BAHAN AJAR DAN LKS TATI MASRIYATI MATEMATIKA LIMIT FUNGSI ALJABAR WAKTU 8 x 45 MENIT (4 KALI PERTEMUAN) Nama :. NIS :. Kelas :. KELAS X SEMESTER II Kelompok :. SEKOLAH MENENGAH ATAS
PENGANTAR Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya kami telah menyelesaikan Bahan ajar dan LKS Matematika SMA kelas x semester genap dengan materi Limit Fungsi Aljabar. Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda harus mampu memahami setiap masalah yang disajikan dan menjawab setiap pertanyaan. Pembelajaran matematika melalui bahan ajar ini akan membentuk kemampuan dalam menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif. Pada bahan ajar dan LKS ini dipelajari tentang : 1. Konsep Limit Fungsi Aljabar 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi 3. Menentukan Limit Fungsi pada Suatu Titik a. Subtitusi b. Faktorisasi c. Perkalian Sekawan Setiap bagian tersebut disajikan materi dan berbagai masalah. Perhatikan petunjuk penggunaan bahan ajar ini agar anda dapat mengisi Lembar Kerja Siswa (LKS) PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR 1. Pahamilah materi yang disajikan. 2. Bacalah setiap masalah yang diberikan. 3. Pahami dan jawablah setiap masalah tersebut secara mandiri. 4. Diskusikan dengan bahasa yang santun jawaban setiap masalah tersebut bersama anggota kelompokmu. 5. Mintalah bantuan guru jika Anda mendapat masalah ketika menyelesaikan masalah yang diberikan. 6. Tulislah jawaban kelompokmu yang paling tepat pada LKS yang diberikan dengan menggunakan pensil untuk diajukan pada diskusi kelas. 7. Berdasarkan proses pemecahan masalah yang Anda lakukan, perhatikanlah rangkuman yang mungkin ditemukan. 8. Yakinlah bahwa dengan berusaha Anda pasti bisa. Percayalah terhadap kemampuan Anda dan terhadap orang-orang di sekitar Anda. SELAMAT BEKERJA!!! BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 1
KOMPETENSI INTI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA SMA KELAS X KURIKULUM 2013 Kompetensi Inti 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan Kompetensi Dasar 3.18 Mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya 3.19 Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi aljabar melalui pengamatan contoh-contoh. 4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 2
Bahan Ajar dan LKS 1 Satuan Pendidikan : SMA / MA Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas / Semester : X / II Pokok Bahasan : Konsep Limit Fungsi Aljabar Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan) Pada materi-1 bahan ajar ini Anda akan mempelajari bagaimana menemukan konsep limit fungsi aljabar berdasarkan masalah yang diberikan. Pada bagian ini, Anda juga berlatih untuk menerapkan konsep limit fungsi aljabar tersebut dalam menyelesaikan masalah. Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit. Untuk dapat memahami konsep limit dengan baik, perlu kiranya kita renungkan suatu paradox yang dikemukan oleh Zeno (495 435 SM), sebagai berikut. Perhatikan Masalah Berikut! Masalah 1 Achilles dan Kura-Kura Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan Perang Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini berlomba lari dengan seekor kura kura yang telah menempati posisi setengah dari jarak yang mesti ditempuh oleh Achilles. Katakan saja jarak yang akan ditempuh keduanya 2 km. Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari titik start, sehingga kura kura berada pada posisi 1 km di depannya. Kecepatan Achilles dua kali kecepatan kura kura. Begitu Achilles sampai 1 km, kura kura telah sampai pada posisi 1,5 km. Pada saat Achilles mencapai 1,5 km, kura kura telah sampai pada posisi BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 3
1,75 km. Begitu Achilles sampai di posisi 1,75 km, kura kura telah sampai pada posisi 1,875 km. 1. Kalau kegiatan ini diteruskan secara terus menerus, apakah Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kurakura? berikan komentar! 2. Uraikanlah cerita tersebut dalam bentuk matematis. Jarak yang ditempuh achiles adalah 1 + 1,5 +. +. +. +. +. Jadi, jarak yang ditempuh Achiles mendekati. Masalah 2 Menghitung pendekatan dari jumlah luas persegi Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya 1 satuan. Suatu persegi panjang sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1 satuan luas. Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1 2 satuan. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 4
Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1 2 + satuan. Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah 1 2 + + satuan Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus menerus maka jumlah luas bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati satuan luas. Jadi, hasil penjumlahan dari adalah 1 + + + + + mendekati. 2 Pengertian limit secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati di atas. Masalah 3 Memperkirakan jauhnya lintasan suatu mobil Seorang Satpam berdiri mengawasi mobil yang masuk pada sebuah jalan tol. Ia berdiri sambil memandang mobil yang melintas masuk jalan tersebut. Kemudian dia memandang terus mobil sampai melintas di kejauhan jalan tol. Dia melihat objek seakan akan semakin mengecil seiring dengan bertambah jauhnya mobil melintas. Akhirnya dia sama sekali tidak dapat melihat objek tersebut. Gambar 1 Coba kamu lihat Gambar 1. Kita melihat bahwa bukan hanya ukuran mobil di kejauhan yang seakan-akan semakin kecil, tetapi lebar jalan raya tersebut juga seakan-akan semakin sempit. 1. Kemudian coba kamu analisis kembali gambar tersebut, secara visual, apakah perbandingan ukuran lebar jalan dengan ukuran mobil tersebut tetap? Berikan komentarmu! BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 5
2. Jika kita analisis lebih lanjut, untuk pendekatan berapa meterkah jauhnya mobil melintas agar penjaga pintu masuk jalan tol sudah tidak dapat melihatnya lagi?... Masalah 4 Menghitung pendekatan dari nilai suatu fungsi Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian limit dengan bantuan grafik fungsi. Pandanglah fungsi f(x) = dengan domain D = { x x R, x 2}. Pada x = 2, nilai fungsi f(2) = (tidak tentu) Jika Anda mencari nilai nilai f(x) untuk x mendekati 2, tentukanlah nilai fungsi f(x) di sekitar x = 2 dengan mengisi tabel berikut. Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati., tetapi untuk x = 2 nilai f(x). Dari sini dapat dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan, dan ditulis dengan notasi Pengertian limit yang seperti inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, yang secara umum dapat kita nyatakan sebagai berikut. Definisi limit secara intuitif, bahwa lim f(x)= L artinya bahwa bilamana x. c, maka nilai f(x).... L. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 6
Mari kita amati kembali konsep limit fungsi tersebut dengan mengambil strategi numerik, berikut ini adalah langkah-langkahnya. 1. Tentukanlah titik-titik x yang mendekati c dari kiri dan kanan! 2. Hitung nilai f(x) untuk setiap nilai x yang diberikan? 3. Kemudian amatilah nilai-nilai f(x) dari kiri dan kanan. 4. Ada atau tidakkah suatu nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati c tersebut? Latihan 1 1. Perhatikan fungsi berikut : a. Jika y = f(x) maka nilai-nilai pendekatan f(x) untuk nilai-nilai x mendekati 1 secara numerik adalah b. Apakah fungsi f(x) mempunyai limit? berikan komentar c. Gambarkan grafik fungsi f(x) tersebut BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 7
2. Perhatikan dan amati beberapa gambar berikut! Gambar manakah yang menunjukkan bentuk fungsi yang mempunyai limit pada saat x mendekati c? Jelaskanlah jawabanmu? BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 8
Bahan Ajar dan LKS 2 Satuan Pendidikan : SMA / MA Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas / Semester : X / II Pokok Bahasan : Sifat-Sifat Limit Fungsi Aljabar Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan) Pada materi-1 bahan ajar ini Anda akan mempelajari bagaimana menerapkan sifatsifat limit fungsi aljabar berdasarkan masalah yang diberikan. Pada bagian ini, Anda juga berlatih untuk menentukan solusi limit fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat limit fungsi tersebut. Masalah 1 a. Jika f(x) = 2 maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan dengan mengisi kolom-kolom pada tabel berikut. Diberikan beberapa nilai-nilai x yang mendekati 1. Tabel Nilai pendekatan f(x) = 2, pada saat x mendekati 1 Apa yang kamu peroleh dari Tabel di atas? Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati dari kiri dan kanan. Hal ini dapat kita tuliskan secara matematika, dengan, lim 2 = = lim 2..(1) b. Jika f(x) = x maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan dengan mengisi kolom-kolom pada tabel berikut. Tabel Nilai pendekatan f(x) = x, pada saat x mendekati 1 Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut. Perhatikanlah, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati dari kiri dan kanan. Hal ini dapat ditulis secara matematika, dengan, BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 9
lim x = = lim x..(2) Berdasarkan (1) dan (2) secara induktif diperoleh sifat berikut. Misalkan f suatu fungsi dengan f : R R dan L, c bilangan real. lim f(x) = L jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk semua x mendekati c. Misalkan f dan g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif. Contoh Jika f(x) = x 2 maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut. Tabel Nilai pendekatan f(x) = x2 pada saat x mendekati 1 BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 10
Nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 adalah 1. lim x = 1, maka lim x = lim x x = lim x lim x = 1 1 = 1 Latihan 1. Jika f(x) = 2x 2 + 2x maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik nilai, tunjukkanlah nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 2. Jika f(x) = maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik, tunjukkanlah nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 11
Bahan Ajar dan LKS 3 Satuan Pendidikan : SMA / MA Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas / Semester : X / II Pokok Bahasan : Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan) Pada materi-3 bahan ajar ini Anda berlatih untuk menentukan nilai Limit Fungsi Aljabar dengan subtitusi. Masalah 1 Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda. Jika jejak kedua burung tersebut terbang identik dengan lintasan parabola f(x) = -x + 4x. Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar adalah 2 meter (x=c). Berapakah tinggi burung saat tiba dalam sangkar tersebut (L).............. a. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan subtitusi BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 12
Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit). Contoh : Latihan 1 1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. b. c. d. e. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 13
Bahan Ajar dan LKS 4 Satuan Pendidikan : SMA / MA Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas / Semester : X / II Pokok Bahasan : Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan) Pada materi-4 bahan ajar ini Anda berlatih untuk menentukan nilai Limit Fungsi Aljabar dengan faktorisasi. Masalah 1 Sebuah pesawat berpenumpang akan mendarat di landasan pacu dalam jarak sekitar 500 meter semakin dekat ke landasan. Berapakah besarnya kecepatan pesawat pada saat telah mendarat jika fungsi kecepatan saat pesawat akan mendarat adalah f(x) =................... b. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan faktorisasi BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 14
Latihan 1 1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 15
b. c. d. e. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 16
BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 17
Bahan Ajar dan LKS 5 Satuan Pendidikan : SMA / MA Mata Pelajaran : Matematika Wajib Kelas / Semester : X / II Pokok Bahasan : Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Alokasi Waktu : 2 x 45 menit (1 x pertemuan) Pada materi-5 bahan ajar ini Anda berlatih untuk menentukan nilai Limit Fungsi Aljabar dengan perkalian sekawan. Masalah 1 Dalam suatu pertandingan bola antara tim A melawan tim B. Ketika jarak bola ke gawang diperkirakan sekitar 2 meter dari bibir gawang tim A, bola pun ditendang ke gawang tim A oleh salah satu anggota tim B dan terjadilah ketegangan antara kedua belah pihak yang bertanding, ternyata bola tersebut nyaris masuk ke gawang tim A. Jika fungsi kecepatan tendangan bola tersebut adalah f(x) = mendekati gawang tim A. Berapakah kecepatan bola ketika.................. c. Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan mengalikan sekawan BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 18
BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 19
Latihan 1 1. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. =. b. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 20
c. d. e. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 21
BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 22
T O K O H Augustin Louis Cauchy (1789 1857), seseorang yang sangat besar jasanya dalam pengembangan kalkulus. Definisi limit yang kita kenal sekarang ini adalah salah satu hasil pemikiran Cauchy. Augustin Louis Cauchy lahir di Paris dan mengenyam pendidikan di Ecole Polytechnique. Karena kesehatannya yang buruk, maka dinasihati untuk memusatkan pikirannya pada matematika saja. Salah satu penemuannya adalah kalkulus. Secara historis, kalkulus telah ditemukan pada abad ketujuh belas. Namun demikian, sampai pada masa Cauchy dirasa bahwa landasan kalkulus dirasa belum mantap. Berkat upaya yang dilakukan oleh Cauchy dan para sahabatnya seperti Gauss, Abel, dan Bolzano maka dapat ditentukan ketelitian baku. Kepada Cauchy, kita patut berterima kasih atas andilnya meletakkan landasan yang kokoh untuk pengembangan kalkulus yakni definisi konsep limit secara formal yang fundamental. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 23
DAFTAR PUSTAKA Zaelani, Ahmad dkk, 2006, 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA, Bandung : Yrama Widya. Dirwanto, 2009, Cermat- Modul dan LKS Matematika SMK Kelompok Tekhnik dan Industri Kelas XII Semester Gasal, Jakarta. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan RI, 2013, Buku Guru Matematika Kelas X, Jakarta : Politeknik Negeri Media Kreatif. Setiawan, 2008, Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I),Yogyakarta : Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika. BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 24
BAHAN AJAR dan LKS MATEMATIKA SISWA SMA KELAS X 25