Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 PELABELAN GRACEFUL, SKOLEM GRACEFUL DAN PELABELAN ρ PADA GRAF H-BINTANG DAN A-BINTANG Nurul Huda, Zulfi Amri Staf Pengajar Prodi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNLAM, Banjarbaru Peneliti PSWOT Kementrian Pendidikan Nasional e-mail: huda.oke@gmail.com, zulfi_ghifarri@yahoo.com, ABSTRAK Graf G = (V,E) adalah sepasang himpunan terurut dimana V adalah himpunan simpul tak kosong dan E adalah himpunan busur. Pelabelan pada graf G adalah penetapan nilai simpul dan busur atau keduanya dengan aturan tertentu. Pelabelan graceful adalah fungsi injektif α dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan 0,,,. E yang menginduksi fungsi bijektif α dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku α (uv) = α(u) α(v). Pelabelan skolem graceful adalah modifikasi dari pelabelan graceful yaitu fungsi injektif μ dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan,,. V yang menginduksi fungsi bijektif μ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku μ (uv) = μ(u) μ(v). Pelabelan ρ adalah modifikasi lain dari pelabelan graceful yaitu fungsi injektif γ dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan 0,,,. E + yang menginduksi fungsi bijektif γ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku γ (uv) = γ(u) γ(v). Graf H-bintang dibentuk dari huruf H dan semua daunnya diberikan graf bintang S n. Graf A-bintang dibentuk dari huruf A dan semua daunnya diberikan graf bintang S n.pada makalah ini diberikan konstruksi pelabelan graceful, skolem graceful dan pelabelan ρ untuk graf H-bintang dan A-bintang. Kata kunci : pelabelan graceful, pelabelan skolem graceful, pelabelan ρ, graf ilalang (S n,), graf H-bintang dan graf A-bintang.. PENDAHULUAN Graf G adalah sepasang himpunan (V,E) dimana V adalah suatu himpunan tak kosong dan E adalah suatu himpunan (mungkin kosong yang berisi pasangan-pasangan (tak terurut) dari anggota-anggota V= {v, v, v, } dan anggota-anggota E = {e, e, e, } masing-masing disebut simpul dan busur dari graf G. Banyaknya anggota V dinyatakan dengan V dan banyaknya anggota E dinyatakan dengan E. Graf yang digunakan dalam makalah ini adalah graf sederhana tak berarah. Pemilihan graf H-bintang dan A-bintang di latar belakangi dari graf (S n, ), jika graf bintang pada graf (S n, ) di hilangkan maka graf tersebut berbentuk seperti huruf Y kemudian muncul suatu pertanyaan bagaimana jika abjad diberikan graf bintang pada daun-daunnya sehingga mengkontruksi graf H-bintang dan Graf A-bintang. Sedangkan huruf I,L,M,N,V,W dan huruf Z akan membentuk graf kartefilan beserta dengan variasinya, sedangkan huruf K dan X akan membentuk graf (S n, ) serta hurup T dan huruf Y sendiri membentuk graf (S n, ). Berikut diberikan contoh graf H-bintang dan Graf A-bintang. 0
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 Gambar. Graf H-Bintang dan Graf A-Bintang Pelabelan graceful pada graf G(V,E) adalah fungsi injektif α dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan 0,,,. E yang menginduksi fungsi bijektif α dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku α (uv) = α(u) α(v). Pelabelan skolem graceful adalah modifikasi dari pelabelan graceful yaitu fungsi injektif μ dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan,,. V yang menginduksi fungsi bijektif μ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku μ (uv) = μ(u) μ(v). Pelabelan ρ adalah modifikasi dari pelabelan graceful yaitu fungsi injektif γ dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan 0,,,. E + yang menginduksi fungsi bijektif γ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan,,. E dimana setiap busur uv E dengan simpul u,v V berlaku γ (uv) = γ(u) γ(v).[,,]. Beberapa graf yang telah dibuktikan memiliki pelabelan graceful, skolem graceful dan atau Pelabelan ρ diantaranya adalah sebagai berikut : graf bintang S n, graf sapu B,k, graf cumi-cumi Sq,n, graf carterpilar, graf cycle, graf super star graf (S n, ). Selain itu sevenhot juga membuktikan gabungan dari beberapa graf yakni, graf S n, graf S n S n+, graf S n B,k, graf S n Sq,m []. Graf (S n, ) adalah suatu graf yang dibangun dari graf bintang S n kemudian diberikan sebuah simpul c disebut dengan simpul pusat, dan diberikan busur yang menghubungkan setiap simpul pusat S n dengan sebuah simpul c tersebut []. Gambar. Graf
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 Graf bintang S n adalah graf yang dibangun dari satu simpul pusat kemudian menambahkan sejumlah simpul daun pada simpul pusat tersebut. Graf bintang memiliki n+ simpul dan n busur [] Gambar. Graf Graf H-Bintang adalah suatu graf yang bintang dibangun S dari bebapa graf bintang S n kemudian diberikan suatu graf berbentuk huruf H besar dimana setiap simpul berderajat satu pada graf H merupakan pusat graf bintang. Berikut diberikan contoh graf H-bintang v v v c v v v v v c c c 5 c v v v v c 6 v v v v Gambar. Penamaan Graf H- Graf A-Bintang adalah suatu graf yang dibangun dari graf yang berbentuk huruf A kemudian diberikan graf bintang S n pada daun-daunnya. Berikut diberikan contoh graf A- Bintang. Graf H-Bintang adalah suatu graf yang dibangun dari bebapa graf bintang S n kemudian diberikan graf berbentuk huruf A besar dimana setiap simpul berderajat satu pada graf A merupakan pusat graf bintang. Berikut diberikan contoh graf A-bintang c 5 c c v c c v v v v Gambar.5 Penamaan Graf A- v v v
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7. PELABELAN PADA GRAF H-BINTANG Pada bagian ini akan diberikan konstruksi pelabelan graceful dan pelabelan skolem graceful dan pelabelan pada graf H-Bintang. Teorema. Graf H-Bintang memiliki pelabelan graceful Bukti. Misalkan notasi simpul graf H-Bintang diberikan pada Gambar. Pada Gambar. diatas terlihat bahwa himpunan simpul Graf H-Bintang adalah c,, c 6, v, v,.., v n, v, v,, v n, v, v,, v n, v,...,, dan himpunan busur Graf H-Bintang adalah c c, c c, c c 5, c c 5, c 5 c 6, c v,, c v n, c v,, c v n, c v,, c v n, c 6 v,, c 6 maka jelas bahwa V = n + 6 dan E = n + 5. Didefinisikan pelabelan dengan menngunakan notasi α (alpha) untuk simpul sebagai berikut : α c = 0 (.) α c = n + 5 (.) α c = (.) α c = n + (.) α c 5 = n + (.5) α c 6 = n + (.6) α = n + 6 i i =,.,n (.7) α = n + 5 i i =,.,n (.8) α = n + + i i =,.,n (.9) α = i + i =,.,n (.0) Pelabelan α yang didefinisikan pada persamaan (.)-(.0), melabelkan anggota V H-Bintang adalah pemetaan injektif dari V ke himpunan 0,,, E, u, v V. Setiap busur uv E diberikan label dengan pelabelan busur α yang di induksikan oleh pelabelan α uv = α u α(v) pada H-Bintang yang dinyatakan sebagai berikut: α c c = α c α c = (0) ( n + 5) = n + 5 (.) α (c c ) = α c α c = ( n + 5) () = n + (.) α (c c 5 ) = α c α c 5 = ( n + 5) (n+) = n + (.) α (c c 5 ) = α c α c 5 = ( n +) (n+) = n + (.) α (c 5 c 6 ) = α c 5 α c 6 = (n+) (n + ) = n + (.5) α c = α c α = (0) (n + 6 i) = n + 6 i i =,...,n (.6) α (c v i ) = α c α
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 = () (n + 5 i) = n + i i =,...,n (.7) α (c v i ) = α c α = (n + ) (n + + i) = n + i i =,...,n. (.8) α (c 6 v i ) = α c 6 α = (n + ) (i + ) = n + i i =,...,n. (.9) Berdasarkan pelabelan α yang didefinisikan pada persamaan (.)-(.0) setiap simpulnya memiliki label yang berbeda dan merupakan himpunan bilangan 0,,,, E. Kemudian pelabelan α yang diinduksi oleh pelabelan simpul α, memberikan nilai yang berbeda pada masing-masing busur seperti pada persamaan (.) (.9) yang merupakan himpunan bilangan,,, E. Berdasarkan hal tersebut, maka α merupakan pelabelan graceful untuk graf H-Bintang Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful untuk graf H-Bintang. 9 8 7 9 6 5 6 5 8 7 0 9 0 5 6 5 7 5 8 8 7 8 6 7 8 9 0 9 0 7 6 9 0 6 5 Gambar.6 Pelabelan Graceful Pada Graf H- Untuk semua kelas graf graceful dengan V = E + merupakan graf skolem graceful dengan mendefinisikan μ v = x(v) +. Sehingga diperoleh akibat berikut: Akibat. Graf H-Bintang memiliki pelabelan Skolem graceful Bukti. Misalkan notasi vertek graf S n, diberikan seperti pada Gambar. Didefinisikan pelabelan μ untuk simpul dengan menambahkan pada setiap label simpulnya yang menggunakan pelabelan pada Teorema.. Jadi μ x = λ x + untuk setiap x V H-Bintang dengan λ adalah pelabelan pada bukti Teorema.. Pelabelan yang didefinisikan oleh μ akan melabelkan anggota V H-Bintang dengan pelabelan μ(v H-Bintang) adalah pemetaan injektif dari V ke himpunan,,, V, u, v V. Sehingga setiap busur uv E diberikan label dengan μ uv = μ u μ(v) pada H-Bintang yang menghasilkan sama seperti persamaan (.) (.9).
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 Berdasarkan pelabelan μ yang terdefinisikan dari bukti teorema. setiap simpulnya memiliki label yang berbeda dan merupakan himpunan bilangan,,, V. Kemudian pelabelan μ seperti persamaan. (9) yang diinduksi oleh pelabelan simpul μ seperti bukti Teorema (.), memberikan nilai yang berbeda pada masing-masing busur yang merupakan himpunan bilangan,,, E. Maka μ merupakan pelabelan skolem graceful untuk graf H-Bintang. Berikut ini diberikan contoh pelabelan skolem graceful untuk graf H-Bintang. 0 9 8 9 7 6 6 5 8 7 5 0 5 6 6 5 7 5 9 8 8 9 6 7 8 0 0 9 Untuk semua kelas graf graceful dan graf skolem graceful dengan V = E + merupakan graf ρ dengan mendefinisikan γ v = μ(v) atau γ v = α(v). Sehingga diperoleh akibat berikut: Akibat. Graf H-Bintang memiliki pelabelan ρ Bukti. Misal graf H-Bintang ditunjukkan seperti pada Gambar. Menggunakan cara yang sama pada pembuktian graceful pada Teorema. dengan mendefinisikan pelabelan simpul γ= α seperti persamaan (.) (.0) dan pelabelan busur γ (uv) = γ(u) γ(v) dimana uv E dengan u,v V diperoleh pelabelan simpul dari H- Bintang ke subhimpunan bilangan 0,,,, E +, dan pelabelan busur dari S n, ke himpunan bilangan,,, E. Jadi graf H-Bintang memiliki pelabelan ρ.. PELABELAN PADA GRAF A-BINTANG Pada bagian ini akan diberikan konstruksi pelabelan graceful dan pelabelan ρ pada graf A-Bintang. Teorema. Graf A-Bintang memiliki pelabelan graceful Bukti. Misalkan notasi simpul graf A-Bintang diberikan pada Gambar.5 Pada Gambar.5 diatas terlihat bahwa himpunan simpul V A-Bintang adalah c,, c 5, v, v,.., v n, v, v,, himpunan busur E A-Bintang adalah c c, c c 5, c c, c c 5, c v,, c v n, c v,, c maka jelas bahwa V = n + 5 dan 8 7 9 0 7 6 5 Gambar.7 Pelabelan Skolem Graceful Pada 5
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 E = n + 5. Didefinisikan pelabelan dengan menngunakan notasi α (alpha) untuk simpul sebagai berikut : α c = 0 (.) α c = n + (.) α c = n + 5 (.) α c = (.) α c 5 = (.5) α = n + 6 i =,.,n (.6) α = i + i =,.,n (.7) Pelabelan α yang didefinisikan pada persamaan (.)-(.7), melabelkan anggota V A-Bintang adalah pemetaan injektif dari V ke himpunan 0,,, E, u, v V. Setiap busur uv E diberikan label dengan pelabelan busur α yang di induksikan oleh pelabelan α uv = α u α(v) pada A-Bintang yang dinyatakan sebagai berikut: α c c = α c α c = (0) (n + 5) = n + 5 (.8) α (c c 5 ) = α c α c 5 = (n + 5) () = n + (.9) α (c c ) = α c α c = (n + ) () = n + (.0) α (c c 5 ) = α c α c 5 = () () = (.) α c = α c α = (0) (n + 6 i) = n + 6 i i =,...,n (.) α (c v i ) = α c α = (n + ) (i + ) = n + i i =,...,n (.) Berdasarkan pelabelan α yang didefinisikan pada persamaan (.)-(.7) setiap simpulnya memiliki label yang berbeda dan merupakan subhimpunan bilangan 0,,,, E pada pelabelan simpul pada graf ini n +. Kemudian pelabelan α yang diinduksi oleh pelabelan simpul α, memberikan nilai yang berbeda pada masing-masing busur seperti pada persamaan (.8) (.) yang merupakan himpunan bilangan,,, E. Berdasarkan hal tersebut, maka α merupakan pelabelan graceful untuk graf A-Bintang. Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful untuk graf A-Bintang. 0 0 5 5 6 7 8 7 6 6 Gambar.8 Pelabelan Graceful Pada Graf A-
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol.6 No. Desember 0 : 0 7 Untuk semua kelas graf graceful dengan V = E selalu tidak bisa mengkonstruksi pelabelan skolem graceful karena tidak akan bisa menunjukkan e maks akan tetapi setiap pelabelan graceful bisa dikonstrusikan pelabelan ρ seperti akibat berikut: Akibat. Graf A-Bintang memiliki pelabelan ρ Bukti. Misal graf A-Bintang ditunjukkan seperti pada Gambar. Menggunakan cara yang sama pada pembuktian graceful pada Teorema. dengan mendefinisikan pelabelan simpul γ= α seperti persamaan (.) (.7) dan pelabelan busur γ (uv) = γ(u) γ(v) dimana uv E dengan u,v V diperoleh pelabelan simpul dari A- Bintang ke subhimpunan bilangan 0,,,, E +, dan pelabelan busur dari A- Bintang ke himpunan bilangan,,, E. Jadi graf A-Bintang memiliki pelabelan ρ.. KESIMPULAN Pada makalah ini telah diberikan kontruksi pelabelan graceful, skolem graceful dan pelabelan ρ pada graf H-Bintang dan A-Bintang. 5. DAFTAR PUSTAKA [] Amri,dkk. (0). Pelabelan Graceful, Skolem Graceful dan Pelabelan ρ Pada Graf (S n,). Prosiding Seminar Nasional UNY,Yogjakarta, hal M - M 6. [] Choudum, S. A., & Kishore, S. P. (996). All 5-star are Skolem graceful. Indian J. Pure and Appl. Math,7, 0-05. [] Galian, J. A. (00). Dynamic survey of graph Labeling. Electronic Journal of Combinatorics,7,#ds6 [] Sevenhot, Sugeng.K.A., Silaban, D.R., (00). Pelabelan Skolem Graceful dan Pelabelan ρ Pada Gabungan Dua Graf. Prosiding Seminar Nasional UNPAR, Bandung, hal MS 8- MS 9 7