PERHITUNGAN NILAI-NILAI AKTUARIA DENGAN ASUMSI TINGKAT SUKU BUNGA BERUBAH SECARA STOKASTIK Kumala Dewi S.; Ferry Jaya Permana; Farah Kristiani Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi dan Ilmu Sains, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung farah@unpar.ac.id ABSTRACT Insurance company provides a product that solves economic unsteadiness as result of losing a member of family. It is a contract that provides a benefit to endured side s heir when he/she die after pay premium to the company every period of time since the contract is signed. In present value of benefit and premium calculation, interest rate is needed. Since years ago, present value of benefit and annuity is calculated under assumption that interest rate is constant. In more realistic model, interest rate is always changing because of many factors as inflation, the amount of money at the market, etc. In this research writer intends to discuss about present value of benefit and premium insurance calculation under assumption stochastic interest rate that follow Vasicek model and CIR (Cox- Ingersol-Ross) model. Beside of interest rate, in present value of benefit and premium calculation, survival function is also needed. Writer will use two data, those are data of US population between 1979-1981 and the approximation using Gompertz Mortality Law assumption. Keywords: benefit, premium, interest rate, stochastic, gompertz ABSTRAK Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk untuk menanggulangi guncangan ekonomi akibat kehilangan seorang anggota keluarga. Produk tersebut berupa kontrak yang menyediakan manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi kepada perusahaan asuransi setiap periode waktu sejak kontrak ditandatangani. Dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, dibutuhkan tingkat suku bunga. Selama ini, nilai tunai manfaat dan anuitas dihitung dengan tingkat suku bunga konstan. Pada model yang lebih realistis, tingkat suku bunga selalu berubah karena banyak faktor seperti inflasi, banyaknya uang yang beredar dalam masyarakat, dan sebagainya. Pada penelitian ini, akan dibahas perhitungan nilai tunai manfaat dan premi asuransi jiwa dengan tingkat suku bunga berubah secara stokastik yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Selain tingkat suku bunga, dalam perhitungan nilai tunai manfaat dan premi, juga dibutuhkan fungsi hidup. Penulis akan menggunakan dua data, yaitu data penduduk Amerika Serikat antara tahun 1979-1981 dan pendekatannya dengan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Kata kunci: manfaat, premi, suku bunga, stokastik, gompertz Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 149
PENDAHULUAN Perusahaan asuransi menyediakan sebuah produk berupa kontrak perjanjian yang menyediakan pembayaran manfaat kepada ahli waris pihak tertanggung ketika meninggal setelah pemegang kontrak membayar premi setiap periode waktu. Perhitungan manfaat dan premi membutuhkan tingkat suku bunga. Pada kenyataannya tingkat suku bunga selalu berubah karena berbagai faktor. Perubahannya pun tidak dapat diprediksi. Pada penelitian ini, penulis menggunakan model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross) untuk tingkat suku bunga yang berubah secara stokastik. Perhitungan yang digunakan akan didasarkan pada tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 dan pendekatan modelnya dengan menggunakan asumsi Hukum Mortalita Gompertz. Setelah pendekatan model dilakukan dan data dipergunakan, akan dilihat pula tingkat error dari masing-masing nilai aktuaria meliputi error nilai tunai manfaat, nilai tunai anuitas dan nilai premi. Akan dianalisa juga bagaimana pengaruh usia pihak tertanggung pada saat penandatangan kontrak terhadap besaran nilai-nilai aktuaria yang ada. METODE Dari (Bowers dkk, 1997) diketahui bahwa Pr menyatakan seseorang yang berusia tahun akan meninggal sebelum usia tahun dan Pr menyatakan seseorang yang berusia tahun akan bertahan hidup hingga usia tahun dengan peubah acak yang menyatakan sisa usia seseorang. dan dapat dikaitkan dengan fungsi hidup, yaitu 1 1 2 Untuk menyatakan peluang seseorang akan meninggal dan bertahan hidup hingga 1 tahun digunakan notasi dan. Dalam ilmu aktuaria, menyatakan peluang seseorang mengalami kematian mendadak pada usia tahun dan dinyatakan dengan 3 Selain itu, juga dapat dilihat relasinya dengan fungsi hidup, yaitu exp 4 Pr dapat dinyatakan dengan yang merupakan fungsi distribusi dari peubah acak. Oleh karena itu, fungsi densitas dari peubah acak dapat diperoleh 5 Selain menggunakan tabel mortalita, ada pendekatan lain untuk menghitung nilai-nilai aktuaria, yaitu menggunakan hukum mortalita. Ada beberapa penemu hukum mortalita yang cukup 150 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
terkenal seperti De Moivre, Gompertz, Makeham, dan Weibull. Hukum mortalita yang dipakai pada pembahasan ini adalah hukum mortalita Gompertz, di mana,, 0,, 0 Misal menyatakan fungsi peubah acak manfaat, menyatakan fungsi peubah acak diskon, maka peubah acak untuk nilai tunai manfaat asuransi seumur hidup untuk 0 adalah Misalkan pembayaran manfaat sebesar 1 unit pada akhir periode pihak tertanggung meninggal, yaitu pada saat, maka nilai tunai manfaat asuransi hidup untuk 0 adalah Actuarial Present Value (APV) untuk adalah 1 exp exp 6 Misalkan pembayaran anuitas sebesar 1 unit pada awal setiap periode, maka nilai tunai anuitas hidup untuk 0 adalah Actuarial Present Value (APV) untuk adalah exp 7 Dari persamaan (6) dan (7) dapat dihitung premi tahunan yang harus dibayar oleh nasabah dengan tingkat suku bunga konstan adalah sebesar 8 Untuk tingkat suku bunga stokastik yang dipakai adalah tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR (Cox-Ingersol-Ross). Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model Vasicek jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) Misal menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek. exp 2 0 4 9 dengan Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 151
Tingkat suku bunga dikatakan mengikuti model CIR jika pergerakan tingkat suku bunganya mengikuti persamaan diferensial berikut (Hull, 2003) Misal menyatakan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR. 2 exp 2 exp exp 2 0 exp 1 exp 10 dengan 2 dan menyatakan tingkat suku bunga saat, menyatakan tingkat suku bunga jangka panjang, menyatakan kecepatan penyesuaian tingkat suku bunga terhadap tingkat suku bunga jangka panjang, menyatakan volatilitas, menyatakan proses Wiener, dan 0,,, merupakan konstanta positif. Parameter Pada Hukum Mortalita Gompertz Fungsi distribusi kumulatif pada hukum mortalita Gompertz untuk peubah acak adalah 1 exp ln 1 Dengan mengambil 1 dan menggunakan aljabar penjumlahan dan perkalian biasa serta sifat eksponensial diperoleh 1 1 ln ln ln ln 1 ln Dengan menggunakan metode Linear Least Square diperoleh 0,0002 1,0744 sehingga fungsi distribusi kumulatif hukum mortalita untuk penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 adalah 1 exp 2,7886 10 1,0744 1,0744 1 11 Akan selalu ada error dalam penggunaan asumsi hukum mortalita Gompertz pada tabel mortalita yang mengakibatkan adanya error pada perhitungan nilai-nilai aktuaria. Setelah dihitung, diperoleh hasil error relatif rata-rata untuk fungsi,,, dan masing-masing adalah sebesar 9,9661; 26,9280; 33,7318; dan 27,4343. Hal ini disebabkan oleh hukum mortalita Gompertz yang hanya memperhitungkan faktor usia saja, padahal dalam data tabel mortalita tidak hanya faktor usia saja yang diperhitungkan, sehingga faktor-faktor lain yang mempengaruhi dalam data tabel mortalita tidak terhitung pada hukum mortalita Gompertz. 152 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
Nilai-Nilai Aktuaria Dengan menggunakan program MATLAB, diperoleh nilai-nilai aktuaria untuk tiga model tingkat suku bunga untuk berbagai usia tertanggung saat penandatanganan kontrak dan berbagai parameter,, dan. Setiap perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan dua data, yaitu data dari hukum mortalita Gompertz dan data dari tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981. Hasil HASIL DAN PEMBAHASAN Nilai tunai manfaat akan dihitung dengan menggunakan persamaan (6) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 1 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,0995 0,0994 0,0889 0,0888 0,055 0,20 0,1741 0,1021 0,1639 0,0915 0,35 0,7297 0,1077 0,7506 0,0970 0,0643 0,0642 0,0549 0,0548 1,1 0,070 0,20 0,1169 0,1036 0,0661 0,1061 0,0930 0,0566 0,35 0,3695 0,0699 0,3675 0,0603 0,0499 0,0499 0,0415 0,0415 0,080 0,20 0,0764 0,0514 0,0665 0,0429 0,35 0,2436 0,0544 0,2357 0,0457 0,0992 0,0992 0,0886 0,0886 0,055 0,20 0,1167 0,1000 0,1060 0,0895 0,35 0,1678 0,1018 0,1574 0,0912 0,0637 0,0637 0,0544 0,0544 2,0 0,070 0,20 0,1169 0,0731 0,0643 0,1061 0,0634 0,0549 0,35 0,0998 0,0655 0,0893 0,0561 0,0493 0,0493 0,0410 0,0410 0,080 0,20 0,0558 0,0498 0,0470 0,0414 0,35 0,0736 0,0507 0,0638 0,0423 0,0991 0,0991 0,0886 0,0885 0,055 0,20 0,1065 0,0995 0,0958 0,0889 0,35 0,1242 0,1003 0,1134 0,0897 0,0635 0,0635 0,0542 0,0542 3,0 0,070 0,20 0,1169 0,0675 0,0637 0,1061 0,0580 0,0545 0,35 0,0769 0,0643 0,0670 0,0550 0,0491 0,0491 0,0408 0,0408 0,080 0,20 0,0518 0,0493 0,0433 0,0410 0,35 0,0582 0,0497 0,0493 0,0414 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 153
Tabel 2 Nilai Tunai Manfaat untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,1525 0,1524 0,1377 0,1375 0,055 0,20 0,2398 0,1558 0,2277 0,1410 0,35 0,7591 0,1626 0,7819 0,1479 1,1 0,1065 0,1064 0,0915 0,0914 0,070 0,20 0,1739 0,1574 0,1090 0,1594 0,1427 0,0940 0,35 0,4384 0,1142 0,4378 0,0992 0,0863 0,0862 0,0718 0,0717 0,080 0,20 0,1227 0,0884 0,1077 0,0738 0,35 0,3134 0,0927 0,3053 0,0780 0,1521 0,1521 0,1373 0,1372 0,055 0,20 0,1737 0,1532 0,1592 0,1383 0,35 0,2330 0,1553 0,2205 0,1406 2,0 0,1056 0,1056 0,0907 0,0907 0,070 0,20 0,1739 0,1184 0,1064 0,1594 0,1034 0,0915 0,35 0,1528 0,1080 0,1380 0,0931 0,0852 0,0852 0,0709 0,0709 0,080 0,20 0,0945 0,0859 0,0798 0,0715 0,35 0,1189 0,0873 0,1040 0,0729 0,1520 0,1520 0,1371 0,1371 0,055 0,20 0,1612 0,1524 0,1465 0,1376 0,35 0,1826 0,1534 0,1684 0,1386 0,1052 0,1052 0,0904 0,0904 3,0 0,070 0,20 0,1739 0,1107 0,1056 0,1594 0,0958 0,0908 0,35 0,1233 0,1063 0,1084 0,0915 0,0848 0,0848 0,0705 0,0705 0,080 0,20 0,0888 0,0851 0,0744 0,0708 0,35 0,0979 0,0857 0,0832 0,0714 Tabel 3 Nilai Tunai Manfaat Untuk Pihak Tertanggung berusia 45 tahun 0,2265 0,2263 0,2149 0,2147 0,055 0,20 0,3226 0,2303 0,3160 0,2189 0,35 0,7876 0,2382 0,8140 0,2271 0,1701 0,1700 0,1566 0,1564 1,1 0,070 0,20 0,2511 0,2318 0,1733 0,2406 0,2206 0,1598 0,35 0,5141 0,1798 0,5204 0,1666 0,1435 0,1434 0,1294 0,1293 0,080 0,20 0,1903 0,1463 0,1774 0,1323 0,35 0,3961 0,1520 0,3945 0,1381 0,2259 0,2259 0,2143 0,2143 0,055 0,20 0,2508 0,2271 0,2403 0,2156 0,35 0,3159 0,2297 0,3088 0,2183 0,1687 0,1687 0,1552 0,1552 2,0 0,070 0,20 0,2511 0,1849 0,1697 0,2406 0,1719 0,1563 0,35 0,2265 0,1718 0,2150 0,1585 0,1418 0,1417 0,1278 0,1278 0,080 0,20 0,1541 0,1426 0,1404 0,1287 0,35 0,1855 0,1445 0,1726 0,1306 0,2257 0,2257 0,2141 0,2141 0,055 0,20 0,2364 0,2263 0,2253 0,2147 0,35 0,2610 0,2274 0,2510 0,2159 0,1681 0,1681 0,1547 0,1547 3,0 0,070 0,20 0,2511 0,1751 0,1686 0,2406 0,1619 0,1552 0,35 0,1910 0,1696 0,1782 0,1562 0,1411 0,1411 0,1272 0,1272 0,080 0,20 0,1464 0,1415 0,1326 0,1276 0,35 0,1585 0,1423 0,1449 0,1285 154 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai manfaat baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Nilai Tunai Anuitas Nilai tunai anuitas akan dihitung dengan menggunakan persamaan (7) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 4 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 16,8902 16,8817 17,2038 17,1950 0,055 0,20 21,3484 17,0729 21,8739 17,3944 0,35 41,8409 17,4468 43,6237 17,7848 14,0828 14,0770 14,2864 14,2804 1,1 0,070 0,20 18,0697 17,1132 14,2446 18,4348 17,4388 14,4542 0,35 29,8149 14,5742 30,8247 14,7961 12,6764 12,6717 12,8326 12,8278 0,080 0,20 15,0764 12,8246 15,3187 12,9857 0,35 24,5853 13,1260 25,2910 13,2973 16,8533 16,8507 17,1660 17,1632 0,055 0,20 18,0487 16,9117 18,4134 17,2269 0,35 21,0858 17,0357 21,5945 17,3561 13,9788 13,9770 14,1806 14,1787 2,0 0,070 0,20 18,0697 14,8071 14,0308 18,4348 15,0392 14,2345 0,35 16,8624 14,1403 17,1768 14,3478 12,5406 12,5391 12,6948 12,6933 0,080 0,20 13,2044 12,5884 13,3801 12,7442 0,35 14,8283 12,6887 15,0619 12,8477 16,8388 16,8376 17,1512 17,1500 0,055 0,20 17,3596 16,8654 17,6941 17,1788 0,35 18,5358 16,9222 18,9222 17,2380 13,9356 13,9348 14,1367 14,1359 3,0 0,070 0,20 18,0697 14,2981 13,9593 18,4348 14,5121 14,1612 0,35 15,1086 14,0096 15,3525 14,2133 12,4838 12,4832 12,6373 12,6366 0,080 0,20 12,7751 12,5056 12,9377 12,6598 0,35 13,4225 12,5517 13,6063 12,7073 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 155
Tabel 5 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 15,8782 15,8710 16,3406 16,3330 0,055 0,20 19,5643 16,0330 20,2481 16,5042 0,35 34,7669 16,3489 36,5062 16,8383 13,4474 13,4423 13,7806 13,7753 1,1 0,070 0,20 16,8752 16,0582 13,5892 17,3943 16,5332 13,9298 0,35 26,1066 13,8773 27,2297 14,2329 12,1965 12,1923 12,4692 12,4649 0,080 0,20 14,3101 12,3288 14,6897 12,6079 0,35 22,1048 12,5972 22,9584 12,8894 15,8443 15,8420 16,3055 16,3031 0,055 0,20 16,8557 15,8940 17,3741 16,3580 0,35 19,3660 15,9995 20,0343 16,4694 13,3490 13,3474 13,6794 13,6777 2,0 0,070 0,20 16,8752 14,0758 13,3948 17,3943 14,4431 13,7275 0,35 15,8472 13,4912 16,3099 13,8287 12,0668 12,0655 12,3362 12,3348 0,080 0,20 12,6606 12,1098 12,9579 12,3811 0,35 14,0918 12,1997 14,4607 12,4752 15,8309 15,8299 16,2917 16,2906 0,055 0,20 16,2740 15,8535 16,7594 16,3155 0,35 17,2652 15,9020 17,8071 16,3666 13,3081 13,3073 13,6373 13,6366 3,0 0,070 0,20 16,8752 13,6275 13,3290 17,3943 13,9727 13,6592 0,35 14,3367 13,3733 14,7181 13,7058 12,0125 12,0119 12,2805 12,2799 0,080 0,20 12,2741 12,0321 12,5541 12,3010 0,35 12,8519 12,0736 13,1594 12,3443 Tabel 6 Nilai Tunai Anuitas untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Yahun 14,4593 14,4537 14,9736 14,9676 0,055 0,20 17,3028 14,5819 17,9981 15,1038 0,35 27,8223 14,8313 29,2274 15,3687 12,4850 12,4808 12,8824 12,8780 1,1 0,070 0,20 15,2476 14,5914 12,6016 15,8104 15,1158 13,0059 0,35 22,0045 12,8378 23,0160 13,2560 11,4372 11,4337 11,7760 11,7723 0,080 0,20 13,1858 11,5484 13,6257 11,8934 0,35 19,1510 11,7731 19,9720 12,1309 14,4294 14,4276 14,9425 14,9405 0,055 0,20 15,2302 14,4691 15,7923 14,9845 0,35 17,1687 14,5530 17,8530 15,0736 12,3950 12,3937 12,7892 12,7877 2,0 0,070 0,20 15,2476 12,9944 12,4330 15,8104 13,4230 12,8293 0,35 14,4260 12,5127 14,9399 12,9136 11,3172 11,3161 11,6519 11,6507 0,080 0,20 11,8180 11,3535 12,1802 11,6902 0,35 13,0044 11,4295 13,4343 11,7703 14,4175 14,4167 14,9300 14,9292 0,055 0,20 14,7706 14,4356 15,3045 14,9492 0,35 15,5526 14,4743 16,1344 14,9902 12,3574 12,3568 12,7502 12,7496 3,0 0,070 0,20 15,2476 12,6224 12,3748 15,8104 13,0302 12,7686 0,35 13,2057 12,4116 13,6471 12,8075 11,2667 11,2662 11,5997 11,5992 0,080 0,20 11,4885 11,2834 11,8335 11,6173 0,35 11,9750 11,3185 12,3467 11,6543 156 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai tunai anuitas baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Premi Premi akan dihitung dengan menggunakan persamaan (8) dengan ekspektasi dari nilai tunai pembayaran sebesar 1 unit pada saat untuk tingkat suku bunga yang beragam yaitu konstan sebesar 5%, mengikuti model Vasicek pada persamaan (9) dan model CIR pada persamaan (10) dengan r(0) = 5%. Tabel 7 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 25 Tahun 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0082 0,0060 0,0075 0,0053 0,35 74 0,0062 72 0,0055 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 1,1 0,070 0,20 0,0065 0,0061 0,0046 0,0058 0,0053 0,0039 0,35 24 0,0048 19 0,0041 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0051 0,0040 0,0043 0,0033 0,35 0,0099 0,0041 0,0093 0,0034 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0065 0,0059 0,0058 0,0052 0,35 0,0080 0,0060 0,0073 0,0053 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 2,0 0,070 0,20 0,0065 0,0049 0,0046 0,0058 0,0042 0,0039 0,35 0,0059 0,0046 0,0052 0,0039 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0042 0,0040 0,0035 0,0033 0,35 0,0050 0,0040 0,0042 0,0033 0,0059 0,0059 0,0052 0,0052 0,055 0,20 0,0061 0,0059 0,0054 0,0052 0,35 0,0067 0,0059 0,0060 0,0052 0,0046 0,0046 0,0038 0,0038 3,0 0,070 0,20 0,0065 0,0047 0,0046 0,0058 0,0040 0,0038 0,35 0,0051 0,0046 0,0044 0,0039 0,0039 0,0039 0,0032 0,0032 0,080 0,20 0,0041 0,0039 0,0033 0,0032 0,35 0,0043 0,0040 0,0036 0,0033 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 157
Tabel 8 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 35 Tahun 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0,20 23 0,0097 12 0,0085 0,35 0,0218 0,0099 0,0214 0,0088 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 1,1 0,070 0,20 03 0,0098 0,0080 0,0092 0,0086 0,0067 0,35 68 0,0082 61 0,0070 0,0071 0,0071 0,0058 0,0058 0,080 0,20 0,0086 0,0072 0,0073 0,0059 0,35 42 0,0074 33 0,0061 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0,20 0,0096 03 0,0092 0,0085 0,35 20 0,0097 10 0,0085 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 2,0 0,070 0,20 03 0,0084 0,0079 0,0092 0,0072 0,0067 0,35 0,0096 0,0080 0,0085 0,0067 0,0071 0,0071 0,0057 0,0057 0,080 0,20 0,0075 0,0071 0,0062 0,0058 0,35 0,0084 0,0072 0,0072 0,0058 0,0096 0,0096 0,0084 0,0084 0,055 0,20 0,0099 0,0096 0,0087 0,0084 0,35 06 0,0096 0,0095 0,0085 0,0079 0,0079 0,0066 0,0066 3,0 0,070 0,20 03 0,0081 0,0079 0,0092 0,0069 0,0066 0,35 0,0086 0,0080 0,0074 0,0067 0,0071 0,0071 0,0057 0,0057 0,080 0,20 0,0072 0,0071 0,0059 0,0058 0,35 0,0076 0,0071 0,0063 0,0058 Tabel 9 Nilai Premi untuk Pihak Tertanggung Berusia 45 Tahun 57 57 44 43 0,055 0,20 86 58 76 45 0,35 0,0283 61 0,0279 48 36 36 22 21 1,1 0,070 0,20 65 59 38 52 46 23 0,35 0,0234 40 0,0226 26 25 25 10 10 0,080 0,20 44 27 30 11 0,35 0,0207 29 98 14 57 57 43 43 0,055 0,20 65 57 52 44 0,35 84 58 73 45 36 36 21 21 2,0 0,070 0,20 65 42 37 52 28 22 0,35 57 37 44 23 25 25 10 10 0,080 0,20 30 26 15 10 0,35 43 26 28 11 57 57 43 43 0,055 0,20 60 57 47 44 0,35 68 57 56 44 36 36 21 21 3,0 0,070 0,20 65 39 36 52 24 22 0,35 45 37 31 22 25 25 10 10 0,080 0,20 27 25 12 10 0,35 32 26 17 10 158 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
Dilihat dari ketiga tabel di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, untuk sembarang nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai premi untuk pihak tertanggung tidak terlalu signifikan. Pengaruh parameter cukup signifikan untuk sembarang nilai parameter k dan terhadap nilai premi baik untuk tingkat suku bunga model Vasicek maupun CIR. Tingkat Error Pada pemodelan tabel mortalita menggunakan hukum mortalita, tentu ada perbedaan pada nilainilainya. Begitu pula dengan nilai-nilai aktuaria yang dipengaruhi. Pada subbab ini, akan digunakan error relatif untuk setiap nilai-nilai aktuaria pada berbagai usia nasabah dan berbagai parameter. Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Manfaat Tingkat error untuk nilai tunai manfaat akan dihitung menggunakan data dari tabel 1 dan formula 100% Tabel 10 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan Vasicek CIR 11,9106 11,9245 0,055 0,20 6,2004 11,6130 0,35 2,7916 11,0268 17,1111 17,1239 1,1 0,070 0,20 10,1558 11,3801 16,7514 0,35 0,5485 16,0409 20,2395 20,2506 0,080 0,20 14,9020 19,8730 0,35 3,3333 19,1427 11,9200 11,9241 0,055 0,20 10,1554 11,8279 0,35 6,6051 11,6346 17,1129 17,1167 2,0 0,070 0,20 10,1558 15,4300 17,0023 0,35 11,8122 16,7715 20,2302 20,2335 0,080 0,20 18,7243 20,1183 0,35 15,3210 19,8847 11,9221 11,9240 0,055 0,20 11,1368 11,8809 0,35 9,5213 11,7932 17,1125 17,1142 3,0 0,070 0,20 10,1558 16,3734 17,0632 0,35 14,8055 16,9588 20,2262 20,2277 0,080 0,20 19,5716 20,1764 0,35 18,1506 20,0712 Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 159
Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung juga semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai manfaat untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. Tingkat Error Untuk Nilai Tunai Anuitas Tingkat error untuk nilai tunai anuitas akan dihitung menggunakan data dari tabel 4 dan formula 100% Tabel 11 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 tahun Konstan Vasicek CIR 1,8229 1,8217 0,055 0,20 2,4024 1,8485 0,35 4,0868 1,9002 1,4251 1,4242 1,1 0,070 0,20 1,9807 1,8674 1,4499 0,35 3,2757 1,4999 1,2175 1,2168 0,080 0,20 1,5820 1,2408 0,35 2,7903 1,2879 1,8216 1,8213 0,055 0,20 1,9805 1,8296 0,35 2,3556 1,8463 1,4231 1,4228 2,0 0,070 0,20 1,9807 1,5430 1,4307 0,35 1,8303 1,4468 1,2150 1,2148 0,080 0,20 1,3135 1,2222 0,35 1,5506 1,2373 1,8213 1,8212 0,055 0,20 1,8903 1,8249 0,35 2,0417 1,8324 1,4225 1,4224 3,0 0,070 0,20 1,9807 1,4744 1,4259 0,35 1,5892 1,4332 1,2143 1,2142 0,080 0,20 1,2569 1,2175 0,35 1,3512 1,2243 Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan, tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung akan semakin kecil. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai tunai anuitas untuk pihak tertanggung juga akan semakin besar. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. 160 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162
Tingkat Error Untuk Premi Tingkat error untuk premi akan dihitung menggunakan data dari tabel 7 dan formula 100% Tabel 12 Tingkat Error (%) untuk Pihak Tertanggung yang Berusia 25 Tahun Konstan Vasicek CIR 13,9885 14,0013 0,055 0,20 8,8145 13,7150 0,35 1,3504 13,1775 18,8042 18,8161 1,1 0,070 0,20 12,3817 13,4996 18,4691 0,35 3,9537 17,8079 21,7214 21,7318 0,080 0,20 16,7490 21,3791 0,35 6,2994 20,6973 13,9966 14,0004 0,055 0,20 12,3812 13,9119 0,35 9,1769 13,7345 18,8035 18,8071 2,0 0,070 0,20 12,3817 17,2390 18,7006 0,35 13,8969 18,4858 21,7090 21,7121 0,080 0,20 20,3045 21,6045 0,35 17,1373 21,3867 13,9984 14,0001 0,055 0,20 13,2780 13,9606 0,35 11,8041 13,8800 18,8025 18,8041 3,0 0,070 0,20 12,3817 18,1149 18,7565 0,35 16,6594 18,6594 21,7041 21,7055 0,080 0,20 21,0937 21,6576 0,35 19,7690 21,5596 Dari table di atas, dapat diketahui bahwa semakin besar nilai parameter k dan, tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung akan semakin besar. Sedangkan untuk parameter, semakin besar nilainya, tingkat error nilai premi untuk pihak tertanggung juga akan semakin kecil. Hal ini ternyata berlaku untuk kondisi pihak tertanggung berusia 25, 35 dan 45 tahun. Analisa Model Berdasarkan tabel-tabel aktuaria di atas, dapat diketahui bahwa pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek, semakin besar parameter, pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Sedangkan pada tingkat suku bunga yang mengikuti model CIR, parameter tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai parameter terhadap nilai-nilai aktuaria. Parameter cukup berpengaruh terhadap nilai-nilai aktuaria pada tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek maupun CIR untuk setiap nilai dan. Selain itu, usia nasabah saat penandatanganan kontrak juga berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria. Semakin tinggi usia nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitasnya semakin kecil. Perhitungan Nilai-Nilai... (Kumala Dewi S.; dkk) 161
Berdasarkan tabel-tabel tingkat error, dapat diketahui bahwa semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi tingkat error untuk nilai tunai manfaat yang terjadi akibat pemodelan tabel mortalita dengan hukum mortalita Gompertz, begitu juga sebaliknya. Hal ini disebabkan oleh tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 25 tahun lebih banyak dibandingkan dengan tingkat error yang terakumulasi pada usia nasabah 35 tahun dan 45 tahun. Untuk nilai tunai anuitas, dapat diketahui bahwa tingkat error-nya paling kecil bila dibandingkan dengan tingkat error untuk nilai tunai manfaat dan premi. Hal ini disebabkan oleh nilai tunai anuitas hanya dipengaruhi oleh fungsi, di mana diketahui bahwa tingkat error relatif fungsi paling kecil bila dibandingkan dengan fungsi-fungsi yang lain, yaitu 9,9661%. Secara umum, kondisi seseorang yang berusia 25 tahun dan 35 tahun lebih prima bila dibandingkan dengan kondisi seseorang yang berusia 45 tahun, sehingga pada usia 25 tahun dan 35 tahun, seseorang lebih berani mengambil risiko yang akhirnya meningkatkan peluang hazard dibandingkan untuk usia 45 tahun. Padahal data pada tabel mortalita sudah memperhitungkan peluang hazard-nya. Oleh karena itu, tingkat error premi pada usia 25 dan 35 tahun lebih besar dibandingkan dengan tingkat error premi pada usia 45 tahun. PENUTUP Tabel mortalita penduduk Amerika Serikat periode tahun 1979-1981 kurang sesuai jika dimodelkan dengan hukum mortalita Gompertz karena hukum mortalita Gompertz hanya memperhitungkan kematian yang disebabkan oleh faktor usia saja, padahal data dalam tabel mortalita tercatat kematian yang tidak hanya disebabkan oleh faktor usia saja. Hal ini dilihat dari adanya perbedaan nilai antara nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan tabel mortalia dengan nilai-nilai aktuaria yang dihitung dengan Hukum Mortalita Gompertz. Semakin tinggi usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin tinggi juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin rendah. Dengan kata lain, semakin rendah usia seorang nasabah saat penandatanganan kontrak, semakin rendah juga nilai tunai manfaat asuransi dan premi yang harus dibayar oleh nasabah, tetapi nilai tunai anuitas hidupnya akan semakin tinggi. Untuk pengaruh nilai parameter-parameter pada model tingkat suku bunga stokastik, dapat dilihat bahwa pada model tingkat suku bunga Vasicek, semakin besar nilai parameter k, pengaruh parameter terhadap nilai-nilai aktuaria semakin kecil. Pada model CIR, parameter k tidak terlalu berpengaruh untuk setiap nilai. Parameter sangat berpengaruh pada nilai-nilai aktuaria untuk tingkat suku bunga yang mengikuti model Vasicek dan CIR. Pada pembahasan lebih lanjut dapat digunakan data penduduk Indonesia yang terbaru. Untuk pendekatan modelnya dapat digunakan asumsi Hukum Mortalita Makeham yang tidak hanya memperhitungkan faktor usia saja. Untuk nilai tunai manfaatnya dan anuitas dapat digunakan jenis asuransi selain asuransi jiwa seumur hidup. DAFTAR PUSTAKA Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hickman, J.C., Jones, D.A., & Nesbitt, C. J. (1997). Actuarial Mathematics. Second Ed. Illinois: The Society of Actuaries.. Hull, J. C., (2003), Option, Futures, and Other Derivatives, 5 th ed., Prentice Hall, USA. Noviyanti, L., & Syamsuddin, M. (2005), Life Insurance With Stochastic Interest Rate, 13 th East Asian Actuarial Conference (EAAC), The Westin Resort, Bali, Indonesia, 12-15 September 2005 Zeytun S., Gupta, A. (2007), A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate, Germany: Fraunhofer Institut Techno-und Wirtschaftsmathematik. 162 Jurnal Mat Stat, Vol. 11 No. 2 Juli 2011: 149-162