A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z... Peneraan Kurva Elitik Atas Z Pada Skema Tanda Tangan Elgamal Oleh : Puguh Wahyu Prasetyo S Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Email : uguhw@gmail.com Muhamad Zaki Riyanto S Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Email : zaki@mail.ugm.ac.id Abstrak Kurva elitik yang didefinisikan atas Z memunyai eranan enting dalam erkembangan sistem kritografi mauun ada skema tanda tangan. Tingkat keamanan kurva elitik atas Z terletak ada tingkat kesulitan Ellitic Curve Discrete Logarithm Problem ECDLP), karena tidak ada algoritma yang efisien untuk menyelesaikan ECDLP. Hal ini berbeda dengan ermasalahan matematis logaritma diskrit Discrete Logarithm Problem, DLP) emfaktoran bilangan bulat Integer Factorization Problem, IFP). Ada tiga rotokol ECDLP yang diketahui saat ini yaitu Ellitic Curve Digital Signature Algorithm ECDSA), Ellitic Curve Diffie Hellman ECDH), Ellitic Curve ElGamal ECElgamal). Pada makalah ini membahas tentang eneraan kurva elitik yang didefinisikan atas Z ada skema tanda tangan ElGamal, yaitu ECElgamal yang diterakan ada skema tanda tangan. Kata Kunci : Kurva Elitik atas Z, Ellitic Curve Discrete Logarithm Problem ECDLP), skema tanda tangan, skema tanda tangan ElGamal.. Pendahuluan Saat ini teknologi informasi berkembang sangat esat, komunikasi dari satu ihak keihak yang lain daat dilakukan melalui media internet, sehingga waktu yang digunakan untuk berkomunikasi relatif sangat singkat, akan tetai seiring berkembangnya teknologi ula, muncul ihak-ihak yang tidak resmi berkomunikasi yang sengaja menyada mauun mengubah esan yang dikirim ada suatu sesi komunikasi. Sehingga dierlukan suatu ilmu untuk menyelesaikan ermasalahan tersebut, maka berkembanglah kritografi. Kritografi meruakan ilmu yang memelajari teknik-teknik matematis sedemikian hingga daat menyembunyikan suatu informasi atau esan asli laintet) menjadi sebuah teks tersembunyi chiertet) kemudian diubah menjadi esan asli kembali. Hal ini menunjukkan bahwa kritografi berhubungan dengan asek keamanan informasi seerti asek kerahasiaan, keabsahan, integritas, keaslian. Secara umum, kritografi terdiri dari roses embentukan kunci, roses enkrisi, roses dekrisi. Enkrisi adalah sebuah roses ersandian yang melakukan erubahan laintet menjadi sebuah cihertet. Segkan roses untuk mengubah cihertet menjadi laintet disebut dekrisi. Proses enkrisi dekrisi memerlukan suatu mekanisme kunci tertentu. Kebalikan dari kritografi adalah kritanalisis, dilakukan oleh ihak enyerang untuk mendaatkan kunci yang daat digunakan untuk mengetahui laintet. Dalam suatu sesi komunikasi dengan ihak lain, terkag dierlukan roses ertukaran informasi, sehingga membutuhkan aya suatu mekanisme untuk menjamin keaslian informasi yang bersangkutan. Salah satu cara yang digunakan untuk mengatasi ermasalahan di atas adalah dengan cara menambahkan tanda tangan signature) ada informasi atau dokumen tersebut. Salah satu sistem kritografi yang cocok untuk skema Makalah diresentasikan dalam dengan tema Peningkatan Kontribusi Penelitian Pembelajaran Matematika dalam Uaya Pembentukan Karakter Bangsa ada tanggal 7 November 00 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z... tanda tangan adalah sistem kritografi ElGamal yang didefinisikan atas Gru Elitik atas Z.. Gru Elitik atas Z Kurva Elitik yang didefinisikan atas Z meruakan materi terenting gru elitik atas Z, karena roses tanda tangan verifikasi suatu dokumen yang dibubuhi tanda tangan menggunakan titik-titik ada kurva elitik atas Z yang membentuk gru elitik atas Z, beserta dengan oerasi-oerasi yang berlaku ada kurva elitik atas Z. Definisi. Stinson, 006 : 58) Misalkan adalah sebuah bilangan rima yang lebih besar dari. Kurva elitik atas Z didefinisikan oleh : E Z ) = {,y) Z Z y + a + b mod ) } {θ } dengan a,b Z sedemikian hingga 4a + 7b 0 mod ). Titik θ disebut dengan titik infinity atau titik infinitas, titik-titik ada kurva elitik atas Z membentuk suatu gru, yaitu gru elitik atas Z. Oerasi Oerasi ada Kurva Elitik atas Z Diberikan suatu kurva elitik atas Z, yaitu EZ ) : y = + a + b mod dengan titik infinity sebagai elemen identitas terhada oerasi enjumlahan. Berikut dijelaskan beberaa kasus enjumlahan dua titik ada kurva elitik EZ ). Misalkan P, Q EZ ) dengan P =,y ) Q =,y ), untuk enjumlahan dua titik tersebut terdaat tiga kasus, yaitu : Kasus I Aabila. Misalkan terdaat suatu garis L, yang memotong kurva elitik EZ ) melalui kedua titik tersebut, yaitu titik P Q. Maka ersamaan garis L adalah : y = λ + v.) dengan kemiringan y.) v = y λ = y λ. Untuk mendaatkan titik-titik ada EZ ) yang dilalui garis L, substitusi ersamaan. kedalam ersamaan kurva elitik y = + a + b, sehingga dieroleh : λ + v) = + a + b λ + a λv) + b v = 0.) Jika,, meruakan solusi dari ersamaan y = + a + b maka berlaku : + + ) + + + ) ) 0.4) = Dari ersamaan..4 dieroleh = λ.5) Untuk mencari nilai y, harus dihitung kemiringan dari suatu garis yang melalui titik,y ), y ), yaitu : y y.6) Dari ersamaan.6 dieroleh Yogyakarta, 7 november 0 68
A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z... y ) = λ y.7) Dari enjabaran diatas daat disimulkan bahwa ada kasus I, untuk enjumlahan dua titik P, Q EZ ) dengan P =,y ) Q =,y ). Jika,maka,y ) +,y ) =,y ).8) dengan = λ ).9) y = λ.0) y.) Kasus II Aabila = y = y atau dengan kata lain, untuk enjumlahan dua titik P, Q EZ ) dengan P =,y ) Q =, y ), maka, y ) +, y ) =, ) y Untuk mencari y, maka harus dicari kemiringan garis L, yaitu suatu garis yang memotong kurva elitik EZ ), melalui titik P =,y ) Q =, y ), yaitu : y y + y = = = Kemudian substitusi ke ersamaan.9.0, sehingga dieroleh : = y = atau,y ) = θ Dari enjabaran diatas daat disimulkan bahwa,y) +, y) =θ,, y) E Z ). Kasus III Aabila = y = y atau dengan kata lain, aabila diberikan suatu titik P =,y ) EZ ), maka enggandaan atas titik P, yaitu P + P adalah :,y ) +,y ) =,y ) Untuk mencari y, maka harus dicari kemiringan garis L, yaitu suatu garis yang memotong kurva elitik EZ ) melalui titik P =,y ), dengan mencari turunan ertama dari ersamaan kurva elitik : y = + a + b terhada. Turunan ertama dari ersamaan kurva elitik tersebut adalah : dy y = + a.) d Atau dy + a =.) d y dy Karena, maka dari ersamaan. dieroleh d + a y Substitusi = y = y, sehingga dieroleh : Yogyakarta, 7 november 0 69
A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z... + a.4) y Untuk mendaatkan titik-titik ada EZ ) yang dilalui garis L, substitusi ersamaan. kedalam ersamaan kurva elitik y = + a + b, sehingga dieroleh : λ + a λv) + b v = 0.5) Jika,, meruakan solusi dari ersamaan.5) maka berlaku : + + ) + + + ) ) 0.6) = Dari ersamaan.5.6 dieroleh = λ.7) Untuk mencari nilai y, harus dihitung kemiringan dari suatu garis yang melalui titik,y ),-y ), yaitu : y.8) Dari ersamaan.8 dieroleh y = λ ).9) Dari enjabaran diatas daat disimulkan bahwa ada kasus III, untuk enggandaan atas titik P EZ ) dengan P =,y ), maka,y ) +,y ) =,y ).0) dengan = λ.) y ) = λ y.) + a.) y Dari enjabaran diatas, maka daat disimulkan bahwa oerasi-oerasi yang berlaku ada kurva Elitik EZ ) : y = + a + b atas Z antara lain : Kurva Elitik EZ ) memunyai elemen identitas terhada oerasi enjumlahan, yaitu titik θ, sehingga P +θ =θ + P = P, untuk semua P EZ ). Untuk setia titik ada kurva Elitik EZ) memunyai invers terhada oerasi enjumlahan atau secara matematis P =, y) E Z ), P =, y) E Z ), P + P) = θ Penjumlahan titik. Misalkan P =, y) E Z ), Q =, y ) E Z ), dengan P ± Q, maka P + Q =, y ), dengan y. y = y = ). Penggandaan titik. Misalkan P =, y ) E Z ), dengan P P. Maka P = P+P =,y ), dengan + a + a = y y = ). y Yogyakarta, 7 november 0 70
A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z.... Skema Tanda Tangan Elgamal ada Gru Elitik atas Z Dalam suatu sesi komunikasi, yaitu ada engiriman esan, tidak menutu kemungkinan esan tersebut sengaja diubah dimodifikasi oleh ihak lain yang tidak terlibat komunikasi secara legal. Oleh sebab itu erlu dilakukan roses otentifikasi, yaitu dengan menunjukkan bahwa suatu esan tersebut memang benar dari ihak engirim esan resmi. Salah satu cara untuk melakukan roses otentifikasi adalah menggunakan skema tanda tangan. Sistem kritografi kunci ublik daat dimodifikasi menjadi suatu skema tanda tangan. Salah satunya adalah skema tanda tangan ElGamal, yaitu skema tanda tangan yang meruakan modifikasi dari sistem kritografi kunci ublik ElGamal. Sehingga tingkat keamanan skema tanda tangan ElGamal terletak ada kekuatan masalah logaritma. Segkan skema tanda tangan ElGamal ada Gru Elitik atas Z meruakan skema tanda tangan ElGamal yang dikembangkan berdasarkan sistem kritografi kurva elitik atas Z. Definisi Suatu skema tanda tangan adalah suatu 5-tuel ), dimana memenuhi kondisi berikut :. adalah himunan berhingga esan,. adalah himunan berhingga tanda tangan,. adalah himunan berhingga kunci, disebut ruang kunci, 4. Untuk setia K, terdaat fungsi tanda tangan Sig K fungsi verifikasi Ver K. Setia Sig K : Ver K : {benar, salah} meruakan fungsi sedemikian hingga untuk setia esan untuk setia tanda tangan, ersamaan berikut ini dienuhi : Berikut ini diberikan suatu skema tanda tangan yang menunjukkan bahwa masalah logaritma diskrit daat diterakan untuk membentuk suatu skema tanda tangan, seerti ada skema tanda tangan ElGamal. Skema ini meruakan modifikasi dari sistem kritografi kunci ublik ElGamal. Sistem Kritografi : Skema Tanda Tangan ElGamal ada Gru Elitik atas Z. Diberikan bilangan rima besar), diberikan kurva elitik atas Z yaitu EZ ), sebuah elemen embangun atau generator P. Sedemikian hingga meruakan subgru siklik dengan order rima besar), yaitu P) = q. Ditentukan < k < q-. Didefinisikan Nilai, q, Q diublikasikan, segkan nilai k dirahasiakan. Untuk untuk suatu bilangan acak rahasia, didefinisikan dengan Untuk, didefinisikan Yogyakarta, 7 november 0 7
A7 : Peneraan Kurva Elitik Atas Z... Dengan Sama seerti ada sistem kritografi kurva elitik atas Z, tingkat keamanan dari skema tanda tanan ElGamal ada gru elitik atas Z terletak ada kekuatan Ellitic Curve Discrete Logarithm Problem ada dengan embangun/ generator. 4. Penutu Dari embahasan diatas daat disimulkan bahwa Ellitic Curve Discrete Logarithm Problem daat diterakan ada skema tanda tangan ElGamal. Tingkat keamanan dari suatu skema tanda tangan ElGamal ada Gru Elitik atas Z sebanding dengan tingkat kesulitan untuk menyelesaikan Ellitic Curve Discrete Logarithm Problem. Pembahasan selanjutnya yang daat dikaji mengenai metode untuk mencari bilangan rima yang besar, erhitungan order dari suatu elemen gru, metode untuk menghitung oerasi erangkatan modulo enjumlahan titik-titik kurva ellitik atas Z dengan ceat efisien. Daftar Pustaka Hoofstein, Phier, and Silverman., 008, An Introduction to Mathematical Crytograhy, Sringer, New York. Hankerson, D., et.al., 004, Guide to Ellitic Curve Crytograhy, Sringer-Verlag, New York. Stinson, D.R., 006, Crytograhy Theory and Practice, Chaman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida. Yogyakarta, 7 november 0 7