FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)) (Lihat Gambar 511) Keterangan (1) Jika c A adalah suatu titik limit dari A, maka perbandingan Definisi 414 dan 511 menunjukkan bahwa f kontinu pada c jika dan hanya jika (1) f ( c) = lim f Jadi, jika c adalah titik limit dari A, maka (1) ada kondisi yang harus dipenuhi: (i) f harus didefinisikan di c (sehingga f (c) masuk akal), (ii) batas dari f di c harus ada dalam R (sehingga lim x c f x c masuk akal), dan (iii) nilai-nilai f(c) dan lim x c f harus sama (2) Jika c A bukan titik limit dari A, maka terdapat suatu persekitaran (c) dari c sedemikian hingga A (c) = {c} Jadi kita simpulkan bahwa fungsi f secara otomatis kontinu di titik c A yang bukan titik limit dari A Semacam ini sering disebut "titik terisolasi" dari A; karena mereka adalah "jauh dari tindakan " Karena kontinuitas otomatis untuk titik-titik tersebut, kita umumnya harus 1
menguji kontinuitas hanya pada titik limit Jadi kita bisa menganggap kondisi (1) sebagai karakteristik untuk kontinuitas di c 512 Definisi A R, dan f: A R Jika B A, kita katakan bahwa f kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik B 513 Teorema A R, f: A R, dan biarkan c A Kemudian kondisi berikut ekuivalen (i) f kontinu di c, yaitu diberi persekitaran Vg (f(c)) dari f(c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f(x) berada pada Vg (f (c)) (ii) Mengingat setiap ε > 0 ada c, δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x A dengan x - c < δ, maka f (x) - f (c) < ε (iii) Jika ( ) adalah barisan bilangan real sehingga A untuk semua n N dan ( ) menyatu dengan c, maka barisan (f ( )) menyatu untuk f(c) 514 Diskontinuitas Kriteria A R, f: A R, dan c A Kemudian f adalah kontinu di c jika dan hanya jika terdapat urutan ( ) dalam A sedemikian sehingga ( ) konvergen ke c, tapi barisan (f ( )) tidak konvergen ke f (c) Contoh 515 (a) f (x) = b kontinu pada R Hal itu terlihat pada Contoh 417 (a) bahwa jika c R, maka lim x c f = b Karena f(c) = b, maka f adalah kontinu pada setiap titik c R Maka f kontinu pada R (b) g (x) = x kontinu pada R Hal itu terlihat pada Contoh 417 (b) bahwa jika c R, maka lim x c (x) = c, maka g kontinu di setiap titik c R Jadi g kontinu pada R (c) h (x) = x 2 kontinu pada R g = c Karena g 2
Hal itu terlihat pada Contoh 417 (c) bahwa jika c R, maka lim = c 2 h x c Karena h (c) = c 2, maka h adalah kontinu di setiap titik c R Jadi h kontinu pada R (d) φ (x) = 1 / x adalah kontinu pada A = {x R: x> 0} Hal itu terlihat pada Contoh 417 (d) bahwa jika c A, maka lim ϕ = 1 / c x c Karena φ (x) = 1/c, ini menunjukkan bahwa φ kontinu di setiap titik c A Jadi φ kontinu pada A (e) φ (x) = 1 / x tidak kontinyu pada x = 0 Memang, jika φ (x) = 1 / x untuk x> 0, maka φ tidak didefinisikan x = 0, sehingga tidak bisa terus menerus di sana Atau, terlihat pada Contoh 4110 (a) yang tidak ada di R, sehingga φ tidak dapat kontinu pada x = 0 (f) Fungsi signum sgn tidak kontinu di 0 limϕ Fungsi signum didefinisikan pada Contoh 4110 (b) di mana ia juga menunjukkan bahwa tidak ada dalam R Oleh karena itu sgn tidak kontinu pada x = 0 (meskipun sgn 0 didefinisikan) 0 oleh Ini adalah latihan untuk menunjukkan sgn yang kontinu di setiap titik c (g) Misalkan A = R dan f Dirichlet's "fungsi diskontinu" didefinisikan f (x) = 1 jika x adalah rasional, = 0 jika x irasional Memang, jika c adalah bilangan rasional, (xn) menjadi barisanbilangan irasional yang konvergen ke c (Corollary 256 ke 255 Teorema Density meyakinkan kita bahwa suatu urutan seperti tidak ada) Karena f (xn) = 0 untuk semua n N, kita memiliki (f (xn)) = 0, sedangkan f (c) = 1 Oleh karena f tidak kontinu di nomor irasional b Karena setiap bilangan real adalah baik rasional atau tidak rasional, kita mengurangi bahwa f tidak kontinu di setiap titik di R x 0 3
(h) Misalkan A {x R: x > 0} = Untuk setiap bilangan irasional x> 0 kita mendefinisikan h (x) = 0 Untuk bilangan rasional dalam A dari bentuk m / n, dengan m bilangan asli, n tidak memiliki faktor bersama kecuali 1, kita mendefinisikan h (m / n) = 1 / n (Lihat Gambar 512) Kami berani mengklaim bahwa h kontinu di setiap bilangan irasional di A, dan terputus di setiap bilangan rasional di A (fungsi ini diperkenalkan pada tahun 1875 oleh KJ Thomae) Di sisi lain, jika b adalah bilangan irasional dan ε > 0, maka (oleh Properti Archemedean) ada bilagan asli no seperti yang 1 / no < ε Hanya ada jumlah terbatas rationals dengan denominator kurang dari no pada interval (b - 1, b + 1) Oleh karena itu δ > 0 dapat dipilih begitu kecil bahwa lingkungan (b - δ, b + δ) tidak berisi bilangan rasional dengan denominator kurang dari no (Mengapa?) Kemudian berikut bahwa untuk x - b δ <, x A, kita memiliki h (x) - h (b) = h (x) <1 / no < ε Jadi h kontinu pada bilangan irrasional b Keterangan 516 (a)kadang-kadang suatu fungsi f: A R tidak kontinu pada titik c karena ia tidak terdefinisi pada titik ini Namun, jika fungsi f mempunyai suatu limit L pada titik c dan jika kita menghitung F pada A {c} R oleh F(x) = L untuk x = c = f(x) untuk x A 4
Maka F adalah kontinu pada c Untuk melihat ini, butuh memeriksa bahwa lim F = L, tetapi berdasarkan ini (kenapa?), nilai lim F = L x c (b) Jika suatu fungsi g: A R tidak memiliki limit pada c, maka tidak ada cara kita dapat menghitung suatu fungsi G: A definisi G(x) = C untuk x = c = g(x) untuk x A Untuk melihat ini, telitilah bahwa jika lim g harus juga ada dan sama dengan C x c x c {c} R kontinu pada c dengan lim G ada dan sama dengan C, maka x c Contoh-contoh 517 (a) Fungsi g(x) = sin (1/x) untuk x 0 (Lihat Penjelasan 413 pada p 110) tidak memiliki suatu limit pada x = 0 (lihat Contoh 4110(c)) Jadi tidak ada nilai yang kita dapat menetapkan pada x = 0 untuk memperoleh perpanjangan g kontinu pada x = 0 (b) Misalkan f(x) = x sin (1/x) untuk x 0 (Lihat Penjelasan 513) Nilai f tidak terdefinisikan pada x = 0, fungsi f tidak dapat kontinu pada titik ini Namun, sudah terlihat dalam Contoh 428 (f) bahwa 516(a) jika kita definisikan F: R R dengan F(x) = 0 untuk x = 0, = x sin (1/x) untuk x 0, Maka F kontinu pada x = 0 lim (x sin (1/x)) = 0 Berdasarkan x 0 5
52 KOMBINASI DARI FUNGSI KONTINU Misalkan A R dan misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R dan misalkan b R Pada Definisi 423 kami definisikan jumlah, deferensial, hasil, dan perkalian fungsi didefinisikan oleh f + g, f g, fg, bf Dalam penjumlahan, jika h : dimana h(x) 0 untuk semua x, maka kami definisikan fungsi ini dilambangkan dengan f / h Teorema 521 Misalkan A R misalkan f dan g adalah fungsi yang didefinisikan pada A ke R dan misalkan b R Misalkan c dan bahwa f dan g adalah kontinu pada c (a) Maka f + g, f g, fg, dan bf adalah kontinu pada c (b) Jika h: adalah kontinu pada c dan jika h(x) 0 untuk semua x, maka hasil bagi f / h adalah kontinu pada c Bukti Jika c bukan titik limit dari A, maka kesimpulannya adalah otomatis Kita dapat asumsikan bahwa c adalah titik poin dari A (a) Jika f dan g kontinu pada c, maka f(c) = lim f dan g(c) = lim g x c x c 6
Karenanya berikut ini dari teorema 424(a) bahwa (f + g) (c) = f (c) + g (c) = lim( f + g) x c Olehkarena itu f + g adalah kontinu pada c Asersi yang ada di bagian (a) adalah terbukti dengan cara yang sama (b) Jika c, maka h(x) 0 Tapi jika h(c) = lim h, ia mengikuti x c dari teorema 424(b) bahwa Maka f / h kontinu pada c Selanjutnya hasil langsung akibat dari teorema 521, digunakan untuk setiap titik dari A Namun, karena hasil yang sangat penting, kita harus menyatakan secara formal Teorema 522 Misalkan A R misalkan f dan g kontinu pada A ke R dan misalkan (a) Fungsi f + g, f g, fg, dan bf adalah kontinu pada A (b) Jika h: adalah kontinu pada A dan h(x) 0 untuk semua x, maka hasil bagi f / h adalah kontinu pada A Keterangan 523 Untuk mendefinisikan hasil bagi, kadang-kadang lebih nyaman untuk melanjutkan sebagai berikut Jika :, misalnya = oleh kita dapat mendefinisikan hasil bagi f / pada himpunan (*) untuk x Jika adalah kontinu pada suatu titik, batasab yang jelas juga kontinu pada c Mengikuti dari teorema 521(b) digunakan pada bahwa f / kontinu pada c Jika (f / ) = (f / 7
(x) untuk x mengikuti f / kontinu pada c Jika f dan kontinu pada A, maka fungsi f / didefinisikan pada oleh (*), adalah kontinu pada Contoh-contoh 524 (a) Fungsi polinomial Jika p adalah fungsi polinomial, sehingga untuk semua x, maka berikut ini dari contoh 425 ( f ) bahwa p(c) = polinomial kontinu pada R (b) Fungsi rasional lim p untuk x Maka nilai suatu fungsi x c Jika p dan q adalah fungsi polinomial pada R, maka ada paling banyak bilangan berhingga dari akar nyata dari q Jika x { } maka q(x) 0 sedemikian hingga kita dapat mendefinisikqn fungsi rasional r dengan untuk { } Ia telah dilihat dari contoh 425 (g) bahwa jika q(c) 0, maka Dengan kata lain, r kontinu pada c Karena c adalah semua bilangan real yang bukan merupakan akar dari q, kami menyimpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real yang itu didefinisikan (c) Kita harus menunjukkan bahwa fungsi sinus kontinu pada R Untuk melakukannya kita menggunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan dibuktikan dalam Bab 8 Untuk semua x, y, z kita memiliki: sin z z, cos z 1, Sin x sin y = 2 sin cos 8
Oleh karena itu jika c, maka kita dapatkan Sin x sin c 2 x c 1 = x c Olehkarena itu sin kontinu pada c Karena c, maka mengikuti sinus yang kontinu pada R (d) Fungsi kosinus kontinu pada R Kita gunakan sifat berikut fungsi sinus dan kosinus yang akan terbukti nanti Untuk semua x, y, z kita dapatkan : sin z z, sin z 1, cos x cos y = 2 sin sin Oleh karena itu jika c, maka kita dapatkan cos x cos c 2 1 x c = x c Olehkarena itu kosinus kontinu pada c Karena c, maka mengikuti bahwa kosinus kontinu pada R (Atau, kita bisa menggunakan hubungan cos x = sin (x + )) (e) Fungsi tan, cot, sec, csc kontinu dimana dapat didefinisikan Untuk contoh, fungsi cotangen didefinisikan dengan Disediakan sin x 0 (yaitu disediakan x n, n ) Karena sin dan cos adalah kontinu pada R, mengikuti dari 523 fungsi cot kontinu pada domainnya Fungsi-fungsi trigonometri lainnya diperlakukan sama Teorema 525 Misalkan A R, misalkan f : A R dan misalkan f didefinisikan untuk x dengan f (x) = f(x) (a) Jika f kontinu pada suatu titik c, maka f kontinu pada c (b) Jika f kontinu pada, maka f kontinu pada A 9
Bukti Akan dibuktikan f kontinu pada c f kontinu pada c akan dibuktikan lim f (x) = f (c) x c untuk, maka terdapat sedemikian hingga 0 < x c <, maka f (x) - f (c) < Karena f (x) - f (c) f kontinu pada c f (x) - f (c) <, terbukti lim f (x) = f (c) maka x c Teorema 526 Misalkan A R, misalkan f : A R, dan misalkan f(x) 0 untuk semua x Kita misalkan didefinisikan untuk c dengan ( ) (x) = (a) Jika f kontinu pada suatu titik c, maka kontinu pada c Bukti (b) Jika f kontinu pada, maka kontinu pada A a) Buktikan jika f kontinu pada c maka kontinu pada c dibuktikan lim f (x) = f (c) akan x c lim untuk > 0, terdapat sedemikian hingga 0 x c < x c <, untuk f (x) - f (c) < karena f (x) - f (c) < Karena maka pada c b) Pembuktiannya sama Terbukti lim maka kontinu x c Komposisi dari Fungsi-fungsi Kontinu 10
Sekarang kita tunjukkan jika fungsi f : A R kontinu pada suatu titik c dan jika g : B R kontinu pada suatu titik b = f(c), maka komposisi g o f kontinu pada c Dalam rangka untuk memastikan bahwa g o f didefinisikan pada semua dari A, kita asumsikan bahwa f(a) B Teorema 527 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A R dan g : B R adalah fungsi sedemikian hingga f(a) B Jika f kontinu pada pada titik c A dan g kontinu pada b = f(c) B, maka komposisi g o f : A R kontinu pada c Bukti Misalkan W adalah suatu - persekitaran dari g(b) Karena g kontinu pada b, ada suatu - persekitaran V dari b = f(c) sedemikian hingga jika y B maka g(c) W Nilai f kontinu pada c, akan ada suatu persekitaran U dari c sedemikian hingga jika x A U, maka f(c) (Lihat penjelasan 521 pada halaman berikutnya) Nilai f(a) B, jika x A U, maka f(x) V sehingga g o f(x) = g(f(x)) W Tetapi nilai W adalah - persekitaran dari g(b), implikasi ini bahwa g o f kontinu pada c 11
Teorema 528 Misalkan A, B, R dan misalkan f : A R kontinu pada A, dan misalkan g : B R kontinu pada B Jika f(a) B, maka komposisi g o f : A R kontinu pada A Bukti Teorema segera mengikuti dari hasil sebelumnya, jika f dan g kontinu pada setiap titik dari A dan B, respectively Teorema 527 dan 528 sangat digunakan dalam menghitung bahwa fungsifungsi tertentu kontinu Dapat digunakan pada banyak situasi dimana akan sulit untuk digunakan definisi dari kontinu langsung Contoh 529 (a) Misalkan g1(x) = x untuk x R Ini mengikuti dari Ketimpangan Segitiga (Lihat akibat 234) bahwa g1(x) - g1(x) x c Untuk semua x, c R Karena g1 kontinu pada c R Jika f : A R adalah fungsi kontinu pada A, maka Teorema 528 berimplikasi g1 o f = f kontinu pada A Ini pembuktian lain dari bukti dari Teorema 525 (b) Misalkan g2(x) = untuk x 0 Jika f : A R Dari Teorema 3210 dan Teorema 513 bahwa g2 kontinu pada bilangan c 0 Jika f : A R kontinu pada A dan jika f (x) 0 untuk semua x A, maka berdasarkan Teorema 528 bahwa g2 o f = kontinu pada A Inipembuktian lain dari Teorema 526 (c) Misalkan g3(x) = sin x untuk x R Dapat kita lihat dalam contoh 524(c) bahwa g3 kontinu pada R Jika f : A R kontinu pada A, maka berdasarkan Teorema 528 bahwa g3 o f kontinu pada A Khususnya, jika f(x) = 1/x untuk x / 0, maka fungsi g(x) = sin (1/x) kontinu pada setiap titik c 0 [Dapat kita lihat, dalam contoh 517(a), bahwa g tidak dapat didefinisikan pada 0 agar menjadi kontinu di titik itu 53 FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL 12
Fungsi yang kontinu pada interval memiliki sejumlah sifat yang sangat penting yang tidak dimiliki oleh fungsi kontinu umum Pada bagian ini, kita akan membuat beberapa hasil yang amat penting dan akan diterapkan kemudian Alternatif bukti hasil ini akan diberikan dalam bagian 55 531 Definisi Sebuah fungsi dikatakan terbatas pada jika terdapat bilangan konstanta sedemikian sehingga Dengan kata lain, sebuah fungsi dikatakan terbatas dalam suatu himpunan jika kisaran fungsi tersebut terbatas dalam Untuk menyatakan bahwa sebuah fungsi tidak terbatas pada himpunan yang diberikan, dinyatakan bahwa bilangan yang tidak nyata bisa membantu membatasi himpunan fungsi tersebut Dengan kata lain, Sebuah fungsi tidak terbatas dalam himpunan jika diberikan Ada sebuah bilangan sedemikian sehingga Kita sering mengatakannya bahwa tidak terbatas pada dalam hal ini Sebagai contoh, fungsi didefinisikan dalam interval dengan tidak terbatas dalam karena, kita bisa mengambil pendapat dalam untuk mendapatkan Contoh ini menunjukkan bahwa fungsi kontinu tidak memerlukan batasan Dalam teorema selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa fungsi kontinu pada sebuah tipe interval khusus memerlukan batasan 532 Teorema Keterbatasan Misalkan sebuah batas interval tertutup dan kontinu pada I Maka f terbatas pada I Bukti Misalkan f tidak terbatas pada I, maka terdapat sebuah bilangan sedemikian hingga Karena I terbatas, barisan 13
terbatas Oleh karena itu, pada teorema 348 Bolzano-Weierstrass menyatakan secara tidak langsung bahwa terdapat sebuah sub barisan di yang konvergen pada sebuah bilangan Karena I tertutup dan elemen kepunyaan I, dengan mengikuti teorema 326 bahwa Maka f kontinu di, sehingga konvergen pada Kita dapat menyimpulkan dari teorema 322 bahwa barisan konvergen kontradiksi dari harus terbatas Tetapi ini merupakan sebuah for Oleh karena itu, permisalan bahwa fungsi kontinu f tidak terbatas pada interval batas tertutup I menuju sebuah kontradiksi Secara matematis pembuktian tersebut dapat ditulis seperti berikut Misal, jika f tidak terbatas pada I, dimana, kalau I terbatas, maka terbatas Dari teorema Bolzano-Weierstrass, subbarisan konvergen ke barisan konvergen, di dalam I, karena I tertutup, f kontinu ke x, maka konvergen pada terbatas, maka tidak memenuhi Sehingga permisalan salah sehingga terbukti Untuk menunjukkan bahwa setiap hipotesis teorema keterbatasan diperlukan, kita bisa memberikan contoh dengan menunjukkan bahwa kesimpulan gagal jika salah satu dari hipotesis benar (i) Interval harus terbatas Fungsi untuk tidak terbatas, interval tertutup kontinu tetapi tidak terbatas di (ii) Interval harus tertutup Fungsi untuk dalam interval setengah terbuka kontinu tetapi tidak terbatas di 14
(iii) Fungsi harus kontinu Fungsi h didefinisikan dalam interval tertutup tidak terbatas di oleh untuk dan tidak kontinu dan Teorema Maksimum-Minimum 533 Definisi Misalkan dan Kita katakan bahwa f mempunyai sebuah maksimum mutlak di jika terdapat titik sedemikian sehingga Kita katakan bahwa f mempunyai sebulah minimum mutlak di bilangan sedemikian sehingga jika terdapat Kita katakan bahwa sebuah titik maksimum mutlak untuk f pada, dan sebuah titik minimum mutlak untuk f pada, jika mereka ada Kita catat bahwa sebuah fungsi kontinu di himpunan A tidak selalu mempunyai maksimum mutlak atau minimum mutlak pada himpunan Sebagai contoh,, apakah mempunyai mempunyai maksimum mutlak maupun minimum mutlak pada himpunan : 1 mutlak,, sehingga tidak mempunyai maksimum mutlak maupun minimum 2, Jadi, juga tidak mempunyai mempunyai maksimum mutlak maupun minimum mutlak 15
3, Jadi, mempunyai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak 4, Maka, hanya mempunyai nilai maksimum mutlak saja Dengan mudah terlihat bahwa jika sebuah fungsi mempunyai titik maksimum mutlak, maka titik ini tidak perlu ditentukan dengan khusus Sebagai contoh, fungsi didefinisikan untuk mempunyai dua titik diberikan maksimum mutlak di, dan titik tunggal untuk minimum mutlak di Lihat gambar 532 Untuk mengambil contoh perbedaannya yang besar, fungsi konstanta untuk sedemikian sehingga setiap titik adalah dua titik untuk sebuah maksimum mutlak dan sebuah minimum mutlak untuk 16
534 Teorema Maksimum-Minimum Misalkan batas interval tertutup dan kontinu pada Maka f mempunyai sebuah maksimum mutlak dan sebuah minimum mutlak dari Bukti Ambil dan kontinu pada, maka f mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak dari Ambil titik terbesar, dan titik terkecil Karena, maka bukan lagi batas atas dari himpunan Sebagai akibatnya, di dalam I karena I terbatas, maka terbatas dengan teorema Bolzano-Weierstrass, konvergen, karena di dalam I dan, maka f kontinu pada, sehingga Disimpulkan bahwa maksimum mutlak pada I 535 Location of roots Theorem Misalkan dan kontinu pada I Jika, atau, maka terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga Bukti Kita asumsikan bahwa Kita akan bangun sebuah barisan dari interval dengan suksesif biseksi Misalkan, dimana 17
dan menjadi titik tengah Jika, kita ambil Jika, maka kemungkinannya adalah atau Jika, maka, sedangkan jika, maka Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan, maka kita peroleh dan, Kita lanjutkan ke proses biseksi Andaikan bila interval memperoleh suksesif biseksi dengan cara yang sama Maka kita mempunyai dan dan Jika, maka Jika, himpunan, sedangkan jika, himpunannya Pada kedua kasus tersebut, kita misalkan, maka dan, Jika proses akhirnya letak titik sedemikian sehingga, maka kita telah selesai Jika proses tidak berakhir, maka kita mendapat sebuah kumpulan barisan interval batas tertutup sedemikian sehingga kita peroleh dan Selanjutnya, karena intervals mendapatkan suksesif biseksi, panjang sama dengan Ini terdapat pada kumpulan sifat interval 252 bahwa terdapat titik c yang terdapat pada,, kita peroleh, dan Oleh sebab itu, menurut, karena kontinu di c, kita memperoleh Kenyataannya, menyiratkan bahwa Dan juga kenyataannya bahwa yang 18
menyiratkan bahwa Jadi, kita simpulkan bahwa Oleh karena itu, c adalah sebuah akar f 536 Contoh Persamaan mempunyai sebuah akar c dalam interval, karena f kontinu pada interval ini dan dan Kita buat tabel, dimana tanda dari f menentukan interval pada langkah berikutnya Kolom paling kanan adalah batas atas percobaan saat digunakan untuk memperkirakan akar c, karena Kita akan menemukan perkiraan dengan mencobakan kurang dari 10-2, n 1 0 1 5-1176 5 2 5 1 75-412 25 3 75 1 875 +099 125 4 75 875 8125-169 0625 5 8125 875 84375-0382 03125 6 84375 875 859375 +0296 015625 7 84375 859375 8515625 _ 0078125 Kita berhenti pada n = 7, berlaku dengan mencobakan kurang dari 0078125 Ini tahap pertama dalam mencobakan kurang dari 10-2 Tempat nilai desimal letak keduanya tidak bisa digunakan, tetapi kita bisa menyimpulkan bahwa Teorema Bolzano 19
Hasil selanjutnya adalah penyamarataan teorema letak akar-akar Keyakinan kita bahwa sebuah fungsi kontinu pada sebuah interval memuat paling sedikit dua bilangan bernilai 537 Teorema nilai lanjut Bolzano Misalkan I sebuah interval dan kontinu di I Jika dan jika memenuhi, maka terdapat titik diantara a dan b sedemikian sehingga Bukti Andaikan dan, maka Menurut teorema letak akar-akar 535 terdapat sebuah titik c dengan sedemikian sehingga Oleh karena itu, Jika, dan maka h Oleh karena itu, terdapat sebuah titik c dengan sedemikian sehingga, maka 538 Corollary Misalkan tertutup, interval terbatas dan kontinu pada I Jika, adalah sembarang bilangan maka akan memenuhi Maka, terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga Bukti Menurut Teorema Maksimum-Minimum 534 bahwa terdapat titik dan di I sedemikian sehingga Kesimpulan sekarang mengikuti dari teorema Bolzano 537 Teorema selanjutnya yakni merangkum dari hasil utama bagian ini Ini menyatakan bahwa bayangan tentang sebuah interval terbatas tertutup menurut sebuah fungsi kontinu dan juga sebuah interval terbatas tertutup Titik terakhir 20
gambar interval adalah nilai minimum absolut dan nilai maksimum absolut fungsi, dan pernyataannya adalah semua nilai antara nilai minimum absolut dan maksimum absolut yang menerangkan cara menggambarkan nilai teorema nilai lanjut Bolzano 539 Teorema Misalkan I sebuah interval terbatas tertutup dan kontinu di I Maka himpunan tertutup sebuah interval terbatas Bukti Jika kita misalkan dan, maka kita tahu dari teorema Maksimum-Minimum 534 bahwa m dan M milik Selain itu, kita tahu Jika k suatu elemen dari, maka menurut corollary yang terdahulu bahwa terdapat sebuah titik sedemikian sehingga Maka, dan kita simpulkan bahwa Oleh karena itu, adalah interval Peringatan Jika adalah interval dan kontinu di I, kita buktikan bahwa adalah interval Kita jangan buktikan (dan itu tidak selalu benar) bahwa adalah interval Lihat gambar 533 21
Teorema terdahulu adalah sebuah teorema pengembangan dalam arti bahwa hal itu menyatakan bahwa gambar terus menerus interval terbatas tertutup adalah satu set dari jenis yang sama Teorema selanjutnya menjelaskan hasil teorema ini mengakibatkan interval umum Namun, perlu dicatat bahwa meskipun gambar terus menerus interval adalah terbukti interval, itu tidak benar bahwa interval gambar harus memiliki bentuk yang sama sebagai interval domain Sebagai contoh, gambar kontinu dari sebuah interval terbuka tidak perlu interval terbuka, dan gambar kontinu dari sebuah interval tertutup tidak terbatas tidak perlu interval tertutup Tentu saja, jika, maka f kontinu pada Ini mudah untuk melihat bahwa, maka gambar 534), yang mana bukan sebuah interval terbuka Dan juga, jika, maka, yang mana bukan sebuah interval tertutup (lihat 5310 Teorema Interval Terdahulu Misalkan I menjadi interval dan kontinu di I Maka himpunan adalah interval Bukti Misalkan dengan, maka terdapat titik sedemikian sehingga dan Selanjutnya, menurut teorema nilai lanjut Bolzano 537 bahwa jika maka terdapat bilangan dengan 22
Oleh sebab itu, Pada teorema 251 telah menunjukkan sifat khusus Sehingga merupakan sebuah interval 54 KEKONTINUAN SERAGAM Misalkan dan Definisi 511 menyebabkan beberapa pernyataan di bawah ini yang ekuivalen: (i) f kontinu pada setiap titik ; (ii) diberikan dan, maka terdapat sedemikian sehingga dan, maka Titik ini tergantung pada, secara umum Faktanya adalah pada u sebuah bayangan nyata bahwa fungsi f boleh mengganti nilainya dengan cepat mendekati titik tertentu dan dengan berlahan mendekati titik lain Untuk contoh, mengingat Lihat gambar 413 Sekarang kekontinuan seragam sering terjadi supaya fungsi f sedemikian sehingga bilangan bisa terpilih menjadi titik Untuk contoh, dan kita bisa memilih, maka,, mengapa? Pada sisi lain, maka (1) Jika diberikan dan jika kita mengambil (1), maka jika, kita dapatkan, sehingga, maka Jadi, jika, persamaan (1) menghasilkan ketidaksamaan 23
(2) Kita telah melihat bahwa pilihan oleh rumus (2) pengerjaannya dengan arti bahwa ketidakmungkinan kita memberi nilai yang akan memastikan bahwa ketika dan Kita catat bahwa nilai diberikan pada (2) tentunya untuk titik Jika kita berharap untuk menganggap semua, rumus (2) tidak menuju satu nilai yang akan mengerjakan secara serempak untuk semua, karena 541 Definisi Misalkan dan Kita katakana bahwa f adalah kontinu keseluruhan di A jika untuk setiap terdapat sedemikian sehingga jika untuk sembarang bilangan maka, maka Ini jelas jika f adalah kontinu keseluruhan di A, maka f kontinu pada setiap titik di A Secara umum, tidak bertentangan dengan fungsi dalam himpunan Ini berguna untuk merumuskan sebuah kondisi yang ekuivalen untuk mengatakan bahwa f tidak kontinu keseluruhan di A 542 Kriteria Kontinu tidak Seragam Misalkan Misalkan dan, maka pernyataannya akan ekuivalen pada: (i) f kontinu tidak seragam di A (ii) terdapat sedemikian sehingga, terdapat titik sehingga dan 24
(iii) Terdapat dan dua barisan dan di A sedemikian sehingga dan Kita bisa menggunakan hasil ini untuk menunjukkan kontinu tidak seragam pada Karena, jika dan, maka kita mendapatkan, tetapi 543 Teorema Kontinu Seragam Misalkan I interval terbatas tertutup dan tidak seragam di I kontinu pada I Maka f kontinu Bukti Jika f kontinu tidak seragam di I maka akibat teorema terdahulu, terdapat dan dua barisan dan pada I sedemikian sehingga dan Karena I terbatas, barisan terbatas, menurut teorema Bolzano-Weierstrass 348, ada sebuah sub barisan di yang konvergen pada element z karena I tertutup, limit z milik I, menurut teorema 326 ini jelas bahwa sub barisan juga konvergen pada z Karena Sekarang jika f kontinu pada titik z, maka barisan dan harus konvergen pada Tetapi ini tidak mungkin karena Jadi, hipotesis bahwa f kontinu tidak seragam pada interval tertutup terbatas I menyatakan secara tidak langsung bahwa f tidak kontinu pada satu titik Oleh karena itu, jika f kontinu pada setiap titik di I, maka f adalah kontinu seragam pada I 25
Fungsi Lipschitz Jika sebuah fungsi kontinu seragam cenderung pada sebuah himpunan, maka bukan interval tertutup terbatas, dan terkadang sulit untuk menetapkan kontinu seragam Tetapi, terdapat sebuah kondisi bahwa sering kali menjadi cukup untuk menjamin kontinu seragam 544 Definisi Misalkan dan Jika terdapat konstanta sedemikian sehingga (4), maka f dikatakan sebuah fungsi Lipschitz di A 545 Teorema Jika sebuah fungsi Lipschitz, maka f kontinu seragam pada A Bukti Jika kondisi (4) memenuhi, maka diberikan, kita bisa mengambil Jika yang memenuhi, maka Oleh karena itu, f kontinu seragam pada A 546 Contoh (a) jika, maka Maka, f memenuhi (4) dengan pada A Oleh sebab itu, f kontinu seragam pada A Tentunya, karena f kontinu dan A interval terbatas tertutup, dapat ditarik kesimpulan dari teorema kontinu seragam (catatan bahwa f tidah memenuhi di kondisi Lipschitz pada interval ) Tidak setiap fungsi kontinu seragam adalah sebuah fungsi Lipschitz Diberikan, untuk x di interval tertutup terbatas Karena g kontinu pada I, menurut teorema kontinu seragam 543 bahwa g kontinu seragam I, bagaimanapun tidak ada bilangan K > 0 sedemikian sehingga 26
Lipschitz pada I, untuk setiap Oleh karena itu, g bukan sebuah fungsi Teorema Kontinu Tambahan Kita telah melihat contoh fungsi, yakni kontinu tetapi tidak kontinu seragam pada interval terbuka Sebagai contoh, fungsi pada interval Di sisi lain, menurut teorema kontinu seragam, sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup terbatas selalu kontinu seragam Jadi, timbul pertanyaan: dengan kondisi apa sebuah fungsi kontinu seragam pada interval terbatas terbuka? Jawaban yang menyatakan kekuatan kontinu seragam Untuk menunjukkan bahwa sebuah fungsi adalah kontinu seragam jika dan hanya jika bisa didefinisikan pada titik terakhir untuk menghasilkan sebuah fungsi yang kontinu pada interval tertutup 547 Teorema Jika kontinu seragam pada subset A di dan jika adalah barisan Cauci di A, maka adalah barisan Cauci di Bukti Misalkan barisan Cauci di A, dan Pilihan pertama sedemikian sehingga memenuhi, maka Karena sebuah barisan Cauci, terdapat sedemikian sehingga Dengan memilih, maka, kita punya Oleh karena itu, barisan adalah sebuah barisan Cauci 548 Teorema Kontinu Tambahan Sebuah fungsi f kontinu seragam pada interval jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik terakhir a dan b sedemikian sehingga fungsi tambahan adalah kontinu pada Bukti Andaikan f kontinu seragam pada Kita akan menunjukkan bagaimana memberikan f untuk a, penjelasan untuk b serupa Ini dikerjakan 27
dengan menunjukkan bahwa ada, dan ini cocok digunakan untuk standar limit Jika sebuah barisan di dengan lim (x n ) = a, maka sebuah barisan Cauci dan menurut teorema sebelumnya, barisan juga sebuah barisan Cauci, dan konvergen menurut teorema 355 oleh karena itu, Jika barisan lain di yang konvergen pada a, maka, menurut kontinu seragam pada f kita dapatkan Karena kita mendapatkan nilai sama L untuk setiap barisan konvergen di a, kita mengambil kesimpulan sebagai akibat dari standar untuk limit bahwa f mempunyai lim L di a Jika kita memberi definisi, maka f kontinu di a Dengan menggunakan pendapat yang sama untuk b, maka kita simpulkan bahwa f kontinu tambahan untuk interval Karena limit tidak ada, kita mengambil kesimpulan dari teorema kontinu tambahan bahwa fungsi kontinu tidak seragam pada, b > 0 Pada sisi lain, karena, fungsi kontinu seragam pada Taksiran Di banyak aplikasi penting untuk dapat perkiraan fungsi kontinu oleh fungsi bersifat dasar walaupun ada berbagai definisi yang dapat digunakan untuk membuat kata perkiraan yang lebih tepat, salah satu yang paling alami (dan juga salah satu yang paling penting) adalah dengan mewajibkan bahwa, pada setiap titik dari domain yang diberikan, fungsi perkiraan harus tidak berbeda dari fungsi yang diberikan 549 Definisi Misalkan menjadi interval dan Maka s dikatakan fungsi step jika hanya bilangan terbatas bernilai nyata, setiap nilai diasumsikan pada satu atau lebih interval dalam I Untuk contoh, fungsi didefinisikan 28
Adalah sebuah fungsi step (Lihat gambar 543) 5410 Teorema Misalkan I sebuah interval tertutup terbatas dan kontinu pada I Jika, maka terdapat fungsi step sedemikian sehingga Bukti Karena (teorema 543 kontinu uniform) fungsi f adalah kontinu secara keseluruhan, dengan, maka terdapat sebuah bilangan sedemikian sehingga jika dan, maka Misalkan dan sehingga panjang interval Sekarang kita pisahkan sampai m pada interval h, yaitu Karena 29
setiap panjang subinterval adalah, perbedaan diantara dua nilai f pada (5) kurang dari Sekarang kita definisikan Sedemikian sehingga konstanta pada setiap (Kenyataannya nilai pada adalah nilai f pada titik paling terakhir (Lihat gambar 544) Oleh karena itu, jika, maka Oleh karena itu, kita dapat Catatan bahwa bukti teorema yang terdahulu menetapkan sedikit banyak penjelasan tentang pernyataan teorema di atas Kenyataannya, kita membuktikan dengan mengikuti teorema sebelumnya dengan lebih tepat dan jelas 5411 Corollary Misalkan sebuah interval tertutup terbatas dan kontinu pada I Jika, terdapat bilangan m sedekian sehingga jika kita pisahkan I sampai m interval mempunyai panjang, maka fungsi step didefinisikan dalam persamaan (5) yang memenuhi 30
5412 Definisi Misalkan sebuah interval Dan sebuah fungsi dikatakan Linear Piecewise pada I jika I UNION bilangan terbatas interval disjoint, sedemikian sehingga batas g untuk setiap interval adalah fungsi linear Catatan Definisi di atas jelas bahwa dalam order untuk liner piecewise fungsi g akan kontinu pada I, bagian deretan yang membentuk grafik g harus bertemu pada titik akhir perbatasan subintervals 5413 Teorema Misalkan I interval terbatas tertutup dan dan kontinu pada I Jika, maka terdapat sebuah fungsi linear kontinu piecewise sedemikian sehingga Bukti Karena f adalah kontinu secara keseluruhan pada, ada sebuah bilangan sedemikian sehingga jika dan, maka Misalkan cukup besar, maka Membagi sampai ke m dengan menguraikan panjang interval h, yaitu dan untuk k = 2,, m Pada setiap interval kita definisikan menjadi fungsi linear yang berhubungan dengan titik dan Maka kontinu piecewise fungsi linear pada I Karena nilai sampai dan, maka dengan latihan untuk menunjukkan bahwa, oleh karena itu ketidaksamaan 31
5414 Teorema Penaksiran Weiestrass Misalkan dan sebuah fungsi kontinu Jika diberikan, maka terdapat sebuah fungsi polynomial sedemikian sehingga Ada sejumlah bukti dari hasil ini Sayangnya, semua bukti dari hasil tersebut agak rumit, atau menggunakan hasil yang belum kita miliki Salah satu bukti yang paling dasar didasarkan pada teorema berikut, karena Serge Bernstein, untuk fungsi kontinu pada Diberikan, Bernstein definisikan barisan polinomial: (6) Fungsi polynomial B n dikatakan n ke polinomial Bernstein untuk f; sebuah polinomial yang tingkatnya lebih dari n dan koefisien pada nilai fungsi f pada n+1 sama dengan titik dengan koefisien binomialnya 5415 Teorema Penaksiran Bernstein Misalkan kontinu dan Terdapat sebuah sedemikian sehingga jika, maka kita dapatkan Teorema Penaksiran Weierstrass 5414 diperoleh dari teorema Penaksiran Bernstein 5415 oleh pergantian variabel Tegasnya, kita mengganti dengan sebuah fungsi, dapat didefinisikan bahwa Fungsi F bisa ditafsirkan oleh Berstein polynomial untuk F pada interval, sehingga dapat menghasilkan polynomial di menuju f Contoh Tunjukkan bahwa tetapi kontinu pada R! tidak kontinu seragam pada R 32
Jawab Ambil sebarang,, Untuk Akibatnya, Jika,, Ambil, berlaku tergantung pada c Kesimpulannya tidak kontinu seragam 55 CONTINUITY AND GAUGES 551 Definisi Interval merupakan kumpulan dari dari interval tertutup yang tidak saling melengkapi Kita biasanya menunjukkan interval dari, dimana Titik dikatakan titik partition pada Jika titik telah dipilih dari setiap interval, untuk maka titik dikatakan tags dan himpunan order sepasang Dikatakan sebuah tagged partition pada I 33
552 Definisi Sebuah gauge pada I adalah fungsi strictly positif yang didefinisikan pada I Jika, dikatakan -fine jika sebuah gauge pada I, maka sebuah (tagged) partition Kita catat bahwa notasi keruncingan memerlukan partition menjadi tagged, jadi kita tidak perlu mengatakan "tagged partition" dalam kasus ini 553 Lemma Jika sebuah partition pada adalah -fine dan, maka terdapat sebuah tag pada sedemikian sehingga Bukti Jika, terdapat sebuah subinterval dari yang memuat x Karena adalah -fine, maka Maka dari itu terbukti, Dalam teori integrasi Riemann, kita akan menggunakan gauges yang fungsi konstan untuk fineness pada partition, dalam teori umum Riemann integral, penggunaan gauges nonconstant sangat penting Tapi fungsi gauge nonconstant muncul cukup alami sehubungan dengan fungsi kontinu Contoh: misalkan kontinu pada I dan Maka, untuk setiap titik terdapat sedemikian sehingga jika dan, maka Karena didefinisikan dan benar-benar positif pada I, fungsi adalah sebuah gauge pada I Kemudian dalam bagian ini, kita akan menggunakan hubungan antara gauge dan kontinuitas untuk memberikan bukti alternatif sifat dasar fungsi kontinu yang dibahas pada bagian 53 dan 54 554 Contoh 34
(a) Jika dan adalah gauge pada dan jika, maka setiap partition adalah -fine dan juga -fine Menurut teorema sebelumnya tentang ketidaksamaan dan yang menyatakan secara tidak langsung (b) Jika dan adalah gauges pada dan jika maka juga sebuah gauge pada I Selain itu, maka setiap -fine partition adalah -fine Demikian pula, setiap -fine partition adalah -fine juga (c) Andaikan didefinisikan pada oleh maka adalah gauge pada Jika, maka, yang mana tidak memuat titik 0 Jadi, jika adalah sebuah -fine partition pada I, maka hanya subinterval pada yang memuat 0 dan mesti memiliki 0 sebagai tag (d) misalakan didefinisikan pada oleh, jika x = 0 atau x =1,, jika,, jika 35
Maka adalah gauge pada I Adanya -Fine Partition 555 Teorema Jika sebuah gauge pada interval, maka terdapaat sebuah -fine partition Bukti Misalkan E merupakan himpunan untuk semua titik sedemikian sehingga terdapat sebuah -fine partition di subinterval Himpunan E tidak kosong, karena pasangan adalah -fine partition interval ketika dan Kita akan tunjukkan bahwa dan u = b Kita nyatakan bahwa Karena,, terdapat sedemikian sehingga Misalkan sebuah -fine partition dan misalkan Maka sebuah -fine partition, sehingga Jika, misalkan sedemikian sehingga Jika sebuah -fine partition, kita misalkan Maka sebuah -fine partition, di mana Tetapi ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa u batas atas E oleh karena u = b Beberapa Aplikasi Bukti alternatif teorema 532 Teorema Keterbatasan Karena f kontinu pada I, maka terdapat sedemikian sehingga jika dan, maka Sehingga sebuah gauge pada I Misalkan sebuah -fine partition I dan misalkan dengan, dimana Menurut lemma 553, diberikan terdapat I 36
Karena berubah-ubah, maka f terbatas oleh i + K pada I Bukti alternatif teorema 534 Teorema Maksimum-Minimum Kita akan buktikan adanya Misalkan dan Karena f kontinu pada I, untuk setiap terdapat sedemikian sehingga jika dan, maka Sehingga sebuah gauge pada I, dan jika adalah -fine partition pada I, kita misalkan Dari lemma 553, diberikan, terdapat i dengan, di mana Karena berubah-ubah, maka yakni sebuah batas atas untuk f pada I, bertentangan dengan definisi M sebagai supremum pada f Bukti Pengganti Teorema 543 Teorema Kontinu Seragam Misalkan Karena f kontinu pada, terdapat sedemikian sehingga jika dan, maka Jadi, adalah sebuah gauge pada I Jika, adalah sebuah fine-partition di I, misalkan dengan maka Andaikan dan dan pilih i Karena, Oleh karena itu, f kontinu keseluruhan pada I 37
56 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Teorema 561 Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing pada I Misalkan c I bukan suatu endpoint dari I Maka (i) (ii) Bukti (i) Jika dan, maka Karenanya himpunan, yang nonvoid nilai c bukan suatu endpoint dari I, terbatas dengan f(c) Indikasi ada supremum ; dinotasikan dengan L Jika, maka L bukanlah batas atas dari himpunan ini Karenanya ada sehingga L < f ( L Nilai f increasing, kita dedukasikan jika dan jika 0 < c y <, maka < y < c sehingga L < f ( ) f (y) L Karenanya f (y) L < dimana 0 < c y < (ii) Pembuktiannya sama dengan (i) Berikut adalah kriteria untuk kekontinuan dari suatu fungsi f pada satu ttik c yang bukan endpoint dari interval pada f 562 Corollary Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing pada I Misalkan c I bukan suatu endpoint dari I Maka statemen berikut berikut ekuivalen (a) f kontinu pada c (b) (c) Teorema 563 38
Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R increasing pada I Jika c I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika Bukti Jika c bukan endpoint, berikut ini mengikuti corollary 562 Jika c I adalah endpoint kiri dari I, maka f kontinu pada c jika dan hanya jika f(c) =, yang ekuivalen denga n Begitu juga endpoint kanan Teorema 564 Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R monoton pada I Maka himpunan dari titik-titik D I pada f yang tidak kontinu adalah contable himpunan Bukti Kita notasikan f increasing, maka untuk semua c I Jika a < < b, (1) f(a) f(a) + + + + f(b), maka berikut ini + + f(b) - f(a) (2) h(x + y) = h(x) + h(y) untuk semua x, y R, dan jika h kontinu pada satu titik, maka h kontinu pada setiap titik dari R Fungsi Invers Teorema Invers Kontinu 565 Misalkan I R suatu interval dan misalkan f : I R strictly monoton dan kontinu pada I Maka fungsi g invers f strictly monoton dan kontinu pada J = f(i) Definisi 566 (i) Jika m, n N dan x 0, Kita definisikan 39
(ii) Jika m, n N dan x > 0, Kita definisikan Teorema 567 Jika m Z, n N dan x > 0, maka Bukti Jika x > 0 dan m, n Z, maka Sekarang misalkan y = = > 0 sehingga 40