MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Yogie Budhi Rantung. NIM G54070049

ABSTRAK YOGIE BUDHI RANTUNG. Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM. Matriks Pascal adalah matriks yang setiap unsur-unsurnya memuat koefisien binomial. Matriks Pascal dapat dibentuk menjadi tiga macam, yaitu matriks Pascal simetrik matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas Kajian ini bertujuan mengetahui sifat-sifat matriks Pascal. Pembuktian sifat menunjukkan bahwa perkalian matriks Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas selalu menghasilkan matriks Pascal simetrik melalui tiga metode pembuktian berupa perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Dalam hal ini, perkalian matriks merupakan pembuktian yang paling efektif. Pembuktian tersebut juga menunjukkan bahwa dan masing-masing memiliki nilai determinan yang sama, yakni satu. Sifat lain matriks Pascal yang diketahui adalah transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya Kata kunci: matriks Pascal, matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas. ABSTRACT YOGIE BUDHI RANTUNG. Pascal Matrix and It s Characteristics. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM. Pascal matrices are matrices that their elements contain binomial coefficients. Pascal matrices can be built into three different types: symmetric Pascal matrix lower triangular Pascal matrix and upper triangular Pascal matrix This study aims to determine the characteristics of the Pascal matrices. The proof of characteristics shows that multiplication of a lower triangular Pascal matrix with an upper triangular Pascal matrix always yields symmetric Pascal matrix through three methods: matrix multiplication, Gaussian elimination, and equality of functions. In this study, matrix multiplication is the most effective method of proof. The proof of also shows that each of and has the same determinant value, that is one. Another characteristics of the Pascal matrix is that transpose of a lower triangular Pascal matrix is an upper triangular Pascal matrix and vice versa. Keywords: Pascal matrix, lower triangular Pascal matrix, upper triangular Pascal matrix.

MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Judul Skripsi : Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya Nama : Yogie Budhi Rantung NIM : G54070049 Disetujui oleh Ir N K Kutha Ardana, MSc Pembimbing I Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas limpahan rahmat serta hidayah-nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Matriks Pascal dan Sifat-sifatnya berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, 2. Muhammad Ilyas, MSc, MSi selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya, 3. Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku Ketua Departemen Matematika, 4. Ibu dan ayah yang telah memberikan nasihat dan motivasi dengan penuh kesabaran dan kasih sayang, 5. Rina Putri Utami yang talah memberikan semangat dengan penuh kesabaran. 6. teman-teman kos Wisma Asri beserta Pak Agik sekeluarga, 7. semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Bogor, Mei 2014 Yogie Budhi Rantung

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 Manfaat Penelitian 1 LANDASAN TEORI 1 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks 4 Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss 7 Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi 12 Pembuktian Determinan Matriks Pascal 17 SIMPULAN 18 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 20

DAFTAR TABEL 1 Matriks Pascal segitiga bawah 4 2 Matriks Pascal segitiga atas 5 3 Matriks Pascal simetrik 6

PENDAHULUAN Latar Belakang Matriks Pascal adalah matriks yang setiap elemen atau unsur-unsurnya memuat koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (Johnsonbaugh 1997). Dengan menempatkan koefisien binomial ke dalam matriks, maka ada tiga cara untuk mencapai hal ini, di antaranya ialah matriks Pascal simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas ( ). Matriks Pascal merupakan salah satu contoh konkret dari matriks unimodular. Matriks unimodular adalah matriks yang memiliki determinan bernilai atau, sehingga Dalam perkembangannya, matriks Pascal muncul dalam banyak aplikasi seperti ekspansi binomial, probabilitas, kombinatorika, aljabar linear, teknik elektro dan statistik. Salah satu aplikasi matriks Pascal dalam algoritme untuk mentransformasikan suatu fungsi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas sifat-sifat matriks Pascal dan tiga cara untuk membuktikan yaitu dengan perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Ketiga metode pembuktian tersebut seringkali dijumpai dalam berbagai persoalan matematika. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel berjudul Pascal Matrices yang disusun oleh Alan Edelman dan Gilbert Strang. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengkaji sifat-sifat matriks Pascal simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas ( ), dan membuktikan bahwa melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan ketiga jenis matriks Pascal tersebut bernilai satu. Manfaat Penelitian Manfaat dari karya ilmiah ini antara lain: 1. mengetahui sifat-sifat matriks Pascal, 2. mengetahui pembuktian persamaan melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi, 3. mengetahui pembuktian determinan matriks Pascal yang selalu bernilai satu. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan disajikan beberapa pengertian atau konsep dasar yang digunakan dalam karya ilmiah ini.

2 Definisi 1 Matriks Pascal simetrik adalah suatu matriks berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: Berikut ini diberikan contoh matriks : (Bicknell & Hoggat 1973) Definisi 2 Matriks Pascal segitiga bawah (lower triangular) berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: adalah suatu matriks (Bicknell & Hoggat 1973) Berikut ini diberikan contoh matriks : Definisi 3 Matriks Pascal segitiga atas (upper triangular) berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: adalah suatu matriks (Bicknell & Hoggat 1973) Berikut ini diberikan contoh matriks :

3 Definisi 4 Dimisalkan untuk setiap matriks, determinan : dengan permutasi dari sejumlah dan didefinisikan sebagai berikut: Berikut ini diberikan contoh jika : (Mayer 2000) dengan permutasi : Kemudian selanjutnya: Teorema 1 Determinan dari matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya: Teorema 2 Jika matriks berukuran maka: (Mayer 2000) (Mayer 2000)

4 Definisi 5 Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritme untuk mengekuivalenkan bentuk matriks melalui serangkaian operasi baris dasar. (Leon 2001) Definisi 6 Matriks partisi merupakan suatu matriks yang dapat dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih kecil seringkali disebut blok. (Leon 2001) HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan disajikan pembuktian-pembuktian melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan matriks Pascal bernilai satu. Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks Pembuktian diawali dengan membangkitkan matriks Pascal segitiga bawah. Misalkan matriks Pascal segitiga bawah berukuran sebagai berikut: Matriks di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 1 Matriks Pascal segitiga bawah Baris-baris Tabel 1 dilabeli dengan dan kolom-kolom Tabel 1 dilabeli dengan Label dan menunjukkan indeks elemen matriks Pascal segitiga bawah. Elemen baris dengan label adalah koefisien-koefisien hasil penjabaran :

5 sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut: (1) dengan, dan Jika maka bernilai nol. Transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal segitiga atas. Tabel 2 Matriks Pascal segitiga atas Kolom-kolom Tabel 2 dilabeli dengan dan baris-baris Tabel 2 dilabeli dengan. Label dan menunjukkan indeks elemen matriks Pascal segitiga atas. Elemen baris dengan label adalah koefisien-koefisien hasil penjabaran :

6 sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut: (2) dengan, dan Untuk, bernilai nol. Misalkan matriks Pascal simetrik berukuran sebagai berikut: Matriks Pascal simetrik dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 3 Matriks Pascal simetrik a Sumber: (Strum 1977) Baris-baris Tabel 3 dilabeli dengan Tabel 3 dilabeli dengan kolom bernilai: dan kolom-kolom. Elemen-elemen dalam baris dan

7 dengan dan. Teorema 3 untuk setiap bilangan bulat. (Strum 1977) Bukti: Teorema 3 diperoleh berdasarkan identitas kombinatorial berikut: (lihat Lampiran 1) (3) Dengan demikian pembuktian melalui perkalian matriks terbukti. Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan operasi baris dasar pada matriks yang bertujuan untuk mengeliminasi suatu matriks, sehingga hasil eliminasi tersebut memiliki baris yang ekuivalen terhadap matriks yang tereliminasi dengan melihat serangkaian operasi baris dasarnya. Dalam kasus ini matriks yang akan dieliminasi adalah matriks Pascal segitiga bawah. Misalkan dilakukan pengeliminasian dengan serangkaian operasi baris dasar dan dengan serangkaian baris dasar melalui eliminasi Gauss sebagai berikut: (4) Jika diperhatikan dari kedua proses eliminasi tersebut terlihat bahwa terjadinya selisih antar baris dengan baris sebelumnya pada dan, baris ke-4 dengan

8 baris ke-3, baris ke-3 dengan baris ke-, baris ke- dengan baris ke-, dan baris ke- dengan baris ke- berlaku untuk matriks. Dengan kata lain,,, dan untuk setiap dan : Jika hasil pada proses eliminasi tersebut difaktorkan akan membentuk perkalian matriks sebagai berikut: Untuk setiap akan berlaku: sehingga proses eliminasi Gauss tersebut dapat juga dinyatakan sebagai perkalian matriks antara dan dengan didefinisikan sebagai berikut:

Tujuannya adalah untuk membentuk sebuah persamaan baru yang akan dibuktikan kesetaraannya sebagai berikut:.. (5) Proses selanjutnya ialah menjabarkan ruas kiri pada persamaan (5). Sebagai ilustrasi misalkan perkalian matriks sebagai berikut: 9 (6). (7) Perhatikan bahwa matriks (4) dan matriks (6) adalah sama, dan jika baris pertama dan kolom pertama dihilangkan akan membentuk submatriks Untuk setiap akan diperoleh sebagai berikut: (8) Pembentukan submatriks juga terjadi pada perkalian perkalian matriks : Misalkan pada

10 Dari hasil perkalian tersebut terbentuk submatriks Dengan cara serupa, untuk setiap diperoleh: (9) Dari hasil proses eliminasi atau perkalian matriks pada dan tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hasil eliminasi dan masing-masing akan menghasilkan submatriks dan Selanjutnya dengan mengasumsikan ruas kiri persamaan dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut: (10) Dalam proses eliminasi pada dan terdapat persamaan rekursif sehingga pembuktian persamaan (10) dapat ditempuh dengan menggunakan bukti Induksi Matematik. Misalkan: i) Basis Induksi (benar) ii) Hipotesis Induksi: Misalkan, untuk benar, yaitu iii) Akan dibuktikan: benar, yaitu Bukti: Di dalam hipotesis induksi dikatakan bahwa yang memiliki sejumlah -baris dan -kolom: berukuran (11)

sehingga untuk mencapai ke bentuk ukuran pada persamaan (11) perlu ditambahkan satu baris dan satu kolom setelah baris kedan setelah kolom ke- agar dapat tercapai: 11 Kemudian matriks dan masing-masing dilakukan partisi matriks dengan menggambar garis vertikal di antara baris dan baris serta menggambar garis horizontal di antara kolom dan kolom sehingga matriks dan akan terbagi menjadi empat blok: (12) dengan dan [,, ] T. Kemudian setiap elemen pada persamaan (12) dapat dijabarkan sebagai berikut:

12 Hipotesis induksi menyatakan dinyatakan sebagai berikut: sehingga persamaan (12) dapat Dengan demikian pembuktian induksi matematik terpenuhi sehingga persamaan (10) juga terbukti dan pembuktian melalui eliminasi Gauss terbukti. Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi Misalkan vektor koefisien dan vektor merepresentasikan sebuah fungsi dalam deret Taylor:. (13) Dengan ini dapat dinyatakan bahwa membentuk suatu matriks segitiga tak terbatas. Perkalian menunjukkan bahwa persamaan (13) merupakan sebuah deret kuasa (14) sehingga perkalian membentuk fungsi polinomial untuk setiap baris ke- :. (15)

Tujuan pembuktian ini adalah menyetarakan fungsi hasil perkalian dengan fungsi hasil perkalian yang akan dijabarkan. Pada persamaan dilakukan perkalian ruas kiri dan ruas kanan tehadap vektor tak terbatas : 13 Baris pertama perkalian : (16) (17) membentuk deret geometri yang konvergen di : (18) Jika persamaan (18) diturunkan maka akan membentuk deret yang menjadi baris kedua pada perkalian : (19) Jika persamaan (19) juga diturunkan akan membentuk deret yang selanjutnya melakukan penyederhanaan ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi baris ketiga perkalian : (20) (21) Persamaan (21) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris ketiga pada perkalian. Selanjutnya persamaan (20) juga diturunkan akan membentuk deret sebagai berikut:

14 (22) (23) Persamaan (23) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris keempat pada perkalian. Dan seterusnya hingga turunan ke- akan membentuk deret kuasa yang konvergen di dengan fungsi sebagai berikut: (24) Jadi dapat disimpulkan bahwa penurunan setiap baris pada perkalian akan membentuk baris selanjutnya sehingga persamaan (17) dapat dinyatakan sebagai berikut: (25) (26) Selanjutnya menjabarkan perkalian sebagai berikut: (27) Baris pertama juga membentuk deret geometri seperti halnya pada persamaan (18). Baris kedua merupakan hasil turunan baris pertama yang sudah disederhanakan seperti pada persamaan (19) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas:

15 Baris ketiga merupakan hasil turunan persamaan (19) yang sudah disederhanakan seperti pada persamaan (21) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas: Baris keempat merupakan hasil turunan persamaan (20) yang telah disederhanakan seperti pada persamaan (23) dengan melakukan perkalian variabel tiap-tiap ruas: sehingga untuk setiap baris ke- berlaku: (28) sehingga persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut:

16 (29) Selanjutnya di tahap akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk mencapai hasil perkalian pada persamaan (26) dilakukan perkalian matriks dengan di persamaan (29) dimana : (30) Bentuk T pada persamaan (30) serupa dengan bentuk [1, (1 + x), (1 + x) 2, (1 + x) 3,...] T pada persamaan (14) maka bentuk merupakan sebuah deret kuasa. Dengan mengembalikan nilai pada diperoleh: sehingga persamaan (30) dapat juga ditulis sebagai berikut:

17 (31) Dengan demikian hasil perkalian pada persamaan (31) memiliki hasil yang sama dengan hasil perkalian pada persamaan (26), sehingga pembuktian melalui penyamaan fungsi terbukti. Pembuktian Determinan Matriks Pascal Pada Teorema 1 telah dijelaskan bahwa nilai determinan matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya. Matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas merupakan matriks segitiga dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sehingga determinan matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas bernilai satu: Pada subbab-subbab sebelumnya telah disajikan pembuktian melalui tiga pembuktian berupa perkalian matriks, Eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi, sehingga matriks memiliki determinan bernilai satu: Dengan demikian matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas, dan matriks Pascal simetrik, terbukti memiliki determinan bernilai satu untuk setiap ukuran.

18 SIMPULAN Simpulan Pembuktian melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi sudah terbukti dalam bab sebelumnya. Pembuktian perkalian matriks merupakan pembuktian yang paling efektif dan pembuktian penyamaan fungsi merupakan pembuktian yang paling sulit dari ketiga metode tersebut. Matriks Pascal memiliki beberapa sifat di antaranya ialah, perkalian matriks Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas akan selalu menghasilkan matriks Pascal simetrik, transpos matriks Pascal segitiga bawah akan selalu membentuk matriks Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya ( atau ), dan determinan matriks Pascal simetrik, determinan matriks Pascal segitiga bawah, dan determinan matriks Pascal segitiga atas selalu memiliki determinan yang sama yakni bernilai satu. Saran Dalam penelitian selanjutnya pembuktian dapat juga dibuktikan dengan menggunakan gluing graphs. Pembuktian gluing graphs merupakan pembuktian menggunakan prinsip graf algoritmik dengan cara menghitung path dari elemen ke elemen dalam matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas, dan matriks Pascal simetrik. DAFTAR PUSTAKA Bicknell M, Hoggat VE. 1973. Unit determinants in generalized Pascal triangles. Fibonacci Quarterly. 131-144. Edelman A & Strang G. 2004. Pascal Matrices. The American Mathematical Monthly. 189-197 Johnsonbaugh R. 1997. Discrete Mathematics. New Jersey (US): Prentice-Hall. Leon SJ. 2001. Linear Algebra with Applications. New Jersey (US): Prentice Hall PTR. Mayer CD. 2000. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia (US): Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Strum JE. 1977. Binomial Matrices. The Two-Year College Mathematics Journal. 260-266

19 Lampiran 1 Hasil penjabaran persamaan (3) diperoleh dari identitas polinomial pada halaman 7 sebagai berikut:

20 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Watampone, Sulawesi Selatan pada tangal 5 Juni 1989 sebagai anak ke-2 dari dua bersaudara pasangan Lilik Budiarto dan Mulyani. Pendidikan formal yang ditempuh penulis, yaitu di SDN Selosari 01 Magetan lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Magetan lulus pada tahun 2004, SMAN 3 Magetan lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis mulai masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis pernah mengikuti organisasi BEM KM secara independen periode tahun 2007/2008 pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis masuk GUMATIKA sebagai anggota divisi PSDM..