CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu rus kit klikn 6 sehingg 6S 6 6 8 Dengn demikin 6S S S. Sehingg S 6.. Buktikn bhw ( n ) n ) senntis hbis dibgi 6 untuk semu bilngn sli n. Bukti: Ambil sebrng bilngn sli n. Untuk membuktikn bhw ( n ) n ) senntis hbis dibgi oleh 6, mk hrus dibuktikn bhw ( n ) n ) hbis dibgi dn hbis dibgi. Akn dibuktikn bhw ( n ) n ) hbis dibgi. Kit pech dlm du ksus, yitu untuk n k dn untuk n k untuk sebrng bilngn sli k. Untuk n k n nn k k k k k 8k yng merupkn keliptn. Untuk n k n n n kk 8k k 6k yng merupkn keliptn. Dri kedu ksus tersebut dpt disimpulkn bhw ( n ) n ) hbis dibgi untuk setip bilngn sli n. Selnjutny kn dibuktikn bhw ( n ) n ) hbis dibgi. Kit pech dlm tig ksus, yitu untuk n k, untuk n k dn untuk n k untuk sebrng bilngn sli k. Untuk n k n n n k k k k k k yng merupkn keliptn. Untuk n k n n n k k k
yng merupkn keliptn. Untuk n k n n n k k k k k k 5k 6k 8 k k 9 k 6k k yng merupkn keliptn. Dri ketig ksus tersebut dpt disimpulkn bhw ( n ) n ) hbis dibgi untuk setip bilngn sli n. Dengn demikin ( n ) n ) hbis dibgi dn hbis dibgi. Kren dn sling reltif prim (FPB dri dn dlh ), mk ( n ) n ) hbis dibgi 6 untuk setip bilngn sli n.. Untuk bilngn rel dn b sebrng, buktikn bhw b ( b). Cttn: Untuk membuktikn sol tersebut, permslhn yng sering muncul dlh hrus dimuli dri mn untuk mengkonstruksikn pembuktinny. Untuk pembuktin yng msih sederhn, mslh tersebut tidk terllu menggnggu. Akn tetpi untuk sol yng lebih kompleks, mslh tersebut kn sngt menggnggu. Hl ini dpt ditsi jik kit muli dengn terlebih dhulu membut proses/lngkh berpikirny. Dlm proses berpikir ini, kit bergerk mundur (working bckwrd) dri yng kn dibuktikn, dengn lngkh-lngkh yng logis menuju ke yng dikethui. Pd penulisn buktiny, proses berpikir ini tidk perlu dicntumkn dn cukup ditulis di lembr cort-coret sj (burm). Proses berpikir: b b b b b b b Dri proses berpikir tersebut, ternyt lngkh buktiny hrus dimuli dri dn b. Hl ini didsrkn dri sift kudrt sebrng bilngn rel sellu nonnegtif. Bukti: Ambil dn b sebrng bilngn rel. b Jumlhkn kedu ketksmn mk b b b b b b b Terbukti bhw b ( b) untuk bilngn rel dn b sebrng.
. Seseorng memiliki sejumlh koin senili rupih. Setelh diperhtikn dengn seksm, ternyt koin yng dimilikiny terdiri dri tig mcm koin di ntr mcm koin yng sekrng msih berlku (5-n, -n, -n dn 5-n). Selidiki dn tentukn berp bnyk kombinsi koin yng mungkin dimiliki oleh orng tersebut. Strtegi membut dftr yng sistemtis kn digunkn untuk menyelesikn mslh ini. Nomor Koin yng Digunkn 5-n -n -n 5-n - - - - 8 5-5 6 6-6 - 8-9 - 8-6 - - 5-6 - 5-6 - - 8 8-6 9 - - - 6 - - - Dengn demikin terdpt kemungkinn kombinsi koin yng dpt dimiliki orng tersebut. 5. Untuk setip psngn bilngn sli dn b, kit definisikn * b b b. Bilngn sli x diktkn penyusun bilngn sli n jik terdpt bilngn sli y yng memenuhi x * y n. Sebgi contoh, dlh penyusun 6 kren terdpt bilngn sli sehingg * 8 6. Tentukn semu penyusun 5. Mislkn x dlh penyusun 5. Sehingg terdpt bilngn sli y sedemikin hingg 5 x * y xy x y x y
Sebgi kibtny x y 6 Fktor-fktor dri 6 dlh,,,, 6,, 6,, 5, 668,,. Dengn demikin x hrus bernili slh stu dri kedubels fktor tersebut. Sehingg nili x dlh slh stu dri,,, 5,,, 68, 5, 5, 669, tu 5. Kit peroleh y untuk msing-msing nili x. Selnjutny kit but dftr x sebgi berikut: x y x* y xy x y 5 5 66 66 66 5 5 5 5 5 5 5 5 5 66 66 66 5 68 68 68 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 669 669 669 5 5 5 5 5 5 Kren x dn y hrus merupkn bilngn sli mk x 5 bukn penyusun 5 kren nili y yng dlh. Dengn demikin semu penyusun 5 dlh,,, 5,,, 68, 5, 5, 669 dn. 6. Dikethui bentuk x y n, dengn x dn y dlh bilngn-bilngn bult.. Jik p sj? b. Tunjukkn bhw tidk mungkin menghsilkn x y 8. n, bilngn berp sjkh n tersebut dn dri psngn x, y. Mslh ini dpt diselesikn dengn membut dftr yng sistemtis. x y x y n n
x y x y n n 9 9 9 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9 9 9 9 9 9 9 6 6 6 9 9 b. Kren x y 8 mk hruslh x 8 dn y 8. Pertidksmn x 8 hny mungkin dipenuhi untuk x,,,,, sedngkn pertidksmn y 8 hny mungkin dipenuhi untuk y,,. Dri nili-nili x dn y yng memenuhi, hsil yng mungkin untuk y dlh,. Dengn demikin nili mksiml dri x dlh,,, sedngkn untuk x y dlh. Sehingg tidk d bilngn bult x dn y yng dpt memenuhi persmn x y 8.. Dikethui N 9 99 999 9999 9. Tentukn nili N. ngk 5
N 9 99 999 9999 9 ngk ngk suku ngk 989 8ngk Dengn demikin N dlh 989. 8ngk ngk 6