BAB IV BEBERAPA KONSEP, TEOREMA DAN RUMUS PENTING

Transkripsi

1 IV EERP KONSEP, TEOREM N RUMUS PENTING Untuk menyelesikn mslh mtemtik, ik dlm penyusunn strtegi mupun dlm melksnkn pemehnny senntis diperlukn pengethun dn ketermpiln mtemtik yng memdi. Strtegi p yng kn dipilih dpt ditemukn dri menri jw ts pertnyn: jemtn mn yng dpt menghuungkn ntr yng dikethui dn ditnykn tu dimint memuktikn. Jemtn itu memunulkn strtegi, dn sekligus jug diwli dengn konsep tu teorem p yng mendsri pemilihn jemtn terseut. Kemudin rumus-rumus yng terkit dengn teorem itu merupkn lt pemeh mslh. Nmun jug kdng-kdng entuk sol tu mslhny mengingtkn dny rumus yng terkit dengn permslhnny. Semu konsep, teorem, dn rumus dlm mtemtik SMP tentuny penting, ik yng lngsung erojek geometri mupun yng terkit dengn ritmetik, ljr, dn rumus-rumus linny. Nmun tidk klh pul pentingny, eerp pengertin tu teorem lin yng tidk ser eksplisit merupkn gin yng dipeljri di SMP, nmun merupkn perlusn yng tidk ser eksplisit dipeljri di ngku sekolh. gin khir ini seringkli penting untuk diphmi. erikut ini disjikn konsep, teorem, dn rumus yng sering digunkn dlm pemehn mslh geometri, dn khususny dri mteri geometri. Kren lusny kupn mteri terseut, mk tidk semu konsep, teorem, dn rumus disjikn, nmun hny yng sngt mendsr yng penulis nggp telh digunkn dlm kesehrin geometri (misl sudut ertolk elkng sm esr). nyk dri gin ini telh dituliskn dlm tulisn teritn PPPG Mtemtik seelumny, sehingg ukti-ukti keenrn teorem tu dlil tidk disertkn di sini. emikin pul eerp rumus yng serup, mislny rumus pnjng ketig gris gi dlm segitig, rumus Stewrt dlm segitig, disjikn stu sj di ntrny. Yng lin, kren dpt diperoleh dengn r tu model yng sm dipersilhkn pr pem untuk menulisknny sendiri, smil sekligus mengingt kemli dengn r erltih menulisknny. eerp teorem tu dlil yng dpt diturunkn dri sutu teorem tu dlil tidk semuny disjikn di sini. LKRIS: PPM

2 erikut ini eerp konsep, teorem/dlil dn rumus dlm Geometri tr 1. Sudut dn Kesejjrn Gris. Jik gris dipotong oleh gris mk: 1) sudut sehdp sm esr: 1 5 = 1; 6 = ; 7 = 3; 8 = 4; 4 3 ) sudut erseerngn lur sm esr: = 1; 8 = Gmr 4.1 3) sudut erseerngn dlm sm esr: 5 = 3; 6 = 4 4) kit: 1 = 3 = 5 = 7 dn = 4 = 6 = 8. Jik gris dn dipotong oleh gris dn sudut sehdpny sm esr, mk.. Jik gris dn dipotong oleh gris dn sudut erseerngn lurny sm esr, mk. d. Jik gris dn dipotong oleh gris dn sudut erseerngn dlmny sm esr mk.. erdsr sift kesejjrn terseut eerp sift diturunkn:. Jumlh esr sudut seuh segitig 180 o. 1. esr seuh sudut lur seuh segitig sm Gmr 4. dengn jumlh esr du sudut linny. esr = +. ri utir dpt diturunkn ntr lin: 1) Jumlh esr sudut seuh segi-n = (n ) 180 o. n ) esr seuh sudut segi-n (poligon) erturn = 180. n Segi-n erturn dlh seginyk (poligon) yng semu sisiny sm pnjng dn semu sudutny sm esr, d. Jik seuh gris g sisi pd dn E Gmr 4.3 memotong di titik dn di E, mk: 1) E dn E ( E di sudut E kongruen dengn sudut. u sudut kongruen jik keduny sm esr). LKRIS: PPM

3 ) E ~ ; kit leih lnjut: ) : = E : = E : ) : = E : ) Lus E : Lus = () : () = (E) : () = (E) : () 3) Jik titik dn E pd gmr di ts msing-msing titik tengh dn, mk E diseut (slh stu) prlel tengh pd segitig terseut. E = 1 dn E 4) Jik pd terseut titik pd dn E pd sedemikin sehingg esr E = dn E =, mk E diseut rus gris nti prlel terhdp. e. Pd setip jjrgenjng 1) jumlh esr sudut yng ersisin 180 o. esr + = 180 o ; esr + = 180 o esr + = 180 o ; esr + = 180 o o * Gmr 4.4 ) kedu sudut yng erhdpn sm esr. esr = ; esr = * * f. Pd trpesium smkki: o o 1) jumlh esr du uh sudut pd kki yng sm 180 o. Gmr 4.6 ) dpt diut lingkrn lur (trpesium sm-kki psti segiempt tliusur). * o E Gmr Segitig:. Ketidksmn dlm Segitig lm dengn = stun, = stun, dn = stun 1) jumlh pnjng du sisi leih dri pnjng seuh sisi: + > ; + > ; + >. ) selisih pnjng du sisi kurng dri pnjng seuh sisi <, <, <.. Segitig siku-siku: 1) Teorem Pythgors dlm yng siku-siku di : = + Gmr t 1 Gmr 4.8 LKRIS: PPM

4 ) Jik, mk: ) esr = dn 1 = ) = 3) Jik esr = 60 o, mk esr = 30 o ; = dn = 3. 4) Jik esr = 45 o, mk esr = 45 o ; = dn =... Sumu sisi; Lingkrn lur 1) Sumu sisi (gris tegk lurus sisi dn memgi sisi menjdi du gin sm pnjng erpotongn pd seuh titik. Titik itu merupkn pust lingkrn lur segitig, ) Lingkrn lur poligon dlh lingkrn yng mellui semu titik sudut poligon terseut. 3) R = ;,,, pnjng sisi-sisi segitig dn 4L L lus segitig d. lil Proyeksi dn Stewrt Titik dlh proyeksi titik pd sisi. Titik E dlh proyeksi titik pd sisi. Titik F dlh proyeksi titik pd sisi. 1) lil Proyeksi: p hsil proyeksi pd ; k hsil proyeksi pd = + + p p= tu = + k k = ) lil Stewrt Jik seuh titik pd sisi seuh, sehingg = 1 dn =, e. Gris tinggi mk. = ) ; E ; F. s m E k p F R x O s Gmr 4.9 y q Gmr 4.10 s + 1 Gmr 4.11 LKRIS: PPM

5 ), E dn F gris-gris tinggi, erpotongn pd seuh titik (T). Titik T diseut titik tinggi. 3) Titik, E, dn F diseut titik-titik kki grisgris tinggi terseut. 4) T 1 = T 4 = E 1 = E = ; 5) T = T 5 = 1 = = ; 6) T 3 = T 6 = F 1 = F = ; E T F 1 1 Gmr 4.1 7) E merupkn ntiprlel terhdp. Jug EF terhdp, dn F terhdp. (ndingkn kedudukn sudut yng sm dengn kedudukn gris yng sejjr tu prlel terhdp sisi segitig). 8) Jik pnjng gris-gris tinggi dri,, dn erturut-turut t, t, t, dn lus segitig = L, mk: t = s( s )( s )( s ) ; dengn s = 1 ( + + ). L = 1 t = 1 t = 1 t, t : t = : ; t : t = : ; dn t : t = :. f. Gris ert (medin) 1) Titik-titik, E, dn F erturut-turut titik-titik tengh sisi,, dn ; mk, E, dn F dlh gris-gris ert. ) ketig gris ert erpotongn di seuh titik (= titik ert; Z) dengn perndingn 1 :. 3) E, EF, F 4) E = 1 ; EF = 1 ; F = 1 E () <1> [] (1) Z [1] <> F Gmr ) F = , tu: g. Gris gi m = ; m = pnjng gris ert dri titik sudut. 1) esr 1 = ; 1 = ; 1 = LKRIS: PPM

6 , E, dn F dlh gris-gris gi dlm. E ) Ketig gris gi erpotongn pd stu titik. r Titik itu (M) merupkn pust lingkrn dlm segitig terseut Lingkrn dlm ngun dtr dlh seuh lingkrn yng menyinggung semu sisi ngun dtr terseut. 3) 1 : = : ; 1 : = : ; 1 : = : 1 1 r M 1 r F Gmr ) Jik d dlh pnjng gris gi sudut, mk d = 1. 5) r = s L ; r = pnjng jri-jri lingkrn dlm h. lil Menelus L = lus segitig, dn s = 1 ( + + ). P R Q = 1 P R Q Gmr Segi-4. eerp jenis segi-4 yng memiliki sift khusus: 1) jjrgenjng dlh segi-4 yng sisi-sisi erhdpnny sling sejjr. ) persegipnjng dlh jjrgenjng yng sudutny siku-siku. 3) persegi dlh persegipnjng yng semu sisiny sm pnjng. 4) elh ketupt dlh segi-4 yng semu sisiny sm pnjng. 5) trpesium dlh segiempt yng mempunyi tept sepsng sisi sejjr. 6) lyng-lyng dlh segiempt yng mempunyi du psng sisi ersisin sm pnjng.. Tinggi jjrgenjng ( mm) dn trpesium dlh jrk ntr kedu sisi sejjrny.. Jik L menytkn lus, t menytkn tinggi, mk L persegi = s ; s = pnjng sisi persegi L persegipnjng = ; dn pnjng sisi-sisiny. L trpesium = 1 ( + ) t; dn pnjng sisi-sisi sejjr. L segi-4 erdigonl sling tegklurus = 1 d 1 d ; d 1 dn d pnjng digonl-digonl (termsuk lyng-lyng, elh ketupt, persegi) R Q g P LKRIS: PPM

7 5. Kongruensi (kesmsengunn) dn Similrits (Kesengunn). u segitig kongruen, jik dn hny jik stu di ntr yng erikut dipenuhi 1) ketig sisi seletk kongruen.(sm pnjng). ) seuh sisi dn kedu sudut seletk sepsng-sepsng kongruen. 3) du sisi dn seuh sudut pitny sepsng-sepsng kongruen.. u segitig sengun, jik dn hny jik stu Gmr 4.16 di ntr erikut ini dipenuhi: 1) pnjng sisi-sisi seletk sending: = = ) ketig sudut seletk sm esr: =, =, =, o (dpt disederhnkn: du sudut seletk * sm esr) o * Gmr Jik du segitig sengun mk perndingn lusny sm dengn perndingn kudrt pnjng sisi seletkny: L : L = : ( ) 6. Lingkrn. Lingkrn dlh tempt kedudukn titik-titik erjrk sm terhdp titik tertentu. Titik tertentu (P) diseut pust dn jrk tertentu merupkn pnjng jri-jri lingkrn terseut.. Tliusur = rus gris huung du titik pd lingkrn.. Tliusur yng mellui pust lingkrn = dimeter, pnjngny r. u titik ujung seuh dimeter diseut psngn titik dimetrl. sudut keliling T G β P α E F 1 sudut pust gris singgung di titik temereng juring (segmen) (sektor) Gmr 4.18 d. Setip sumu seuh tliusur mellui pust lingkrn ( P sumu ) LKRIS: PPM

8 e. Setip dimeter yng tegklurus seuh tliusur merupkn sumu tliusur terseut. f. esr 1 = ET g. α = β (esr sudut pust = sudut keliling yng menghdp usur sm). α = 180 o tliusur dlh dimeter sudut keliling = 90 o h. L = πr i. L 1 juring = αr, α = esr sudut pust (dlm rdin) j. Segi-4 tliusur = segi-4 siklik = segi-4 yng * semu titik sudutny terletk selingkrn. 1) sudut-sudut yng erhdpn erjumlh 180 o o P. M o ) Segi-4 = segi-4 tliusur esr + = + * T 3) = 180 o S Gmr ) merupkn nti prlel terhdp pd T. 5) T ~ T 6) T T = T T = TS, diseut kus titik T terhdp lingkrn. (S dlh titik singgung gris singgung dri titik T terhdp lingkrn. 7) M M = M M = kus titik M terhdp lingkrn. 8) = + (lil Ptolomeus). 7. u lingkrn R = jri-jri lingkrn erpust P 1 r = jri-jri lingkrn erpust P k = P 1 P l = pnjng rus gris singgung persekutun lur = k ( R r ) d = pnjng rus gris singgung persekutun lur = k ( R + r ) r R r l P 1 k r d R R+r Gmr 4.0 P LKRIS: PPM