ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh HELMAVIRA 0654004474 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 202
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul Algoritma Pembangun Matriks Korelasi. Shalawat dan salam kepada nabi Muhammad SAW semoga dengan senantiasa bershalawat kita mendapat syafa atnya. Dalam menyelesaikan tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan semua pihak baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih tak terhingga terutama kepada kedua orang tua tercinta yang tidak pernah lelah dan terhenti melimpahkan kasih sayang perhatian motivasi dan doanya yang membuat penulis mampu untuk terus melangkah mempelajari hidup dan juga materi yang tidak mungkin terbalaskan. Jasa-jasamu kan selalu kukenang hingga akhir hayatku semoga Allah menjadikan jasa-jasamu sebagai amalan shaleh Amin. Ucapan terima kasih selanjutnya kepada:. Bapak Prof. DR. H. M. Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau. 2. Ibu Dra. Yenita Morena MSi selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sultan Syarif Kasim Riau. 3. Ibu Sri Basriati M.Sc selaku Plt. Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sultan Syarif Kasim Riau. 4. Ibu Fitri Aryani M.Sc selaku Koordinator Tugas Akhir pada Jurusan Matematika juga selaku pembimbing yang telah banyak membantu mendukung mengarahkan dan membimbing penulis dalam penulisan tugas akhir ini. 5. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sultan Syarif Kasim. 6. Adikku Edo dan Aben yang selalu memberikan semangat dan doanya. Semoga kita tumbuh jadi anak-anak yang membanggakan dan buat ix
seluruh keluargaku yang telah memberi perhatian kasih sayang serta motivasi untukku. 7. Seseorang yang selalu setia mendampingiku memberikan semangat dan doanya. 8. Teman-teman angkatan 2006 di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi. 9. Sahabat-sahabatku Laina Devi Desi Adri Agung adikku Vira Nofi. M Ali dan Tika serta teman kosku Leni dan Phia yang selalu memberikan bantuan dan masukkan yang sangat berguna dalam penulisan tugas akhir ini. 0. Seluruh pihak yang telah memberikan andil dalam proses penulisan tugas akhir ini sampai selesai yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis sangat menyadari dalam penyusunan tugas akhir ini masih banyak kesalahan dan kekurangan. Namun penulis telah berusaha mendapatkan hasil yang terbaik. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang sifatnya membangun demi kesempurnaan tugas akhir ini. Akhirnya penulis berharap semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pihak lain yang memerlukannya. Pekanbaru 25 April 202 Penulis Helmavira x
ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI HELMAVIRA 0654004474 Tanggal Sidang : 25 April 202 Periode Wisuda : Juli 202 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 55 Pekanbaru ABSTRAK Tugas akhir ini membahas algoritma pembangun matriks korelasi. Algoritma pembangun matriks korelasi diperoleh dengan menghitung batas bawah dari determinan submatriks utama dan determinan matriks itu sendiri. Pada matriks korelasi ordo 3 3 dan 4 4 diperoleh matriks korelasi yang valid karena merupakan matriks simetris nilai-nilai elemennya berada pada interval [] dan bersifat semi-definit positif. Hasil yang diperoleh untuk matriks korelasi dengan ordo > 4 adalah bilangan imajiner artinya tidak didapat matriks korelasi yang valid. Kata Kunci : algoritma pembangun matriks korelasi bilangan imajiner koefisien korelasi matriks korelasi. vii
GENERATING CORRELATION MATRICES ALGORITHM HELMAVIRA 0654004474 Date of Final Exam : 25 April 202 Graduation Ceremony Period : Juli 202 Department of Mathematics Faculty of Science and Technology State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau JL. HR. Soebrantas no. 55 Pekanbaru ABSTRACK This thesis discusses the generating correlation matrices algorithm. Algorithm builder correlation matrices was obtained by calculating the lower limit and upper limit of the main determinants of submatrices and matrix determinant itself. In the correlation matrices of order 3 3 and 4 4 correlation matrices is obtained which is valid because it is a symmetric matrices its elements are the values on the interval [-] and is semi-positive definite. The results obtained for the correlation matrices of the order of > 4 is an imaginary number it means not obtained a valid correlation matrices. Keyword : correlation matrices coefficient correlation imaginary numbers the correlation matrix algorithm builders. viii
DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... Halaman ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah... I-.2 Rumusan Masalah... I-2.3 Batasan Masalah... I-2.4 Tujuan Penelitian... I-2.5 Sistematika Penulisan... I-2 BAB II LANDASAN TEORI 2. Matriks... II- 2.2 Determinan... II-2 2.3 Bentuk Kuadrat dan Semi-Definit positif... II-3 2.4 Matriks Korelasi... II-6 BAB III METODOLOGI PENELITIAN... III- BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL 4. Algoritma Pembangun Matriks Korelasi yang Valid Ordo 3 3... IV- 4.2 Algoritma Pembangun Matriks Korelasi yang Valid Ordo 4 4... IV-4 xi
4.3 Algoritma Pembangun Matriks Korelasi yang Valid Ordo 5 5... IV-4 BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan... V- 5.2 Saran... V-2 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Informasi dalam bidang matematika dan sains kadang sering ditampilkan dalam bentuk baris-baris atau kolom-kolom yang berbentuk persegi atau pesegi panjang yang disebut matriks. Matriks dapat membantu menyelesaikan masalahmasalah yang rumit menjadi bentuk yang lebih sederhana sehingga masalah tersebut dapat dipelajari secara lebih mudah. Ada berbagai jenis matriks diantaranya adalah matriks bujur sangkar matriks diagonal matriks simetris matriks skalar matriks korelasi. Masalah korelasi sering dibahas dalam statistik khususnya regresi multivariat. Korelasi dapat diselesaikan dengan cara matriks. Setiap matriks mempunyai ordo yang berbeda-beda contohnya: matriks 2 2 matriks 3 4 matriks matriks kolom matriks baris dan lain-lain Anton 2002. Suatu matriks disebut matriks korelasi bila elemen-elemennya adalah koefisien korelasi dengan nilai terletak pada interval []. Koefisien korelasi adalah suatu nilai untuk mengukur seberapa kuat hubungan antara satu variabel dengan variabel yang lain. Kumpulan koefisien korelasi dapat disusun kedalam sebuah matriks Graybill 983. Matriks korelasi yang valid adalah matriks korelasi yang bersifat simetris dan semi-definit positif. Karena bersifat semi-definit positif maka dengan merumuskan batasan pada determinan submatriks utama elemen-elemen matriks korelasi dapat dianalisis sehingga diperoleh syarat yang harus dipenuhi jika ingin membangun matriks korelasi yang valid Graybill 983. Beberapa penulis telah membahas tentang matriks korelasi Olkin 98 telah meneliti bagaimana koefisien korelasi dibatasi jika sebuah submatriks dari matriks korelasi ditetapkan. Rousseeuw & Molenberghs 994 telah menggunakan batas interval [] untuk meneliti bentuk dan volume dari
himpunan matriks korelasi 3 3 yang valid. Berdasarkan jurnal yang berjudul Generating Valid 4 4 Correlation Matrices oleh Mark Budden Paul Hadavas Lorrie Hoffman dan Chris Pretz 2007 yang telah membahas algoritma untuk membangun matriks korelasi 4 4 yang valid maka penulis berminat mengembangkannya dengan Algoritma Pembangun Matriks Korelasi..2 RumusanMasalah Berdasarkan latar belakang maka rumusan masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah bagaimana aturan atau langkah-langkah algoritma pembangun matriks korelasi..3 Batasan Masalah Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah maka penelitian dibatasi pada matriks korelasi ordo 3 3 4 4 dan 5 5..4 Tujuan dan Manfaat. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui aturan dan langkah-langkah algoritma pembangun matriks korelasi. 2. Manfaat Penelitian Berdasarkan rumusan masalah dan tujuan penelitian yang telahdikemukakan diatas maka manfaat yang dapat diambil adalah: a. Penulis dapat mengembangkan wawasan keilmuan dalam matematika mengenai matriks korelasi. b. Penulis dapat mengetahui lebih banyak tentang materi matriks yang tentunya akan sangat mempermudah dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan matriks korelasi..5 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini mencakup lima bab : I-2
Bab I Pendahuluan Bab ini berisikan latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah tujuan dan manfaat penelitian dan sistematika penulisan. Bab II Landasan Teori Bab ini berisikan teori-teori pendukung untuk memahami tentang matrik korelasi : matriks determinan bentuk kuadrat dan semidefinit positif dan matriks korelasi. Bab III Metodologi Penelitian Bab ini berisikan tentang Studi pustaka atau literatur dengan membaca buku-buku dan sumber-sumber lain yang berhubungan dengan matriks korelasi. Bab IV Pembahasan Bab ini berisikan pemaparan cara-cara dengan teoritis dalam mendapatkan hasil penelitian tersebut. Bab V Penutup Bab ini berisikan kesimpulan dan saran. I-3
BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori yang akan digunakan untuk pembahasan selanjutnya mengenai matriks korelasi dengan ordo 5 5 adalah: 2. Matriks Ukuran matriks dinyatakan dalam jumlah baris arah horizontal dan kolom arah vertikal yang dimilikinya. Misalkan jika digunakan menyatakan matriks maka digunakan. Jadi matriks untuk entrinya dalam baris dan kolom secara umum dapat dinyatakan sebagai: dengan 2 Definisi 2.. Anton Howard 2002 Misalkan dari dinyatakan dengan dan 2. maka transpos matriks didefinisikan sebagai matriks didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari kolom pertama dari baris kedua dari Jika adalah baris pertama dari maka Definisi 2..2 Leon 200 Misalkan yang sehingga adalah atau dapat ditulis:. dengan semua entri pada diagonalnya adalah satu dan nol selainnya disebut matriks identitas dengan: kolom kedua dari dan seterusnya dan dinotasikan dengan untuk dinotasikan
0 0 0 0 dengan kata lain 0 0 untuk dan dimana 0 untuk. Definisi 2..3 Anton Howard 2002 Matriks diagonal suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol dapat ditunjukkan dengan notasi A 0 0. 2.2 Determinan Definisi 2.2. Leon S.J 200 Misalkan minor dari elemen adalah matriks bujursangkarmaka yang dinotasikan dengan adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke Bilangan dinotasikan dan kolom dari matriks dinamakan kofaktor dari elemen Definisi 2.2.2 Leon S.J 200 Determinan dari suatu matriks.. berukuran dinyatakan sebagai det adalah suatu skalar yang dikalikan dengan matriks dan didefinisikan secara induktif sebagai: det dimana det dengan > adalah kofaktor-kofaktor dikalikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari. Definisi 2.2.3 Anton Howard 2002 Misalkan Submatriks utama matriks bujur sangkar adalah submatriks yang terbentuk dari kolom pertama dari matriks dengan. baris pertama dan 2. II-2
Contoh 2.2.: Determinan untuk matriks 2x2 maka: det Contoh 2.2.2:. Determinan untuk matriks 3 3 maka: det det. det 2.3 Bentuk Kuadrat dan Semi Definit positif Definisi 2.3.. Sutojo 200 Matriks simetris adalah matriks yang transposnya sama dengan dirinya sendiri. Contoh 2.3.: 7 5 0 5 0 3 dan 7 7 5 0 5 0 3 karena 7 maka adalah simetris. II-3
Definisi 2.3.2 Anton Howard 2002 Bentuk kuadrat pada variabel adalah ekspresi yang dapat ditulis sebagai Dengan adalah matriks simetris berukuran. Jadi misalkan. Maka bentuk ini dapat ditulis sebagai Definisi 2.3.3 Anton Howard 2002 Bentuk kuadrat 0 untuk semua positif jika matriks semi-definit positif jika disebut semi-definit 0 sedangkan matriks simetris disebut adalah bentuk kuadrat semi-definit positif. Contoh 2.3.2: Misalkan sebuah matriks simetris berikut: 2 0 0 2 2 Untuk mengkaji apakah matriks [ 2 ] 0 [ ] bersifat definit positif maka: 0 2 2 2 2 2 II-4
Sehingga hasilnya adalah 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dapat disimpulkan bahwa matriks Sebaliknya matrik 2 2. Semi definit positif jika 3. Semi definit negatif jika ℎ ℎ ℎ ℎ > 0 ℎ ℎ 2 2 2 > 0 kecuali jika disebut: < 0 untuk semua 0 0 0 untuk semua 0 untuk semua Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk ℎ > 0 ℎ bersifat definit positif karena memenuhi: dan bentuk kuadrat. Definit negatif jika ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ sebagai definit positif adalah: > 0 > 0. Teorema 2.3. Anton Howard 2002 Matriks simetris adalah semi-definit positif jika dan hanya jika determinan submatriks utama adalah positif. Bukti: Diketahui matriks dengan 2 adalah semi-definit positif akan dibuktikan determinan setiap submatriks utama adalah tak negatif. Bentuk kuadrat dengan 2 0 adalah semi definit positif untuk semua 0. Jika adalh submatriks utama semi-definit positif maka akan II-5
0. Diketahui diperoleh determinan submatriks utama dengan Akan dibuktikan matriks simetris Karena maka 0 untuk semua Berdasarkan definisi 3.2 matriks matriks simetris adalah tak negatif. 0 untuk 0 untuk semua Berdasarkan definisi 2.3.3 jika bentuk kuadrat 2 0 sehingga adalah semi-definit positif. tak negatif maka diperoleh bentuk kuadrat 0 maka diperoleh 0. 0. 2 sehingga maka diperoleh adalah matriks simetris berukuran adalah semi-definit positif.. Jadi 2.4 Matriks korelasi Matriks korelasi sebuah matriks dengan elemen-elemen matriks yang merupakan koefisien korelasi dengan nilai terletak pada interval [] dan khusus elemen diagonal matriks bernilai satu. Definisi 2.4. Graybill Franklin A 983 Misalkan dan adalah matriks kovariansi semi definit positif maka matriks korelasi dari vektor random Keterangan: adalah vektor random adalah untuk semua {2 }. dengan didefinisikan: koefisien korelasi kovariansi variansi Teorema2.4. Graybill Franklin A 983 Misalkan dan adalah matriks kovariansi semi-definit positif maka akan membentuk matriks korelasi Dimana adalah vektor random sebagai berikut: adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal {2 }. II-6
Bukti: Diketahui matriks diagonal 0 0 0 0 dan matriks kovariansi semi-definit positif 0 0 Matriks diagonal untuk Jadi terbukti 0 0 0 0 maka diperoleh `. 0 0 II-7
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut : Memilih nilai koefisien korelasi pada interval. 2 Menghitung batas bawah dari koefisin korelasi dengan determinan submatriks utama. 3 Menghitung batas bawah dari koefisin korelasi dengan determinan submatriks utama. 4 Menghitung batas bawah dari koefisin korelasi dengan determinan matriks. 5 Menghitung batas bawah dari koefisin korelasi dengan determinan matriks menggunakan maple 3. 6 Menentukan nilai koefisien korelasi pada interval dari batas bawah maksimum minimum.
Langkah-langkah metodologi penelitian diatas dapat digambarkan dalam flowchart sebagai berikut: Mulai Memilih nilai koefisien korelasi pada - Langkah-langkah:. Menghitung batas bawah dan batas atas dengan determinan submatriks utama 2. Menghitung batas bawah dan batas atas dengan determinan submatriks utama 3. Menghitung batas bawah dan batas atas determinan matriks 4. Menghitung batas bawah dan batas atas determinan matriks menggunakan Maple Menentukan nilai koefisien korelasi pada interval - dari batas bawah maksimum minimum Selesai Gambar 3. Flowchart Metodologi Penelitian III-2
BAB IV PEMBAHASAN Matriks korelasi yang valid adalah matriks korelasi yang bersifat simetris dan semi-definit positif karena bersifat semi definit positif maka dengan merumuskan batasan pada determinan submatriks utama dapat dibangun matriks korelasi. Pada bab ini akan dijelaskan algoritma pembangun matriks korelasi ordo 5 5. 4. Algoritma Pembangun Matriks Korelasi Ordo Misalkan adalah koefisien korelasi untuk variabel dan dimana { 2 3}. Matriks korelasi 3 3 adalah matriks korelasi semi-definit positif dari Algoritma pembangun matriks korelasi ordo 3 3 adalah:. Memilih sebarang nilai koefisien korelasi atau dan 2. Menentukan nilai adalah. pada interval dengan determinan dari matriks : 2 dan 0 didapat batas untuk
3. adalah matriks korelasi jika 4. Misalkan Contoh 4.. memenuhi 0 rentang nilai yang mungkin dari adalah Akan ditentukan algoritma pembangun matriks korelasi dari matriks Penyelesaian: Langkah 005 Dipilih sebarang nilai 005 000 Langkah 2 005 000 Menentukan nilai dan 000 dengan determinan dari matriks : 005 000 005 000 09987 005 000 005 000 09988 IV-2
Langkah 3 0 rentang nilai yang mungkin untuk Misalkan 000 099 099 adalah 000 Maka diperoleh matriks korelasi 3 3 yang valid adalah 005 000 005 000 099. 099 005 000 005 000 099 maka det 099 005 000 005 000 099 099 Akan ditunjukkan matriks memenuhi semi-definit positif Selanjutnya akan ditunjukkan 07 005 000 adalah matriks korelasi 3 3 yang valid Terbukti matriks Contoh 4..2 005 000 099 099 Akan ditentukan algoritma pembangun matriks korelasi dari matriks Penyelesaian: Langkah Dipilih sebarang nilai 003 02 IV-3
003 02 003 02 Langkah 2 Menentukan nilai dan dengan determinan dari matriks : 003 02 003 02 09987 003 02 003 02 09987 Langkah 3 Misalkan 0 rentang nilai yang mungkin untuk 02 097 097 adalah 02 Maka diperoleh matriks korelasi 3 3 yang valid adalah 003 02 097 003 02 097 Akan ditunjukkan matriks memenuhi semi definit positif 003 02 097 maka det 003 02 097 Selanjutnya akan ditunjukkan 003 02 097 003 02 097 026322. 003 02 097 003 02 097 IV-4
adalah matriks korelasi 3 3 yang valid Terbukti matriks 4.2 Algoritma Pembangun Matriks Korelasi Ordo Bentuk umum matriks korelasi ordo 4 4 adalah. Algoritma pembangun matriks korelasi ordo 4 4 adalah:. Memilih sebarang nilai koefisien korelasi dan 2. Menyelesaikan determinan submatriks utama det {234} dan submatriks utama 2 adalah: pada interval det didapat batas untuk 0 untuk adalah 3. Menyelesaikan determinan submatriks utama untuk dengan {234} dan submatriks utama adalah: 0 IV-5
2 didapat batas untuk adalah 4. Menyelesaikan determinan matriks 2 2 2 2 0 dengan bentuk umum 2 2 Kemudian dicari faktor kuadrat untuk setiap bentuk umum batasan 2. dengan. IV-6
Setelah melakukan langkah penghitungan diatas untuk mendapatkan jaminan terbangunnya suatu matriks korelasi maka masing-masing nilai harus berada didalam batas interval berikut: Contoh 4.2.. Akan ditentukan algoritma pembangun matriks korelasi dari matriks Penyelesaian: Langkah 005 Dipilih sebarang nilai Matriks 005 005 000 08 Langkah 2 000 000 08 Menghitung batas bawah dari det submatriks utama 0 untuk a. Batas interval untuk koefisien korelasi 08 dan dengan determinan {234} dan. 005 000 005 000 09987 IV-7
005 000 005 000 09987 interval untuk koefisien korelasi 09987 b. Batas interval untuk koefisien korelasi 09987 005 08 005 08 05592 005 08 005 08 06392 interval untuk koefisien korelasi 05592 c. Batas interval untuk koefisien korelasi 06392 000 08 000 08 0599 000 08 000 08 IV-8
06007 interval untuk koefisien korelasi Langkah 3 0599 Menghitung batas bawah dari det submatriks utama 0 untuk a. Batas interval untuk koefisien korelasi 06007 dan dengan determinan {234} dan. 0396 03003 0396 03003 02007 0396 03003 0396 03003 0925 interval untuk nilai koefisien korelasi b. Batas interval untuk koefisien korelasi 02007 0925. 0499 03003 0499 03003 04223 IV-9
0499 03003 0499 03003 0227 interval untuk nilai koefisien korelasi c. Batas interval untuk koefisien korelasi 04223 0227. 0499 0396 0499 0396 09805 0499 0396 0499 0396 0667 interval untuk nilai koefisien korelasi Langkah 4 09805 Menghitung batas bawah dari matriks det 0 a. Batas interval untuk koefisien korelasi dan 0667 dengan determinan. IV-0
0396.03003 005.000 005.08.03003 000.08.0396 02809.02702 08 05327. 0396.03003 005.000 005.08.03003 000.08.0396 02809.02702 08 09972 interval untuk nilai koefisien korelasi b. Batas interval untuk koefisien korelasi 05372 09972. 0396.03003 005.08 005.000.03003 000.08. 049 07484.02702 000 03493 IV-
. 056.09 000.08 005.000.034 000.08.056 06839.02449 000 05499 interval untuk nilai koefisien korelasi c. Batas interval untuk koefisien korelasi 03493 05499.. 0499.0396 000.08 005.000.0396 005.0396.0499 07484.02809 005 0607. 0499.0396 000.08 005.000.0396 005.0396. 0499 07484.02809 005 IV-2
03085 0607 interval untuk nilai koefisien korelasi Diperoleh matriks korelasi untuk dalam batas interval {09987 02007 05327} Maka batas interval untuk koefisien korelasi 09987 Diperoleh matriks korelasi untuk Maka batas interval untuk koefisien korelasi 03493 Diperoleh matriks korelasi untuk Maka batas interval untuk koefisien korelasi Dipilih : : {06392 0227 054999} : dalam batas interval {0599 09805 0607} 0599 {09987 0925 09972} 0227 0227 : dalam batas interval {05592 04223 03493} Dipilih 0925 0925 Dipilih 03085. : {06007 0667 03085} : 03085 03085 IV-3
Maka diperoleh matriks korelasi 4 4 : 00500 0000 08000 00500 0925 0227 0000 0925 03085 08000 0227 03085 00500 0000 08000 00500 0925 0227 0000 0925 03085 08000 0227 maka det 03085 00500 0000 08000 00500 0925 0227 0000 0925 03085 08000 0227 03085 Akan ditunjukkan matriks memenuhi semi definit positif Selanjutnya akan ditunjukkan 00500 0000 08000 Terbukti matriks 00500 0925 0227 0000 0925 03085 08000 0227 03085 adalah matriks korelasi 4 4 yang valid 4.3 Algoritma Pembangun Matriks Korelasi Ordo Bentuk umum matriks korelasi ordo 5 5 02542 Algoritma pembangun matriks korelasi ordo 5 5 adalah: IV-4
. Memilih sebarang nilai koefisien korelasi. dan pada interval 2. Menentukan koefisien korelasi menggunakan submatriks utama 3 3 : 2 3 4 5 dan. untuk a. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 Batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 b. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 Batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 IV-5
c. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 d. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval koefisien korelasi adalah: 0 dan batas bawah e. Jika ditetapkan koefisien korelasi submatriks utamanya adalah: dan dalam interval IV-6
2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 f. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 3. Menentukan koefisien korelasi menggunakan submatriks utama 3 3 untuk {2 3 4 5} dan koefisien korelasi dan karena bersifat simetris maka IV-7
a. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untukkoefisien korelasi adalah: 0 b. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 c. Jika ditetapkan koefisien korelasi dan submatriks utamanya adalah: dalam interval IV-8
2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 d. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 e. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi adalah: 0 IV-9
f. Jika ditetapkan koefisien korelasi dalam interval dan submatriks utamanya adalah: 2 batas interval untuk koefisien korelasi 0 adalah: 4. Menentukan koefisien korelasi menggunakan determinan matriks det 2 2 2 2 2 2 2 2 : 2 IV-20
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi persamaan kuadrat :: 0. Untuk memudahkan pencarian koefisien korelasi matriks 5 5 yang valid maka pada penelitian ini menggunakan Maple 3. Sehingga didapat batas bawah dari koefisien korelasi matriks tersebut. Contoh 4.3. Akan ditunjukkan algoritma pembangun matriks korelasi dari matriks Penyelesaian: langkah Dipilih sebarang nilai 005 000 08 059 Matriks 005 005 Langkah 2 000 000 08 059 a. Batas interval untuk koefisien korelasi 08 005 000 005 000 059 09987 005 000 005 000 09987 IV-2
interval untuk nilai koefisien korelasi b. Batas interval untuk koefisien korelasi 09987 005 08 005 08 09987 05592 005 08 005 08 06392 interval untuk nilai koefisien korelasi c. Batas interval untuk koefisien korelasi 05592 005 059 005 059 06392. 07758 005 059 005 059 08358 interval untuk nilai koefisien korelasi d. Batas interval untuk koefisien korelasi 07758 000 08 000 08 08358. 0599 000 08 000 08 06007 interval untuk nilai koefisien korelasi 0559 06007 IV-22
e. Batas interval untuk koefisien korelasi 000 059 000 059 0653 000 059 000 059 06524 interval untuk nilai koefisien korelasi f. Batas interval untuk koefisien korelasi 0653 08 059 08 059 06524 008086 08 059 08 059 08634 interval untuk nilai koefisien korelasi Langkah 3 a. Batas interval untuk koefisien korelasi 008086 0396 03003 0396 03003 08634. 02007 0396 03003 0396 03003 0925 interval untuk nilai koefisien korelasi 02007 0925 IV-23
b. Batas interval untuk koefisien korelasi 0499 03003 0499 03003 04223 0499 03003 0499 03003 0227 interval untuk nilai koefisien korelasi c. Batas interval untuk koefisien korelasi 04223 0499 065 0499 065 0227 08284 0499 065 0499 065 089 interval untuk nilai koefisien korelasi d. Batas interval untuk koefisien korelasi 08284 0499 0396 0499 0396 089. 09805 0499 0396 0499 0396 0667 interval untuk nilai koefisien korelasi e. Batas interval untuk koefisien korelasi 09805 0667. IV-24
0499 05 0499 05 08994 0499 05 0499 05 04004 interval untuk nilai koefisien korelasi f. Batas interval untuk koefisien korelasi 08994 0396 05 0396 05 04004 05508 0396 05 0396 05 08704 interval untuk nilai koefisien korelasi Langkah 4 05508 Dengan menggunakan Maple 3 maka didapat dan dan untuk a. Batas interval untuk koefisien korelasi 08076634080 006356889300 08704. dengan batas atas 08076634080 00635688930 interval untuk nilai koefisien korelasi 08076634080 006356889300 08076634080 00635688930 IV-25
b. Batas interval untuk koefisien korelasi 025949820 dengan batas atas 70727863 interval untuk nilai koefisien korelasi 025949820 70727863 c. Batas interval untuk koefisien korelasi 0695767825 002935525240 dengan batas atas 0695767825 002935525240 interval untuk nilai koefisien korelasi 0695767825 002935525240 d. Batas interval untuk koefisien korelasi 0695767825 002935525240 049422536 0505034545 dengan batas atas 049422536 0505034545 interval untuk nilai koefisien korelasi 049422536 0505034545 e. Batas interval untuk koefisien korelasi 049422536 0505034545 03866898924 dengan batas atas 06986503260 interval untuk nilai koefisien korelasi IV-26
03866898924 06986503260 f. Batas interval untuk koefisien korelasi 07294 0396008997 dengan batas atas 07294 0396008997 interval untuk nilai koefisien korelasi 07294 0396008997 07294 0396008997 Berdasarkan hasil yang telah diperoleh maka matriks korelasi ordo 5 5 tidak dapat diselesaikan karena hasilnya adalah bilangan imajiner. IV-27
BAB V PENUTUP 5. Kesimpulan Matriks korelasi elemen-elemennya adalah koefisien korelasi dengan nilainilai terletak pada interval [-]. Kumpulan koefisien korelasi dapat disusun kedalam sebuah matriks. Algoritma pembangun matriks korelasi yang valid mempunyai syarat matriks simetris nilai-nilai elemennya berada didalam interval [-] dan bersifat semi definit positif. Algoritma pembangun matriks korelasi di dapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:. Memilih sebarang nilai koefisien korelasi untuk matriks 3 3 dan pada interval untuk matriks 4 4 dan pada interval untuk matriks 5 5 dan pada interval. 2. Menentukan nilai untuk matriks 3 3 dengan determinan dari matriks menentukan nilai dan untuk matriks 4 4 dengan determinan submatriks utama menentukan nilai dan untuk matriks 5 5 dengan determinan submatriks utama. 3. menentukan nilai dan untuk matriks 4 4 dengan determinan submatriks utama menentukan nilai dan untuk matriks 5 5 dengan determinan submatriks utama. 4. menentukan nilai dan untuk matriks 4 4 dengan determinan matriks menentukan nilai dan untuk matriks 5 5 dengan determinan matriks menggunakan Maple 3. Berdasarkan langkah-langkah tersebut didapat hasil unruk matriks korelasi ordo 3 3 dan 4 4 adalah matriks korelasi yang valid sedangkan untuk matriks ordo 5 5 adalah matriks korelasi bilangan imajiner. Sehingga untuk matriks yang berordo > 4 tidak didapat matriks korelasi yang valid.
5.2 Saran Pada tugas akhir ini penulis hanya membahas algoritma untuk membangun matriks korelasi ordo 3 3 4 4 dan 5 5. Matriks korelasi untuk ordo > 4 didapat bilangan imajiner. Penulis memberikan saran untuk menyelesaikan masalah matriks korelasi dengan algoritma yang lain. V-2
DAFTAR PUSTAKA Anton H & Rorres C. Aljabar Linier Elementer. Jilid satu Edisi kedelapan. Erlangga Jakarta. 2002.. Aljabar Linier Elementer. Jilid dua Edisi kedelapan. Erlangga Jakarta. 2002. Budden M P. Hadavas L. Hoffman dan C. Pretz. Generating Valid 4 4 Correlation Matrices. Applied Mathematics E-Notes 7 53-59. 2007. Graybill Franklin A. Matrices with Applications in Statistics Second Edition Wadsworth Publishing company Taipei Taiwan. 983. Leon S.J. Aljabar Linier dan Aplikasinya terjemahan. Edisi kelima. Erlangga Jakarta. 200. Olkin I. Range Restrictions for Product-Moment Correlation Matrices Psychometrika 46 469-472. 98. Rousseuw P. J & G. Molenberghs. The Shape of Correlation Matrices The American Statistician 48 276-279. 994. Sutojo T. Dkk. Teori & aplikasi Aljabar Linier Elementer Andi Yogyakarta. 200.