Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham nalisis Rangkaian Listrik Jilid arpublic

Hak cipta pada penulis, SURHM, SURYTNO nalisis Rangkaian Listrik () arpublic, andung are-7 edisi Juli http://ee-cafe.org lamat pos: Kanayakan -, andung,. Fax: (6) () 7 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

8 Metoda nalisis asar Metoda analisis dikembangkan berdasarkan teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian. Kita akan mempelajari dua kelompok metoda analisis yaitu metoda analisis dasar dan metoda analisis umum. Metoda analisis dasar terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian sederhana, sedangkan untuk rangkaian yang lebih rumit kita memerlukan metoda yang lebih sistematis yaitu metoda analisis umum. Kita mempelajari metoda analisis agar kita dapat melakukan analisis rangkaian sederhana secara manual. Kemampuan melakukan analisis secara manual ini sangat diperlukan untuk memahami sifat dan perilaku rangkaian. i bab ini kita akan mempelajari metoda analisis dasar sedangkan metoda analisis umum akan kita pelajari di bab berikutnya. engan mempelajari metoda analisis dasar kita akan mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda keluaran satu satuan; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda superposisi; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda rangkaian ekialen Théenin atau rangkaian ekialen Norton. Secara garis besar, apa yang dimaksud dengan analisis rangkaian adalah mencari hubungan antara besaran keluaran dan besaran masukan pada suatu rangkaian jika parameter sumua elemen yang menyusun rangkaian tersebut diketahui; atau mencari keluaran rangkaian jika masukannya diketahui. Teorema rangkaian beserta hukum-hukum dan kaidah rangkaian yang telah kita pelajari, menjadi dasar dari metoda-metoda analisis rangkaian yang kita sebut sebagai metoda analisis dasar. alam menggunakan metoda ini kita melakukan perhitungan-perhitungan dengan mengamati bentuk rangkaian yang kita hadapi. Metoda ini terutama digunakan pada rangkaian-rangkaian yang sederhana. Metoda analisis dasar yang akan kita pelajari di sini mencakup: metoda reduksi rangkaian

metoda keluaran satu satuan metoda superposisi metoda rangkaian Théenin dan rangkaian Norton. Masing-masing metoda mempunyai kegunaan tertentu. Kekhususan masing-masing metoda itulah yang mendorong kita untuk mempelajari semua metoda dan tidak terpaku pada salah satu metoda saja. Pemilihan metoda analisis ditentukan oleh apa yang ingin kita capai dalam melakukan analisis. alam metoda analisis dasar, kita melakukan perhitunganperhitungan langsung pada model rangkaian. Melalui latihan yang cukup, kita akan mampu menentukan metoda dan urutan kerja yang singkat serta dapat memahami perilaku rangkaian listrik dengan baik. Metoda ini sangat praktis selama rangkaian yang kita hadapi cukup sederhana. ontoh-contoh yang akan kita lihat untuk memahami metoda-metoda analisis ini mencakup rangkaian pasif (dengan elemen R) dan rangkaian aktif (dengan sumber bebas dan sumber tak-bebas). 8.. Metoda Reduksi Rangkaian Strategi metoda ini adalah mereduksi bentuk rangkaian sedemikian rupa sehingga menjadi rangkaian yang lebih sederhana; dengan rangkaian yang lebih sederhana ini besaran yang dicari dapat dihitung dengan lebih mudah. Untuk menyederhanakan rangkaian, kita dapat menggunakan konsep ekialensi seri-paralel, transformasi Y-, dan transformasi sumber. Yang kita perlukan adalah kejelian dalam melihat struktur rangkaian untuk melakukan penyederhanaan rangkaian. agaimana metoda ini diaplikasikan, kita akan melihat pada contoh-8. berikut ini. O TOH-8.: arilah tegangan x pada rangkaian di bawah ini. x Ω Ω V Ω Ω E Ω Ω Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Penyelesaian: Rangkaian ini mengandung beberapa bagian yang berupa hubungan seri dan hubungan paralel elemenelemen. agianbagian tersebut dapat kita ganti dengan rangkaian ekialennya, dengan memanfaatkan kaidah-kaidah rangkaian yang telah kita pelajari. Proses ini dapat kita amati pada gambar berikut. Langkahlangkah yang kita tempuh adalah sebagai berikut: Sumber tegangan yang tersambung seri dengan V, 6 V Ω x Ω x, Ω Ω Ω Ω Ω Ω E 6, resistor Ω dapat diganti dengan sebuah sumber arus yang diparalel dengan resistor, sedang sambungan seri resistor & Ω di cabang E dapat diganti dengan sebuah resistor. Penggantian ini menghasilkan angkaian dengan dua pasang resistor paralel Ω, yang masing-masing dapat diganti dengan satu resistor Ω. engan langkah ini sumber arus terparalel dengan resistor Ω, yang kemudian dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan yang disambung Ω E Ω E Ω x Ω Ω E Ω Ω Ω Ω V

seri dengan sebuah resistor Ω; bagian lain berupa dua resistor dan Ω yang tersambung seri. Rangkaian kita menjadi sebuah sumber tegangan dengan sambungan seri tiga buah resistor, dan tegangan yang kita cari dapat kita peroleh dengan memanfaatkan kaidah pembagi tegangan; hasilnya x, V. Pemahaman: Untuk mengaplikasikan metoda ini kita harus dengan seksama memperhatikan bagian-bagian yang dapat disederhanakan. Pada dasarnya kita melakukan ekialensi bagian-bagian yang berada di antara dua simpul. agian yang telah digantikan oleh rangkaian ekialennya, masih dapat digabungkan dengan bagian lain yang juga telah digantikan oleh rangkaian ekialennya. 8.. Metoda Keluaran Satu Satuan (Unit Output Method) Metoda unit output adalah suatu teknik analisis yang berbasis pada proporsionalitas dari rangkaian linier. Metoda ini pada dasarnya adalah mencari konstanta K yang menentukan hubungan antara masukan dan keluaran, dengan mengganggap bahwa keluarannya adalah satu unit. tas dasar itu ditentukan berapa besarnya masukan yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit keluaran tersebut. Teknik ini dapat diaplikasikan pada rangkaian berbentuk tangga. Langkah-langkahnya adalah sbb:. Misalkan keluarannya adalah satu unit (tegangan ataupun arus). Secara berurutan gunakan HK, HTK, dan hukum Ohm untuk mencari masukan.. Sifat proporsional dari rangkaian linier mengharuskan (keluaran) K (masukan) (masukan untuk satu unit keluaran) (8.). Keluaran untuk sembarang masukan adalah K masukan. 6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

O TOH-8.: arilah tegangan keluaran o dari rangkaian di samping ini. i i i 6 V Ω Ω i i Ω Ω Ω Ω o Penyelesaian: Kita misalkan tegangan o V. Kemudian secara berturut turut kita hitung i,, i, i,, i, i, dan akhirnya s yaitu tegangan sumber jika keluarannya V. ari sini kemudian kita hitung faktor proporsionalitas K, dan dengan nilai K yang diperoleh ini kita hitung o yang besarnya adalah K kali tegangan sumber sebenarnya (yaitu 6 V). Misalkan V i o o,, V ( ) i, i i i, i V i, i i i,8 s i,8 8 V K o( seharusnya) K 6 V s 8 8.. Metoda Superposisi Prinsip superposisi dapat kita manfaatkan untuk melakukan analisis rangkaian yang mengandung lebih dari satu sumber. Langkahlangkah yang harus diambil adalah sebagai berikut:. Matikan semua sumber (masukan) kecuali salah satu di antaranya, dan hitung keluaran rangkaian yang dihasilkan oleh satu sumber ini.. Ulangi langkah, sampai semua sumber mendapat giliran.. Keluaran yang dicari adalah kombinasi linier (jumlah aljabar) dari kontribusi masing-masing sumber. 7

O TOH-8.: Rangkaian di samping ini mengandung dua sumber. arilah tegangan keluaran V o. V Ω _, Ω V o Penyelesaian : Matikan sumber arus. Rangkaian menjadi seperti gambar di samping ini. V o V Matikan sumber tegangan. Rangkaian menjadi seperti gambar di samping ini. V o. V Tegangan keluaran apabila kedua sumber bekerja bersamasama adalah V V V V o o o 8.. Metoda Rangkaian Ekialen Théenin erikut ini akan kita lihat aplikasi teorema Théenin dalam analisis rangkaian. O TOH-8.: unakanlah metoda rangkaian ekialen Theenin untuk menghitung tegangan keluaran pada rangkaian di samping ini. V V _ Ω Ω, i Ω i Ω Ω Ω i Ω Ω V o V o 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Penyelesaian : Untuk mencari tegangan sumber Théenin V T di terminal, kita lepaskan beban di, sehingga terbuka, i, dan V T ht ' V Resistansi Théenin R T adalah resistansi yang dilihat dari terminal ke arah sumber dengan sumber dimatikan (dalam hal ini hubung singkat). Maka R T berupa resistor Ω yang terhubung seri dengan dua resistor Ω yang tersambung paralel. Jadi R T Ω Rangkaian ekialen Théenin adalah seperti gambar di samping ini dan kita peroleh o V O TOH-8.: unakan rangkaian ekialen Ω Théenin untuk V menghitung tegangan x pada rangkaian di samping ini. Penyelesaian : V Rangkaian ini telah kita analisis dengan menggunakan metoda reduksi rangkaian. Kita akan mencoba melakukan analisis dengan metoda rangkaian ekialen Théenin. Jika resistor Ω (yang harus kita cari tegangannya) kita lepaskan, maka tidak ada arus mengalir pada cabang-cabang E,, dan E sehingga tegangan simpul sama dengan sama pula dengan E yaitu nol. Tegangan simpul dapat kita cari dengan kaidah pembagi tegangan Ω _ x Ω V. Ω E Ω Ω Ω Ω 9

Tegangan Théenin: V T V. Resistansi Théenin adalah resistansi yang dilihat dari terminal setelah resistor Ω dilepas. R T ( ) V _ { ( ) } Ω Ω Ω x Rangkaian ekialen Théenin dengan bebannya menjadi seperti gambar di samping dan tegangan x mudah dihitung, yaitu : x V 8... eban on Linier Parameter rangkaian ekialen Théenin dan Norton (V T, R T, dan ) dihitung dengan beban dilepas. ni berarti bahwa rangkaian ekialen tersebut merupakan karakteristik sumber dan tidak dipengaruhi oleh beban. Oleh karena itu kita dapat memanfaatkan rangkaian ekialen Théenin dan Norton untuk menentukan tegangan, arus, maupun daya pada beban non linier dua terminal. ni merupakan salah satu hal penting yang dapat kita peroleh dari rangkaian ekialen Théenin dan Norton. agaimana interaksi antara sumber (yang dinyatakan dengan rangkaian ekialen Thénenin-nya) dengan beban yang non-linier, akan kita lihat berikut ini. Kita lihat lebih dahulu karakteristik i- dari suatu rangkaian ekialen Théenin. Perhatikan hubungan rangkaian ekialen Théenin dengan bebannya. agaimanapun keadaan beban, linier atau non-linier, hubungan antara tegangan di terminal beban, yaitu, dengan tegangan V T dapat dinyatakan sebagai V V ir i T T T R T R (8.) T Persamaan (8.) ini memberikan hubungan antara arus i dan tegangan dari rangkaian ekialen Théenin dan merupakan karakteristik i- dari rangkaian sumber. Jika kita gambarkan kura i terhadap maka akan terlihat bahwa persamaan ini merupakan persamaan garis lurus di bidang i- seperti tampak pada b.8.. di Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

samping ini. Perhatikan bahwa garis lurus ini ditentukan oleh dua titik yaitu: VT i ihs dan VT ht R V T T aris lurus itu disebut garis beban (load line) (sebenarnya ia ditentukan oleh parameter-parameter rangkaian b.8.. aris beban sumber dan bukan oleh parameter beban akan tetapi sudah sejak lama nama load line itu disandangnya). Sementara itu beban mempunyai karakteristik i-nya sendiri, yang secara matematis dapat dituliskan sebagai: i f(). engan demikian kita mempunyai dua persamaan yaitu persamaan untuk arus rangkaian sumber yaitu V i T R T R T dan persamaan untuk arus beban yaitu i f() alam analisis rangkaian, kita harus menyelesaikan dua persamaan itu secara simultan. Jika f() diketahui maka penyelesaian persamaan dapat dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnya penyelesaian secara grafis sudah cukup memadai. erikut ini dipaparkan bagaimana cara grafis tersebut dilaksanakan. i titik kerja Misalkan karakteristik i- i beban mempunyai bentuk L Karakteristik i- beban. garis beban tertentu, yang jika dipadukan dengan grafik _ i- sumber (yaitu garis beban) akan terlihat L seperti pada b.8.. b 8.. Penentuan titik kerja. Kedua kura akan berpotongan di suatu titik. Titik potong tersebut memberikan nilai arus i dan tegangan yang memenuhi karakteristik sumber maupun beban. Titik ini disebut titik kerja, atau dalam elektronika disebut Q-point. rus dan tegangan beban adalah i L dan L. i i V T /R T

Perhatikan bahwa apabila rangkaian mengandung elemen non linier prinsip proporsionalitas dan superposisi tidak berlaku. Sebagai contoh, apabila tegangan sumber naik dari menjadi V, arus dan tegangan beban tidak dua kali lebih besar. O TOH-8.6: Rangkaian berikut ini, mempunyai beban resistor non-linier dengan karakteristik i- seperti yang diberikan di sampingnya. Hitunglah daya yang diserap oleh beban. 9V kω kω Ω R L non linier i [m] Penyelesaian : eban dilepas untuk mencari rangkaian ekialen Théenin. VT ht 6 V R Ω T [V] Rangkaian ekialen dan garis beban yang diplot bersama dengan karakteristik i- beban adalah seperti di bawah ini. i [m] V kω R L non linier [V] Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

ari grafik ini kita temukan titik-kerja yang menyatakan bahwa arus yang mengalir adalah m pada tegangan V. Jadi daya yang diserap beban adalah : p L LiL mw. 8... Rangkaian engan Sumber Tak-ebas Tanpa Umpan alik ontoh-contoh persoalan yang kita ambil dalam membahas metodametoda analisis dasar yang telah kita lakukan, adalah rangkaian dengan elemen aktif yang berupa sumber bebas. Metoda analisis dasar dapat pula kita gunakan pada rangkaian dengan sumber takbebas asalkan pada rangkaian tersebut tidak terdapat cabang umpan balik. abang umpan balik adalah cabang yang menghubungkan bagian keluaran dan bagian masukan, sehingga terjadi interaksi antara keluaran dan masukan. pabila rangkaian mempunyai umpan balik, hendaknya digunakan metoda analisis umum (lihat bab selanjutnya). erikut ini kita akan melihat rangkaian-rangkaian dengan sumber tak-bebas tanpa umpan balik. O TOH-8.7: Tentukanlah i s tegangan keluaran o R s serta daya yang s µ o R L R diserap oleh beban R L pada rangkaian dengan sumber tak-bebas VVS di samping ini. Penyelesaian : Rangkaian ini tidak mengandung umpan balik; tidak ada interaksi antara bagian keluaran dan masukan. Tegangan pada loop pengendali dapat diperoleh melalui kaidah pembagi tegangan s R Rs engan demikian maka keluaran VVS adalah : R

µ R o µ R Rs aya yang diserap oleh beban adalah : Pemahaman : p L R o R Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik () L L s µ R s R R Tegangan keluaran VVS berbanding lurus dengan masukannya. Jika nilai µ > maka rangkaian ini berfungsi sebagai penguat (amplifier). Jika µ < rangkaian ini menjadi peredam (attenuator), dan jika µ maka ia menjadi penyangga ( buffer atau follower). Kelebihan dari rangkaian dengan VVS ini dibandingkan dengan rangkaian pasif dapat kita lihat sebagai berikut. Jika kita menghubungkan R L langsung ke terminal (berarti paralel dengan R ) maka tegangan keluaran pada beban adalah s L s R R L o (pasif) R ( R R ) Jika kita bandingkan formulasi o untuk kedua keadaan tersebut akan terlihat bahwa pada rangkaian pasif tegangan keluaran tergantung dari resistansi beban, sedangkan pada rangkaian aktif tegangan keluaran tergantung dari µ tetapi tidak tergantung dari resistansi beban. aya yang diberikan oleh sumber tegangan s adalah : p s i s s s R r aya ini tidak tergantung dari R L, yang berarti bahwa bertambahnya daya yang diserap oleh beban ( p L ) tidak mempengaruhi sumber tegangan s. Keadaan ini mencegah terjadinya interaksi antara beban dan sumber, artinya tersambungnya R L tidak menjadi beban bagi s. aya yang diserap oleh beban berasal dari catu daya pada piranti aktif yang diwakili oleh VVS, yang tidak diperlihatkan pada diagram rangkaian. Sumber tak-bebas memberikan alih daya yang sifatnya unilateral. s s

O TOH-8.8: Tentukan hubungan keluaranmasukan pada rangkaian dengan S di samping ini. Penyelesaian: Untuk mencari o kita memerlukan i yang dapat dicari dengan kaidah pembagi arus. i m ari sini kita mendapatkan i yaitu i i m. Tanda diperlukan karena referensi arah arus i berlawanan dengan arah arus positif sumber arus tak-bebas S. ari sini kita dapatkan: i L i m. Tegangan keluaran: o V o Hubungan keluaran-masukan menjadi: is, Pemahaman: Hasil diatas mengandung tanda negatif. ni berarti bahwa sinyal keluaran berlawanan dengan sinyal masukan. engan kata lain terjadi proses pembalikan sinyal pada rangkaian di atas, dan kita sebut inersi sinyal. O TOH-8.9: arilah rangkaian ekialen Théenin dilihat di terminal, m s dari rangkaian dengan VS di samping ini. R s kω kω R p i Penyelesaian : Tegangan Théenin V T adalah tegangan terminal terbuka (jika beban R L dilepas), yaitu : V s T ht ri r Rs Rp i i i R o r i i L kω kω o i L R L

Tanda ini karena arah referensi tegangan S berlawanan dengan referansi tegangan. rus hubung singkat di terminal jika beban diganti dengan hubung singkat adalah : ri rs i hs Ro Ro ( Rs Rp ) Resistansi Théenin R T adalah : r / r R ht s s T o i R R Ro( R R ) R hs p s s p Rangkaian Théenin yang kita cari adalah seperti gambar di bawah ini. Perhatikan polaritas dari tegangan r R s sr p V T ri. R o R L 6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Soal-Soal. arilah arus yang melalui beban R L dan daya yang diberikan oleh sumber pada rangkaian berikut. a). V Ω Ω Ω Ω R L 7.Ω b). V Ω Ω Ω 6Ω R L Ω Ω Ω Ω Ω Ω R L Ω c).. arilah tegangan keluaran o pada rangkaian berikut ini. erapakah resistansi beban yang harus dihubungkan ke terminal keluaran agar terjadi alih daya maksimum? Ω Ω Ω Ω o. unakan metoda unit output untuk mencari tegangan keluaran V o pada dua rangkaian berikut ini Ω Ω Ω V o Ω V Ω Ω V o. unakan metoda rangkaian ekialen Théenin atau Norton untuk menentukan tegangan dan arus di resistor Ω pada kedua rangkaian berikut ini. Ω Ω Ω V Ω Ω Ω 7

. arilah tegangan dan arus tiap resistor pada rangkaian berikut. Ω 6. Hitunglah daya yang dikeluarkan oleh masing-masing sumber pada soal. Ω V V Ω V 7. Pada rangkaian di samping ini hitunglah arus yang melalui resistor beban R L. kω kω V m kω R L, kω 8. Pada rangkaian di samping ini hitunglah daya yang diserap resistor 8 Ω dan daya masing-masing sumber. Ω 8Ω V Ω, 9. Pada rangkaian berikut ini, hitunglah arus yang melalui beban R L. Ω 7,V - Ω Ω 6Ω R L Ω. erapa µ agar rangkaian berikut ini mempunyai keluaran V. 6V Ω Ω µ kω kω. 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

9 Metoda nalisis Umum engan mempelajari metoda analisis umum kita akan memahami dasar-dasar metoda tegangan simpul; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda tegangan simpul; memahami dasar-dasar metoda arus mesh; mampu melakukan analisis rangkaian dengan menggunakan metoda arus mesh. Metoda analisis umum yang akan kita pelajari mencakup metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh. Pada dasarnya kedua metoda ini dapat kita terapkan pada sembarang rangkaian listrik, walaupun dalam hal-hal tertentu metoda tegangan simpul lebih baik dibandingkan dengan metoda arus mesh, terutama dalam menangani rangkaian-rangkaian elektronik. Metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari suatu persamaan linier yang merupakan diskripsi lengkap dari suatu rangkaian dan kemudian memecahkan persamaan itu dengan memanfaatkan aljabar linier. Metoda ini lebih abstrak dibandingkan dengan metoda-metoda analisis dasar karena kita tidak menangani langsung rangkaian yang kita hadapi melainkan mencari pemecahan dari satu set persamaan yang mewakili rangkaian tersebut. engan metoda ini kita tidak terlibat dalam upaya untuk mencari kemungkinan penyederhanaan rangkaian ataupun penerapan teorema rangkaian. Kita lebih banyak terlibat dalam usaha mencari pemecahan persamaan linier, sehingga agak kehilangan sentuhan dengan rangkaian listrik yang kita hadapi. Namun demikian kerugian itu mendapat kompensasi, yaitu berupa lebih luasnya aplikasi dari metoda tegangan simpul dan metoda arus mesh ini. 9

9.. Metoda Tegangan Simpul ( ode Voltage Method odal nalysis) 9... asar Jika salah satu simpul dalam suatu rangkaian ditetapkan sebagai simpul referensi yang dianggap bertegangan nol, maka tegangan pada simpul-simpul yang lain dapat dinyatakan secara relatif terhadap simpul referensi tersebut. Jika dalam suatu rangkaian terdapat n simpul, sedangkan salah satu simpul ditetapkan sebagai simpul referensi, maka masih ada (n ) simpul yang harus dihitung tegangannya. Jadi untuk menyatakan rangkaian secara lengkap dengan menggunakan tegangan simpul sebagai peubah, diperlukan (n ) buah persamaan. Jika persamaan ini dapat dipecahkan, berarti kita dapat memperoleh nilai tegangan di setiap simpul, yang berarti pula bahwa kita dapat menghitung arus di setiap cabang. asis untuk memperoleh persamaan tegangan simpul adalah persyaratan-persyaratan yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian, yaitu persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian. Persyaratan elemen menyatakan bahwa karakteristik i- dari setiap elemen dalam rangkaian harus dipenuhi. Hal ini berarti bahwa hubungan antara arus cabang (arus yang melalui elemen di cabang tersebut), dengan tegangan simpul (tegangan kedua simpul yang mengapit elemen / cabang yang bersangkutan) ditentukan oleh karakteristik i- elemen yang ada di cabang tersebut. ni berarti pula bahwa arus cabang dapat dinyatakan dengan tegangan simpul. Sebagai contoh, bila sebuah resistor dengan konduktansi berada di antara simpul X dan Y, maka arus cabang tempat resistor itu berada dapat ditulis sebagai ( ) ixy X Y (9.) dengan i XY adalah arus yang mengalir dari X ke Y, X dan Y masing-masing adalah tegangan simpul X dan simpul Y. Sementara itu persyaratan rangkaian, yaitu hukum arus Kirchhoff (HK), juga harus dipenuhi. Oleh karena itu untuk suatu simpul M yang terhubung ke k titik simpul lain melalui konduktansi i (i sampai k), berlaku im k k k i ( M i ) M i ii (9.) i i i Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

dengan M adalah tegangan simpul M, i adalah tegangan simpulsimpul lain yang terhubung ke M melalui konduktansi masingmasing sebesar i. Persamaan (9.) adalah persamaan tegangan untuk satu simpul. Jika persamaan ini kita terapkan untuk (n ) simpul yang bukan simpul referensi maka kita akan memperoleh (n) persamaan yang kita inginkan. Jadi untuk memperoleh persamaan tegangan simpul dari suatu rangkaian, kita lakukan langkah-langkah berikut:. Tentukan simpul referensi umum.. plikasikan persamaan (9.) untuk simpul-simpul yang bukan simpul referensi.. ari solusi persamaan yang diperoleh pada langkah. 9... Kasus-Kasus alam Mencari Persamaan Tegangan Simpul Persamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melalui aplikasi HK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen dengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. erikut ini kita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut. Kasus-: abang-abang erisi Resistor. alam kasus ini persamaan (9.) dapat kita aplikasikan tanpa kesulitan. Perhatikan hubungan simpul-simpul seperti terlihat pada b.9.. i i Walaupun referensi arah arus tidak semuanya meninggalkan simpul i namun hal ini tidak akan menggangu aplikasi persamaan (9.) untuk simpul. b.9.. abang berisi resistor. Persamaan untuk simpul :

( ) (9.) Sekiranya kita menuruti referensi arus pada b.9.. kita akan memperoleh persamaan arus untuk simpul sebagai i i i, yang akan memberikan persamaan tegangan simpul ( ) ( ) ( ) ( ) atau yang tidak lain adalah persamaan (9.) yang diperoleh sebelumnya. Kasus-: abang erisi Sumber rus. Perhatikan b.9.. alam kasus ini kita tidak mengetahui konduktansi yang ada antara simpul dan yang berisi sumber arus bebas. Tetapi hal ini tidak memberikan kesulitan dalam aplikasi (9.) untuk simpul, karena sesungguhnya s persamaan (9.) itu berangkat dari persamaan arus untuk suatu simpul. b.9.. abang berisi sumber arus. engan demikian maka nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itu dapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul. Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harus bertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.). Untuk simpul pada b.9.. persamaan yang diperoleh adalah: ( ) s (9.) Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Kasus-: abang erisi Sumber Tegangan. alam kasus ini terdapat dua kemungkinan. Kemungkinan pertama : salah satu simpul sumber tegangan V s menjadi simpul referensi seperti terlihat pada b.9.. Simpul menjadi b.9.. abang berisi sumber tegangan. simpul terikat, artinya tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber; jadi tegangan simpul tidak perlu lagi dihitung, V s. Kemungkinan yang kedua: simpul-simpul yang mengapit sumber tegangan bukan merupakan simpul referensi seperti terlihat pada b.9.. alam hal terakhir ini, sumber tegangan beserta kedua simpul yang mengapitnya kita jadikan sebuah simpulsuper (super-node). Jadi simpul,, dan sumber tegangan pada b.9.. kita pandang sebagai satu simpul-super. E E V s Hukum rus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu: persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arus seperti halnya persamaan (9.), ditambah dengan persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikan hubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadi simpul-super tersebut. Perhatikan b.9.: Simpul-super terdiri dari simpul, dan sumber tegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul b.9.. Sumber tegangan antara dua simpul yang bukan simpul referensi. F F

dan melalui dengan konduktansi dan ; ia juga terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui dengan kunduktansi dan. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah : ( ) ( ) dan Vs E F (9.) emikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencari persamaan tegangan pada suatu simpul. alam peninjauan kasuskasus tersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor. Walaupun demikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian. erikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untuk rangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuk sederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metoda analisis dasar. kan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihat bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan. O TOH-9.: arilah tegangan simpul,,, dan pada rangkaian di bawah ini. R R R, Ω Penyelesaian : Ω Ω R Ω R Ω R 6 E Ω Rangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan. Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. engan demikian kita mempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu,, dan. Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul dengan mengaplikasikan persamaan (.) pada ke-empat simpul non-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kita peroleh adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 dengan,. 6 adalah konduktansi elemen-elemen yang besarnya adalah i /R i. alam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai-nilai, persamaan ini menjadi, Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan selanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ketiga kita kalikan sedangkan baris ke-empat kita kalikan, akan kita peroleh 8 Eliminasi auss memberikan: 6 6 8 8 6 6

6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik () engan demikian maka kita dapat menghitung tegangantegangan simpul mulai dari simpul sebagai berikut : V 8 V ; 8 8 V 6 6 6 6 V ; 6 6 engan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapat dihitung. O TOH-9.: arilah tegangan pada simpul,,, dan pada rangkaian berikut. Penyelesaian : Simpul terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan. engan demikian simpul merupakan simpul terikat yang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita peroleh adalah: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 engan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannya dalam bentuk matriks, kita memperoleh Ω V Ω Ω Ω Ω Ω R R R R R R 6 E

Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitungan seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya dengan mengalikan baris ke- dan ke- dengan dan mengalikan baris ke- dengan. Eliminasi auss memberikan : Maka : 8 6, V; 6 V; V V; 8 O TOH-9.: arilah tegangan pada simpul,,, dan di rangkaian berikut. Simpul super R R V R _ Ω Ω R Ω Ω R Ω Penyelesaian : Ω erbeda dengan contoh sebelumnya, dalam rangkaian ini sumber tegangan tidak terhubung lagsung ke titik referensi umum. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya jadikan satu simpul-super. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah : E R 6 7

8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik () Kita masukkan nilai dan persamaan ini kita tuliskan dalam bentuk matriks: Kita kalikan baris pertama dan ke-dua dengan serta baris keempat dengan sehingga kita peroleh matriks dengan elemenelemen bilangan bulat. Setelah itu kita lakukan eliminasi auss yang akan memberikan : 7 7 6 6 9 ari persamaan inilah tegangan-tegangan simpul dapat kita tentukan, seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya. Pembaca diharapkan untuk mencoba sendiri. engan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : Untuk simpul M yang terhubung ke k simpul lain melalui konduktansi i berlaku: ( ) atau k i i k i M k i i M plikasi formula ini untuk seluruh simpul yang bukan simpul referensi menghasilkan persamaan tegangan simpul rangkaian. ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Simpul-super {

Simpul M yang terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan, merupakan simpul-terikat yang tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber tegangan dan simpul-simpul yang mengapitnya dapat menjadi simpul-super yang mempunyai suatu hubungan internal yang ditentukan oleh tegangan sumber. Sumber arus di suatu cabang memberikan kepastian nilai arus di cabang tersebut dan nilai arus ini langsung masuk dalam persamaan tegangan simpul. 9.. Metoda rus Mesh (Mesh urrent Method) Metoda ini sangat bermanfaat untuk analisis rangkaian yang mengandung banyak elemen terhubung seri. Pengertian mengenai mesh telah kita peroleh, yaitu loop yang tidak melingkupi elemen atau cabang lain. alam b.9. loop E, FE, EH, EFHE, adalah mesh, sedangkan loop FE bukan mesh. arus mesh b.9.. Loop dan mesh engan pengertian ini maka kita menurunkan pengertian arus mesh, yaitu arus yang kita bayangkan mengalir di suatu mesh. alam b.9.,,,, adalah arus-arus mesh dengan arah anak panah menunjukkan arah positif. rus di suatu cabang adalah jumlah aljabar dari arus mesh di mana cabang itu menjadi anggota. rus di cabang misalnya, adalah sama dengan arus mesh. rus di cabang E adalah ( ), arus di cabang EH adalah ( ), dan seterusnya. Secara umum kita dapat mengatakan bahwa Jika cabang ke-k hanya merupakan angggota dari mesh X yang mempunyai arus mesh X maka arus i k yang melalui cabang itu adalah i k X dengan arah referensi arus i k sesuai dengan X. E H F 9

Jika cabang ke-k merupakan anggota dari mesh X dan mesh Y yang masing-masing mempunyai arus mesh X dan Y, maka arus i k yang melalui cabang tersebut adalah i k X Y dengan X adalah mesh yang mempunyai arah referensi arus yang sesuai dengan arah referensi arus i k. Perhatikan : rus mesh bukanlah pengertian yang berbasis pada sifat fisis rangkaian melainkan suatu peubah yang kita gunakan dalam analisis rangkaian. Kita hanya membicarakan rangkaian planar; referensi arus mesh di semua mesh mempunyai arah yang sama (dalam hal ini kita pilih searah putaran jarum jam). Metoda arus mesh pada dasarnya adalah mencari persamaan linier dengan arus mesh sebagai peubah, yang secara lengkap merupakan diskripsi dari rangkaian. Seperti halnya pada pembahasan metoda tegangan simpul, kita akan melihat lebih dulu bagaimana persamaan arus mesh tersebut dapat diperoleh. 9... asar Metoda arus mesh, seperti halnya metoda tegangan simpul, berbasis pada persyaratan elemen dan persyaratan rangkaian yang harus dipenuhi dalam analisis rangkaian listrik. Perbedaan hanya terletak pada persyaratan rangkaian; pada metoda tegangan simpul digunakan hukum arus Kirchhoff (HK) sedangkan pada metoda arus mesh digunakan hukum tegangan Kirchhoff (HTK). Suatu mesh tidak lain adalah bentuk loop yang paling sederhana. Oleh karena itu hukum Kirchhoff untuk tegangan juga berlaku pada mesh. Untuk suatu mesh X yang terbentuk dari m cabang yang masing-masing berisi resistor, sedang sejumlah n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain, berlaku Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

m x x m n x x m n R n y n X x x y y R y ( ) X y (9.6) i sini x adalah tegangan pada elemen di cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; y adalah tegangan pada elemen di cabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain; X adalah arus mesh X; y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X; R x menunjukkan resistor pada cabang-cabang yang hanya menjadi anggota mesh X; R y menunjukkan resistor pada cabangcabang yang menjadi anggota mesh X dan mesh lain. Persamaan (9.) dapat ditulis: m n n n X Rx R y y R y (9.7) x y y tau secara umum X R X Y RY (9.8) dengan X adalah arus mesh X, R X adalah resistor pada cabangcabang yang membentuk mesh X, Y adalah arus mesh lain yang berhubungan dengan mesh X melalui cabang yang berisi resistor R Y. Persamaan (9.7) adalah persamaan arus mesh untuk suatu mesh tertentu. Jika persamaan ini kita aplikasikan untuk semua mesh pada suatu rangkaian kita akan mendapatkan persamaan arus mesh untuk rangkaian tersebut. Jadi langkah-langkah dalam analisis dengan menggunakan metoda arus mesh adalah :. Tentukan arah referensi arus mesh di setiap mesh dan juga tegangan referensi pada tiap elemen.. plikasikan persamaan (9.7) untuk setiap mesh. engan langkah ini kita memperoleh persamaan arus mesh dari rangkaian.. Hitung arus mesh dari persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.

9... Kasus-Kasus alam Mencari Persamaan rus Mesh erikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul. Kasus-: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada b.9.6. mesh EF dan E, terdiri hanya dari elemen R R R 6 resistor saja. plikasi persamaan Y X Z (9.7) untuk kedua R R R mesh ini tidak menimbulkan F E kesulitan, dan kita b.9.6. Kasus. akan memperoleh persamaan: Mesh EF : ( R R R R ) Mesh E X Z : ( R R R ) R 6 7 X Y R Z R (9.9) Kasus-: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh F dan EF pada b.9.7. mengandung sumber R R 6 tegangan. Hal X Y ini tidak akan Z R R menimbulkan R kesulitan karena F E metoda arus b.9.7. Kasus : mesh dengan sumber tegangan. mesh berbasis pada Hukum Tegangan Kirchhoff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalam persamaan, dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh F dan EF persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah : R 7 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Mesh F ( R R ) Y X R Mesh EF: X : ( R R R ) R R Y Z (9.) Kasus-: Mesh Mengandung Sumber rus. Pada b.9.8. di cabang F terdapat sumber arus yang menjadi anggota mesh F dan EF. mesh super Tegangan suatu sumber arus tidak R R R 6 tertentu sehingga tidak mungkin Y X Z diperoleh i R R persamaan arus F E mesh untuk F b.9.8. Kasus : mesh mengandung sumber dan EF. Untuk arus. mengatasi kesulitan ini maka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super. Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, EF, dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di kedua mesh, yaitu X dan Y. Persamaan yang dimaksud adalah: loop EF: cabang F : Y R X X Y i ( R R R ) Z R (9.) Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua mesh saja, yaitu satu mesh biasa E dan satu mesh-super EF. O TOH-9.: unakan metoda arus mesh untuk analisis rangkaian di samping ini. V Ω Ω Ω Ω E Ω

Penyelesaian : Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh,,,.. Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk setiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh E mengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita peroleh adalah: Mesh E : Mesh E : Mesh E : ( ) ( ) ( ) alam bentuk matriks persamaan menjadi: Eliminasi auss memberikan : 8 sehingga diperoleh, ;, ;. Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukan O TOH-9.: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikanlah bahwa pada Ω Ω Ω rangkaian ini Ω Ω terdapat Ω sumber arus. E Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Penyelesaian : alam kasus ini arus mesh ditentukan oleh sumber, yaitu sebesar. Persamaan yang dapat kita peroleh adalah : Mesh E : Mesh E: Mesh E: yang dalam bentuk matriks dapat ditulis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eliminasi auss memberikan : 8 engan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah :, ;, ;. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. O TOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini. Perhatikan mesh super bahwa ada Ω Ω Ω sumber arus yang Ω menjadi anggota dari Ω Ω E dua mesh yang berdampingan. Penyelesaian: Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :

6 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik () alam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadi atau yang memberikan 7 Jadi /, /, dan /. Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. engan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara singkat bahwa : Untuk suatu mesh X dengan arus mesh x yang terdiri dari m cabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain yang masing-masing mempunyai arus mesh y, berlaku ( ) atau n y y y n m x n y y x X n m x n y y X y x X R R R R R plikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaan arus mesh rangkaian. Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggota dari mesh lain, arus mesh x ditentukan oleh sumber arus tersebut. Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadi mesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus mesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mesh super {

Sumber tegangan di suatu cabang memberikan kepastian nilai tegangan antara dua simpul di cabang tersebut dan nilai tegangan ini langsung masuk dalam persamaan arus mesh. 9... Rangkaian Sumber Tak-ebas engan Umpan alik nalisis rangkaian yang mengandung sumber tak-bebas dengan umpan balik hendaklah dilakukan dengan menggunakan metoda tegangan simpul atau metoda arus mesh. Umpan balik terjadi jika ada aliran sinyal dari sisi keluaran ke sisi pengendali. O TOH-9.7: Tentukanlah R F pada rangkaian di samping ini agar pada beban kω R F kω kω terdapat tegangan V. Penyelesaian : Persamaan tegangan simpul di simpul-simpul,,, dan pada rangkaian ini adalah : V ; : ; RF : ; : Karena disyaratkan agar V, maka dari persamaan simpul dan kita dapat memperoleh nilai. 6,6 V Kalau kita masukkan nilai ini ke persamaan simpul akan kita peroleh,6,6,6 RF V kω RF 6,6, kω, MΩ 7

9.. eberapa atatan Tentang Metoda Tegangan Simpul dan Metoda rus Mesh Pada metoda tegangan simpul kita menggunakan salah satu simpul sebagai simpul referensi yang kita anggap bertegangan nol, sedangkan tegangan simpul-simpul yang lain dihitung terhadap simpul referensi ini. Simpul referensi tersebut dapat kita pilih dengan bebas sehingga perbedaan pemilihan simpul referensi dalam menyelesaikan persoalan satu rangkaian tertentu dapat menghasilkan nilai-nilai tegangan simpul yang berbeda. Namun demikian tegangan cabang-cabang rangkaian akan tetap sama hanya memang kita harus melakukan perhitungan lagi untuk memperoleh nilai tegangan cabang-cabang tersebut (yaitu mencari selisih tegangan antara dua simpul). Pada rangkaian listrik yang besar, seperti misalnya jaringan kereta rel listrik ataupun jaringan PLN, orang melakukan pengukuran tegangan bukan terhadap simpul referensi umum seperti dalam pengertian metoda tegangan simpul melainkan terhadap titik netral atau ground di masing-masing lokasi pengukuran. Pengukuran ini belum tentu sesuai dengan perhitungan dalam analisis menggunakan metoda tegangan simpul karena ground di lokasi pengukuran tidaklah selalu sama dengan titik referensi umum dalam analisis. kan tetapi karena jaringan-jaringan penyalur energi tersebut dapat dilihat sebagai berbentuk rangkaian tangga, maka permasalahan ini dengan mudah dapat diatasi dan akan dibahas lebih lanjut. Metoda arus mesh dapat diterapkan pada rangkaian planar yaitu suatu rangkaian yang diagramnya dapat digambarkan pada satu bidang datar tanpa terjadi persilangan antar cabang rangkaian. Untuk rangkaian nonplanar metoda arus mesh tak dapat diterapkan dan kita perlu menggunakan metoda arus loop. Metoda nalisis erbantuan Komputer. Untuk rangkaianrangkaian yang rumit, analisis secara manual tidaklah efektif bahkan hampir tidak mungkin lagi dilakukan. Untuk itu kita memerlukan bantuan komputer. Metoda ini tidak dibahas dalam buku ini. 8 Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()

Soal-Soal. arilah tegangan dan arus di masing-masing elemen pada rangkaian-rangkaian di bawah ini dan hitunglah daya yang diberikan oleh sumber. Ω Ω Ω a). V V V b). Ω Ω V Ω c). V kω 7. kω kω m kω kω kω kω d). m kω kω m Ω e). V Ω Ω Ω Ω 9

kω V kω m kω kω m f). m kω V kω kω kω kω g). kω. Tentukanlah pada dua rangkaian di bawah ini. a). _ kω kω kω _ kω kω _ kω b). kω. Pada rangkaian di bawah ini, carilah hubungan masukan-keluaran o K s. _ Ω s kω o kω kω Sudaryatno Sudirham, nalisis Rangkaian Listrik ()