INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl integrl Integrl tk tentu : Diseut jug segi nti turunn, merupkn integrl tnp ts ng sellu memut nili konstnt (C) ng tk tentu nilin.: F () d = F() + C Integrl tertentu : Integrl dengn entuk fungsi (di rus knn) tertentu dn diserti ts integrsi, ditulis : F'()d F() F() F() RUMUS DASAR. n d. n n d d = n. os d = sin + C sin d = -os + C se d = tg + C ose d = -otg + C se. tg d = se + C ose. otg d = -ose + C SIFAT. {F() G()} d = F() d G() d. k F() d = k F() d. F()d F()d. F()d F()d. F()d PENERAPAN INTEGRAL - menghitung lus - menghitung vol - menghitung pnjng usur F()d. Menghitung lus derh erdsr ts sumu = = = L = d erdsr ts sumu L Y = L = - d lus derh dintr kurv = L = d L = - d lus derh rsirn : ( )d L. Menghitung volume end putr Kurv = f() diputr o thd s Y = f() = L L = L V = Kurv = f() diputr o thd s Y = = Y = g() Y = f() = = = f() = V = d d Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Menghitung pnjng usur sutu kurv d AB d d d Teknik pengintegrln. Cr is Arhkn pd opersi penjumlhn (+/-). Cr sustitusi n n. ( ) d..( ) C n g() F[g()].g' ()d F[g()]g' (). g'() Trigonometri: d = sin t d d d = os t dt =. tg t d =. se t dt = se t dt d =. se t. tg t dt. Integrl prsil : u dv = u. v - v. du Dengn entuk v du leih sederhn dri u dv Integrl Peh Rsionl. d. n( ) d A d ( p)( q) ( p) d. ( p)( q). ( A B C ( p) ( q) ( q) d. ( p)( ) A = d B = A B C d p Y = f() d q) d Sol-sol ltihn :. Jik f () ( ) d dn f(), mk f() = (A) + (B) + (C) + (D) (E) + +. Jik f () ( ) d, f(), dn f (), mk nili dlh.. Jik F' () dn F(), mk F() =. 9 9. Jik f () ( ) d dn f(), mk f() =. + + + + + +. Jik f () ( ) d dn f (), mk f() =. + + + + + Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. F'() ( )( ). Jik F() =. + + + + + + + + ( + ) ( ) F( ), mk. Bil F () ( ) d, mk grfik f () ng mellui (,) pling mirip dengn.. Nili > ng memenuhi ( )d dlh.. Jik d, ( )d dn, >, mk nili. dlh.. Jik p nkn fktor prim dri dn q kr positif persmn:, p mk ( ) d... q.. f ()d dn f () d, mk f () d.... d 9...... Jik n > dn memenuhi persmn n ( n)d n, mk nili n sm dengn... Jik, mk ( d ) d d. Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. sin os d =.... sin + C os + C sin sin os + C os os sin + C os + os sin + C. sin os d =. sin + C os + C os + C sin + C sin + C. os d =.. sin( )d =. w 9. Jik f (w) (sin t os t) dt, mk f =. +. ( os )sind dlh.,,,,. ( os )sin d dlh.,,,,. Lus derh ng ditsi oleh kurv dn sumu dlh.. Lus derh ng ditsi oleh prol dn gris dlh.. Lus derh ng ditsi oleh kurv dn gris dlh.,,,, Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Lus derh ng ditsi kurv dn gris dlh. stun lus stun lus stun lus stun lus stun lus. Lus derh diwh prol dn dits gris dlh. 9 9. Lus derh ng ditsi oleh prol dn dlh.... Lus derh ng ditsi oleh prol dn dlh. 9. Lus derh ng ditsi prol dn gris dlh. 9. Lus derh ng ditsi oleh kurv ( ) dn gris = dlh. stun lus stun lus stun lus stun lus stun lus. Lus derh tertutup ng ditsi oleh usur prol. dn dlh. Lus derh ng ditsi oleh kurv dengn., sumu- dn gris. Lus derh ng ditsi kurv sm, sumu, gris dn dlh.. stun lus stun lus stun lus stun lus stun lus. Lus derh ng dirsir dlh. 9 = Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Lus kurv ng dirsir.. Lus derh ng dirsir (liht gmr) =. A(,) B(,) =. Lus derh ng ditsi oleh kurv, sumu- dn gris dlh. =. Lus derh ng ditsi oleh prol dn sumu-, seperti pd gmr dlh. Ordint punk prol dlh. (,) 9. Lus derh erikut ng dirsir dpt dintkn dengn () () () d + ( ( + + ) d + ) d ( + ) d. Lus derh ng ditsi oleh kurv sin, sumu, gris gris. dlh. ( ) ( +) dn. Jik lus idng ng ditsi oleh gris, dn sumu ntr = dn = mentkn nkn krwn sutu prik ng erpenghsiln ntr riu rupih dn rupih, mk krwn ng erpenghsiln di ts. dlh. gin gin gin gin gin. Jik M = i mrginl, T = i totl, dn B = jumlh rng ng diproduksi, diperoleh huungn M = dt/db. Jik dikethui hw M = B + dn i tetp (i untuk produksi nol) dlh Rp..,- mk i totl untuk memproduksi rng dlh. Rp. Rp. Rp.. Rp.. Rp.. () d + ( + ) d '. Jik f os d dn g f g ' =. sin sin mk sin sin Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om sin sin sin sin sin sin. Untuk mk tg tg tg... d. tg +k os +k os +k sin +k sin +k. Dikethui f () d, dn. Jik, f()., mementuk risn ritmtik, dn f() =, mk f () d =.. Turunn pertm fungsi f() ilh f () mk f() =. 9. Dikethui df () d, jik f () 9 mk f() =.. Grdien gris singgung kurv f () di titik (, ) dlh. Jik kurv mellui (,) mk i memotong sumu di. (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) dn 9. Jik f (), f () d mk + =. f () =. Grdien gris singgung sutu kurv di titik (,) sm dengn. Jik kurv ini mellui titik (,) mk kurv terseut memotong sumu di. (,) (,) (,9) (,) (,). Grdien gris singgung grfik fungsi f () di setip titik P(,) sm dengn du kli sis titik P terseut. Jik grfik fugsi itu mellui titik (,) mk f() =. + + +. Grdien gris singgung sutu kurv di titik (,) dlh. Jik kurv ini mellui titik (,9) mk persmn gris singgung kurv ini di titik ng ersis dlh. = + = = + = =. Tururnn kedu dri f() dlh f ''(). Jik grfik f () mellui titik (,) dn gris singgung f () di titik A mempuni grdien, mk f() =. + + + + + + + + + +. Dikethui df, F() F( ) ; d F() F(), mk + =. Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Jik gmr diwh ini dlh grfik df(), mk dpt disimpulkn hw d fungsi f() =. Menpi nili mksimum di = Menpi nili minimum di = Nik pd intervl { < } Sellu memotong sumu- di titik (,) Merupkn fungsi kudrt. Seuh kurv mellui titik (,) dn (,). Jik grdien gris singgungn disetip titik (,) dlh, mk kurv itu dlh. Lingkrn Prol Hiperol Elips gris lurus. Keeptn tu lju pertumuhn penduduk sutu kot untuk t thun ng kn dtng dintkn segi. t N t t, t 9 Jik nk penduduk st ini dlh. jiw, mk nk penduduk 9 thun ng kn dtng dlh.. Jiw. Jiw. Jiw. Jiw. Jiw. Apil fungsi f() dpt diintegrlkn pd selng erlkulh. f() d = f() f() f() d + f() d f() d = f() d = f() d = f( ) f() d + f() d = f() d 9. Jik f() dn g() dpt diintegrlkn dlm selng dn g mk () f() g() d = g() f() d () (f() g()) d f ()( ) g()d () ()d f g() = f () g() d () ( f() g() )d f ()d g()d. Lus derh ng ditsi oleh kurv sin, os dn sumu untuk dlh. (sin os ) d (os sin) d sin d os d os d sin d sin d + os d. Dikethui f () t dt. Jik mk kurv memotong sumu pd. (,) (,) (,) (,) ( 9,) f () 9. Lus derh ng ditsi oleh prol dn dlh.. Grfik fungsi f() mellui titik (,). Jik f '() mk lus derh ng ditsi kurv f (), sumu, sumu, dn gris dlh. 9 Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om 9. Derh D ditsi oleh prol, gris =, dn gris = dn derh D ditsi oleh prol, gris =, dn sumu. Jik lus D = lus D, mk lus siku empt ng ditsi oleh sumu, sumu, gris = dn gris = dlh. =. Du uh prol P dn P memotong sumu pd du titik ng sm itu (,) dn (,) dn memotong sumu positif msing-msing di titik A dn B (B > A). Jik A = dn lus ntr du prol terseut dlh mk persmn prol P dlh. = ( ) =,( ) =,( + ) = ( ) = ( ). Grfik fungsi = os disinggung oleh gris g di titik (,) dn oleh gris h di titk (,). Kurv grfik fungsi kosinus terseut gris g dn gris h memtsi derh D. Lus derh D dlh.. Titik A(,9), B(,), C(,) dn D(,9) terletk pd prol, gris AC dn BD erpotongn di titik P. Jumlh lus derh PAB dn derh PCD dlh. B A P P (,) (,). Lus derh ng ditsi oleh gris dn kurv dpt dintkn segi integrl tertentu :. d d d d d 9. Derh D ditsi oleh grfik fungsi, gris =, dn sumu. Jik fungsi linier k (k konstnt) memgi derh D ts du gin ng lusn sm, mk k =.. Jik D dlh derh ng ditsi prol dn punk prol, mk lus D dlh. sert gris ng mellui (, ). Lus derh ng ditsi oleh sumu, kurv sin, os, dn gris dlh. + Mtemtik SMA 9

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Derh D ditsi oleh grfik fungsi, gris =, gris = dn sumu. Jik gris = memotong derh D sehingg menjdi derh D dn D ng lusn sm, mk =.. Lus derh dlm kudrn I ng ditsi oleh,, dn, dpt dintkn segi. ( ) d ( ) d ( ) d d ( d ( ) d ) d. Lus derh ng ditsi oleh kurv, gris, sumu-, dn gris dpt dintkn segi. ( ) d d + d d + ( ) d d + ( d + ( ) d ) d. Lus derh dlm kudrn pertm ng ditsi oleh, dn sumu- dpt dirumuskn segi. ( ) d ( ) d ( ) d d ( ) d ( ) d + d. Lus derh ntr kurv ( ), gris, gris dn dpt dintkn segi. ( ) d d ( ) d + d d d d d ( ) d + ( ) d ( ) d ( ) d d ( ) d + ( ) d. Lus derh ng ditsi oleh kurv fungsi os dn turunnn pd selng dlh.. Lus derh ng ditsi oleh kurv dlh., sumu-, gris 9. Lus derh ng dirsir dlh. dn = sin Mtemtik SMA

Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om. Lus derh ng ditsi oleh kurv, dlh., sumu positif dn gris. Jik lus derh ng ditsi oleh kurv p dn gris = dlh, mk p. tu tu. Dierikn grfik fungsi. = = + = =. Derh D terletk di kudrn I ng ditsi oleh prol, prol, dn gris =. Volume end putr ng terjdi il D diputr terhdp sumu dlh.. Derh D ditsi oleh kurv sin, dn sumu. Jik derh D diputr terhdp sumu, mk volume end putr ng terjdi dlh.,. Gris g meninggung kurv sin di titik (,). Jik derh ng ditsi oleh gris g, gris dn kurv sin diputr mengelilingi sumu, mk volume end putr ng terjdi dlh. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M Jik M dlh nili minimum fungsi terseut mk lus derh ng dirsir dlh. stun lus 9 stun lus stun lus stun lus stun lus Mtemtik SMA