GEOMETRI ING TR. Unsur-Unsur idng tr idng dtr merupkn jek yng sering kit jumpi di lingkungn sekitr, is lingkungn rumh, seklh, tmn, keun dn lin-lin. i dlm lingkungn terseut terdpt ermm-mm end/jek dengn ergi entuk, dintrny d yng erup idng dtr. end/jek erup idng dtr yng d di lingkungn terseut memiliki unsur-unsur pementukny, unsur terseut dlh titik dn segmen gris. Titik dlh unsur gemetri yng pling sederhn, dn is dinytkn dengn tnd nkth dn dieri nm dengn huruf kpitl (,,, ). Gris dlh himpunn titik-titik yng tidk memiliki ujung dn pngkl, isny dintsikn dengn yng errti gris. Sinr Gris dlh himpunn titik-titik yng memiliki pngkl tetpi tidk memiliki ujung, isny dintsikn dengn yng errti sinr gris. Segmen gris dlh himpunn titik-titik yng memiliki ujung dn pngkl, isny dintsikn dengn yng errti segmen gris. Unrus-unsur gemetri terseut mementuk ergi mm entuk idng dtr yng sering dijumpi seperti persegi, persegi pnjng, jjr genjng, trpesium, lyng-lyng, elh ketupt, segitig, lingkrn dn lin-lin. Segi nth kit kn mengidentifiksi seuh pintu dri green huse, dimn green huse erfungsi segi tempt pemenihn mupun krntin tnmn yng ermnft untuk lingkungn hidup. Pintu dri green huse terseut erentuk persegi pnjng seperti gmr dismping, ri gmr terseut diperleh: 1. 4 titik ykni Titik, Titik, Titik dn Titik.. 4 segmen gris ykni,,, Green Huse 3. idng dtr terseut (pintu) dpt dieri nm persegi pnjng. Kedudukn ntr Titik dn Gris pd idng Setelh mengethui unsur-unsur pd idng dtr dn menemukn ergi entuk idng dtr pd lingkungn sekitr. Selnjutny dlh mempeljri kedudukn dri unsur-unsur terseut. Keduduknkedudukn unsur-unsur idng dtr terseut dlh: 1. Titik terletk pd gris Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping, dikethui: N Titik, dn terletk pd MN M Titik terletk dilur MN Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 1
. Titik terletk pd idng Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping, dikethui: Titik X terletk di lur Titik Y terletk di dlm Titik Z terletk pd PQR PQR PQR X P Y R Z Q 3. u gris yng sling erptngn u gris diktkn sling erptngn jik terletk pd idng yng sm dn ertemu pd stu titik. Untuk leih phm perhtikn gmr dismping. titik M. erptngn dengn PQ di P M Q 4. u gris yng erimpit Gris-gris erimpit merupkn eerp gris yng terletk pd su gris lurus dn terletk pd idng yng sm. Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping. Q. erimpit dengn P 5. u gris sling sejjr u gris diktkn sejjr pil kedu gris tidk ertemu tu erptngn, jrk ntr gris sellu tetp dn terletk pd idng P yng sm. Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping. sejjr dengn PQ. Q 6. u gris sling ersilngn u gris diktkn ersilngn jik kedu gris terletk pd idng yng ered sert tidk sejjr dn tidk erptngn. Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping. ersilngn dengn PQ. P Q. Sift Simetris Gemetri idng tr Simetris dlh sift yng memgi tu mementuk sesutu menjdi gin yng sm esr. Sift simetris pd ngun dtr d du ykni simetri lipt dn simetri putr. Simetri lipt dlh nykny liptn yng is dientuk dri idng dtr menjdi du gin yng sm esr. nth ngun persegi memiliki empt simetri lipt, untuk leih jels perhtikn gmr erikut. / / / / / / Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m
Simetri putr dlh nykny putrn yng dpt dilkukn terhdp sutu idng dtr dimn titik putrnny terletk pd titik ert idng dtr dn hsil putrnny mementuk pl yng sm seelum diputr, nmun ukn kemli ke psisi semul. nth ngun persegi pnjng memiliki du simetri putr, untuk leih jelsny perhtikn gmr erikut, ri gmr diperleh du sudut putr yng menghsilkn entuk sesui entuk wl ykni sudut putr 180 dn sudut putr 360, jdi persegi pnjng memiliki du simetri putr.. Sift Sudut Gemetri idng tr 1. Pengertin dn kmpnen sudut Sudut merupkn derh yng dientuk leh du sinr gris dengn pngkl yng sm. Sudut memilik eerp kmpnen pementuk segi erikut:. Titik sudut : titik dlh titik sudut erh sudut. Kki sudut : dn dlh kki sudut. erh sudut : gin yng dirsir dlh derh sudut tu esr sudut. Untuk sudut terseut dieri nm tu Titik sudut Kki sudut. Stun untuk sudut dlh derjt tu rdin, nth sudut dengn esr 90 1 rdin kren 180 1 rdin.. Jenis-jenis sudut Menurut esrny sudut digi menjdi lim jenis sudut, sudut-sudut terseut dlh,. Sudut lnip Sudut lnip dlh sudut yng memiliki esr sudut ntr 0 90. Sudut siku-siku Sudut siku-siku dlh sudut yng memiliki esr sudut 180. Sudut tumpul Sudut tumpul dlh sudut yng memiliki esr sudut ntr 90 180 d. Sudut lurus Sudut lurus dlh sudut yng memiliki esr sudut 180 e. Sudut Refleks Sudut refleks dlh sudut yng memiliki esr sudut ntr 180 360 Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 3
3. Huungn ntr sudut. Sudut yng sling erpelurus (ersuplemen) Jumlh du uh sudut yng sling erpelurus dlh 180 ri gmr dismping menunjukkn merupkn pelurus dri, tu merupkn pelurus dri. + = 180. Sudut yng sling erpenyiku (erkmplemen) Jumlh du uh sudut yng sling erpenyiku dlh 90. ri gmr dismping menunjukkn merupkn penyiku dri, tu merupkn penyiku dri. + = 90.. Sudut yng sling ertlk elkng u sudut yng ertlk elkng sm esr. E ertlk elkng dengn E, mk E = E. E ertlk elkng dengn E, mk E = E. E 4. Sudut-sudut pd du gris sejjr yng diptng gris lin Jik du gris sejjr diptng gris lin mk kn erentuk sudut- sudut dengn sift-sift tertentu, perhtikn gmr dismping. Pd gmr terseut gris sejjr dengn gris yng diptng gris mk diperleh sudut-sudut pd du gris sejjr yng 1 1 4 3 4 3 diptng gris lin dengn sift segi erikut :. Sudut sehdp Sudut sehdp, yitu sudut yng menghdp rh yng sm. esr sudut sehdp dlh sm. 1 sehdp dengn 1, mk esr 1 = 1. sehdp dengn, mk esr =. 3 sehdp dengn 3, mk esr 3 = 3. 1 1 4 3 4 3 4 sehdp dengn 4, mk esr 4 = 4.. Sudut dlm erseerngn Sudut dlm erseerngn terjdi pil sudut-sudut itu terletk seelh menyeelh gin dln terdpt gris ptngn. Sudut dlm erseerngn sm esrny. dlm erseerngn 4, mk esr = 4. 3 dlm erseerngn 1, mk esr 3 = 1. 1 1 4 3 4 3 Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 4
. Sudut lur erseerngn Sudut lur erseerngn terjdi pil sudut-sudut terletk seelh-menyeelh gin lur terhdp ptngnny. Sudut lur erseerngn sm esrny. 1 dlm erseerngn 3, mk esr 1 = 3. 4 dlm erseerngn, mk esr 4 =. d. Sudut dlm sepihk Sudut dlm sepihk terjdi pil sudut-sudut itu terletk pd pihk yng sm terhdp gris ptng dn terletk di gin dlm ntr du gris sejjr. Jumlh esr du sudut dlm sepihk dlh 180. dlm sepihk 1, mk + 1 = 180. 3 dlm sepihk 4, mk 3 + 4 = 180. e. Sudut lur sepihk Sudut lur sepihk terjdi pil sudut-sudut itu terletk pd pihk yng sm terhdp gris ptng dn terletk di gin dlm ntr du gris sejjr. Jumlh esr du sudut dlm sepihk dlh 180. 1 lur sepihk dengn, mk 1 + = 180. 4 lur sepihk dengn 3, mk 4 + 3 = 180. 1 1 4 3 4 3 1 1 4 3 4 3 1 1 4 3 4 3 E. Segitig dn Terem-Terem pd Segitig 1. Pengertin segitig dn unsur-unsurny Segitig dlh ngun dtr yng memimiliki 3 sisi, dn memiliki unsur-unsur segi erikut:. ls dn tinggi segitig ri di ts dpt dientuk psngn ls dn tinggi dri segitig segi erikut: ls dengn tinggi t ( t tegk lurus ) T t s s s s ls dengn tinggi t ( t tegk lurus ) t s s s s ls dengn tinggi t ( t tegk lurus ) t s s s s 1 engn s Titik T diseut dengn titik tinggi Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 5
nth: ikethui dengn pnjng 1m, 7m dn 9m. Tentukn t! Penyelesin: 1 1 38 s 1 7 9 19 t s s s s 9m 1m =...? 7m t 14 14 1 14 7 14 9 1 1 1 t 14 7 5 980 196 5 1 6 6 1 7 t 14 5 5 m, 36 m 6 3. Sudut segtig Segitig memiliki tig uh sudut yng mn jumlhn dri ketig sudutny dlh 180. ri segitig di smping : 180. Gris dn titik ert segitig Segitig memiliki gris ert dn titik ert. Gris ert dlh gris yng ditrik dri titik sudut sutu segitig dn memgi sisi di hdpn sudut terseut menjdi du gin sm pnjng, gris ert pd segitig senyk M L tig gris. Sedngkn titik ert dlh titik yng diperleh W dri perptngn ketig gris ert segitig. Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping, dri segitig di K smping dikethui: K dlh gris ert kren memgi sehingg K 1 1 1 K K. L dlh gris ert kren memgi 1 1 1 L sehingg L L. M dlh gris ert kren memgi sehingg M 1 1 1 M M. Titik W dlh titik ert yng diperleh dri perptngn K, L dn M. Titik ert memgi gris ert menjdi du gin dengn perndingn :1, nth W : WK = :1. Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 6
d. Gris Sumu Segitig Gris sumu segitig dlh segmen gris yng mellui titik tengh segitig dn tegk lurus dengn sisi terseut. Untuk leih memhmi perhtikn WK dismping. merupkn gris sumu kren memgi sm esr dn tegk lurus. M W K L WL merupkn gris sumu kren memgi sm esr dn tegk lurus. WM merupkn gris sumu kren memgi sm esr dn tegk lurus. Titik W dlh titik sumu segitig, dimn W W W. e. Gris gi segitig Gris gi segitig dlh gris yng erpgkl dri titik sudut segitig dn memgi sudut terseut sm esr. Untuk leih memhmi perhtikn gmr dismping. M S L L merupkn gris gi sehingg L L, dimn : L : L K ri gris gi L erlku rumus: L L L M merupkn gris gi sehingg M M, dimn : M : M ri gris gi M erlku rumus: M M M K merupkn gris gi sehingg K K, dimn : K : K ri gris gi K erlku rumus: Titik S dlh titik gi K K K. Jenis-jenis segitig Segitig memiliki ergi jenis, jenis segitig terseut dlh,. Jenis segitig menurut esr sudutny digi menjdi tig ykni: Segitig lnip dlh segitig yng semu sudutny memiliki esr kurng dri 90 Segitig siku-siku dlh segitig yng slh stu sudutny memiliki esr 90 Segitig tumpul dlh segitig yng slh stu sudutny memiliki esr leih dri 90. Jenis segitig menurut pnjng sisiny digi menjdi tig ykni: Segitig sm sisi dlh segitig yng ketig sisiny memiliki pnjng yng sm Segitig sm kki dlh segitig yng kedu sisiny memiliki pnjng yng sm Segitig serng dlh segitig yng ketig sisiny memiliki pnjng yng ered 3. Terem-terem pd segitig ngun dtr segitig memiliki terem yng melekt pdny. Terem terseut dintrny dlh: Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 7
. Terem Pythgrs Terrem pythgrs memhs tentng segitg siku-siku dimn pd segitig siku-siku erlku: nth: Jik pnjng 3m, 4m elum dikethui, mk pnjng dlh,. dn pnjng 3 4 9 16 5 5m. lil Pryeksi i) Pryeksi pd segitig lnip Mislkn dikethui segitig seperti pd gmr, dn dlh pryeksi dpt tentukn dengn, pd. Mk diperleh t x.. i x -x x diperleh t x ii ri persmn (i) dn (ii) diperleh, x x x x x x x x x x x x x x x x Jdi pryeksi pd segitig lnip dpt diri dengn rumus: Pryeksi pd : x Pryeksi pd : x Pryeksi pd : x Pryeksi pd : x Pryeksi pd : x Pryeksi pd : x nth: ikethui dlh segitig lnip dengn pnjng 1m, 7m dn 9m 7m 9m. Tentukn pryeksi pd! 1m x =? Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 8
Penyelesin: ii) Pryeksi pd : x 1 7 9 144 49 81 167 5 x 9 m 9 18 18 18 Pryeksi pd segitig tumpul engn r yng sm pd pryeksi segitig lnip diperleh, Pryeksi pd : Pryeksi pd : Pryeksi pd : Pryeksi pd : Pryeksi pd : x (sudut tumpul pd ) x (sudut tumpul pd x (sudut tumpul pd x Pryeksi pd : x nth: ikethui sudut tumpul pd (sudut tumpul pd x (sudut tumpul pd dlh segitig tumpul dengn. Jik pnjng 9m, 6m dn 4m, tentukn pryeksi pd! Penyelesin: Pryeksi pd : x 9 6 4 81 36 8 37 5 x 4 m 4 8 8 8 (sudut tumpul pd 4m x =? 9m ) ) ) ) ) 6m. lil titik tengh segitig Segmen gris yng diperleh dri menghuungkn titik tengh kedu sisi segitig sn segmen terseut sejjr dengn sisi yng ketig, mk pnjng segmen dlh setengh dri sisi yng ketig terseut. Perhtikn E dismping. Titik dlh titik tengh dn titik E dlh titik tengh, sehingg diperleh E sejjr. Pnjng 1 E Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 9
nth: ikethui PQR dengn pnjng sisi 6, 8, 4 PQ m QR m dn PR m. Jik segmen gris MN memtng sisi QR dn PR tept pd msing-msing titik tengh sisi dn MN sejjr dengn PQ. Tentuknlh pnjng MN! Jw: R Untuk leih memudhkn pemhmn, kit gmr PQR seperti gmr dismping. 4 m M MN=? 8 m N MN 1 PQ MN MN 1 6 P 6 m Q 3 m d. lil interept segitig Perhtikn dismping. Jik segmen gris sejjr sejjr dengn slh stu sisi segitig dn memtng du sisi yng linny mk erlku E perndingn: : E : E : E : E : E nth: ikethui segitig seperti gmr dismping, dengn E. Tentuknlh pnjng E Jw: : E : E E E 1 E 3 6 1 6 3 E 6 3E 6 E m 3! 3 m 1 m 6 m E E=? e. Terem Stewrt Jik dikethui seperti gmr di smping, Terem Stewrt menytkn hw untuk serng segitig mk erlku: Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 10
= = dengn, dn dlh pnjng sisi segitig, dn dlh pnjng gris yng memtng sisi. nth: ikethui dengn pnjng sisi 6, 4, 5. Jik gris dlh gris ert dri, erpkh pnjng gris terseut? Penyelesin: Untuk leih mudhny kit gmr seperti gmr di smping. Kren dlh gris ert mk memtng di titik sehingg =. dpt diri dengn terem stewrt seperti erikut, 5 3 4 3 6 33 53 163 6 9 75 48 6 54 6 54 13 6 69 69 3 6 3 m,708m f. lil Menelus Perhtikn memtng du sisi dismping. Jik seuh gris, yitu memtng X dn erturut-turut di titik X dn Y, sert memtng perpnjngn sisi erlku huungn segi erikut, di titik Z, mk Y Z X Z Y 1 X Z Y g. lil e ev Perhtikn dismping. Jik gris yng ditrik dri setip titik sudut,, erptngn di stu titik (titik O) dn memtng sisi di seerng titik sudut,, di titik, E dn F, mk erlku huungn segi erikut, F O E F E 1 F E Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 11
F. Terem-Terem pd Segi Empt Pd ngun dtr segi empt jug memiliki terem-terem seperti hlny pd segitig. Slh stu terem pd ngun dtr segi empt dlh Terem Ptlemy. Terem terseut erunyi, dierikn seuh tli usur yng erurutn, erlku jumlh dri hsil kli sisi-sisi yng erserngn sm dengn hsil kli dignlny, tu dpt ditulis Pnjng dignl-digunlny: 1.. 3. Lus s s s s dengn s nth: ikethui dlh segi empt. Jik erpkh pnjng? Penyelesin: 90 Untuk leih mudhny kit gmr segi empt seperti gmr di smping. Perhtikn siku-siku pd terem phytgrs seperti erikut, dlh segitig siku-siku dengn sudut, mk pnjng dpt diri dengn 14 48 196 304 500 500 50 m 1, 14m, 48m dn 30m,...? ri terem ptlemy dpt diri dengn rumus, 14 30 4814 30 48 50 14 48 30 50 14 144040 48 67 30 50 5880 67 604800 6910 67 30 75000 67 604800 500 67 30 500 67 30 75000 67 604800 1680000 75000 67 75000 604800 67 75000 604800 1680000 75000 0 67 107500 0 67 107500 107500 67 1600 1600 40m Jdi pnjng dlh 40 m. Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 1
Gemetri idng tr sndiglesh.lgspt.m 13