TEORI ROBBILITS
robabilitas suatu peristiwa adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi. robabilitas peristiwa nilainya antara 0 hingga 1 Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan hasil yang tidak pasti Eksperimen : proses pengumpulan data tentang fenomena tertentu yang menunjukkan adanya variasi dalam hasilnya.
Definisi : Ruang sampel : himpunan dari elemen-elemen yang merupakan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen, ditulis dengan lambang S eristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel, ditulis dengan lambang huruf besar :, B, C. eristiwa sederhana : peristiwa yang hanya mempunyai 1 elemen saja S={a 1, a 2, a 3,.a n } dimana a i adalah elemen yang mungkin dari ruang sampel. Contoh 1: Eksperimen : elemparan sebuah dadu satu kali Hasil : mata dadu yang tampak di atas Ruang sampel : S={1,2,3,4,5,6} Suatu peristiwa : = angka ganjil yang muncul ={1,3,5}
Operasi Himpunan : Union dan B: UB Gabungan dua himpunan dan B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam atau di dalam B termasuk yang ada di dalam keduanya jika ada Interseksi/irisan antara dan B B adalah himpunan semua elemen yang merupakan anggota dan juga anggota B. Komplemen suatu peristiwa adalah himpunan semua elemen yang tidak merupakan anggota. B B B UB
a. robabilitas suatu peristiwa : N = = N S Banyaknya. elemen. dalam. banyak. elemen. dalam. S b. Dua peristiwa dan B saling asing jika irisan kedua himpunan tersebut kosong yaitu B=Ø sehingga berlaku : U B = + B Contoh 2 : Buah Mentimun diklasifikasikan dalam tiga kelompok kualitas yaitu Kualitas I, II dan III. Kualitas I dan II memenuhi syarat sebagai bahan acar dan kualitas III tidak memenuhi standar sebagai bahan acar. Jika diambil secara random 200 buah mentimun dan diperoleh data bahwa 120 buah termasuk dalam kualitas I, 50 termasuk kulaitas II dan 30 buah termasuk
Jawab : Jika : buah mentimun kualitas I B : Buah mentimun kualitas II maka mentimun yang termasuk, bahan acar adalah U B karena kejadian dan B saling asing maka berlaku U B = + B = 120/200 + 50/200 = 0,6 + 0,25 = 0,85 Jadi probabilitas buah mentimun yang dapat digunakan sebagai bahan acar adalah 85%.
c. Kejadian dan B tidak saling asing jika : U B = + B - B d. Kejadian dan B independen : jika kemungkinan terjadinya B tidak dipengaruhi oleh kemungkinan terjadinya. Independen : sampling dengan pengembalian. Maka berlaku : /B = atau B/ = B dan B =. B. e. Jika dan B merupakan dua kejadian dependen maka : /B atau B/ B dan Dependen : sampling tanpa pengembalian.
Contoh 3: kejadian tidak saling asing robablilitas kejadian yaitu kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg adalah 0,3 = 0,3 robalilitas kejadian B yaitu kentang yang dapat ditrima pembeli adalah 0,8 B = 0,8 Jika probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg atau ditrima pembeli adalah 0,9 ᴜ B = 0,9 Maka : probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg dan dapat ditrima pembeli dan B adalah dan B = + B or B = 0,3 + 0,8 0,9 = 0,2
f. robabilitas bersyarat : Jika dan B dua kejadian dengan B>0 maka probabilitas bersyarat kejadian kalau diketahui B telah terjadi adalah : B /B= B g. Jika 1, 2, 3, 4,. k adalak kejadian partisi dari S dan B kejadian sembarang dari S, maka untuk setiap i=1,2,3 k berlaku teorema bayes : /... / / / / 2 2 1 1 k k i i i i B B B B B B B + + + = =
Contoh soal 4 : robabilitas Bersyarat : Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk teh berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian : I : {roduk lolos inspeksi} B : {roduk sesuai dengan standar konsumen} Sehingga : I B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan. I B C : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Jika diketahui berdasarkan pengalaman : I B = 0,80 I B C = 0,02 I C B= 0,15 I C B C = 0,03 Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan tidak sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen.
Jawab : Ditanyakan : probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen B C /I =? B C / I = I B I C I : {roduk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu : I B = roduk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen I B C = roduk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen Jadi I = I B I B C I = I B I B C = 0,80 + 0,02 = 0,82 Sehingga : C C I B 0,02 B / I = = = I 0,82 0,0024
nalisis kombinatorik : 1.turan erkalian Jika suatu percobaan terdiri dari k bagian dan bagian 1 menghasilkan n1 hasil yang berbeda, bagian 2 menghasilkan n2 dan seterusnya bagian k menghasilkan nk maka banyaknya hasil yang berbeda yang mungkin n1xn2xn3x..xnk. 2. turan permutasi : Banyaknya susunan atau urutan yang berbeda dari k obyek yang diambil dari n obyek adalah : n k = n n 1 n 2... n k + 1 Jika k=n maka n k = n n 1 n 2...3X 2X1 = n! n! = n faktorial Konvensi : 0!=1
Contoh soal 5 : turan erkalian Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah banyak hasil yang berbeda yang mungkin? Jawab : Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2 n 1 =2 bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2 n 2 =2 maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah n 1 Xn 2 = 2 X 2 = 4
Contoh soal 6 a: ermutasi Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket tersebut mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya terdiri dari 3 rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula didalam rak bertingkat sangat penting untuk diperhatikan ada berapakah cara untuk menata 3 jenis susu formula dari 5 jenis yang ada secara bergantian? Jawab : Urutan penting Kejadian permutasi Dicari dulu nilai n-k+1=5-3+1=3 5 3 = 5 X 4 X3 = 60 cara.
3. turan kombinasi Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil k obyek adalah : Tidak memperhatikan urutan Contoh soal 7: Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan 3 orang teknisi untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi yang terpilih? Jawab : n k = n! k! n k! Urutan tidak penting Kombinasi Kombinasi 3 dari 10 teknisi : 10 = 3 10! 3!10 3! 10X 9X 8X 7! = 3X 2X1X 7! = 120 cara
4. turan partisi Jika suatu obyek terdiri dari N elemen yang berbeda dan akan dibagi dalam k partisi kelompok atau bagian dimana bagian I beranggotakan n 1 dan bagian II beranggotakan n 2 dan bagian k beranggotakan n k elemen, maka jumlah partisi yang berbeda adalah : n! + n N!! +... + n 1 2 k Dimana n 1 + n 2 +.+ n k =N!
Contoh soal 8: turan artisi Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut akan membagi mejadi 3 kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I membutuhkan 3 orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang analis, dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam permasalahan ini ada berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk membagi tugas tersebut? Jawab : Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n 1 =3, n 2 =4, dan n 3 =5 sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah : N! = n! Xn! Xn! 1 2 3 12! 3! X 4! X 5! = 27.720 alternatif
Kerjakan soal berikut dikumpulkan paling lambat tanggal 15 Oktober 2013 : 1. Sebuah pabrik mempunyai 2 mesin penggiling lateks, penggiling I dalam kondisi idle mengganggur adalah 40%, sedangkan mesin II dalam kondisi mengganggur 30%. Jika kedua alat dipasang paralel indenpenden satu sama lain maka hitunglah : a. Kedua mesin sama-sama mengganggur b. Kedua mesin sama-sama tidak ada yang mengganggur c. Minimal ada satu mesin yang mengganggur. 1. Dari 20 mahasiswa terdiri dari 12 orang laki-laki dan 8 wanita. Jika akan dipilih 4 orang wakil secara rnadom, berapakah probabilitas a. Yang terpilih ada 2 orang yang wanita b. Yang terpilih minimal ada 2 wanita