BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial ataupun persamaan beda. Bila digunakan persamaan diferensial, teori tersebut dinamakan sistem dinamik kontinu. Bila digunakan persamaan beda, teori tersebut dinamakan sistem dinamik diskret. Bila variabel waktu berjalan dalam himpunan yang diskret pada beberapa selang dan kontinu pada selang lain, atau himpunan-waktu lain seperti himpunan Cantor, maka kita mendapatkan persamaan dinamik pada skala waktu. Beberapa keadaan juga mungkin dimodelkan oleh operator campuran seperti persamaan diferensial-beda. Teori ini membahas kelakuan kualitatif jangka panjang sistem dinamik, dan studi pemecahan persamaan gerak dari sistem yang terutama bersifat mekanis di alam. Ini termasuk orbit planet, kelakuan rangkaian elektronik, dan pemecahan terhadap persamaan diferensial parsial yang muncul dalam biologi. Kebanyakan penelitian modern memusatkan perhatian kepada studi sistem khaos (Wikipedia). Sistem dinamik kontinu seperti disebutkan diatas, sangat membantu untuk menyelesaikan persamaan-persamaan dengan variabel parameter yang saling berhubungan dan sering digunakan sebagai solusi penyelesaian dari beberapa model 1
matematika, khusunya bidang fisika, kimia, dan juga biologi. Dalam sistem dinamik, akan diketahui perilaku sistem yang diberikan. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menganalisa kestabilan sistem yaitu melalui nilai eigen, metode Lyapunov, limit cycle dan bifurkasi. Melalui nilai eigen akan diperoleh informasi kestabilan sistem, baik menggunakan sistem persamaan diferensial linier maupun sistem almost linier. 1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah analisa kestabilan suatu persamaan linier 2 dimensi melalui nilai eigennya. 1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mengetahui kestabilan suatu persamaan linier 2 dimensi melalui nilai eigennya. 1.4 Batasan Masalah Dalam penelitian ini, penulis hanya memfokuskan pada analisa kestabilan sistem dengan persamaan linier 2 dimensi dengan sistem dinamik kontinu. Penelitian ini juga hanya menganalisa kestabilan sistem melalui nilai eigennya. 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Secara umum sistem dinamik adalah pemodelan sebuah masalah nyata secara matematis dengan menggunakan persamaan diferensial yang didalam persamaannya mengandung parameter-parameter yang saling berhubungan. Perubahan pada parameter-parameter tersebut akan mengakibatkan perubahan kestabilan pada titik equilibrium. Sistem dinamik pada E adalah pemetaan = C 1 φ: R E E dengan E adalah himpunan bagian terbuka dari R n dan jika φ t (x) = φ(t, x), maka φ t memenuhi : (i) φ 0 (x) = x, x E dan (ii) φ t φ s (x) = φ t+s (x), x E dan t, s R (Perko, 2000:182) Secara geometri, sistem dinamik menggambarkan pergerakan titik-titik di dalam ruang fase sepanjang kurva-kurva solusi dari sistem persamaan diferensialnya. Secara grafik, sistem dinamik akan memunculkan orbit. 1.1.1 Orbit Orbit melalui x 0, dinotasikan sebagai Or(x 0 ), adalah himpunan titik-titik x dalam ruang keadaan X yang berada pada suatu flow sehingga x = φ t x 0, yakni Or(x 0 ) = {x X x = φ t x 0, t T} (Wiggins, 1990:2) 3
Namun, tidak semua sistem persamaan diferensial dapat ditentukan solusi dari sistemnya. Sehingga, tujuan utama sistem dinamik adalah mempelajari perilaku sistem di sekitar titik equilibrium. 1.1.2 Titik Equilibrium Titik x 0 X dikatakan titik equilibrium jika memenuhi φ t x 0 = x 0 untuk semua t T (Kuznetsov, 1990:9). Analisis kestabilan adalah suatu pendekatan yang dapat digunakan untuk mempelajari perilaku dari sistem. Analisis kestabilan dapat dilakukan dengan berbagai cara seperti penyelidikan terhadap perilaku titik setimbang persamaan diferensialnya. 1.1.3 Potret Fase Gabungan dari beberapa orbit yang digambarkan dalam satu bidang disebut potret fase atau biasa disebut bidang fase. Potret fase digambarkan dengan memanfaatkan nilai eigen dan vektor eigen dari persamaan yang dianalisis. 2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Nilai eigen dan vektor eigen sistem dinamik dapat digunakan untuk mempelajari keadaan dinamik dari suatu sistem khususnya sistem linear. Misalkan A adalah matriks n n, maka vektor x yang tidak nol di R n disebut vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λx 4
untuk λ suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A (Anton, 1988:277). Persamaan Ax = λx dapat dituliskan sebagai berikut Ax = λx Ax λx = 0 (A λi)x = 0 Persamaan (A λi)x = 0 memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika (A λi) = 0 tidak memiliki invers, akibatnya det(a λi) = 0. 2.3 Kestabilan Sistem Kestabilan suatu sistem linear dapat dilihat dari nilai eigen sistem tersebut. Pada persamaan diferensial orde satu x = f(x) dengan solusi awal x(t, x 0 ) pada waktu t dan dengan kondisi awal x(0) = x 0, pernyataan berikut bernilai benar a. Suatu nilai x dimana memenuhi f(x) = 0 maka nilai x disebut sebagai titik ekuilibrium. b. Titik ekuilibrium x dikatakan stabil jika untuk setiap ε > 0 dan δ > 0, sedemikian hingga jika x 0 x < δ maka x(t, x 0 ) x < ε untuk setiap t 0 c. Titik ekuilibrium x dikatakan stabil asimtotis jika titik ekuilibrium tersebut stabil dan selain itu untuk δ 1 > 0, sedemikian hingga lim t x(t, x 0 ) x = 0 dengan ketentuan bahwa x 0 x < δ 1. 5
d. Titik ekuilibrium x tidak stabil jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sedemikian sehingga, jika x 0 x < δ, maka x(t, x 0 ) x > ε untuk semua t 0 (Olsder, 2004:57) 6
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Hasil Tulisan ini merupakan kajian terhadap bentuk-bentuk kestabilan sistem melalui persamaan diferensial. Adapun sistem persamaan diferensial yang digunakan dalam penelitian ini adalah sistem persamaan diferensial linier 2 dimensi. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial linier 2 dimensi dan pengecekan nilai eigen serta kestabilannya. 1. dx dy = 2x + y dan = 2x + 3y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 2 1 2 3 ) λ 1 = 1 v 1 = ( 1 1 ) λ 2 = 4 v 2 = ( 1 2 ) [ x(t) y(t) ] = C 1e t ( 1 1 ) + C 2e 4t ( 1 2 ) Tidak stabil dengan tipe titik kestabilan adalah node 7
Gambar 3.1 Potret fase (tidak stabil dengan tipe titik kestabilan node) 2. dx dy = x + 2y dan = 2x 2y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 1 2 2 2 ) λ 1 = 3 v 1 = ( 1 2 ) λ 2 = 2 v 2 = ( 2 1 ) [ x(t) y(t) ] = C 1e 3t ( 1 2 ) + C 2e 2t ( 2 1 ) Tidak stabil dengan tipe titik kestabilan adalah titik pelana (saddle point) 8
Gambar 3.2 Potret fase (tidak stabil dengan tipe titik kestabilan pelana) 3. dx = 3x dan dy = 3y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 3 0 0 3 ) λ 1 = λ 2 = 3 v 1 = v 2 = ( 1 0 ) [ x(t) y(t) ] = C 1e 3t ( 1 0 ) + C 2e 3t x ( 1 0 ) Tidak stabil dengan tipe titik kestabilan adalah node 9
Gambar 3.3 Potret fase (tidak stabil dengan tipe titik kestabilan node) 4. dx dy = 5x y dan = x 3y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 5 1 1 3 ) λ 1 = λ 2 = 4 v 1 = v 2 = ( 1 9 ) [ x(t) y(t) ] = C 1e 4t ( 1 9 ) + C 2e 4t x ( 1 9 ) Stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan adalah node 10
Gambar 3.4 Potret fase (stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan node) 5. dx dy = y dan = 50x 15y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 0 1 50 15 ) λ 1 = 5 v 1 = ( 1 5 ) λ 2 = 10 v 2 = ( 1 10 ) [ x(t) y(t) ] = C 1e 5t ( 1 5 ) + C 2e 10t ( 1 10 ) Stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan adalah node 11
Gambar 3.5 Potret fase (stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan node) 6. dx dy = 4x + 5y dan = 5x + 2y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 4 5 5 2 ) λ 1 = 1 + 4i v 1 = ( 3 4i 5 ) λ 2 = 1 4i v 2 = ( 3 + 4i 5 ) x(t) = 3e t cos 4t + 4e t sin 4t y(t) = 5e t cos 4t Stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan adalah spiral point 12
Gambar 3.6 Potret fase (stabil asimtotik dengan tipe titik kestabilan spiral point) 7. dx dy = 4x + 5y dan = 5x 2y Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 4 5 5 2 ) 3 4i λ 1 = 1 + 4i v 1 = ( ) 5 3 + 4i λ 2 = 1 4i v 2 = ( ) 5 x(t) = 3e t cos 4t 4e t sin 4t y(t) = 5e t cos 4t Tidak stabil dengan tipe titik kestabilan adalah spiral point 13
Gambar 3.7 Potret fase (tidak stabil dengan tipe titik kestabilan spiral point) 8. dx = y dan dy = x Penyelesaian : Titik kritis : (x, y) = (0,0) A = ( 0 1 1 0 ) λ 1 = i v 1 = ( 1 i ) λ 2 = i v 2 = ( 1 i ) [ x(t) y(t) ] = A cos x (1 i ) + B sin x ( 1 i ) Stabil dengan tipe titik kestabilan adalah center 14
Gambar 3.8 Potret fase (stabil dengan tipe titik kestabilan center) 3.2 Pembahasan Beberapa contoh persamaan diferensial diatas memberikan nilai eigen dan vektor eigen yang berbeda-beda, dimana untuk persamaan pertama, diperoleh nilai eigen positif yang berbeda sehingga mengakibatkan persamaan tersebut tidak stabil dengan tipe titik kritis node. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titiktitik uji menjauh dari titik kritis. Untuk persamaan kedua, salah satu nilai eigen yang dihasilkan positif dan satunya lagi negatif, sehingga mengakibatkan persamaan tersebut tidak stabil dengan tipe titik kritisnya adalah pelana atau saddle point. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji menjauh dari titik kritis dan membentuk pola seperti pelana kuda. Untuk persamaan ketiga, nilai eigen yang diperoleh adalah positif sama. Sehingga mengakibatkan persamaan tersebut tidak stabil dengan tipe titik kritisnya 15
adalah node. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji menjauh dari titik kritis. Untuk persamaan keempat diperoleh nilai eigen yang sama, namun bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan persamaan tersebut stabil asimtotik dengan tipe titik kritisnya adalah node. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji masuk ke titik kritis. Dari persamaan kelima diperoleh nilai eigen yang berbeda dan juga kedua nilai eigen yang dihasilkan bernilai negatif, sehingga mengakibatkan persamaan tersebut stabil asimtotik dengan tipe titik kritisnya adalah node. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji masuk ke titik kritis. Persamaan keenam diperoleh nilai eigen yang imaginer, dimana α dari nilai eigen tersebut bernilai negatif. Hal ini mengakibatkan persamaan tersebut stabil saimtotik dengan tipe titik kritisnya adalah spiral point. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji masuk ke titik kritis dan berbentuk seperti spiral. Persamaan ketujuh diperoleh nilai eigen yang imaginer, dimana α dari nilai eigen tersebut bernilai positif. Hal ini mengakibatkan persamaan tersebut tidak stabil dengan tipe titik kritisnya adalah spiral point. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titik-titik uji menjauh dari titik kritis dan berbentuk seperti spiral. 16
Persamaan kedelapan diperoleh nilai eigen yang imaginer, dimana α dari nilai eigen tersebut bernilai 0. Hal ini mengakibatkan persamaan tersebut stabil dengan tipe titik kritisnya adalah center. Dari potret fase yang dihasilkan ditunjukkan bahwa titiktitik uji masuk ke titik kritis dan membentuk pola center. 17
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Berikut beberapa jenis nilai eigen yang diperoleh dan kestabilan yang dihasilkan. 1. Nilai eigen positif berbeda menyebabkan persamaan tidak stabil dengan tipe titik kritisnya node. 2. Nilai eigen positif negatif menyebabkan persamaan tidak stabil dengan tipe titik kritisnya titik pelana (saddle point). 3. Nilai eigen positif sama menyebabkan persamaan tidak stabil dengan tipe titik kritisnya node. 4. Nilai eigen negatif sama menyebabkan persamaan stabil asimtotik dengan tipe titik kritisnya node. 5. Nilai eigen negatif berbeda menyebabkan persamaan stabil asimtotik dengan tipe titik kritisnya node. 6. Nilai eigen imaginer dengan α negatif menyebabkan persamaan stabil asimtotik dengan tipe titik kritisnya spiral point. 7. Nilai eigen imaginer dengan α positif menyebabkan persamaan tidak stabil dengan tipe titik kritisnya spiral point. 8. Nilai eigen imaginer dengan α = 0 menyebabkan persamaan stabil dengan tipe titik kritisnya center. 18
4.2 Saran Untuk proses pencarian nilai eigen dan khususnya penggambaran potret fase akan lebih efektif jika menggunakan program Maple 13 dari pada menggunakan cara manual. Sehingga sangatlah penting untuk setiap mahasiswa menguasai program tersebut. Dalam penyusunan tulisan ini, penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan, sehingga penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk memperbaiki kinerja penulis di kemudian hari. 19
DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer. (Alih bahasa: Pantur Silaban, dan I. Nyoman Susila. Jakarta: Penerbit Erlangga. Tersedia pada http://eprints.ung.ac.id/5536/5/2013-1-84202-411409045-bab2-01082013012017.pdf. (diakses tanggal 29 November 2015) G.J. Olsder & J.W.Van der Woude. 2004. Mathematical Systems Theory. VSSD. Tersedia pada http://eprints.ung.ac.id/5536/5/2013-1-84202-411409045-bab2-01082013012017.pdf. (diakses tanggal 29 November 2015) Kustnetsov, Y.A. 1998. Element of Applied Bifurcation Theory. Springer-Verlag: New York. Tersedia pada http://eprints.ung.ac.id/5536/5/2013-1-84202-411409045-bab2-01082013012017.pdf. (diakses tanggal 29 November 2015) Perko, L. 2000. Differential Equations and Dynamical System. Springer-Verlag: New York. Tersedia pada http://eprints.ung.ac.id/5536/5/2013-1-84202-411409045-bab2-01082013012017.pdf. (diakses tanggal 29 November 2015) Wiggins, S. 1990. Introduction to Applied Nonlinier Dynamic System and Chaos. Springer-Verlag: New York. Tersedia pada http://eprints.ung.ac.id/5536/5/2013-1-84202-411409045-bab2-01082013012017.pdf. (diakses tanggal 29 November 2015) https://id.wikipedia.org/wiki/teori_sistem_dinamik 20