BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, optimasi selalu dilakukan untuk memenuhi kebutuhan. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk memperoleh suatu solusi optimal di mana syarat tersebut yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan, baik kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama di bidang industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori optimasi. Metode pengali Lagrange (Multiplier Lagrange) adalah sebuah teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Sesuai namanya, konsep pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori pengali Lagrange digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Pada diferensial fungsi majemuk dikenal konsep diferensial parsial. Dalam fungsi majemuk dapat dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan
2 khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah fungsi majemuk dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Dalam penerapannya sering kali diharuskan untuk mengoptimumkan (menentukan nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat banyak dijumpai dalam berbagai bidang, di antaranya seorang insinyur teknik mungkin akan meminimumkan frekuensi kerusakan walaupun harus memperhatikan jumlah biaya untuk dua jenis alat pencegah kerusakan yang terbatas jumlahnya dan konsumen mungkin akan memaksimumkan utilitas yang diperoleh dari konsumsi barang-barang dengan memperhatikan penghasilannya yang terbatas. Metode pengali Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim suatu fungsi berkendala, di mana kendalanya berbentuk persamaan. Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan pertimbangan prinsip kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi berkendala tersebut digunakan metode pengali Lagrange, yaitu dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengali Lagrange atau λ dengan fungsi kendalanya. Metode pengali Lagrange digunakan untuk memperoleh maksimum atau minimum dari fungsi dengan pembatasan berbentuk persamaan. 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah yang akan penulis teliti adalah bagaimana mencari nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Selanjutnya, menerapkan metode pengali Lagrange untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
3 1.3 Batasan Masalah Dalam penulisan skripsi ini, penulis hanya membatasi permasalahannya pada pembahasan tentang masalah optimasi dengan metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange digunakan untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain dan menerapkan metode pengali Lagrange untuk menyelesaikan optimasi bersyarat khususnya dalam bidang ekonomi. 1.4 Tinjauan Pustaka Alpha C. Chiang (2005), dalam bukunya yang berjudul Fundamental Methods of Mathematical Economics, menyatakan bahwa metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik dalam menyelesaikan optimasi dengan kendala persamaan. Jika permasalahan yang dihadapi adalah memaksimalkan, dengan kendala,, di mana c adalah konstanta. Maka fungsi Lagrangenya adalah:, λ, 1.1 di mana λ adalah pengali Lagrange dengan kondisi optimalnya diperoleh melalui 0. Prayudi (2009), dalam bukunya yang berjudul Kalkulus Lanjut, menyatakan bahwa Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di atasi.
4 Sri Mulyono (2004), dalam bukunya yang berjudul Riset Operasi, menyatakan bahwa jika suatu fungsi tujuan,,, dengan kendala,,,, maka fungsi Lagrangenya adalah:,,,,,, 1.2 dan kemudian syarat perlu untuk suatu nilai stasioner adalah: 0 1.3,,, 0 1.4 Luknanto (2000), dalam bukunya yang berjudul Pengantar Optimasi Non linier, menyatakan bahwa optimasi multivariabel dengan kendala persamaan mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan : 1.5 kendala : 0 untuk 1,2,, 1.6 Metode pengali Lagrange dipakai untuk menyelesaikan optimasi yang dirumuskan persamaan 1.9 dan 1.10. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:,λ λ 1.7 1.5 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penggunaan metode pengali Lagrange dalam menentukan nilai optimum suatu fungsi optimasi bersyarat dan menyelesaikan masalah optimasi bersyarat di dalam bidang ekonomi.
5 1.6 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata. 2. Menambah wawasan penulis tentang metode pengali Lagrange, serta dapat mencari solusi optimal dari kasus yang berhubungan dengan pengali Lagrange. 3. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa. 1.7 Metode Penelitian Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan metode pengali Lagrange. 2. Penjabaran mengenai definisi dari program nonlinier, metode pengali Lagrange, matriks hessian, serta maksimum dan minimum. 3. Pengerjaan contoh yang dikerjakan dengan metode pengali Lagrange. 4. Penyelesaian masalah optimasi bersyarat dalam bidang ekonomi dengan metode pengali Lagrange. 5. Membuat kesimpulan.