bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

berikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2013 genap (Bang Julham (Ayah), Kak Aida, Kak Mei, Kak Ayu, Amora, Kristin, Nina) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Semua pihak yang telah banyak membantu, baik langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan namanya satu persatu, hanya Tuhan yang mampu memberikan balasan terbaik. Mudah-mudahan tesis ini dapat memberi sumbangan yang berharga bagi perkembangan dunia ilmu dan bermanfaat bagi orang banyak. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terima kasih. Medan, 16 Desember 2015 Penulis, Dian Yulis Wulandari v

RIWAYAT HIDUP Dian Yulis Wulandari, Lahir di Sawit Hulu tanggal 13 Juli 1991. Merupakan anak kedua dari pasangan ibu Yuli Farida Wahyuni dan Bapak Karyadi SP. Memiliki seorang saudari kandung bernama Ayu Karmila ST (Mbak). Pertama sekali mengenyam pendidikan tahun 1994 di TK Nusa Indah Sawit Hulu. Dilanjutkan pendidikan formal di SDN 054608 Sawit Hulu pada tahun 1997, SLTP Negeri 1 Sawit Seberang pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Padang Tualang pada tahun 2006. Minat akan ilmu eksak dan bakat mengajar hingga menyukai anak kecil sudah terlihat sejak SMA. Selesai mengenyam pendidikan SMA tahun 2009 penulis sama sekali tak tau akan melajut pendidikan tingkat kuliah di jurusan apa, sehingga melalui perundingan dengan orang tua dan pertimbangan nilai rapor selama mengikuti pendidikan formal penulis melanjutkan studi di Pendidikan Matematika FKIP UISU Medan. Ketertarikan penulis pada ilmu eksak semakin meningkat, tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera. Berawal dari kesukaan penulis kepada anakanak hingga membantu mereka mengerjakan tugas-tugas sekolah merupakan awal ketertarikan penulis untuk terjun ke dunia pendidikan dan bertekad menjadi seorang pengajar sekaligus menjadi regenerasi bagi ibu penulis. Semoga niat baik menjadi tenaga pengajar mampu membantu khalayak ramai dan bermanafaat. Amin. vi

DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1 Graf 5 2.1.1 Jenis-jenis Graf 7 2.2 Pohon dan Hutan 13 2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree) 15 BAB 3 ANALISA GRAF KORDAL 18 3.1 Graf Kordal sebagai Irisan Graf 19 3.2 Graf Kordal Bipartisi 21 vii

3.3 Pewarnaan Graf (Colouring Graph) 24 BAB 4 MENENTUKAN REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI 26 4.1 Analisa Algoritma 27 4.2 Representasi Pohon dari Graf Kordal Bipartisi 32 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 38 5.1 Kesimpulan 38 5.2 Saran 38 DAFTAR PUSTAKA 39 viii

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu 6 2.2 Graf berhingga 8 2.3 Graf tak berhingga 8 2.4 Graf berarah 9 2.5 Graf lengkap K n, 1 n 6 9 2.6 Graf lingkar C n, 3 n 68 10 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2 10 2.8 Dua graf 3-bipartisi 10 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K 3,3 = K3 2 11 2.10 Graf bipartit G(V 1,V 2 ) 12 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung 12 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah 13 2.13 Graf Pohon 14 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T 1,T 2,T 3,T 4 16 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api ( 100m) (b). Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum 17 3.1 Graf kordal (sumber, Wikipedia) 18 3.2 Graf kordal dan dua representasi pohon (Sumber, Mckee dan Mcmorris, 2006) 19 ix

3.3 Clique pada graf 20 3.4 Perfect elimination bipartite graph yang tidak mengandung kordal. (Sumber: Golumbic, 1978) 22 3.5 Graf C 6, 3K 2,C 8 24 4.1 (a) Graf kordal G dan (b) Representasi pohon dari graf kordal (Sumber: FÃNICÃ GAVRIL, 1974) 27 4.2 Irisan graf subpohon dari pohon adalah graf kordal. 32 4.3 Graf Kordal Bipartisi 34 4.4 Graf Kordal Bipartisi dengan Colouring Graph pada clique 34 4.5 Hasil bipartisi dari Clique 35 4.6 Representasi pohon dari graf kordal bipartisi 35 4.7 Pembagian Clique dengan Colouring Graph 36 4.8 (a) dan (b) hasil representasi pohon dari graf kordal bipartisi 37 x

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai ilmu dasar telah memberikan kemajuan yang begitu banyak dalam berbagai bidang. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang turut memberikan andil dalam kemajuan tersebut. Teori graf ini sebenarnya telah dikenal lebih dari 250 tahun yang silam. Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui tulisan euler yang berisi tentang upaya pemecahan masalah jembatan konisberg yang sangat terkenal di Eropa. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut tidak ada perkembangan yang sangat berarti berkenaan dengan teori graf. Tahun 1847, Kirchoff (1824-1887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian Cayley (1821-1895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon. Hal yang penting untuk dibicarakan sehubungan dengan teori graf adalah apa yang dikemukakan oleh Hamilton (1805-1865). Tahun 1859 berhasil menemukan suatu permainan yang kemudian dijualnya ke pabrik mainan di Dublin. Permainan tersebut dari kayu berbentuk dodecahedron beraturan yakni berupa sebuah pentagon beraturan dan tiap pojoknya dibentuk oleh tiga sisi berbeda. Tiap pojok dari em dedacahedron tersebut dipasangkan dengan sebuah kota terkenal seperti London, New York, Paris, dan lain-lain. Masalah dalam permainan ini adalah kita diminta untuk mencari suatu rute melalui sisi-sisi dari dodecahedron sehingga tiap kota dari 20 kota yang ada dapat dilalui tepat satu kali. Ketertarikan dalam bidang graf dan aplikasinya belum berhenti sampai disitu. Pada tahun 1958 Hajnal dan Suranyi membahas rigid-circuit graf atau triangulated graph yang sekarang lebih dikenal dengan sebutan graf kordal. Sebuah graf dikatakan graf kordal jika panjang lingkaran dari graf tersebut lebih besar atau sama dengan 4 (empat) dan graf tersebut haruslah chord. Chord adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada graf. Istilah ini sering digunakan untuk menggambarkan segmen garis yang titik akhirnya terletak pada lingkaran 1

2 graf tersebut. Istilah ini juga digunakan dalam teori graf, dimana sebuah chord lingkaran dari graf lingkaran adalah sisi yang tidak terletak di lingkaran namun titik akhir dari chord tersebut ada pada graf lingkaran (Mckee dan Mcmorris, 2006: 19). Meskipun telah ada kegiatan yang cukup selama 1960-an, tidak sampai 1970 graf kordal telah dikarakteristikkan dalam irisan graf. Irisan graf adalah graf/pola yang mewakili irisan dari titik ataupun garis yang terdapat pada himpunan keluarga suatu graf. Setiap graf dapat direpresentasikan sebagai irisan graf. Irisan graf bertujuan mengelompokkan setiap himpunan yang memiliki kesamaan dalam suatu keadaan sehingga membentuk pola yang tercipta dari hasil kesamaan (irisan) itu sendiri. Kesamaan dalam suatu keadaan tersebutlah yang menjadikan irisan graf banyak digunakan untuk menyajikan permasalahan-permasalahan di dunia nyata. Selanjutnya, permasalahan tersebut akan dipecahkan dan diperoleh solusinya dengan cara matematis. Nancy et al., (2006) berhasil mengembangkan graf kordal dengan merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Sebuah graf G dalam keluarga [,d,t] (Catatan:,d,tadalah derajat titik di graf G), jika terdapat pohon dengan derajat maksimum dan subpohon yang bersesuaian ke titik-titik di G sehingga setiap subpohon yang mempunyai derajat yang paling maksimum d dan dua titik dari G dikatakan bertetangga jika dan hanya jika subpohon yang bersesuaian kepada yang memiliki setidaknya t umum titik. Pada tahun 2006, Huang mulai membahas karakteristik dari graf kordal bipartisi. Sebuah graf kordal dikatakan bipartisi jika dan hanya jika panjang cycle dari graf tersebut paling sedikit 6 (enam) dan haruslah mengandung chord. Dalam penelitiannya Huang menunjukkan bahwa graf bipartisi adalah graf kordal jika dan hanya jika komplemen adalah irisan graf keluarga yang memasangkan claws yang cocok dalam hypercircle yang berbobot (Hypercircle adalah graf yang terdiri dari titik internal yang menghubungkan path antara dua titik utama dan claw dalam hypercircle terhubung oleh tepat satu dari dua titik utama). Huang juga memperkenalkan dua kelas dari graf bipartisi, keduanya mengandung interval bigraf (graf bipartisi) dan interval pertahanan bigraf. Penelitiannya menunjukkan bahwa dua kelas tersebut untuk mengidentifikasi kelas kordal graf bipartisi.

3 Dalam penelitian ini penulis akan meneliti representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan cara mengembangkan model yang terlebih dahulu diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL. Penelitian ini terinspirasi dari tulisan N. Eaton et al Tree Representation of Graph dan tulisan Jiang Huang Representation Characterizations of Chordal Bipartite Graph yang pada dasarnya merupakan kombinasi dari keduanya. Hasil dari penelitian ini adalah representasi pohon yang diperoleh melalui pengembangan model oleh FÃNICÃ GAVRIL dari graf kordal bipartisi. 1.2 Perumusan Masalah Graf kordal adalah graf yang mengandung lingkaran (Cycle) dengan panjang lingkaran lebih besar atau sama dengan 4 (empat). Seiring semakin berkembangnya teori graf, Nancy et al., pada tahun 2006 menemukan cara bagaimana merepresentasikan graf kordal menjadi graf pohon. Graf pohon merupakan graf yang tidak mengandung lingkaran (Cycle). Jelaslah bahwa graf kordal bertolak belakang dengan graf pohon. Namun Nancy et al., mampu membuktikannya. Huang pada tahun 2006 memperluas pengetahuan dengan membuat sebuah tulisan yang membahas karateristik dari graf kordal bipatisi. Berkaitan dengan hal-hal tersebut, peneliti akan membahas representasi pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL. 1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan memberikan kontribusi dalam penyelesaian persoalan yang berhubungan dengan merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi dengan mengembangkan algoritma yang terlebih dahulu telah diperkenalkan oleh FÃNICÃ GAVRIL.

4 1.5 Metode Penelitian Penelitian yang dilakukan merupakan studi literatur dan kepustakaan untuk memberikan pemahaman tentang representasi pohon dari graf. Berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan: 1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai representasi pohon dari graf terutama graf kordal; 2. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai teori graf, Dimulai dengan penjelasan definisi pengertian graf, jenis-jenis graf, graf khusus yaitu graf pohon dan graf kordal; 3. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai graf kordal bipartisi. Dimulai dengan penjelasan defenisi graf kordal bipartisi, sifat-sifat graf kordal bipartisi, serta pembuktian beberapa teorema yang berhubungan dengan graf kordal bipartisi; 4. Mengembangkan representasi pohon dari graf kordal menjadi representasi pohon dari graf kordal bipartisi. (a) Memaparkan persoalan secara konseptual yang disertakan pembuktiannya; (b) Memaparkan karakter-karakter khusus yang berkaitan dengan graf kordal bipartisi; (c) Menganalisa algoritma yang akan dikembangkan untuk merepresentasikan pohon dari graf kordal bipartisi; (d) Menyusun cara kerja dan langkah-langkah representasi graf kordal bipartisi menjadi graf pohon; (e) Merepresentasikan graf kordal bipartisi menjadi graf pohon.

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Teori graf banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan yang timbul di dunia nyata. Penggunaan graf dianggap bisa memodelkan masalah yang ada. Hal ini menimbulkan ketertarikan untuk menggali dan meneliti lebih banyak lagi tentang graf. Pada dasarnya graf memiliki banyak hal yang bisa diteliti, seperti halnya graf-graf khusus yang berkaitan dengan titik, sisi, dan derajatnya. Salah satu graf khusus yang akan dibahas pada penelitian ini adalah graf kordal. Mckee dan Mcmorris secara khusus membahas graf kordal dalam bukunya yang berjudul Intersection Graph Teory (1999). Dalam bukunya tersebut dibahas mengenai ciriciri dan karakteristik dari graf kordal beserta aplikasinya. 2.1 Graf Bahan utama yang digunakan pada pembahasan berikut diambil dari Reinhard Diestel (2010) kecuali disebutkan berbeda. Graf didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G =(V,E), dimana V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul. Himpunan simpul dari graf G ditulis dengan V (G) ={v 1,v 2,v 3,...,v n }, sedangkan himpunan sisi dari graf G dinyatakan dengan E(G) ={e 1,e 2,e 3,...,e n } atau sisi yang menghubungkan simpul v i dengan simpul v j dapat dinyatakan dengan pasangan (v i,v j ). Pada umumnya untuk menggambarkan sebuah graf terdiri atas dot sebagai titik (vertex) dan gabungan dari 2 (dua) titik adalah garis (edge). Suatu graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap simpul dari graf G terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Jalur pada graf G adalah perjalanan yang melewati semua simpul yang berbeda-beda. Perjalanan pada suatu graf G adalah barisan simpul dan ruas berganti-ganti. v 1,e 1,v 2,e 2,v 3,e 3,...,v n,e n. Suatu graf dapat digambarkan secara lengkap dengan cara mendaftar titik dan sisinya. Secara matematis, graf dapat di definisikan sebagai berikut: 5

6 1. Graf G didefinisikan sebagai pemasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini: V = {v 1,v 2,...,v n } adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik (vertices atau node) dan E = {e 1,e 2,...,e n } adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang titik; 2. Himpunan V tidak boleh kosong, sedangkan himpunan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu pun, tetapi titiknya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu titik tanpa sisi dinamakan graf trivial. Titik pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a,b,c,...,v,w,..., dengan bilangan asli 1, 2, 3,..., atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan titik v 1 dinyatakan dengan pasangan (v i,v j ) atau dengan lambang e 1,e 2,... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan titik v i, maka e dapat ditulis sebagai e =(v i,v j ). Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan titik di dalam bidang dwimatra yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi). Gambar 2.1 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu

7 2.1.1 Jenis-jenis Graf Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut pandang pengelompokannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi gelang, berdasarkan jumlah titik, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Sehingga secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 (dua) jenis: 1. Simple Graph Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut. Jadi menuliskan sisi (u, v) sama saja dengan (v,u). Graf sederhana G =(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda disebut sisi; 2. Unsimple Graph Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana. Ada 2 (dua) macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu. Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. G 2 pada Gambar 2.1 adalah graf ganda. Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah. Sisi ganda dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak-terurut yang sama (Rinaldi Munir, 2010: 357). Graf semu adalah graf yang mengandung gelang. G3 adalah graf semu (meskipun memiliki sisi ganda sekalipun). Graf semu lebih umum daripada graf ganda, karena sisi pada graf semu dapat terhubung ke dirinya sendiri. Jumlah titik pada graf disebut sebagai kardinalitas graf, dan dinyatakan dengan n = V, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = E. Pada Gambar 2.1, G 1 mempunyai n = 4, dan m = 5, sedangkan G 2 mempunyai n = 4 dan m =7.

8 jenis: Berdasarkan jumlah titik pada suatu graf, graf digolongkan menjadi 2 (dua) 1. Limited Graph Graf berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik n yang berhingga. Gambar 2.2 Graf berhingga 2. Unlimited Graph Graf tak-berhingga adalah graf yang memiliki jumlah titik yang tak-berhingga. Gambar 2.3 Graf tak berhingga Berdasarkan orientasi arah pada sisi, secara umum graf dapat dibedakan atas 2 (dua) jenis: 1. Undirected Graph Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) =(v, u) adalah sisi yang sama. Tiga buah graf pada Gambar 2.1 adalah graf tak-berarah.

9 2. Directed graph atau Digraph Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dengan kata lain (u, v) (v,u). Titik u dinamakan titik asal dan titik v dinamakan titik terminal. Gambar 2.4 Graf berarah Ada beberapa graf khusus yang dijumpai pada banyak aplikasi. Beberapa di antaranya adalah: 1. Complete Graph Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya. Graf lengkap dengan n buah titik dilambangkan dengan K n. Setiap titik pada K n berderajat n 1. Gambar 2.5 Graf lengkap K n, 1 n 6 2. Cyclic Graph Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat 2 (dua). Graf lingkaran dengan n titik dilambangkan dengan C n adalah v 1,v 2,...,v n, sehingga sisi-sisinya adalah (v 1,v 2 ), (v 2,v 3 ),...,(v n 1,v n ), dan (v n,v 1 ). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir v n ke titik pertama v 1.

10 Gambar 2.6 Graf lingkar C n, 3 n 68 3. Regular Graph Graf teratur adalah graf yang memiliki derajat yang sama. Jika derajat setiap titik adalah r, maka graf disebut sebagai graf teratur derajat r. Graf lengkap K n dan graf lingkar C n juga termaksud ke dalam graf teratur. Gambar 2.7 Graf teratur derajat 0, 1, dan 2 4. Bipartie Graph Jika r 2 adalah bilangan bulat. Graf G =(V,E) disebut r-partite jika V menambahkan partisi kedalam kelas r sehingga setiap sisi mempunyai titik akhir di kelas yang berbeda: titik di kelas partisi yang sama tidak harus bertetangga sebagai ganti 2-partisi. Sebuah graf r-partite yang mana setiap 2 titik dari kelas partisi berbeda yang saling bertetangga disebut lengkap: graf r-partite lengkap untuk semua r yang bersamaan adalah graf lengkap multipartite. Gambar 2.8 Dua graf 3-bipartisi

11 Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi 2 (dua) himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik di V 1 ke sebuah titik di V 2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V 1,V 2 ). Dengan kata lain, setiap pasangan titik di V 1 (demikian pula dengan titik-titik di V 2 ) tidak bertetangga. Jika setiap titik di V 1 bertetangga dengan semua titik di V 2, maka G(V 1,V 2 ) disebut sebagai graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan K m,n. Jumlah sisi pada bipartit lengkap adalah mn. Teorema 2.1.1 Asratian et al.,(1998)) Sebuah graf G adalah graf bipartisi jika dan hanya jika G tidak mempunyai cycle ganjil. Bukti: Andaikan G adalah sebuah graf bipastisi dengan partisi (V 1,V 2 ) dan C = v 0 v 1 v 2,.v k v 0 adalah sebuah cycle di G. tanpa menghilangkan keumumannya asumsikan v 0 V 1. Maka, karena G graf bipartisi, v 1 haruslah sebuah titik di subset V 2. Tentu harus punya v 2i V 1 dan v 2i+1 V 2. Karena itu k haruslah ganjil, dan C adalah cycle genap. Graf r-partite lengkap K n 1... K nr dinotasikan oleh K n1,...,nr ; jika n 1 =... = n r =: s. Dengan mempertimbangkan K r s K r s adalah graf lengkap r- partite yang mana setiap kelas partisi mengandung tepat s titik. Graf dari Gambar 2.9 Tiga gambar dari graf bipartisi K 3,3 = K 2 3 bagian K 1,n disebut stars; titik di kelas partisi singleton dari K 1,n adalah stars centre. Jelaslah bahwa sebuah graf bipartisi tidak dapat mengandung sebuah odd cycle, panjang lingkaran odd. Pada kenyataannya graf dikarakteristikkan oleh sifat berikut: Proposisi 2.1 Sebuah graf adalah bipartisi jika dan hanya jika graf tersebut tidak mengandung ood cycle.

12 Bukti: jika G =(V,E) menjadi sebuah graf tanpa odd cycle, dapat ditunjukkan bahwa G bipartisi. Jelaslah bahwa sebuah graf adalah bipartisi jika semua komponen adalah biparitisi atau trivial dan graf G terhubung. Gambar 2.10 Graf bipartit G(V 1,V 2 ) 5. Connected Keterhubungan dua buah titik adalah penting di dalam graf. Jika dua buah titik u dan titik v dikatakan terhubung, maka terdapat lintasan dari u dan v. Jika 2 (dua) buah titik terhubung, maka pasti titik yang pertama dapat dicapai dari titik yang ke dua. Jika setiap pasang titik di dalam graf terhubung, maka graf tersebut dikatakan graf terhubung. Secara formal, definisi graf terhubung menurut Rinaldi Munir (2010: 372) adalah sebagai berikut: Graf tak-berarah G disebut graf terhubung untuk setiap pasang titik u dan v dalam himpunan V dan terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak ada keterhubungan antara titik u dan v, maka G disebut graf tak-terhubung. Gambar 2.11 Graf tak-berarah tidak terhubung

13 Graf yang hanya terdiri atas satu titik saja (tidak ada sisi) tetap dikatakan terhubung, karena titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri juga dikatakan graf terhubung. Jika graf tak berarahnya terhubung (graf takberarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya), maka graf berarah G dikatakan terhubung. Keterhubungan 2 (dua) buah titik pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah. Dua titik u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat karena terdapat lintasan berarah dari u ke v, dan juga sebaliknya lintasan berarah dari v ke u. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak-berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah. Ke dua pernyataan tersebut (terhubung kuat dan terhubung lemah) melahirkan definisi graf terhubung kuat: Graf berarah G disebut graf terhubung kuat apabila untuk setiap pasang titik sembarang v i dan v j di G terhubung kuat. Jika tidak, maka G disebut graf terhubung lemah. Gambar 2.12 (a) Graf berarah terhubung kuat, (b) Graf berarah terhubung lemah 2.2 Pohon dan Hutan Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat lingkaran. Jika sebuah graf terdiri dari beberapa komponen dan tiap-tiap komponen merupakan pohon maka graf tersebut disebut hutan (forest). Titik yang berderajat 1 di pohon disebut sebagai daun. Gambar 2.13 menggambarkan graf pohon.

14 Gambar 2.13 Graf Pohon Pohon adalah tipe graf sederhana yang tidak biasa. Seperti yang akan dijelaskan, pohon memiliki sifat-sifat yang relatif bagus sehingga pada kenyataannya setiap dua simpul yang terhubung membentuk sisi akan menghasilkan lintasan yang unik. Daftar teorema berikut adalah beberapa sifat sederhana dari pohon. Teorema 2.2.1 Jika T adalah graf dengan n titik, maka pernyataan berikut akan ekuivalen. i T adalah pohon ii T tidak mengandung lingkaran dan mempunyai n 1 sisi. iii T terhubung dan mempunyai n 1 sisi. iv T terhubung dan setiap sisi adalah sebuah lintasan/jembatan. v Dua titik dari T terhubung oleh tepat satu jalur. vi T tidak mengadung lingkaran, tetapi penambahan setiap sisi baru akan menciptakan tepat satu lingkaran. Bukti. jika n = 1, maka keenam hasil adalah biasa, oleh karena itu diasumsikan bahwa n 2.

15 (i) (ii), karena T tidak mengandung lingkaran, maka penghapusan beberapa sisi harus memutuskan T ke dalam 2 (dua) graf yang masing-masing adalah pohon. Berdasarkan induksinya, jumlah sisi di setiap 2 (dua) pohon adalah kurang satu dari jumlah titik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa total keseluruhan jumlah sisi pada pohon T adalah n 1. (ii) (iii) jika T tidak terhubung, maka setiap komponen T adalah graf terhubung dengan tanpa lingkaran dan karenanya pada bagian sebelumnya jumlah titik di setiap komponen melebihi jumlah sisi yaitu 1. Total jumlah titik dari graf T melebihi total jumlah sisi sedikitnya 2. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa T mempunyai n 1 sisi. (iii) (iv) penghapusan beberapa hasil sisi dari graf dengan n titik dan n 2 sisi. (iv) (v) karena T terhubung, setiap pasang titik terhubung oleh paling sedikit satu lintasan. Jika diberikan pasangan titik terhubung oleh 2 (dua) lintasan, maka mereka akan memiliki lingkaran. Ini berlawanan dengan kenyataan bahwa setiap sisi adalah jembatan. (v) (vi) jika T mengandung sebuah lingkaran, maka ada 2 (dua) titik dalam lingkaran yang akan terhubung dengan kurang lebih 2 (dua) lintasan, ini berlawanan dengan pernyataan (v). Jika sebuah sisi e ditambahkan ke T, maka titik yang bertetangga dengan e telah terhubung di T dan akan membentuk sebuah lingkaran. (vi) (i) Diperkirakan bahwa T tidak terhubung. Jika ditambahkan ke T gabungan beberapa titik yang menghasilkan sisi dari komponen titik yang lain, maka tidak akan ada lingkaran yang terbentuk. 2.3 Pohon Merentang (Spanning Tree) Misalkan G =(V,E) adalah graf tak berarah terhubung yang bukan pohon, yang berarti G memiliki sirkuit. G dapat diubah menjadi pohon T =(V 1,E 1 ) dengan cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang ada. Caranya, mula-mula pilih salah satu sirkuit, lalu hapus satu buah sisi dari sirkuit ini. G akan tetap terhubung dan jumlah sirkuitnya berkurang satu. Bila proses ini dilakukan berulang-ulang sampai

16 semua sirkuit di G hilang, maka G menjadi sebuah pohon T yang dinamakan pohon merentang (spanning tree). Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon T sama dengan simpul semua simpul pada graf G, dan sisi-sisi pada pohon T sisi-sisi pada graf G. dengan kata lain, V 1 = V dan E 1 E. Aplikasi pohon merentang misalnya pada pemeliharaan jalan raya. Misalkan pada gambar 2.14 di bawah ini, adalah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan empat buah kota. Karena dana pemeliharaan yang terbatas, pemerintah daerah mempertimbangkan hanya memelihara jalan-jalan sesedikit mungkin sedemikian sehingga keempat kota masih tetap terhubung satu sama lain. Pohon merentang juga memainkan peranan penting dalam jaringan komputer. Gambar 2.14 Graf lengkap G dan empat buah pohon merentangnya, T 1,T 2,T 3,T 4 Harus diingat bahwa pohon merentang didefenisikan hanya untuk graf terhubung, karena pohon selalu terhubung. Pada graf tak terhubung dengan n buah simpul tidak akan dapat menemukan upagraf terhubung dengan n buah simpul. Tiap komponen dari graf tak terhubung mempunyai satu buah pohon merentang. Dengan demikian, graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai hutan merentang (spanning tree) yang terdiri dari k buah pohon merentang. Sisi pada pohon merentang disebut cabang (branch) adalah sisi dari graf semula, sedangkan tali hubung (chord atau link)dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang. Jika G adalah graf berbobot, maka bobot pohon merentang T dari G didefinisikan sebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohon merentang yang berbeda mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang di G, pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum (minimum spanning tree) merupakan pohon yang paling penting. Pohon merentang minimum mempunyai terapan yang cukup luas. Misalkan pemerintah akan

17 membangun jalur rel kereta api yang menghubungkan sejumlah kota seperti gambar 2.3. Membangun rel kereta api membutuhkan biaya yang tidak sedikit. Oleh karena itu, dibutuhkan perencanaan terbaik dengan menentukan jarak minimum untuk menghubungkan dua kota. Gambar 2.15 Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada setiap sisi menyatakan panjang rel kereta api ( 100m) (b). Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum Pada kebanyakan aplikasi pohon, simpul tertentu diperlukan sebagai akar (root). Sekali sebuah simpul dinyatakan sebagai akar, maka titik-titik yang lainnya dapat dicapai dari akar dengan memberi arah pada sisi-sisi pohon yang mengikutinya. Dengan begitu, Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar (rooted tree). Akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol dan titik-titik lainnya berderajat masuk sama dengan satu. Titik yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol disebut daun atau titik terminal. Titik yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol disebut titik dalam atau titik cabang. Setiap titik di pohon dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal (unik). Sembarang pohon tak-berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilihi sebuah simpul sebagai akar.