Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Kelompok Lengkap (Randomized Block Design) Arum H. Primandari, M.Sc.
Latar belakang Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yang dilakukan dengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalam grup-grup yang homogen yang dinamakan kelompok dan kemudian menentukan perlakuan secara acak di dalam masingmasing kelompok. Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, maka rancangan ini dapat mengurangi galat percobaan yang mana dengan adanya pengelompokkan, maka dapat membuat keragaman satuan-satuan percobaan di dalam masing-masing kelompok sekecil mungkin sedangkan perbedaan antar kelompok sebesar mungkin
Perhatikan kasus berikut Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadap kecepatan penyembuhan Faktor : jenis obat Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan penyembuhan selain jenis obat? Mungkin saja: umur pasien, jenis kelamin (Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama maka gunakan saja RAL) Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi keragaman respon (selain faktor yang diteliti) tidak dapat diseragamkan (dikendalikan) oleh peneliti, maka RAL tidak dapat diterapkan.
Mengapa RAKL? Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber keragaman Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan dalam jumlah besar Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi
Ciri ciri RAKL Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapat faktor yang tidak seragam (heterogen) Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dan kelompok (plus galat percobaan) Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompok dan Galat
Keuntungan / kelebihan RAK Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL - Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah kuadrat galat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatan atau bisa mengurangi jumlah ulangan Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlah ulangan/kelompok Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihat perbedaan antar kelompok
Kekurangan RAK Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengan semakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalam kelompok Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat, sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlah perlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaan kecil (homogen) Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit
Pengacakan dan bagan percobaan Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiap perlakuan diulang dalam 3 kelompok. Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok Total unit percobaan ada 6 3 = 18 unit percobaan Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok Salah satu bagan percobaan : P1 P3 P2 P4 P6 P5 Kelompok 1 P3 P5 P6 P4 P1 P2 Kelompok 2 P1 P5 P3 P4 P2 P6 Kelompok 3
Tabulasi Data Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut: Kelompok Perlakuan A B C Total Kelompok 1 Y 11 Y 21 Y 31 Y Y 1 2 Y 12 Y 22 Y 32 3 Y 13 Y 23 Y 33 Y 2 Y 2 Total Rata-rata Y1 Y2 Y3 Y1 Y Y 2 3 Y Y
Model linier aditif RAKL Model linier aditif dari RAKL yaitu: Dimana: Y ij : pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j μ: rataan umum τ i : pengaruh perlakuan ke-i ß j : pengaruh kelompok ke-j Yij i j ij ε ij : pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j i 1,2,...,t j 1,2,...,r ij iid N 0, 2 Asumsi untuk model tetap adalah Asumsi untuk model acak adalah t 0 dan 0 i i1 j1 i iid r 2 2 j j iid N 0, dan N 0,
Hipotesis model tetap Hipotesis pengaruh perlakuan H :... 0 0 1 2 t H : 0,(i 1,2,...,t) 1 i Perlakuan tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati Hipotesis pengaruh kelompok H :... 0 0 1 2 r H : 0,(j 1,2,...,r) 1 j Kelompok tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati
Hipotesis model acak Hipotesis pengaruh perlakuan 2 H : 0 0 Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati 2 H 1 : 0 Keragaman perlakuan berpengaruh positif terhadap respon yang diamati Hipotesis pengaruh kelompok 2 H 0 : 0 Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati 2 H 1 : 0 Keragaman kelompok berpengaruh positif terhadap respon yang diamati
Perhitungan analisis variansi FK Y 2 tr t 2 JKT Y FK JKP JKK r i 1 j 1 t i1 r j1 Y 2 i r Y 2 j t ij FK FK JKG JKT JKP JKK
Tabel analisis variansi SV db JK KT F hitung Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/KTG Kelompok r-1 JKK KTK KTK/KTG Galat (t-1)(r-1) JKG KTG Total tr-1 JKT Kriteria keputusan : 1. H 0 ditolak jika: (untuk perlakuan) F F hitung,t 1,(t 1)(r 1) 2. H 0 ditolak jika: (untuk kelompok) Fhitung F,r 1,(t 1)(r 1)
Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL Ukuran kebaikan RAK dengan RAL ER db 3db 1 db 1 db 3 ˆ 2 b r r 2 b ˆ r b Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus: 2 ˆ KTG b ˆ 2 r r 1 KTK r t 1 KTG tr 1 Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama dengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2 kali dari ulangan (kelompok) RAK.
Contoh penerapan Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatu pengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan), katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobot badan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewan percobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiri dari umur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukan pengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkan tingkat umur domba tersebut.
Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantan yang memperoleh makanan yang berbeda Kelompok umur Perlakuan A B C D 1 2 5 8 6 2 3 4 7 5 3 3 5 10 5 4 5 5 9 2
Penyelesaian 1. Model Dimana : Y ij i j ij;i 1,2,3,4; j 1,2,3,4 Y ij : pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang memperoleh campuran makanan ke-i μ: nilai tengah umum (rata rata) pertambahan bobot badan τ i : pengaruh perlakuan makanan ke-i βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j ε ij : pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yang memperoleh perlakuan makanan ke-i
2. Asumsi Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap, 0 dan E i i i Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap, j 0 dan E j j εij i j timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengah sama dengan nol dan ragam σ².
3. Hipotesis H : 0 0 1 2 3 4 H : 0,(i 1,2,3,4) 1 i Yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan makanan terhadap pertambahan bobot badan domba jantan. H :... 0 Yang berarti tidak ada pengaruh kelompok 0 1 2 r H : 0,(j 1,2,...,r) 1 j umur terhadap pertambahan bobot badan domba jantan.
4. Taraf signifikasi 5. Statistik uji 6. (Kriteria keputusan) 7. Perhitungan perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG tabel analisis variansi 8. Kesimpulan Hitung pula: 1. Koefisien Keragaman (KK) 2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)
Data Hilang dalam RAK Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atau tidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaan pemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakit atau mati. Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933) memungkinkan kita untuk menduga data yang hilang tersebut. Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akan memberikan tambahan informasi kepada peneliti, tetapi hanya sebagai fasilitas untuk analisis dari data yang tersisa tersebut.
Kehilangan Data tunggal (Single value) Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannya dihitung dengan formula: Y rb tt G r 1t 1 Dimana: r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok dan perlakuan yang kehilangan satuan percobaannya. G: total seluruh nilai pengamatan. Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabel pengamatan dan dilakukan analisis variansi.
Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadi minimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atas sebesar: Bias B t 1 Y 2 t t 1
Contoh Kelompok umur Perlakuan A B C D Total kelompok 1 2 5 8 6 21 2 3 4 7 5 19 3 3-10 5 18 4 5 5 9 2 21 Total perlakuan 13 14 34 18 79 rb tt G 418 414 79 Y 5.4 r 1 t 1 (4 1)(4 1)
Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilai pengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian total kelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan total perlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4. Biasnya: Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu: JKP (hasil perhitungan) bias 2 2 B t 1 Y 18 (4 1)5.4 Bias 0.27 t t 1 4(4 1)
Hasil analisis variansi dengan data hilang SV db JK KT F Kelompok 3 2.43 0.81 Perlakuan 3 61.13 + 20.38 9.39 Galat 9 1 = 8 17.39 2.17 Total 15 1 = 14 80.95 Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 0.27 = 60.86 Analisis variansi alternatif SV db JK KT F Kelompok 3 2.43 0.81 Perlakuan 3 60.86 20.38 9.35 Galat 8 17.39 2.17 Total 14 80.65
Kehilangan Data Lebih dari Satu Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yang Memperoleh Makanan Berbeda Kelompok umur Perlakuan A B C D Total kelompok 1 2 5 8 6 21 2 3 4 7 h 1 14 3 3 h 2 10 5 18 4 5 5 9 2 21 Total perlakuan 13 14 34 13 74 Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.
Prosedur iterasinya: 1. Pendugaan h 1 melalui: Y Y 13 314 3 i j h1 4.5 2 2 2. Pendugaan h 2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumus hilang data tunggal sebelumnya. rb tt G 418 414 (74 4.5) h2 5.5 r 1 t 1 (4 1)(4 1)
3. Pendugaan h 1 (iterasi pertama) dengan rumus sama. rb tt G 414 413 (74 5.5) h1 3.2 r 1 t 1 (4 1)(4 1) 4. Pendugaan h 2 (iterasi kedua) dengan cara sama. rb tt G 418 414 (74 3.2) h2 5.6 r 1 t 1 (4 1)(4 1)
5. Pendugaan h 1 (iterasi kedua) rb tt G 414 413 (74 5.6) h1 3.2 r 1 t 1 (4 1)(4 1) 6. Pendugaan h 2 (iterasi kedua) rb tt G 418 414 (74 3.2) h2 5.6 r 1 t 1 (4 1)(4 1) Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h 1 dan h 2 telah konstan di nilai h 1 = 3.2 dan h 2 = 5.6
Datanya menjadi: Kelompok umur Perlakuan A B C D Total kelompok 1 2 5 8 6 21 2 3 4 7 3.2 17.2 3 3 5.6 10 5 23.6 4 5 5 9 2 21 Total perlakuan 13 19.6 34 16.2 82.8
Besarnya bias untuk dua data hilang Bias tt 1 2 2 B t 1 Y B t 1 Y 1 1 2 2
Tabel analisis variansi SV db JK KT F Kelompok 3 5.21 1.74 Perlakuan 3 64.41 21.47 9.71 Galat 9 2 = 7 15.49 2.21 Total 15 2 = 13 85.11 14 (4 1)3.2 18 (4 1)5.6 2 2 Bias 1.73 4(4 1)
Tabel analisis variansi alternatif SV db JK KT F Kelompok 3 5.21 1.74 Perlakuan 3 62.68 20.89 9.49 Galat 7 15.49 2.21 Total 13 83.38
Referensi Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung. Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung. Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5 th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.
Thank You