STK511 Analisis Statistika Pertemuan 9 ANOVA (3)
9. ANOVA (3) Diagnosis Asumsi dalam Uji Hipotesis 1. bersifat bebas terhadap sesamanya. Nilai harapan dari nol, E 0 3. Ragam homogen, Var 4. Pola sebaran dari adalah N 0, 5. Model bersifat aditif (dalam klasifikasi dua arah) iid ~ N 0,
9. ANOVA (3) Uji Lanjut Kontras Ortogonal Kontras merupakan perbandingan berstruktur antar suatu perlakuan dengan perlakuan lain atau antar kelompok perlakuan dengan kelompok yang lain Perlakuan atau kelompok perlakuan yang diperbandingan diberi koefesien dengan tanda yg berbeda (+/-) dengan total koefesien harus sama dengan 0 Bentuk hipotesis yg diuji adalah sebagai berikut: Ho c11 c t t :... 0 dengan c 0 t i1 i
9. ANOVA (3) Uji Lanjut Kontras Ortogonal Contoh kasus penyusunan kontras untuk 4 buah perlakuan Perlakuan yang diperbandingkan AB vs CD, A vs B dan C vs D Struktur kontrasnya adalah sebagai berikut: Kontras Perlakuan A B C D 1. AB vs CD 1 1-1 -1. A vs B 1-1 0 0 3. C vs D 0 0 1-1 JK ( Kontras) db 1 k i1 k r C Y i1 i C i. i
9. ANOVA (3) Data hipotetik Faktor 1 : F1, F Faktor : P1, P, P3, P4 Blok : 1,, 3 Kontrol Ilustrasi Pengujian ANOVA Uji Lanjut (LSD, Tukey, Duncan) Kontrol vs F1 & F F1 vs F P1 & P vs P3 & P4 P1 vs P P3 vs P4
9. ANOVA (3) Ilustrasi Data hipotetik Faktor 1 : F1, F Faktor : P1, P, P3, P4 Blok : 1,, 3 Kontrol Data SAS DATA Data; INPUT no PERLK$ blok Respon; cards; 1 F1P1 1 3.0 F1P1 5.76 3 F1P1 3 19.7 4 F1P 1 3.91 5 F1P 1.99... FP4 1 1.37 3 FP4 16.3 4 FP4 3 10.0 5 KONTROL 1 10.19 6 KONTROL 9.6 7 KONTROL 3 1.73 ;
9. ANOVA (3) Ilustrasi PROC GLM; CLASS PERLK blok; MODEL Respon = PERLK blok; CONTRAST 'KONTROL VS F1 & F' PERLK -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 8; CONTRAST 'F VS F3 ' PERLK 1 1 1 1-1 -1-1 -1 0; CONTRAST 'P1&P VS P3&P4 ' PERLK 1 1-1 -1 1 1-1 -1 0; CONTRAST 'P1 VS P ' PERLK 1-1 0 0 1-1 0 0 0; CONTRAST 'P3 VS P4 ' PERLK 0 0-1 1 0 0-1 1 0; MEAN PERLK/lsd; MEAN PERLK/tukey; MEAN PERLK/duncan; RUN; Data SAS DATA Data; INPUT no PERLK$ blok Respon; cards; 1 F1P1 1 3.0 F1P1 5.76 3 F1P1 3 19.7 4 F1P 1 3.91 5 F1P 1.99... FP4 1 1.37 3 FP4 16.3 4 FP4 3 10.0 5 KONTROL 1 10.19 6 KONTROL 9.6 7 KONTROL 3 1.73 ;
9. ANOVA (3) Ilustrasi
9. ANOVA (3) Uji Lanjut Polinomial Ortogonal Digunakan untuk menguji trend pengaruh perlakuan terhadap respon (linier, kuadratik, kubik, dst) berlaku untuk perlakuan yang kuantitatif Bentuk Model: Linier Y i = b 0 + b 1 X i + I Kuadratik Y i = b 0 + b 1 X i + b X i + i Kubik Y i = b 0 + b 1 X i + b X i + b 3 X 3 i + i Bentuk umum polinomial ordo ke-n adalah: Y = 0 P 0 (X) + 1 P 1 (X) + P (X) + + n P n (X) + i
dimana, ) ( 1) 4(4 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ; ) ( 1; ) ( 1 1 1 1 1 1 0 n X P n n a n X P X P X P a d X X X P d X X X P X P n n n n dengan: a = banyaknya taraf faktor, d = jarak antar faktor, n = polinomial ordo ke-n Uji Lanjut Polinomial Ortogonal 9. ANOVA (3)
9. ANOVA (3) Uji Lanjut Polinomial Ortogonal Tabel Kontras Polinomial Ortogonal untuk jarak taraf yang sama Jumlah Perlakuan P=3 P=4 P=5 Orde Polinomial T1 T T3 T4 T5 Linier 1-1 0 1 Kuadratik 3 1-1 Linier -3-1 1 3 Kuadratik 1 1-1 -1 1 Kubik 10/3-1 3-3 1 Linier 1 - -1 0 1 Kuadratik 1-1 - -1 Kubik 5/6-1 0-1 Kuartik 35/1 1-4 6-4 1
9. ANOVA (3) Ilustrasi Data Hipotetik : Taraf Perlakuan (X) 10 30 50 70 90 5 1 11 5 8 45 31 10 6 6 47 6 18 13 4
9. ANOVA (3) Ilustrasi ANOVA: One-way ANOVA: Respon versus Taraf Source DF SS MS F P Taraf 4 366.4 906.6 56.66 0.000 Error 10 160.0 16.0 Total 14 3786.4 S = 4 R-Sq = 95.77% R-Sq(adj) = 94.08% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev ---------+---------+---------+---------+ 10 3 48.000 3.606 (--*--) 30 3 6.000 5.000 (--*---) 50 3 13.000 4.359 (---*--) 70 3 8.000 4.359 (--*---) 90 3 6.000.000 (--*--) ---------+---------+---------+---------+ 15 30 45 60 Pooled StDev = 4.000
9. ANOVA (3) Ilustrasi ANOVA: Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model 4 366.400000 906.600000 56.66 <.0001 Error 10 160.000000 16.000000 Corrected Total 14 3786.400000 R-Square Coeff Var Root MSE Respon Mean 0.957744 19.80198 4.000000 0.0000 Contrast DF Contrast SS Mean Square F Value Pr > F Linear 1 311.00000 311.00000 195.08 <.0001 Kuadratik 1 493.71486 493.71486 30.86 0.000 Kubik 1 10.800000 10.800000 0.68 0.4305 Kuartik 1 0.685714 0.685714 0.04 0.8401
9. ANOVA (3) Ilustrasi
9. ANOVA (3) Percobaan Faktorial
Melibatkan lebih dari satu faktor Perlakuan merupakan kombinasi taraf-taraf dari faktor yang terlibat Faktorial Penuh (Full-Factorial), seluruh kombinasi dicobakan. Jika percobaan dua faktor, A dan B, dan faktor A memiliki a taraf serta faktor B memiliki b taraf maka banyaknnya perlakuan adalah axb.
Ilustrasi Percobaan: Melihat pengaruh jenis dan dosis bahan kimia tertentu pada daya tahan produk makanan Faktor pertama: Jenis bahan kimia Terdapat 4 taraf: asam benzoate, sodium benzoate, asam propianate, belerang dioksida Faktor kedua: Dosis bahan kimia Terdapat 3 taraf: 1 g / kg adonan, g / kg adonan, 3 g / kg adonan.
Percobaan: Melihat pengaruh jenis dan dosis bahan kimia tertentu pada daya tahan produk makanan Terdapat 1 perlakuan: Ilustrasi AB, 1 g SB, 1 g AP, 1 g BD, 1 g AB, g SB, g AP, g BD, g AB, 3 g SB, 3 g AP, 3 g BD, 3 g
Keuntungan Percobaan Faktorial (dibandingkan percobaan faktor tunggal) Memperoleh informasi pengaruh dua (atau lebih) faktor dalam satu percobaan tunggal, tidak perlu melakukan percobaan terpisah untuk melihat pengaruh masing-masing faktor. Memperoleh informasi mengenai interaksi. Interaksi: pengaruh suatu faktor terhadap variabel respon tergantung pada nilai/taraf faktor yang lain.
Percobaan: melihat pengaruh jenis (Asam benzoate dan Sodium benzoate) dan dosis (1 gr, gr, 3 gr) pada daya tahan produk makanan. Terdapat 6 perlakuan: Interaksi AB, 1 g AB, g AB, 3 g SB, 1 g SB, g SB, 3 g
Interaksi 100 100 80 80 60 60 40 40 0 AB SB 0 AB SB 0 1 gr gr 3 gr 0 1 gr gr 3 gr Semakin tinggi dosis, semakin tinggi daya tahan produk makanan, baik pada AB maupun SB Penambahan dosis AB meningkatkan daya tahan produk makanan, namun tidak pada SB tidak ada interaksi ada interaksi
Percobaan: melihat pengaruh jenis (Pestona dan Pentana) dan dosis (3 ltr, 4 ltr, 5 ltr) pestisida pada daya tahan tanaman terhadap serangan penyakit. Terdapat 6 perlakuan: Ilustrasi Pestona, 3 ltr Pestona, 4 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pentana, 5 ltr Setiap perlakuan diulang 4 kali, dan diasumsikan semua satuan percobaan dalam kondisi homogen. Terdapat 4 satuan percobaan secara total. Percobaan Faktorial dalam Rancangan Acak Lengkap
Ilustrasi: Lay-Out Percobaan Penempatan secara acak 4 perlakuan (6 perlakuan x 4 ulangan) ke 4 satuan percobaan Pestona, 3 ltr Pentana, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pentana, 5 ltr Pentana, 5 ltr Pestona, 3 ltr Pestona, 4 ltr Pentana, 4 ltr Pestona, 4 ltr Pentana, 3 ltr Pestona, 5 ltr Pestona, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pestona, 3 ltr Pentana, 3 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 5 ltr Pestona, 4 ltr Pestona, 4 ltr Pentana, 3 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 4 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 5 ltr
Ilustrasi: Data 1 3 4 Pestona, 3 ltr 5 45 5 51 Pestona, 4 ltr 63 66 63 73 Pestona, 5 ltr 85 90 88 87 Pentana, 3 ltr 53 46 55 54 Pentana, 4 ltr 57 53 49 5 Pentana, 5 ltr 5 56 49 49 Pestona Pentana Semua 3 ltr 50 5 51 4 ltr 66.5 5.75 59.5 5 ltr 87.5 51.5 69.5 Semua 67.9 5.08 60
Analisis Data Model aditif linear Yijk i j ijk ij Y ijk = nilai variabel respon pada pengamatan dengan taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B untuk ulangan ke-k = rataan umum i = pengaruh utama faktor A j = pengaruh utama faktor B ( ij )= pengaruh interaksi ijk = komponen acak yang menyebar normal (0, ).
Tabel ANOVA (Sidik Ragam) Sumber keragaman Derajat bebas Jumlah kuadrat Kuadrat tengah F-hitung (Db) (JK) (KT) A a-1 JKA KTA KTA/KTG B b-1 JKB KTB KTB/KTG AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB KTAB/KTG Galat ab(r-1) JKG KTG Total abr-1 JKT Kriteria pengambilan keputusan: Tolak H 0 jika F-hitung lebih besar dari F-tabel pada taraf nyata.
Langkah Perhitungan Jumlah Kuadrat FK JKT JKA JKAB a Y... abr b r Yijk Y... a i1 j1 k1 b r Y ijk FK i.. Yi.. Y... FK JKB Y. j. Y... i1 j1 k1 Y br a b r i1 j1 k1 a b r a b r Y ij. Yi.. Y. j. Y... Y ij. Y... i1 j1 k1 i1 j1 k1 JKAB JKP JKA JKB JKP Y ij. Y... JKG JKT JKP Y ij. r FK JKA JKB Y. j. ar FK
Nilai Harapan Kuadrat Tengah Sumber keragam an Derajat bebas (Db) Jumlah kuadrat (JK) Kuadrat tengah (KT) Nilai Harapan Kuadrat tengah E(KT) Model tetap ( faktor A dan faktor B tetap) A a-1 JKA KTA + br ( i )/ (a-1) B b-1 JKB KTB + ar ( j )/ (b-1) AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB + r ( ij )/ (a-1)(b-1) Galat ab(r-1) JKG KTG
ANOVA ANOVA: Respon versus Jenis, Dosis Factor Type Levels Values Jenis fixed Pentana, Pestona Dosis fixed 3 3, 4, 5 Analysis of Variance for Respon Source DF SS MS F P Jenis 1 1504.17 1504.17 117.97 0.000 Dosis 137.00 686.00 53.80 0.000 Jenis*Dosis 1460.33 730.17 57.7 0.000 Error 18 9.50 1.75 Total 3 4566.00 S = 3.57071 R-Sq = 94.97% R-Sq(adj) = 93.58%
Percobaan Faktorial dalam RAKL Jika perlakuan yang dicobakan semakin banyak, semakin sulit mendapatkan satuan percobaan yang homogen. Satuan percobaan dikelompok-kelompokkan menurut karakteristik tertentu RAKL Pengacakan dilakukan di setiap kelompok.
Percobaan Faktorial dalam RAKL : Lay-Out Rancangan Kelompok/Blok 1 Kelompok/Blok Pestona, 4 ltr Pestona, 5 ltr Pestona, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pentana, 3 ltr Pentana, 5 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pestona, 3 ltr Pestona, 4 ltr Pentana, 5 ltr Kelompok/Blok 3 Kelompok/Blok 4 Pentana, 5 ltr Pestona, 4 ltr Pentana, 3 ltr Pestona, 3 ltr Pestona, 3 ltr Pentana, 3 ltr Pentana, 4 ltr Pentana, 5 ltr Pestona, 5 ltr Pentana, 4 ltr Pestona, 4 ltr Pestona, 5 ltr
Model Linier Aditif Yijk i j k ijk ij Keterangan: Y ijk Nilai pengamatan pada faktor A taraf ke-i faktor B taraf ke-j dan kelompok ke k (, i, j ) Komponen aditif dari rataan, pengaruh utama faktor A dan pengaruh utama faktor B ( ij ) Komponen interaksi dari faktor A dan faktor B k Pengaruh aditif dari kelompok dan diasumsikan tidak berinteraksi dengan perlakuan (bersifat aditif) ijk Pengaruh acak yang menyebar Normal(0, ).
Hipotesis Pengaruh utama faktor A: H0: 1 = = a =0 (faktor A tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati) H1: paling sedikit ada satu i dimana i 0 Pengaruh utama faktor B: H 0 : 1 = = b =0 (faktor B tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati) H 1 : paling sedikit ada satu j dimana j 0 Pengaruh sederhana (interaksi) faktor A dengan faktor B: H 0 : () 11 =() 1 = = () ab =0 (Interaksi dari faktor A dengan faktor B tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati) H 1 : paling sedikit ada sepasang (i,j) dimana () ij 0 Pengaruh Pengelompokan: H 0 : 1 = = r =0 (Blok tidak berpengaruh terhadap respon yang diamati) H 1 : paling sedikit ada satu k dimana k 0
Struktur Tabel Sidik Ragam Sumber keragaman Derajat bebas Jumlah kuadrat Kuadrat tengah (Db) (JK) (KT) F-hitung A a-1 JKA KTA KTA/KTG B b-1 JKB KTB KTB/KTG AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB KTAB/KTG Blok r-1 JKK KTK KTK/KTB Galat (ab-1)(r-1) JKG KTG Total abr-1 JKT Kriteria pengambilan keputusan: tolak H0 jika F-hitung lebih besar dari F-tabel pada taraf nyata
Langkah Perhitungan Jumlah Kuadrat FK JKT JKA JKAB Y... abr a b r Y ijk Y... i1 j1 k1 a b r Y ijk FK a b r Yi.. Y i.. Y... FK JKB Y. j. Y... i1 j1 k1 br i1 j1 k1 a b r a b r Y ij. Yi.. Y. j. Y... Y ij. Y... i1 j1 k1 i1 j1 k1 JKAB JKP JKA JKB JKP JKK Y ij. Y... Y.. k Y... JKG JKT JKP JKK Y.. k ab Y ij. r FK FK JKA JKB Y. j. ar FK
Nilai Harapan Kuadrat Tengah Sumber keragaman Derajat bebas (Db) Jumlah kuadrat (JK) Kuadrat tengah (KT) Nilai Harapan Kuadrat tengah E(KT) Model tetap ( faktor A dan faktor B tetap) A a-1 JKA KTA + br ( i )/ (a-1) B b-1 JKB KTB + ar ( j )/ (b-1) AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB + r ( ij )/ (a-1)(b-1) Blok r-1 JKK KTK + ab Galat (ab-1)(r-1) JKG KTG
ANOVA ANOVA: Respon versus Blok, Jenis, Dosis Factor Type Levels Values Blok fixed 4 1,, 3, 4 Jenis fixed Pentana, Pestona Dosis fixed 3 3, 4, 5 Analysis of Variance for Respon Source DF SS MS F P Blok 3 1.00 4.00 0.8 0.84 Jenis 1 1504.17 1504.17 103.74 0.000 Dosis 137.00 686.00 47.31 0.000 Jenis*Dosis 1460.33 730.17 50.36 0.000 Error 15 17.50 14.50 Total 3 4566.00 S = 3.80789 R-Sq = 95.4% R-Sq(adj) = 9.70%
9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Percobaan Lain. Rancangan Split-Plot Rancangan Split-Blok Rancangan Split-Split-Plot Repeated Measurement -> split-plot in time Rancangan Cross-Over dll..
9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Rancangan Split-Plot Rancangan petak terpisah bentuk khusus dari rancangan faktorial, dimana kombinasi perlakuan diacak secara bertahap. Beberapa pertimbangan penerapan RPT, yaitu: 1) Perbedaan kepentingan pengaruh ) Pengembangan dari percobaan yang telah berjalan 3) Kendala teknis pengacakan dilapangan Rancangan ini dapat diaplikasikan pada berbagai rancangan lingkungan (RAL, RAK, dan RBSL).
9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Ilustrasi : Rancangan Split-Plot dalam RAL Tujuan percobaan : Melihat pengaruh suhu dan konsentrasi terhadap kecepatan reaksi dari HCL + NaOH Faktor yang ingin dicobakan adalah : - Suhu : 5, 50, 75 - Konsentrasi : HCL 5 ml NaOH 5, 10, 15 ml Ulangan : 3 kali
9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Ilustrasi : Rancangan Split-Plot dalam RAL Perlakuan : NaCl 5 ml NaCl 10 ml NaCl 15 ml
Anak petak 9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Ilustrasi : Rancangan Split-Plot dalam RAL petak utama 5 50 50 75 5 75 Pengacakan SUHU H1 H H H1 H3 H H H3 H1 H H H3 Split Plot design Rancangan petak terpisah H3 H1 H3 H3 H1 H1 Pengacakan KONSENTRASI pada setiap taraf SUHU
9. ANOVA (3) Percobaan dengan Dua Faktor Model Linier Rancangan Split-Plot dalam RAL Y ijk = + A i + ik + B j + AB ij + ijk dengan : Y ijk = respon dari pengaruh faktor A ke-i, faktor B ke-j, serta ulangan ke-k = rataan umum A i = pengaruh faktor A (petak utama) ke-i ik = galat petak utama B j = pengaruh faktor B (anak petak) ke-j AB ij = pengaruh interaksi faktor A ke-i dan faktor B ke-j ijk = galat dari faktor A ke-i, faktor B ke-j, serta ulangan ke-k
Nilai Harapan Kuadrat Tengah Sumber keragaman Derajat bebas (Db) Jumlah kuadrat (JK) Kuadrat tengah (KT) Nilai Harapan Kuadrat tengah E(KT) Model tetap ( faktor A dan faktor B tetap) A a-1 JKA KTA + b + br ( i )/ (a-1) Galat (a) a(r-1) JKG a KTG a + b B b-1 JKB KTB + ar ( j )/ (b-1) AB (a-1)(b-1) JKAB KTAB + r ( ij )/ (a-1)(b-1) Galat (b) a(b-1)(r-1) JKG b KTG b
ANOVA ANOVA: Respon versus Jenis, Dosis, Blok Factor Type Levels Values Jenis fixed Pentana, Pestona Blok(Jenis) fixed 4 1,, 3, 4 Dosis fixed 3 3, 4, 5 Analysis of Variance for Respon Source DF SS MS F P Jenis 1 1504.17 1504.17 95.50 0.000 Blok(Jenis) 6 40.50 6.75 0.43 0.846 Dosis 137.00 686.00 43.56 0.000 Jenis*Dosis 1460.33 730.17 46.36 0.000 Error 1 189.00 15.75 Total 3 4566.00 S = 3.96863 R-Sq = 95.86% R-Sq(adj) = 9.07%
Bersambung.