PRESTASI O S N IMO DISUSUN OLEH E. SIMBOLON (08 8 5 ) e5mb.blogspot.com 358lon@gmail.com
OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 0 Disusun oleh : E. SIMBOLON
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Pembahasan OSP Tahun 0 Tingkat SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 0 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = Jawaban : 9483 Karena x = 03 + 05 + + 07 + 09 03 + 09 = 99 = 99 dan y = 8 + 0 + + 0 + 04 = 8 + 04 99 = 06 99 Jadi, x + y = 99 + 06 99 = 7 99 = 7(00 ) = 700 7 = 9483. Jika f adalah fungsi sehingga f(xy) = f(x y) dan f(6) =, maka f( ) f(4) = Jawaban : 0 Berdasarkan sifat fungsi f diperoleh, f( ) = f( ( )) = f( + ) = f(3) ()
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON dan f(4) = f(4 ) = f(4 ) = f(3) () Berdasarkan pers.() dan pers.() didapat f( ) = f(4), sehingga f( ) f(4) = 0 3. Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4 maka bersisa 3. Jika bilangan x 3y dibagi 4 maka bersisa... Jawaban : Alternatif Karena x 3 ( mod 4) dan y 3 ( mod 4) maka x 3y 3 3 3 ( mod 4) 6 ( mod 4) ( mod 4) Jadi, x 3y jika dibagi 4 bersisa. Alternatif Misal, x = 4a + 3 dan y = 4b + 3 sehingga kita peroleh, x 3y = 4a + 3 b 9 = 4a b 6 = 4(a 3b ) + Jadi, x 3y jika dibagi 4 bersisa. 4. Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari - jari satuan berpusat di A. Suatu persegi memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi yang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini tedapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan... A Jawaban : 3 3 4 π
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Fokuskan perhatian pada bagian persegi saja, yaitu sebagai berikut area I area IV area II area III Misal, lingkaran besar berjari - jari R dan lingkaran yang kecil berjari - jari r. Maka diperoleh R = dan r =. Perhatikan pula luas area I = luas area II = luas area III = luas area IV. Sedang luas area I yaitu Oleh karena itu, luas area I = 4 π R R = 4 ( π ) = 4 ( π ) luas yang diarsir = 4 4 ( π ) π = π + 4 π = 3 3 4 π ( ) 5. Banyak bilangan tiga digit(angka) yang terdiri dari angka - angka 0,, 3, 5, 7, 8 yang lebih dari 43 dan kurang dari 780 adalah... Jawaban : 0 Kita bagi menjadi tiga kasus, I. Ratusan : angka Puluhan : ada 3 kemungkinan yaitu 5, 7 atau 8 Satuan : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai Jadi, untuk kasus I ada x 3 x 6 = 8 kemungkinan. II. Ratusan : angka 7 Puluhan : ada 5 kemungkinan yaitu 0,, 3, 5 atau 7 3
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Satuan : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai Jadi, untuk kasus II ada x 5 x 6 = 30 kemungkinan. III. Ratusan : angka 3 atau 5 Puluhan Satuan : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai : ke-6 angka yang tersedia bisa dipakai Jadi, untuk kasus III ada x 6 x 6 = 7 kemungkinan. Dari ketiga kasus di atas maka banyak bilangan tiga digit yang lebih dari 43 tetapi kurang dari 780 ada 8 + 30 + 7 = 0 bilangan. 6. Diketahui Budi adalah seorang siswa laki - laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan. Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa kelas IX di sekolah mereka. Wati mencatat 3 dari total siswa 0 di kelas IX adalah laki - laki. Sedangkan menurut catatan Budi, dari total siswa 7 di kelas IX selain dirinya adalah laki - laki. Banyak siswa laki - laki kelas IX di sekolah mereka adalah... Jawaban : 8 Misal, banyak siswa laki - laki adalah L dan banyak siswa perempuan adalah P. Maka kita dapat, dan 3 (P + L) = L 7L 3P = 0 (3) 0 (P + L ) = L 6L P = 6 (4) 7 Dari pers.(3) dan pers.(4) diperoleh L = 8 7. Diketahui luas persegi ABCD adalah 5 m. Jika E, F dan G masing - masing adalah titik tengah AB, AD dan CD seperti pada gambar berikut, maka luas trapesium BHF E adalah... m D G C H F A E B Jawaban : 5 6 Untuk mempermudah bagilah persegi tadi menjadi seperti di bawah ini, 4
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON D G C H F I A E B Terlihat bahwa persegi ABCD terdiri dari 6 segitiga siku - siku yang kongruen. Sehingga luas trapesium BHF E adalah 5 5 x 5 = 6 6 m 8. Tiga bilangan a, b, c dipilih sehingga ketika setiap bilangan ditambahkan ke rata - rata dua bilangan lainnya maka berturut - turut hasilnya adalah 80, 90 dan 00. Rata - rata dari a, b, c adalah... Jawaban : 45 Dari keterangan pada soal diperoleh, a + b + c = 80 a + b + c = 60 (5) dan serta b + a + c c + a + b Jumlahkan ketiga persamaan di atas, maka didapat = 90 a + b + c = 80 (6) = 00 a + b + c = 00 (7) 4a + 4b + 4c = 540 yang berarti a + b + c 3 = 45 9. Sebuah bilangan bulat diambil secara acak dari {x 5 x 0, x bilangan bulat}. Peluang bahwa x adalah penyelesaian pertidaksamaan x 3x adalah... Jawaban : 4 Ruang sampelnya adalah bilangan bulat dari 5 sampai 0, jadi n(s) = 6. Perhatikan pula, agar x 3x terdefinisi haruslah x 3x 0 x(x 3) 0. Jadi x 0 atau x 3. (8) Selain itu, dari pertidaksamaan x 3x kuadratkan kedua ruas sehingga didapat x 3x 4 atau equivalen dengan x 3x 4 0 (x 4)(x+) 0, 5
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON sehingga x 4 (9) Berdasarkan (8) dan (9) serta fakta bahwa x bulat maka nilai x yang memenuhi adalah, 0, 3 dan 4. Jadi peluang terambil x adalah penyelesaian pertidaksamaan x 3x ialah 4 6 = 4 0. Misal n suatu bilangan asli dan x adalah bilangan riil positif. Jika x n + 3, maka nilai x n + sama dengan... 4 Jawaban : 4 Misal, ( x) n = t maka persamaan x n = 0 x n + 3 x n = 0 equivalen dengan t + 3x = 0 (t )(t + ) = 0 Jadi, t = atau t =. Akan tetapi karena t = ( x) n > 0 tidak mungkin t =, sehingga haruslah t =. Karena ( x) n = t = maka xn =. Oleh karena itu 4 x n + 4 = 4 + 4 = 4 Bagian B : Soal Uraian. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 00 tahun. Jika umur Agus dan Umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan empat digit(angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian, jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan empat digit lain yang juga merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan bilangan bulat positif, berapa umur mereka sekarang? Jawaban : Misal umur Agus 0a+b dan umur Fauzan 0c+d dengan a, c 9, 0 b, d 9 serta a, b, c, d adalah bilangan bulat. Maka kita peroleh 000a + 00b + 0c + d = m (0) untuk suatu bilangan bulat positif m. Setelah dua puluh tiga tahun, umur Agus adalah 0(a+)+(b+3) sedangkan umur 6
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Fauzan ialah 0(c + ) + (d + 3) sehingga diperoleh, 000(a + ) + 00(b + 3) + 0(c + ) + (d + 3) = n () untuk suatu bilangan bulat positif n. Dengan mengurangkan pers.() dengan pers.(0) diperoleh n m = 33 atau (n m)(n + m) = 3 0 karena (n m) < (n + m) didapat n m = 3 dan n + m = 0. Dengan menyelesaikan kedua persamaan linier ini diperoleh m = 39 sehingga m = 5. Jadi, umur Agus sekarang adalah 5 tahun, sedangkan umur Fauzan sekarang adalah tahun.. Pada sebuah segiempat ABCD, sudut ABC, dan sudut DAC adalah sudut - sudut siku - siku. Jika keliling segiempat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 34 cm dan keliling ACD adalah 60 cm, berapakah luas segiempat ABCD? Jawaban : Misal panjang AB = p, BC = q, CD = r, DA = s dan AC = t. Gambar ilustrasi dari soal adalah sebagai berikut r C D s t q A p B Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh a + b + c + d = 64 () a + b + t = 4 (3) c + d + t = 60 (4) 7
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Jumlahkan pers.(3) dan pers.(4) sehingga didapat a + b + c + d + t = 84 (5) karena a + b + c + d = 64 maka t = 0. Substitusikan nilai t = 0 ke pers.(3) dan pers.(4) sehingga didapat a + b = 4 dan c + d = 50. Pada ABC berlaku a + b = 0, padahal kita punya (a + b) = a + ab + b sehingga diperoleh 4 = 0 + ab ab = 48 Selain itu, pada ACD berlaku c d = 0 (c + d)(c d) = 00 karena c + d = 50 berarti c d =. Dari persamaan c + d = 50 c d = diperoleh d = 4. Oleh karena itu, Luas ABCD = luas ABC + luas ACD = ab + 0d = 48 + 40 = 4 + 0 = 44 Jadi, luas segiempat ABCD adalah 44 cm. 3. Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat - sifat berikut : membagi n, 3 membagi n +, 4 membagi n +, 5 membagi n + 3, 6 membagi n + 4, 7 membagi n + 5 dan 8 membagi n + 6. Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat - sifat ini adalah. Tentukan bilangan bulat positif kelima yang memenuhi sifat- sifat di atas! Jawaban : Kita ketahui bahwa Jika n + k 0 mod (k + ) maka n mod (k + ) Dari sini diperoleh, 8
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON 3 membagi n + equivalen dengan n bersisa jika dibagi 3 4 membagi n + equivalen dengan n bersisa jika dibagi 4 5 membagi n + 3 equivalen dengan n bersisa jika dibagi 5 6 membagi n + 4 equivalen dengan n bersisa jika dibagi 6 7 membagi n + 5 equivalen dengan n bersisa jika dibagi 7 8 membagi n + 6 equivalen dengan n bersisa jika dibagi 8 Sehingga bisa ditulis n = t + dengan t adalah kelipatan 3, 4, 5, 6, 7, 8. Karena KP K(3, 4, 5, 6, 7, 8) = 840 maka n = 840k +. Sehingga bilangan bulat positif ke-5 yang memenuhi sifat - sifat pada soal adalah 336 yaitu saat k = 4. 4. Tiga garis lurus l, l, dan l 3 mempunyai gradien berturut - turut 3, 4, dan 5. Ketiga garis tersebut memotong sumbu-y di titik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masing - masing garis dengan sumbu-x adalah 47 60, tentukan persamaan garis l Jawaban : Misal ketiga garis tersebut memotong sumbu-y di titik (0, c) maka persamaan garis l adalah y = 3x + c yang berarti garis l memotong sumbu-x di titik ( c 3 ). Persamaan garis l yaitu y = 4x + c yang berarti garis l memotong sumbu-x di titik ( c 4 ). Sedangkan persamaan garis l 3 ialah y = 5x + c yang berarti garis l 3 memotong sumbu-x di titik ( c 5 ). Karena jumlah absis titik potong masing - masing garis dengan sumbu-x adalah 47 60 berarti c 3 c 4 c 5 = 47 60 atau dengan kata lain 47c 60 = 47 60 sehingga c =. Jadi, persamaan garis l adalah y = 3x. 5. Data akhir suatu kompetisi yang diikuti oleh tiga tim sepakbola, masing - masing tim saling berhadapan, dituliskan pada tabel berikut, 9
Pembahasan OSP SMP Tahun 0 : E. SIMBOLON Tim Menang Kalah Seri Gol(Memasukkan - Kemasukan) Elang 0 5 Garuda 0 4 3 Merpati 0 0 3 7 Berapa skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati? Jawaban : Berdasarkan data hasil pertandingan diperoleh bahwa hasil pertandingan tim Elang vs tim Garuda berakhir seri. Karena gol kemasukan dari tim Elang adalah, maka hanya ada tiga kemungkinan yaitu I. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah 0 : 0 Berarti hasil pertandingan Elang vs Merpati adalah 5 :. Hal ini berakibat hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 4 : 3. Tetapi ini tidak mungkin sebab gol kemasukan dari Merpati hanya 7. II. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah : Berarti hasil pertandingan Elang vs Merpati adalah 4 :. Hal ini berakibat hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 3 :. Skor yang demikian memenuhi kondisi pada soal III. Skor pertandingan Elang vs Garuda adalah : Berarti hasil pertandingan Elang vs Merpati adalah 3 : 0. Hal ini berakibat hasil pertandingan Garuda vs Merpati adalah 4 : 3. Tetapi hal ini tidak mungkin sebab gol memasukkan dari Garuda hanya 4. Jadi, hanya kasus II yang mungkin terjadi, dengan skor pertandingan antara Tim Garuda melawan Tim Merpati adalah 3 : untuk kemenangan Garuda. 0
OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 0 Disusun oleh : E. SIMBOLON
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs BAGIAN PERTAMA. Volume silinder = 0 cm 3. Tinggi silinder = t = 5 cm 0 = πr t = 5πr πr = 4 cm Luas pemukaan bola terbesar jika jari-jari bola juga r, yaitu = 4πr = 6 cm. Jadi, Luas pemukaan bola terbesar = 6 cm.. Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 9 () (a ) : (b ) = : 3 3a 3 = b 3a = b + () (b + 3) : (c + 3) = 5 : 6 6b + 8 = 5c + 5 5c = 6b + 3 (3) Dari persamaan () didapat 5a + 5b + 5c = 85 5(b + ) + 5b + 3(6b + 3) = 85 38b = 66 sehingga b = 7 Maka a = 3 dan c = 9 Selisih bilangan terbesar dan terkecil = 9 3 = 6 Selisih bilangan terbesar dan terkecil = 6 3. + 4 + 9 + 6 + 5 + 36 + 49 + = a + ( 4 + 6 + 36 + ) + ( 9 + 5 + 49 + ) = a + 4 ( + 4 + 9 + 6 + ) + ( 9 + 5 + 49 + ) = a + 4 a + ( 9 + 5 + 49 + ) = a Jadi, 9 + 5 + 49 + = 3 4 a. 4. Lima belas bilangan prima pertama adalah, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43 dan 47. Jumlah dua bilangan yang menghasikan bilangan ganjil haruslah merupakan penjumlahan bilangan ganjil dan genap. Bilangan prima genap hanya ada satu yaitu. Pasangan bilangan prima dengan jumlah juga merupakan bilangan prima adalah (,3), (,5), (,), (,7), (,9) dan (,4) yang banyaknya ada 6. Banyaknya cara memilih dari 5 kartu = 5 C. Peluang kejadian = 6/ 5 C = 35 Jadi, peluang terambilnya kartu dengan jumlah merupakan bilangan prima = 35. www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs 5. Misalkan AC dan BM berpotongan di N. CAD = s o. Karena ANM = 90 o maka AMB = 90 o s o sehingga BMD = 90 o + s o Karena r = MB = MD maka BMD sama kaki sehingga MBD = MDB = 45 o s o BPA = 90 o MBD = 45 o + s o CPD = BPA = 45 o + s o Jadi, CPD = 45 o + s o 6. Urutan dari bilangan 354 adalah 3x4x3xx = 7 Tiga bilangan yang menempati urutan berikutnya adalah 435, 453, 435. Jadi, bilangan yang menempati urutan ke-75 adalah 435. 7. + k habis dibagi 3 maka k = 3a + dengan a N. + k habis dibagi 5. Di antara 5b, 5b +, 5b +,, 5b + 4 yang memenuhi hal di atas adalah k = 5b + dengan b N. Karena 5 dan 3 relatif prima maka k = 3 5m + = 5m + dengan m N + 8k habis dibagi 7. Di antara 7c, 7c +, 7c +,, 7c + 6 yang memenuhi hal di atas adalah k = 7c + 6 dengan c N Karena k = 5m + maka nilai k yang mungkin memenuhi adalah, 7, 3, 47, 6, 77, Karena k = 7c + 6 maka nilai k yang mungkin memenuhi adalah 6, 3, 0, 7, 34, 4, 48, 55, 6, 69, Bilangan terkecil yang memenuhi keduanya adalah 6. Karena FPB(5, 7) = maka k = 05p + 6 dengan p N. Jadi, nilai terkecil yang memenuhi adalah k = 6. Jadi, nilai terkecil untuk k adalah 6. 8. p = 00 + 0 q = 0 + 03 x + (x + ) = 4x + 4x + = (x + ) p = 00 + 0 = ( 00 + ) = 40 q = 0 + 03 = ( 0 + ) = 405 (p + q) + 4pq = (p )(q ) = 40 405 ( p + q) 4 pq + = 40 405 = 68455 Jadi, ( p + q) + 4 pq = 6.84.55 www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON 3
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs 9. 4x 7x = 0 memiliki akar-akar a dan b. 4a 7a = 0 sehingga 4a 7 = a 4b 7b = 0 sehingga 4b 7 = b a + b = 4 7 ab = 4 a 4b 7 + 43 7 3 Jadi, 4b 7 ab = 3a b + 3b a = 3ab(a + b) = 3 ( 4 ) ( 4 7 ) = 6 3 a + 43 7 ab = 6. 0. Misalkan panjang sisi persegi = x cm. Misalkan titik G pada AE sehingga FG AE. Maka FG = cm. Karena [ADE] = 3 [ABCD] maka DE = 3 x cm. 3 x CF = ( ) x x + = 3 cm. 3 Karena AE sejajar FC dan AGF = CBF = 90 o maka AFG sebangun dengan BCF. AF FG = 3 CF BC x x x = 3 3 x = 3 cm Jadi, luas persegi adalah 3 cm. www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON 4
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs BAGIAN KEDUA. x + 3 x 4 x + 6 x 9 x = Alternatif : Misalkan x = a dan 3 x = b maka 4 x = a ; 6 x = ab dan 9 x = b. a + b a + ab b = a + b ab a b + = 0 (a ) + (b ) + (a b) = 0 Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka a = b = x = 3 x = Penyelesaian yang memenuhi hanya jika x = 0 Alternatif : 4 x + 9 x 6 x x 3 x + = 0 ( x ) + (3 x ) = ( x )(3 x ) Karena ( x )(3 x ) tidak mungkin negatif untuk suatu nilai x real maka ( x ) + (3 x ) = ( x )(3 x ) ( x )(3 x ) ( x ) + (3 x ) ( x )(3 x ) 0 Mengingat bahwa a + b ab dipenuhi oleh (a b) 0 maka ( x 3 x ) 0 Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka x 3 x = 0 x = 3 x () x 3 = Penyelesaian yang memenuhi hanya jika x = 0 Jadi, nilai x real yang memenuhi adalah x = 0.. Misalkan susunan angka sebagai berikut. Karena pasangan bilangan dengan jumlah 4 hanya ada yaitu (6, 8) dan (5, 9) serta pencerminan dari suatu susunan angka-angka juga memenuhi maka akan ada kasus. Kasus, jika A = 9 dan D = 5 Jelas bahwa C = 8 dan G = 6 atau C = 6 dan G = 8. Kemungkinan nilai (E, H) adalah (, 7) atau (7, ). Maka ada sub kasus. Sub Kasus, yaitu jika E = dan H = 7 Maka B + F = sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus, yaitu jika E = 7 dan H = Maka B + F = 7 sehingga B = 3 dan F = 4 atau B = 4 dan F = 3. Jika F = 4 maka G + I = 0. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi. Jika F = 3 maka G + I =. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi. www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON 5
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs Jadi, tidak ada susunan yang memenuhi jika A = 9 dan D = 5. Kasus, jika A = 5 dan D = 9 Jelas bahwa C = 8 dan G = 6 atau C = 6 dan G = 8. Kemungkinan nilai (E, H) adalah (, 4) atau (4, ) atau (, 3) atau (3, ). Maka ada 4 sub kasus. Sub Kasus, yaitu jika E = dan H = 4 Maka B + F = 3 sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus, yaitu jika E = 4 dan H = Maka B + F = 0 sehingga B = 3 dan F = 7 atau B = 7 dan F = 3. Jika F = 7 maka G + I = 7 yang mungkin dipenuhi hanya jika I =. Tetapi H =. Tidak ada yang memenuhi. Jika F = 3 maka G + I = yang mungkin dipenuhi hanya jika I = 5. Tetapi H = A. Tidak ada yang memenuhi. Sub Kasus 3, yaitu jika E = dan H = 3 Maka B + F = sehingga tidak ada pasangan (B, F) yang memenuhi. Sub Kasus 4, yaitu jika E = 3 dan H = Maka B + F = sehingga B = 7 dan F = 4 atau B = 4 dan F = 7. Jika F = 4 maka G + I = 0. Tidak ada nilai G dan I yang memenuhi. Jika F = 7 maka G + I = yang dipenuhi oleh I = 5 dan G = 6. Maka, susunan yang memenuhi adalah A = 5, B = 4, C = 8, D = 9, E = 3, F = 7, G = 6, H = dan I = 5 serta pencerminannya. Jadi, kemungkinan semua susunan kesembilan angka tersebut ada yaitu : 3. [ADC] : [ABC] = 4 : 5. Misalkan titik E pada AB sehingga CE tegak lurus AB. Karena ADC dan ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON 6
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 0 SMP/MTs Maka AD : AB = 4 : 5 sehingga AD = 4 cm. [ABC] = AC BC = AB CE 5 0 = 5 CE CE = cm. Karena AC = 5 cm dan CE = cm serta AEC siku-siku di E maka AE = 9 cm. ED = AD AE = 5 cm. Karena CE = cm dan ED = 5 cm serta CDE siku-siku di E maka CD = 3 cm. Jadi, panjang CD = 3 cm. 4. Misalkan a menyatakan banyaknya anak laki-laki. b menyatakan banyaknya anak perempuan. x menyatakan banyaknya penduduk dewasa laki-laki. y menyatakan banyaknya penduduk dewasa perempuan. a + b + x + y < 0000 a + b = 0 (x + y) () a = 0 b () y = 5 00 x (3) Subtitusikan persamaan () dan (3) ke () didapat 0 b = 0 5 00 x b = 860 700 x a + b + x + y = 0 860 700 x + 860 700 x + x + 5 946 + 860+ 805 00 x = 700 x = 473 00 x Karena a + b + x + y bulat maka x kelipatan 00. Agar a + b + x + y maksimal dan < 0000 maka nilai x yang memenuhi adalah 00. 473 a + b + x + y maksimal = 00 00 = 9933 yang didapat jika a = 838, b = 580 dan y = 45. Jadi, jumlah terbesar yang mungkin dari penduduk kota tersebut adalah 9933. 5. 0! = a 3 b 5 c 7 d e 3 f 7 g 9 h dengan a, b, c, d, e, f, g, h N Misalkan himpunan H = { a, 3 b, 5 c, 7 d, e, 3 f, 7 g, 9 h }. Misalkan juga bilangan rasional Y X dengan X, Y N memenuhi X Y = 0!. Agar Y X dalam bentuk yang paling sederhana maka X dan Y keduanya tidak memiliki faktor prima yang sama. Maka haruslah X dan Y masing-masing adalah hasil kali dari 0 atau beberapa anggota H dan memenuhi syarat X Y = 0!. Misalkan perkalian dari semua elemen pada himpunan kosong = maka banyaknya kemungkinan nilai X sama dengan banyaknya himpunan bagian dari H, yaitu 8 = 56. Dari seluruh kemungkinan nilai X selalu terdapat sepasang bilangan di antara yaitu a dan b dengan a < b dan memenuhi a b = 0!. Karena b a < dan a b > maka hanya separuh dari semua kemungkinan nilai X sehingga Y X <. Maka banyaknya kemungkinan bilangan rasioanl positif kurang dari yang memenuhi = 8. Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan rasional positif kurang dari yang memenuhi = 8. www.e5mb.blogspot.com // 358lon@gmail.com / E. SIMBOLON 7
OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 03 Disusun oleh : E. SIMBOLON
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 03 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) BAGIAN A : ISIAN SINGKAT. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi. Jika dibuat lingkaran yang berpusat di titik tengah salah satu sisi segitiga dengan jari-jari, maka luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah Pembahasan : Diketahui : Perhatikan : ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah ( ) www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON. Rata-rata nilai dari 5 siswa adalah 40. Jika selisih rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 0 siswa sisanya adalah 5, maka nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah... Pembahasan : Misal : Diketahui : ( ) Jadi nilai rata-rata 5 siswa terendah adalah 3. Dalam sebuah kotak terdapat beberapa bola dengan empat macam warna yakni : biru, merah, kuning dan putih. Paling sedikit terdapat 0 bola untuk masing-masing warna. Bola diambil satu demi satu dari dalam kotak tersebut secara acak tanpa pengembalian. Banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah... Pembahasan : Diketahui : Dengan menggunakan Pigeon Hole Principle (Prinsip Sangkar Burung), bisa diperolah pernyataan : Jika diambil bola dengan 4 warna yang berbeda, maka paling tidak terdapat 6 bola yang sewarna. Jadi banyak pengambilan yang harus dilakukan untuk memastikan mendapatkan 6 bola dengan warna sama adalah 4. Jika, maka nilai Pembahasan : www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON)
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi nilai 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah... Pembahasan : Pertidaksamaan harus memenuhi : Syarat I : ( ) ( ) Syarat II : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Pertidaksamaan harus memenuhi syarat I dan syarat II, sehingga : Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah { } 6. Jika nilai, maka nilai adalah... www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON) 3
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON Pembahasan : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Selanjutnya : Jadi nilai adalah 7. Sebuah drum berbentuk tabung yang berjari-jari dan berisi air setinggi (gunakan ). Seorang tukang pasang ubin memasukkan 0 buah ubin keramik ke dalam drum sehingga tinggi permukaan air bertambah. Jika permukaan setiap ubin keramik berukuran, berapakah tebal ubin keramik tersebut? Pembahasan : Diketahui : Jadi tebal ubin keramik tersebut adalah 8. Diketahui bilangan bulat positif. Jika ditambah angka-angka pembentuknya menghasilkan 33, maka semua nilai yang mungkin adalah... www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON) 4
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON Pembahasan : 89 9 308 95 6 3 96 7 33 305 8 33 30 4 34 Jadi semua nilai yang mungkin adalah 9. Diketahui dua buah himpunan dan dengan {( ) } dan {( ) }. Banyak anggota himpunan adalah... Pembahasan : {( ) ( ) ( ) } Mencari anggota : {( ) } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) Mencari anggota : {( ) ( )} Untuk : {( ) ( ) } Dengan demikian jelas bahwa : Sehingga : {( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) Jadi banyak anggota himpunan adalah www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON) 5
www. e5mb.blogspot.com // E. SIMBOLON 0. Tim Sepakbola terdiri atas 5 orang, masing-masing diberi kaos bernomor sampai dengan 5. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah... Pembahasan : Hal yang perlu diperhatikan dalam pemilihan tiga pemain secara acak tersebut :. Tidak memperhatikan urutan pemilihan. Tiga pemain yang dipilih, jumlah nomor kaosnya harus bisa dibagi tiga {dengan demikian kemungkinan jumlahnya : 3, 6, 9,, 5, 8,, 4, 7, 30, 33, 36, 39, 4, 45, 48, 5, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 7, 75} 3. Karena hanya ada satu kaos dari nomor sampai 5, jadi tidak boleh ada nomor yang sama. Jumlah nomor kaos Banyak penyusunan 3 0 6 9 3 7 5 8 9 7 4 37 7 48 30 59 33 66 36 7 39 7 4 7 45 66 48 59 5 48 54 37 57 7 60 9 63 66 7 69 3 7 75 0 Jumlah 77 Jadi banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah www.e5mb.blogspot.com ( E. SIMBOLON) 6
B. SOAL URAIAN. Suatu yayasan menyumbangkan 44 buku ke 4 sekolah. Banyak buku yang diterima untuk setiap sekolah tidak sama. Selisih buku yang diterima sekolah A dan B adalah 6. Selisih buku yang diterima sekolah B dan C adalah. Selisih buku yang diterima sekolah C dan D adalah 8. Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain. Jika sekolah D menerima buku kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A, tentukan banyak buku yang diterima masing-masing sekolah. Pembahasan: dari soal diketahui sebagai berikut; sekolah A sekolah B Suatu yayasan menyumbangkan 44 buku sekolah C sekolah D Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang titerima sekolah lain, sehingga B A = 6 sekolah D menerima buku kali lebih banyak dari pada buku yang diterima sekolah A sehingga D = A Dari uraian diatas terdapat 4 kemungkinan yang terbentuk, yaitu; Kemungkinan : B A = 6... ) C B =... ) C B = Persaman ) dan 3), diperolah D C = 8 D C = 8... 3) D B = 0... 4) Persamaan 4) dan ), diperoleh D B = 0 B A = 6 D A = 36,...karena D = A, maka A = 36 sehingga D = 7, B = 5, dan C = 64 Karena A + B + C + D = 4 dan 4 > 44, maka kemungkinan ini Tidak Memenuhi Kemungkinan : B A = 6... ) B C =... ) B C = Persaman ) dan 3), diperolah C D = 8 C D = 8... 3) B D = 0... 4) Persamaan 4) dan ), diperoleh B D = 0 B A = 6 A D = 4 Pembahasan Soal Uraian OSN Matematika SMP Tingkat Provinsi 03 E. SIMBOLON Selisihnya 6 Selisihnya Selisihnya 8 karena D = A, maka A = 4, hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga Tidak Memenuhi Kemungkinan 3: B A = 6... ) B C =... ) B C = Persaman ) dan 3), diperolah D C = 8 D C = 8... 3) B D = 4... 4) www.e5mb.blogspot.com
Persamaan 4) dan ), diperoleh B D = 4 B A = 6 A D =,...karena D = A, maka A = sehingga D = 4, B = 8, dan C = 6 Karena A + B + C + D = 80 dan 80 < 44, maka kemungkinan ini Tidak Memenuhi Kemungkinan 4: B A = 6... ) C B =... ) C B = Persaman ) dan 3), diperolah C D = 8 C D = 8... 3) D B = 4... 4) Persamaan 4) dan ), diperoleh D B = 4 B A = 6 D A = 0,...karena D = A, maka A = 0 sehingga D = 40, B = 36, dan C = 48 Karena A + B + C + D = 44, maka kemungkinan ini yang Memenuhi Jadi, banyak buku yang diterima masing-masing sekolah adalah Sekolah A = 0 buku, Sekolah B = 36 buku, Sekolah C = 48 buku, dan Sekolah D = 40 buku. Satu set kartu remi/bridge terdiri dari 5 lembar. Diambil 5 lembar kartu secara acak. Tentukan peluang terambil kartu warna merah dan 3 kartu warna hitam, yang di antaranya terdapat tepat kartu King. Pembahasan: Ruang sampel = 5 C 5 = 598960 (K, ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 3 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 3 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 4 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 4 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 5 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 5 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 6 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 6 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 7 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 7 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 8 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 8 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 9 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 9 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 0 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, 0 ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, J ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, J ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, Q ) 3 hitam 36C 3 = 740 (K, Q ) 3 hitam 36C 3 = 740 Jamlah kemungkinan = x 4 x 36 C 3 = x 4 x 740 = 3470 Jadi, Peluang terambil kartu warna merah dan 3 kartu warnu hitam, yang diantaranya x 4 x 36C3 3470 8560 x terdapat epat kartu King = = = = C 598960 8560 x 9 9 5 5 www.e5mb.blogspot.com
3. Misalkan 0 lingkaran yang berjari-jari cm dimasukkan dalam lingkaran berjari-jari R cm, seperti gambar berikut. Tentukan R Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! R C P Q A D B Dari soal diketahui panjang AP = cm, sehingga panjang PR = RQ = cm Perhatikan PQR! PQR adalah segitiga sama kaki dan besar sudut RPQ = 45 0 serta besar sudut RQP = 45 0. Dengan demikian PQR adalah segitiga siku-siku di titik R PQ = PR + RQ PQ = + PQ = 8 PQ = PQ = AD = DB = cm Sehingga didapat panjang AB = 4 cm Perhatikan PQR dengan ABC! Keduanya adalah sebangun, sehingga diperoleh AC AB AC 4 PR PQ 4 AC AC = 4 cm Jadi, panjang jari-jari R adalah 4 cm Perhatikan ilustrasi gambar disamping! Bahwa jari-jari R sama dengan kali lingkaran kecil A C D B www.e5mb.blogspot.com 3
4. Gunakan delapan bilangan prima yang berbeda dan kurang dari 5 untuk melengkapi persegi ajaib di bawah, sehingga setiap kotak di dalam persegi terisi oleh satu bilangan prima serta jumlah bilangan pada setiap baris dan setiap kolom selalu sama. 9 6 37 4 47 53 59 3 Pembahasan: Misalkan kedelapan bilangan prima yang kuran dari 5 adalah a, b, c, d, e, f, g, dan h a b 47 53 c 37 4 d 9 6 f e 59 h g 3 a + b + 47 + 53 = a + c + 9 + 59 b c = karena b dan c bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai b dan c adalah b c b c 3 b + 37 + 6 + h = c + 37 + 4 + d b c = (d h) 0 = (d h) 0 maka d h = 8 karena d dan h bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai d dan h adalah d h d h 3 5 8 53 + d + e + 3 = 59 + h + g + 3 d h = (g e) + 6 8 = (g e) + 6 maka g e = karena g dan e bilangan prima, maka yang mungkin untuk nilai g dan e adalah g e g e 9 7 a + b + 47 + 53 = b + 37 + 6 + h a h = Karena h = 5 maka nilai a = 3 9 + 6 + f + 7 = b + 37 + 6 + h Karena nilai b = dan h = 5 maka nilai f = 7 Jadi, kelengkapan tabelnya adalah a = 3 b = 47 53 c =3 37 4 d = 3 9 6 f = 7 e = 7 59 h = 5 g = 9 3 www.e5mb.blogspot.com 4
5. Didefinisikan adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Sebagai contoh: =, karena 5 < 3, jika x dan y adalah bilangan real dengan = 0 dan = 8, tentukan nilai dari Pembahasan: Jika =0, maka nilai x yang mungkin memenuhi: 00 x < = 8, maka nilai y yang mungkin memenuhi: 04 y < 96 Untuk nilai kemungkinan terkecil kita ambil x = 00 dan y = 04 maka nilai dari : = = = = = 5 Untuk nilai kemungkinan terbesar kita ambil x = dan y = 96 maka nilai dari : = = = = = 6 Jadi, nilai dari = 5 www.e5mb.blogspot.com 5
OLIMPIADE MATEMATIKA TK PROVINSI 04 Disusun oleh : E. SIMBOLON
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 04 TINGKAT PROVINSI BAGIAN A : SOAL ISIAN SINGKAT BAGIAN A : SOAL ISIAN SINGKAT. Diketahui x dan y adalah bilangan bulat positif. Salah satu solusi dari 0x + 4y = 04 adalah x, y = (00, ). Salah satu solusi yang lain adalah Pembahasan : 0x + 4y = 04 0x + 7y = 007 (ruas kiri dan kanan dibagi ) 0x = 007 7y Diperola 0x = 007 7y, karena 0x minimal akan mengasilkan bilangan puluan, maka agar memenui persamaan tersebut, 7y arus mengasilkan bilangan yang memiliki satuan 7, seingga y =,, 3, 4, 5, y = 0x = 007 7y 0x = 007 7. 0x = 007 77 0x = 930 x = 930 = 93 0 x, y = (93, ) y = 0x = 007 7y 0x = 007 7. 0x = 007 47 0x = 860 x = 860 = 86 x, y = 86, 0 y = 3 0x = 007 7y 0x = 007 7.3 0x = 007 7 0x = 790 x = 790 = 79 0 x, y = 79, 3 y = 4 0x = 007 7y 0x = 007 7.4 0x = 007 87 0x = 70 x = 70 = 7 x, y = 7, 4 0 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page
y = 5 0x = 007 7y 0x = 007 7.5 0x = 007 357 0x = 650 x = 650 = 65 0 x, y = 65, 5 y = 6 0x = 007 7y 0x = 007 7.6 0x = 007 47 0x = 580 x = 580 = 58 0 x, y = 58, 6 y = 7 0x = 007 7y 0x = 007 7.7 0x = 007 497 0x = 50 x = 50 = 5 0 x, y = 5, 7 y = 8 0x = 007 7y 0x = 007 7.8 0x = 007 567 0x = 440 x = 440 = 44 0 x, y = 44, 8 y = 9 0x = 007 7y 0x = 007 7.9 0x = 007 637 0x = 370 x = 370 = 37 x, y = 37, 9 0 y = 0 0x = 007 7y 0x = 007 7.0 0x = 007 707 0x = 300 x = 300 = 30 x, y = (30, 0) 0 y = 0x = 007 7y 0x = 007 7. 0x = 007 777 0x = 30 x = 30 = 3 0 x, y = 3, Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page
y = 0x = 007 7y 0x = 007 7. 0x = 007 847 0x = 60 x = 60 = 6 0 x, y = (6, ) y = 3 0x = 007 7y 0x = 007 7.3 0x = 007 97 0x = 90 x = 90 = 9 x, y = 9, 3 0 y = 4 0x = 007 7y 0x = 007 7.4 0x = 007 987 0x = 0 x = 0 = x, y =, 4 0 y = 5 0x = 007 7y 0x = 007 7.5 0x = 007 057 0x = 50 (tidak memenui karena x merupakan bilangan bulat positif) Jadi sala satu solusi yang lain adala { 93,, 86,, 79, 3, 7, 4, 65, 5, 58, 6, 5, 7, 44, 8, 37, 9, 30, 0, (3, ) 6,, 9, 3,, 4 } (peserta anya diminta menjawab sala satu dari pasangan x, y yang ada pada solusi diatas). Jika x dan y merupakan bilangan real yang memenuhi x + y =, maka nilai terbesar dari perkalian x dan y adalah Pembahasan : Pada persamaan x + y =, nilai perkalian terbesar dari x dan y diperole jika x = y Seingga x + y = y + y = y = y = y. y = x. y = Jadi nilai terbesar dari perkalian x dan y adala Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 3
3. Sebuah lingkaran berada dalam seperempat lingkaran besar, seperti pada gambar disamping. Jika jari-jari lingkaran besar = 8 satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah Pembahasan : Peratikan gambar berikut Diketaui AB = AD = AC = R = 8 BAC = 90o = 45o APO = POQ = 90 o COP = COQ = 360o POQ = 360o 90 o = 70o = 35 o Misalkan OC = OP = OQ = AP = AQ = r OA = AC OC = 8 r Peratikan segitiga siku siku APO AP + OP = OA r + r = 8 r r r + 6r 64 = 0 r + 6r 64 = 0 r = 64 6r + r r, = b± b 4ac a r, = 6± 6 4.. 64. r, = r, = 6± 56+56 6± 56. r, = 6±6 r, = 8 ± 8 r = 8 8 tidak memenu i karena bernilai negatif atau r = 8 + 8 memenu i Peratikan segitiga siku siku APO L segitiga APO = = =. AP. OP. r. r. 8 + 8. 8 + 8 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 4
=. 64 8 + 8 =. 9 8 = 96 64 Peratikan juring lingkaran kecil COP L juring COP = 35o 360o. π. r. π. 8 + 8 = 3 8 = 3 8. π. 64 8 + 8 = 3 8. π. 9 8 = 7π 48 π Peratikan juring lingkaran besar BAC L juring BAC = 45o 360o. π. R = 8 = 8 = 8π. π. 8. π.64 L arsiran = L juring BAC L segitiga APO L juring COP = 8π 96 64 7π 48 π = 8π 96 + 64 7π + 48 π = 48 π 64π + 64 96 = 48 64 π + 64 96 Jadi luas daera yang diarsir adala 48 64 π + 64 96 satuan 4. Jumlah 007 bilangan bulat positif berbeda adalah 03076. Dimana tidak ada satupun dari bilangan-bilangan tersebut yang lebih besar dari 04. Minimal banyaknya bilangan ganjil pada deret bilangan tersebut adalah Pembahasan : Agar diperole banyaknya bilangan ganjil minimal, maka arus digunakan bilangan genap sebanyak mungkin dan bilangan ganjil yang digunakan arusla bernilai besar, seingga + 4 + 6 + + 0 006 suku aritmatika 007 suku + 03 suku = 006 deret artimatika. + 0 = 503. 04 + 03 = 0304 + 03 = 05055 + 03 03076 05055 = 80 Dari penjumlaan suku yang dibentuk, ternyata masi kurang 80 Seingga untuk mendapatkan jumla yang sesuai dan banyaknya bilangan ganjil minimal, Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 5
maka bilangan genap terkecil secara berturut turut diganti dengan bilangan ganjil terbesar yang kurang dari 04, sebagai berikut 80 + 0 digantikan + 4 009 digantikan + 6 007 digantikan + 8 005 digantikan + 0 = 9 digantikan Seingga penjumlaan baru yang terbentuk + 4 + 6 + + 0 + 9 + 005 + 007 + 009 + 0 + 03 = 00 00 suku aritmatika 6 suku 007 suku = 00. + 0 deret artimatika. 04 + 0064 = 030 + 0064 = 03076 + 0064 Jadi minimal banyaknya bilangan ganjil pada deret bilangan tersebut adala 6 5. Terdapat bilangan ribuan dengan jumlah angka-angkanya 8. Contoh bilangan ini adalah 3. Bilangan yang memenuhi sifat ini ada sebanyak Pembahasan : Peratikan tabel berikut Kemungkinan bilangan yang terbentuk Banyak cara penyusunan 8 0 0 0 7 0 0 3!.!.! =.3 = 6 6 0 0 3!.!.! =.3 = 6 6 0 3!!.! + 3! = 3 + 6 = 9 5 3 0 0 3!.!.! =.3 = 6 5 0 3.3! = 3.6 = 8 5 + 3!!.! = + 3 = 4 4 4 0 0 3!!.! = 3 4 3 0 3.3! = 3.6 = 8 4 0 3!!.! + 3! = 3 + 6 = 9 4 4!!.! = 3 3 0 3! + 3!!.! = 6 + 3 = 9 3 3 4!!.! = 6 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 6
3 Total cara penyusunan 0 4!!.! = Jadi bilangan yang memenui sifat ini ada sebanyak 0 6. Misalkan ABCD adalah suatu daerah trapezium sedemikian sehingga perpanjangan sisi AD dan perpanjangan sisi BC berpotongan di titik E. Diketahui panjang AB = 8, CD = 30 dan tinggi trapezium tersebut adalah 8. Jika F dan G masing-masing adalah titik tengah AD dan BC, maka luas segitiga EFG adalah Pembahasan : Peratikan gambar berikut Diketaui AB = 8 CD = 30 HJ = 8 HI = IJ = 4 AF = FD BG = GC Misalkan BG = GC = x EH = y EI = y + 4 EJ = y + 8 Peratikan trapezium ABCD FG = BG.CD+GC.AB BG+GC x.30+x.8 = x+x = 48x x = 4 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 7
Peratikan segitiga EFG, segitiga CDE, dan trapezium CDFG L segitiga EFG = L segitiga CDE L trapezium CDFG. FG. EI =. CD. EJ. FG + CD. IJ.4. y + 4 =.30. y + 8. 4 + 30.4. y + 4 = 5. y + 8. 54.4 y + 48 = 5y + 0 08 y + 48 = 5y + 48 = 5y y 36 = 3y 36 3 = y = y y = EI = y + 4 = + 4 = 6 L segitiga EFG =. FG. EI = = 9.4.6 Jadi luas segitiga EFG adala 9 7. Diketahui dua persamaan berikut : + 6 = dan 4 9 = x+y x y x+y x y Nilai x y yang memenuhi dua persamaan tersebut adalah Pembahasan : Diketaui x+y x y 4 x+y x y Persamaan : x+y + 6 x y =. x y +6. x+y x+y. x y = x y+6x+6y x y = 8x+4y x y = 8x + 4y =. x y 4x + y = x y 3 (ruas kiri dan kanan dibagi ) Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 8
Anggota Himpunan X Persamaan : 4 x+y 9 x y = 4. x y 9. x+y x+y. x y 4x 4y 9x 9y x y 5x 3y x y = = = 5x 3y =. x y 5x 3y = x + y 4 Tambakan persamaan 3 dan persamaan 4 : 4x + y = x y 5x 3y = x + y x y = 0 y = x = x y x = y Jadi nilai x y yang memenui dua persamaan tersebut adala 8. Jika a dan b bilangan bulat ganjil serta a > b maka banyak bilangan bulat diantara a dan b adalah Pembahasan : Banyak bilangan bulat diantara a dan b adala a b Jadi banyak bilangan bulat diantara a dan b adala a b 9. Fungsi g dari himpunan X dikatakan satu-satu jika untuk setiap dengan x, x X dengan g x = g x berlaku x = x. Jika X = {9, 6, 3,, } dan Y = {,, 3, 4, 5, 6}, maka fungsi berbeda dari X ke Y yang merupakan satu-satu dan setiap bilangan anggota X tidak dikaitkan dengan faktornya di Y ada sebanyak Pembahasan : Peratikan tabel kemungkinan pemasangan anggota X ke anggota Y berikut Anggota Himpunan Y 3 4 5 6 Banyak cara pemasangan 9 4 6 3 4 4 5 Banyak fungsi yang terbentuk 4..4.4.5 = 640 Jadi banyak fungsi berbeda dari X ke Y yang merupakan satu satu dan setiap bilangan anggota X tidak dikaitkan dengan faktornya di Y ada sebanyak 640 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 9
Kemungkinan 0. Indah dan Nian bermain lempar dadu secara bergantian dimulai dengan lemparan pertama giliran Indah. Seseorang akan memenangkan permainan jika ia mendapatkan mata dadu tetapi lawannya tidak mendapatkan mata dadu atau 3 pada lemparan sebelumnya. Peluang Indah pada giliran yang ketiga melempar (lemparan kelima) akan menang adalah Pembahasan : Karena Inda akan menang pada lemparan kelima, ini menunjukkan bawa pada pelemparan sebelumnya arus tidak ada yang menang. Untuk mempermuda pencarian maka pengitungan dilakukan dari pelemparan dadu ke V, IV, III, II, I dan mengelompokkan mata dadu kedalam tiga bagian yaitu,,3, dan 4,5,6 Pelemparan ke- V IV III II I,3,3,3,3,,34,5,6,3 4,5,6,,34,5,6 4,5,6,3,,34,5,6 4,5,6,3,3 4,5,6,3,3,,34,5,6 4,5,6,3 4,5,6,,34,5,6 4,5,6 4,5,6,3 4,5,6 4,5,6,3,,34,5,6 4,5,6 4,5,6 4,5,6,,34,5,6 Peluang 6. 6. 6. 6. 6 = 4 7776 6. 6. 6. 6. 6 6 = 4 7776 6. 6. 6. 3 6. 6 6 = 36 7776 6. 3 6. 6. 6. 6 6 = 36 7776 6. 3 6. 6. 6. 6 = 7776 6. 3 6. 6. 6. 6 6 = 7 7776 6. 3 6. 6. 3 6. 6 6 = 08 7776 6. 3 6. 3 6. 6. 6 = 8 7776 6. 3 6. 3 6. 6. 6 6 = 08 7776 6. 3 6. 3 6. 3 6. 6 6 = 6 7776 Peluang total = 4 + 4 + 36 + 36 + + 7 + 08 + 8 + 08 + 6 7776 = 580 7776 = 45 944 Jadi peluang Inda pada giliran yang ketiga melempar lemparan kelima akan menang adala 45 944 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 0
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 04 TINGKAT PROVINSI BAGIAN B : SOAL URAIAN BAGIAN B : SOAL URAIAN. Temukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan x > Pembahasan : x > x > x > 4 4 > x > x x < Syarat x 0 x x Gabungan Jadi impunan penyelesaiannya adala x x <, x bilangan real. Diketahui jumlah n buah bilangan bulat positif ganjil berurutan adalah 599. Tentukan n terkecil yang mungkin. Pembahasan : Karena 599 merupakan bilangan ganjil, dan 599 merupakan penjumlaan dari n bilangan bulat positif ganjil berurutan, maka n pasti merupakan bilangan ganjil, seingga 599 3 Nilai tenga Kemungkinan penjumlaan = 976,33 Tidak mungkin berurutan 599 5 = 85,8 Tidak mungkin berurutan 599 7 = 847 84 + 843 + 845 + 847 + 849 + 85 + 853 = 599 7 bilangan Jadi n terkecil yang mungkin adala 7 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page
3. Diberikan kerangka limas ABCD dengan alasnya adalah daerah segitiga siku-siku ABC. Diketahui sisi sikusikunya adalah AB dan AC dengan panjang AB = a 3 dan panjang AC = 4a, rusuk BD tegak lurus dengan bidang ABC, dan panjang BD = 6a. Jika pada rusuk CD terdapat titik P sehingga sebuah bola dengan DP sebagai diameternya menyinggung bidang alas ABC, hitung jari-jari bola tersebut. Pembahasan : Peratikan gambar berikut Diketaui AB = a 3 AC = 4a BD = 6a OD = OP = OQ = Jari jari bola = r Peratikan segitiga siku siku BAC BC = AB + AC BC = a 3 + 4a BC = 3a + 6a BC = 9a BC = a 9 Peratikan segitiga siku siku CBD CD = BC + BD CD = a 9 + 6a CD = 9a + 36a CD = 55a CD = a 55 Peratikan garis CD OC = CD OD OC = a 55 r Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page
Peratikan segitiga siku siku CBD dan segitiga siku siku CQO OQ = OC BD CD r 6a = a 55 r a 55 a 55. r = 6a. a 55 r a 55 r = 6 55 a 6ar a 55 r + 6ar = 6 55 a 55 + 6 ar = 6 55 a r = r = r = 6 55 a 55+6 a 6 55 a 55+6 6 55 a. 55 6 55+6 55 6 r = r = r = 6 55 a. 55 6 55 6 6.55.a 36 55 a 55 6 330 a 36 55 a 55 36 r = 330 36 55 a 9 Jadi jari jari bola tersebut adala 330 36 55 a 9 4. Sebuah kode rahasia terdiri dari dua huruf dan satu bilangan antara 00 dan 600. Aturan yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut. (i) Semua angka dan huruf harus saling berbeda, (ii) Jika tiga angka membentuk bilangan genap maka kedua huruf yang dipilih adalah huruf vocal, (iii) Jika tiga angka membentuk bilangan ganjil maka kedua huruf yang dipilih adalah huruf konsonan. Tentukan banyak kode rahasia yang mungkin dibuat. Pembahasan : Kode raasia yang dibentuk terdiri dari dua uruf HH yang bisa dipisa (karena uruf tunggal), dan angka ratusan AAA tidak bisa dipisa karena berupa bilangan ratusan, seingga kode raasianya bisa ada 3 bentuk, yaitu HHAAA, HAAAH, dan AAAHH Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 3
Pemilian uruf atau angka Pemilian uruf atau angka Pemilian uruf atau angka Pola I jika tiga angka membentuk bilangan genap dan uruf berupa vocal Untuk mempermuda peritungan, akan dipisa deretan angka ganjil dan genapnya Huruf vocal Huruf vocal Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan A A 0 I I 3 3 U U 5 5 4 E E 7 6 O O 9 8 Banyak pemilian 5 5 = 4 karena uruf tidak bole sama 3 5 = 4 karena angka tidak bole sama Banyak cara penyusunan kode = 5.4.3.4.5 = 00 5 Huruf vocal Huruf vocal Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan A A 0 0 I I 3 U U 5 4 4 E E 6 6 O O 8 8 Banyak pemilian 5 5 = 4 karena uruf tidak bole sama 3 5 Banyak cara penyusunan kode = 5.4.3.5.4 = 00 5 = 4 karena angka tidak bole sama Huruf vocal Huruf vocal Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan A A 0 I I 4 3 U U 5 4 E E 7 6 O O 9 8 Banyak pemilian 5 5 = 4 karena uruf tidak bole sama 5 Banyak cara penyusunan kode = 5.4..5.4 = 800 5 = 4 karena angka tidak bole sama Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 4
Pemilian uruf atau angka Pemilian uruf atau angka Pemilian uruf atau angka Huruf vocal Huruf vocal Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan A A 0 0 I I 4 U U 4 4 E E 6 6 O O 8 8 Banyak pemilian 5 5 = 4 karena uruf tidak bole sama 5 = 4 karena angka tidak bole sama Banyak cara penyusunan kode = 5.4..4.3 = 480 5 = 3 karena angka tidak bole sama Pola II jika tiga angka membentuk bilangan ganjil dan uruf berupa konsonan Untuk mempermuda peritungan, akan dipisa deretan angka ganjil dan genapnya Huruf konsonan Huruf konsonan Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan B B C C 3 3 3 D D 5 5 5 7 7 Z Z 9 9 Banyak pemilian = 0 karena uruf tidak bole sama 3 5 = 4 karena angka tidak bole sama Banyak cara penyusunan kode =.0.3.4.3 = 50 5 = 3 karena angka tidak bole sama Huruf konsonan Huruf konsonan Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan B B 0 C C 3 3 D D 5 4 5 6 7 Z Z 8 9 Banyak pemilian = 0 karena uruf tidak bole sama 3 5 Banyak cara penyusunan kode =.0.3.5.4 = 500 5 = 4 karena angka tidak bole sama Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 5
Pemilian uruf atau angka Pemilian uruf atau angka Huruf konsonan Huruf konsonan Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan B B C C 4 3 3 D D 5 5 7 7 Z Z 9 9 Banyak pemilian = 0 karena uruf tidak bole sama 5 Banyak cara penyusunan kode =.0..5.4 = 6800 5 = 4 karena angka tidak bole sama Huruf konsonan Huruf konsonan Angka ratusan Angka pulu an Angka satuan B B 0 C C 4 3 D D 4 5 6 7 Z Z 8 9 Banyak pemilian = 0 karena uruf tidak bole sama 5 = 4 karena angka tidak bole sama Banyak cara penyusunan kode =.0..4.5 = 6800 5 Banyaknya pola pada bentuk HHAAA = 00 + 00 + 480 + 800 + 50 + 500 + 6800 + 6800 = 77600 Banyaknya pola pada 3 bentuk HHAAA, HAAAH, AAAHH = 3.77600 = 3800 Jadi banyak kode raasia yang mungkin dibuat adala 3800 5. Untuk x bilangan real, dirumuskan suatu fungsi f x = +4 x Maka hitunglah hasil penjumlahan berikut f 04 + f 04 + + f 03 04 Pembahasan : Misalkan 04 = z seingga Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 6
04 = z 3 04 = 3z 0 = 04 3 = 04 3 = 3 = 3z 04 04 04 04 04 0 = 04 = 04 = = z 04 04 04 04 04 03 = 04 = 04 = = z 04 04 04 04 04 Akan diperole f 04 = f z = +4 z f 04 f 3 04 f 0 04 f 0 04 f 03 04 = f z = +4 z = f 3z = +4 3z = f 3z = = f z = = f z = +4 z = = = +4 3z + 4.4 3z =.43z =.43z = 43z = 43z +4.4 3z +4. 4 3z + 4 3z + +4 3z 4 3z 4 3z = = +4 z + 4.4 z =.4z =.4z = 4z = 4z +4.4 z +4. 4 z + 4 z + +4 z 4 z 4 z = + 4.4 z +4 =.4z =.4z = 4z = 4z 4 z 4 z.4 z +4. 4 z + 4 z + +4 z Seingga f 04 + f 04 + f 3 04 007 + + f + + f 0 04 04 suku tenga + f 0 04 + f 03 04 = +4 z + = 4z +4z + = + +4 z +4 3z + + f 007 04 suku tenga + 4z +4 z +4z + + 43z +4 z +43z + 0 suku + 4z +4z +43z +4z + +4z + 0 =006 suku +4 3z + = + + + + f 007 04 006 suku suku tenga = 006 + f 007 04 suku tenga + f 007 04 suku tenga + + 43z +4 +4 3z + 4z 4z 3z + +4z + +4 z + f 007 04 suku tenga = 006 + f Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 7
= 006 + +4 = 006 + + = 006 + 4 = 006 + = 006 = 03 Jadi f 04 + f 04 + + f 03 04 = 03 Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP 04 Tingkat Provinsi / Page 8