xx aa = 0 jika aa yy = 0, maka xx aa yy, jika aa yy 0, maka xx aaaa yy untuk xx 2 0 dan yy 2 0, terdapat aa, bb ZZ(RR) {xx, yy} dimana aa xx = 0 dan bb yy = 0, jika aa = bb, maka xx aa yy atau xx bb yy, jika aa bb, untuk aa bb = 0, maka xx aa bb yy, sedangkan untuk aa bb 0, maka xx aaaa yy Theorema 4.2.1 diberikan ring komutatif RR, maka Γ(RR) terhubung dengan diameter yang tidak lebih dari tiga (dddddddd Γ(RR) 3)
Keterhubungan Graf Pembagi-nol Berdasarkan theorema 4.2.1 bahwa jika graf terhubung Γ(RR) memiliki suatu sikel, maka menurut preposisi 2.2.3, graf Γ(RR) memiliki girth, gg Γ(R) 7. Selanjutnya jika RR adalah ring artinian, maka RR adalah finite direct product dari ring local artinian [7, Theorem 8.7] yang memiliki ideal maksimal MM, maka MM = aaaaaa(xx) dengan xx MM. Γ(RR) memiliki sikel, terdapat yy, zz MM {xx} yy zz = 0, maka yy xx zz yy, akibatnya gg Γ(RR) = 3. yy zz 0, Γ(RR) tidak memiliki sikel. RR RR 1 RR 2, RR 1 = RR 2 3, terdapat aa RR 1 {0, 1} dan bb RR 2 {0, 1}, sehingga (0, 1) (1, 0) (0, bb) (aa, 0) (0, 1), gg Γ(RR) = 4. ZZ(RR 2 ) 2, terdapat bb 1, bb 2 bb, bb 1 bb 2 = 0, sehingga (1, 0) (0, bb 1 ) (0, bb 2 ) (1, 0), gg Γ(RR) = 3
Keterhubungan Graf Pembagi-nol Theorema 4.2.2 diberikan RR adalah ring komutatif artinian. Jika Γ(RR) memiliki sikel, maka gg Γ(RR) 4
Graf Pembagi-nol Bintang ciri utama graf bintang adalah adanya simpul pusat, yaitu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Berikut adalah theorema yang menunjukan bentuk ring yang menghasilkan graf yang mempunyai suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya. Theorema 4.3.1 diberikan suatu ring komutatif RR. Γ(RR) memiliki suatu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika RR ZZ 2 AA, dimana AA adalah Integral Domain, atau ZZ(RR) adalah ideal penghilang
Graf Pembagi-nol Bintang Berdasarkan [8, hal.3] bahwa ZZ(RR) adalah gabungan dari ideal prima. ZZ(RR) adalah ideal prima jika dan hanya jika ideal. Jika RR adalah ring noetherian, maka ZZ(RR) adalah ideal penghilang jika dan hanya jika ideal prima [8, theorema 6 dan 82]. Ingat bahwa {0} adalah ideal prima jika dan hanya jika ZZ(RR) = nnnnnn(rr). jika dim RR = 0, maka ZZ(RR) = nnnnnn(rr) jika dan hanya jika ZZ(RR) ideal prima dari RR. Jika RR berhingga, pernyataan tersebut ekuivalen terhadap RR ring local. Akibat 4.3.2 diberikan RR ring komutatif berhingga. Terdapat suatu simpul dalam ΓΓ(RR) yang terhubung dengan setiap simpul lainya jika dan hanya jika RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga atau RR adalah ring local.
Graf Pembagi-nol Bintang Lemma 4.3.3 diberikan RR, ring komutatif berhingga. Jika Γ(RR) memiliki tepat satu simpul yang terhubung dengan setiap simpul lainya dan tidak ada lagi simpul lain yang berhubungan, maka RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga dengan FF 3, atau RR adalah ring local dengan ideal maksimanya MM memenuhi RR/MM ZZ 2, MM 3 = 0, dan MM 2 2, sehingga Γ(RR) adalah pp nn atau 2 nn 1, untuk bilangan prima pp dan integer nn 1
Graf Pembagi-nol Bintang Theorema 4.3.4 diberikan RR adalah ring komutatif berhingga dengan Γ(RR) 4. Γ(RR) adalah graf bintang jika dan hanya jika RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga. Bukti. Misalkan RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga, maka berdasarkan akibat 4.3.2 dan lemma 4.3.3, RR adalah ring lokal dengan ideal maksimal MM. Karena MM adalah 2-grup dan Γ(RR) 4, maka MM = 2 kk, untuk kk 3, dan MM kk = 2. Diberikan MM = aaaaaa(xx), ambil sebarang aa, bb, cc, dd MM {xx} yang berbeda. karena MM 2 = {0, xx}, maka aaaa = aaaa = aaaa = xx dan tidak ada relasi pembagi-nol lainya, sehingga bb cc = bb dd = xx Sehingga cc = dd, hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa aa, bb, cc, dd adalah berbeda. Maka haruslah RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga.
Graf Pembagi-nol Lengkap Γ(RR) adalah graf lengkap jika xx yy = 0, xx, yy ZZ(RR), dengan kata lain setiap anggota dari pembagi-nol ZZ(RR) selalu terhubung dengan diameter satu. Theorema berikut menjelaskan bentuk ring yang dapat di implementasikan dalam graf Γ(RR) yang lengkap. Theorema 4.4.1 diberikan ring komutatif RR. Γ(RR) adalah graf lengkap jika dan hanya jika RR ZZ 2 ZZ 2 atau xx yy = 0, xx, yy ZZ(RR)
Graf Pembagi-nol Lengkap Jika dalam suatu ZZ(RR) setiap elemen selalu terhubung dengan setiap elemen yang lain dan RR ZZ 2 ZZ 2, maka ZZ(RR) adalah ideal dari RR dengan ZZ(RR) 2 = 0. Oleh karena itu ZZ(RR) = nnnnnn(rr) adalah ideal prima dari RR. Selain itu, karena elemen elemennya saling terhubung, maka elemen dari ZZ(RR) mungkin dibangun oleh satu elemen, misalkan aa, selanjutnya aa adalah satu satunya maksimal ideal dari RR, sehingga RR mungkin adalah ring lokal dengan ideal maksimal aa, dimana aa 0, dan aa 2 = 0.
Graf Pembagi-nol Lengkap Theorema 4.4.2 diberikan RR adalah ring komutatif berhingga. Jika Γ(RR) merupakan graf lengkap, maka RR ZZ 2 ZZ 2 atau RR adalah ring lokal dengan cchaaaa RR = pp atau pp 2 dan Γ(RR) = pp nn 1 untuk bilangan prima pp dan integer nn 1 Bukti. jelas bahwa Γ(ZZ 2 FF) lengkap jika dan hanya jika FF = ZZ 2. Misalkan RR ZZ 2 ZZ 2, berdasarkan akibat 4.3.2, RR adalah ring lokal dengan ideal makasimal MM. Oleh karena itu cchaaaa RR = pp mm, mm 1. Jika mm 3, maka akan terdapat pembagi-nol yang tidak terhubung dengan suatu pembagi-nol yang lainya dalam RR. Oleh karena itu cchaaaa RR = pp nn, nn = 1 dan 2. Karena MM adalah pp grup, Γ(RR) = pp nn 1.
Graf Pembagi-nol Lengkap Misalkan RR RR 1 RR 2, maka RR dapat berupa graf lengkap bipartite dengan RR 1, RR 2 adalah integral domain. Misalkan RR 2 bukan merupakan integral domain, artinya terdapat xx, yy RR 2 dengan xx yy = 0, maka akan ada keterhubungan dalam satu partisi yang sama, yaitu (0, xx) dengan (0, yy). Akibat 4.4.4 diberikan RR ring komutatif berhingga. Γ(RR) adalah graf lengkap bipartite dengan Γ(RR) = mm + nn 2 jika dan hanya jika RR ZZ mm ZZ nn, dimana mm, nn PP, PP adalah bilangan prima.
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut: 1. Suatu ring komutatif berhingga dapat diimplementasikan menjadi suatu Graf Pembagi-nol yang terhubung dan berhingga dengan dddddddd Γ(RR) 3 2. Ring Komutatif RR dapat berupa Graf Bintang, atau disebut Graf Pembagi-nol Bintang dengan RR ZZ 2 FF, dimana FF adalah field berhingga 3. Ring Komutatif RR adalah Graf Lengkap atau Graf Prmbagi-nol Lengkap, dengan RR ZZ 2 ZZ 2 atau RR adalah Ring Lokal dengan cchaaaa RR = pp atau pp 2, Sebagai contoh adalah ZZ pp 2, dimana pp adalah bilangan prima.
[1] Beck, I. 1988, Coloring of commutative rings, Journal of Algebra, 116, 208 226 [2] Anderson, D. D. dan M. Naseer, 1993, Beck s coloring of a commutative rings, Journal of Algebra, 159, 500-514 [3] Anderson, D. F. dan Phillip S. Livingston, 1999, The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring, Journal of Algebra, volume 217, halaman 434 447, Mathematic Departement, The University of Tennessee, Knoxville [4] Hartsfied, Nora, dan Gerhard Ringel, 1994, PEARLS in GRAPH THEORY a Comprehensive Introduction, Academic Press, Inc. [5] Diestel, R. 2000, Graph Theory, Springer-Verlag, New York
[6] Ganesan, N, 1964, Properties of rings with a finite number of zerodivisor, math. Ann. 157, 215 218 [7] Atiyah, M. F. dan I. G. MacDonald, 1969, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Publishing Company, Inc [8] Kaplansky, I. 1974, Commutative Rings, rev.ed, Univ. of Chicago Press, Chicago. [9] Anderson, D.F. dkk, 2001, The zero-divisor graph of a commutative ring II, Lect. Notes Pure Appl. Math. 220, 61 72