Teori Dualitas 2
Konsep Dualitas Setiap permasalahan LP mempunyai hubungan dengan permasalahan LP lain Masalah dual adalah sebuah masalah LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP primal 3
1 Bentuk Standar Masalah Primal Masalah Dual 4 n j x m i b x a ST x c Z j i n j j ij n j j j 1,2,..., 0, 1,2,...,, :, max 1 1 tak dibatasi 1,2,...,, :, min 1 1 i j m i i ij m i i i y n j c y a ST y b W
1 Bentuk Standar Masalah Primal Masalah Dual 5 n j x m i b x a ST x c Z j i n j j ij n j j j 1,2,..., 0, 1,2,...,, :, min 1 1 tak dibatasi 1,2,...,, :, max 1 1 i j m i i ij m i i i y n j c y a ST y b W
Aturan-aturan (Hillier & Lieberman) Koefisien fungsi tujuan dari permasalahan primal adalah ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan dualnya Ruas kanan kendala fungsional pada permasalahan primal merupakan koefisien fungsi tujuan pada permasalahan dualnya Koefisien variabel kendala fungsional pada permasalahan primal menjadi koefisien pada kendala fungsional pada permasalahan dualnya 6
Aturan-aturan (Taha) Untuk setiap batasan primal terdapat sebuah variabel dual Untuk setiap variabel primal terdapat sebuah batasan dual Koefisien batasan dari sebuah variabel primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan dual yang bersesuaian; dan koefisien tujuan dari variabel yang sama menjadi sisi kanan dari batasan dual 7
Masalah dual diperoleh secara simetris dari masalah primal Variabel Primal Sisi kanan dari batasan dual Koefisien sisi kiri dari batasan dual x1 x2 xj xn c1 c2 cj cn a11 a12 a1j a1n b1 y1 a21 a22 a2j a2n b2 y2 : : : : : : am1 am2 amj amn bm ym Variabel dual Batasan dual ke-j tujuan dual 8
Hubungan Primal-Dual Tujuan Primal Standar Maksimisas i Minimisasi Dual Tujuan Batasan Variabel Minimisasi Maksimisas i Tidak dibatasi Tidak dibatasi 9
Contoh: Primal Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3 10 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3 0 10
Contoh: Primal Standar Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3 x1 + 2 x2 + x3 + s1 = 10 2 x1 - x2 + 3 x3 = 8 x1, x2, x3, s1 0 11
Contoh: Dual Min W = 10 y1 + 8 y2 y1 + 2 y2 5 2 y1 - y2 12 y1 + 3 y2 4 y1 + 0 y2 0 (y1 0) y1, y2 tak dibatasi 12
Pemecahan Masalah Dual Nilai tujuan dalam satu pasangan masalah primal dan dual harus memenuhi hubungan berikut 1. Untuk setiap pasangan pemecahan primal dan dual yang layak (nilai tujuan dalam masalah maksimisasi) (nilai tujuan dalam masalah minimisasi) 2. Di pemecahan optimum untuk kedua masalah (nilai tujuan dalam masalah maksimisasi) = (nilai tujuan dalam masalah minimisasi) 13
Contoh Primal Min z = 5 x1 + 2 x2 ST x1 x2 3 2 x1 + 3 x2 5 x1, x2 0 Dual Max w = 3 y1 + 5 y2 ST y1 + 2 y2 5 - y1 + 3 y2 2 - y1 0 (y1 0) - y2 0 (y2 0) 1 14
Contoh Primal (min) Pemecahan Layak x1 = 3 x2 = 0 Dual (max) Pemecahan Layak y1 = 3 y2 = 1 Nilai tujuan z = 15 Nilai tujuan w = 14 1 15
Contoh Primal (min) Pemecahan Tak Layak x1 = 3 x2 = 1 Dual (max) Pemecahan Tak Layak y1 = 4 y2 = 1 Nilai tujuan z = 17 Nilai tujuan w = 17 1 16
Contoh Primal Pemecahan Optimal x1 = 3 x2 = 0 Dual Pemecahan Optimal y1 = 5 y2 = 0 Nilai tujuan z = 15 Nilai tujuan w = 15 1 17
Programa Dual Hubungan antara PRIMAL dan DUAL adalah sebagai berikut : PRIMAL RHS MAX Constrain DUAL Fungsi Tujuan MIN Variable
DUAL Koefisien Fungsi Objektif (Minimisasi) Programa Dual PRIMAL x 1 x 2 x n RHS y 1 a 11 a 12 a 1n b 1 y 2 a 21 a 22 a 2n b 2 y m a m1 a m2 a mn b m c 1 c 2 c n Koefisien Fungsi Objektif (Maksimisasi)
Contoh Programa Dual PRIMAL : Max 3x 1 + 5x 2 s.t. x 1 4 2x 2 12 3x 1 + 2x 2 18 x 1, x 2 0 DUAL : Min 4y 1 + 12y 2 + 18y 3 s.t. y 1 + 3y 3 3 2y 2 + 2y 3 5 y 1, y 2, y 3 0 DUAL dari DUAL adalah PRIMAL
Primal of Diet problem
Diet Problem Dual
Constraint Variable Variable Constraint PRIMAL DUAL Secara umum hubungan antara DUAL dan PRIMAL dapat digambarkan seperti pada tabel di bawah ini MINIMASI MAKSIMASI Unrestricted = = Unrestricted
Contoh PRIMAL : Max 8x 1 + 3x 2 s.t. x 1 6x 2 4 5x 1 + 7x 2 = 4 x 1 0 x 2 0 DUAL : Min 4w 1 4w 2 s.t. w 1 + 5w 2 8 6w 1 + 7w 2 3 w 1 0 w 2 unrestricted
Contoh 2 Primal: Max. z = 3x 1 + 2x 2 (Obj. Func.) subject to 2x 1 + x 2 100 (Finishing constraint) x 1 + x 2 80 (Carpentry constraint) x 1 40 (Bound on soldiers) x 1, x 2 0 Optimal Solution: z = 180, x 1 = 20, x 2 = 60 Dual : Min. w = 100y 1 + 80y 2 + 40y 3 (Obj. Func.) subject to 2y 1 + y 2 + y 3 3 y 1 + y 2 2 y 1, y 2, y 3 0
Hubungan PRIMAL DUAL DUAL Constraint y A c x 0 y Ax cx Ax b y b cx Bila x adalah feasible terhadap PRIMAL dan y feasible terhadap DUAL, maka cx yb Nilai objektif problem Max Nilai objektif problem Min
Teorema Dualitas Bila x * adalah penyelesaian dari PRIMAL dan y * adalah penyelesaian dari DUAL, maka cx * = y * b Bila x 0 feasible terhadap PRIMAL dan y 0 feasible terhadap DUAL sedemikian hingga cx 0 = y 0 b, maka x 0 dan y 0 adalah penyelesaian optimal z Menyelesaikan DUAL DUAL FR Menyelesaikan PRIMAL PRIMAL FR Optimal (PRIMAL DUAL FEASIBLE)
Teorema Dualitas 1. P optimal D optimal 2. P tak terbatas D tak terbatas 3. P tidak feasible D tidak feasible D tidak feasible P tidak feasible D tak terbatas/tidak feasible P tak terbatas/tidak feasible
Dual Simplex
Dual Simplex Sekelompok masalah LP yang tidak memiliki pemecahan dasar awal yang layak dan semuanya adalah variabel slack, tetapi dapat dipecahkan tanpa menggunakan variabel buatan yaitu dengan menggunakan metode dual simplex Dalam prosedur dual simplex, pemecahan dimulai tidak layak dan optimal (sebagaimana diperbandingkan dengan metode primal simplex yang memulai layak tetapi nonoptimal)
Dual Simplex Gagasan umum dari prosedur dual simplex adalah bahwa sementara iterasi dimulai tidak layak dan (lebih baik daripada) optimal, iterasi berikutnya bergerak ke arah ruang layak tanpa kehilangan sifat optimalitas (simpleks biasa mempertahankan kelayakan sementara bergerak ke arah optimalitas) Pada iterasi dimana pemecahan menjadi layak untuk pertama kalinya, proses tersebut berakhir
Dual Simplex Kondisi Kelayakan: Variabel keluar adalah variabel dasar yang memiliki nilai paling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang). Jika semua variabel dasar adalah nonnegatif, proses berakhir. Kondisi Optimalitas: Variabel masuk adalah variabel nondasar yang berkaitan dengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilai absolut terkecil dari rasio jika memaksimumkan (jika sama, tentukan sembarang). Rasio ditentukan dengan membagi koefisien sisi kiri persamaan z dengan koefisien negatif yang bersesuaian dalam persamaan dengan koefisien negatif yang bersangkutan dengan variabel keluar. Jika semua penyebut adalah nol atau positif, tidak terdapat pemecahan yang layak
Contoh 1 Min z = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + x2 3 4 x1 + 3 x2 6 x1 + x2 3 x1, x2 0
Contoh 1 Min z - 3 x1-2 x2 = 0-3 x1 - x2 + s1 = -3-4 x1-3 x2 + s2 = -6 x1 + x2 + s3 = 3 x1, x2, s1, s2, s3 0
Contoh 1 Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1-3 -2 0 0 0 0 s1 0-3 -1 1 0 0-3 s2 0-4 -3 0 1 0-6 s3 0-1 1 0 0 1 3 rasio 3/4 2/3 ~ ~ ~ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1-1/3 0 0-2/3 0 4 s1 0-5/3 0 1-1/3 0-1 x2 0 4/3 1 0-1/3 0 2 s3 0-1/3 0 0 1/3 1 1 rasio 1/5 ~ ~ 2 ~ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 RHS z 1 0 0-1/5-3/5 0 21/5 x1 0 1 0-3/5 1/5 0 3/5 x2 0 0 1 4/5-3/5 0 6/5 s3 0 0 0-1/5 2/5 1 6/5
Contoh 1 X1 = 3/5 X2 = 6/5 Z = 21/5 1
Contoh 2 Max z = 2 x1 - x2 x1 + x2 = 1 2 x2 1 x1, x2 0
Contoh 2 Max z - 2 x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 1-2 x2 + s1 = -1 x1, x2, s1 0 =================================== ===== x1 = 1 x2, sehingga: z 2 (1 x2) + x2 = 0 z + 3 x2 = 2
Contoh 2 Dasar z x1 x2 s1 RHS z 1 0 3 0 2 x1 0 1 1 0 1 s1 0 0-2 1-1 rasio ~ 1 1/2 ~ Dasar z x1 x2 s1 RHS z 1 0 0 1 1/2 1/2 x1 0 1 0 1/2 1/2 x2 0 0 1-1/2 1/2 X1 = ½ X2 = ½ Z = ½ 1