PROSIDING ISBN : 978 979 6 T-6 PEMETAAN w DAN HASIL PEMETAANNYA Oleh : H. A. Prhusip dn Sulistono Progrm Studi Mtemti Industri dn Sttisti Fults Sins dn Mtemti FSM) Uniersits Kristen St Wcn UKSW) www.usw.edu) pressure7@hotmil.com mhsisw S, mtemti FSM UKSW Astr : Pemetn w / z), dengn Z himpunn ult negtif) dn,) sert hsil pemetnn ditunun pd mlh ini. Dpt ditunun pemetn ini onforml. Hsil pemetn diperoleh dengn melun trnsformsi geometri. Kt unci : pemetn onforml, fungsi nliti, persegi. Pendhulun Pemetn onforml dlh pemetn ng memperthnn esrn dn rh sudut dintr serng du ur ng erpotongn di sutu titi tertentu. Pd mlh terdhulu Prhusip dn Sulisono, 9) ditunun hsil pemetn w untu dn. Hsil pemetn ditunun dengn terleih dhulu ditunun untu pemetn gris ertil dn gris horizontl secr terpish. Selnutn dilun pemetn untu idng persegi. Untu persegi leih dri dilun dengn menggunn trnsformsi geometri seperti pencerminn. Pd mlh ini n ditunun pemetn w untu ergi nili. Pd B II ditunun pemetn onforml w/z dn hsil pemetnn ng merupn hsil penelitin seelum ini Prhusip dn Sulisono, 9). Pd B III dielsn cr melun penelitin ini. Hsil dn Pemhsn ditunun pd B IV. Selnutn esimpuln ditunun pd B terhir.. Pemetn onforml w/z dn hsil pemetnn Pemetn gris ertil dn gris horizontl Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 7
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Telh diethui hw pemetn gris ertil dn hris horisontl oleh w/z merupn persmn lingrn Prhusip dn Sulisono, 9). Beerp hsil pemetn untu gris ertil dn horizontl ditunun pd Gmr. Sedngn untu dn gris, ) dengn fungsi pemetn w /z untu ergi nili dn ng ered, itu, >, > dn <, < dn > dn, < erturut turut ditunun pd Gmr. Gmr. Persmn gris c, d dipetn dengn w/z mendi lingrn, c,d > Gmr. Persmn gris c, d dipetn dengn w/z mendi lingrn,c,d <. Gmr. Persmn gris c dn d dn ngnn untu c> dn d< Gmr. Persmn gris, dipetn dengn w/z mendi lingrn dengn, >, > dn <, < dn > dn, <. Bngn persegí untu persegi Gmr menunun hw, > dn ngn digmrn dlm lingrn penuh. Bngn pd Gmr ini dpt ditsi tid segi lingrn Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 8
PROSIDING ISBN : 978 979 6 penuh) i it ug memtsi persegí ng terentu pd Gmr, itu Gmr diuh sedemiin sehingg terentu Gmr. Gmr. Persegi ABO dn ngnn dengn pemetn w/z. Bngn pd Gmr diperoleh pertm li mencri ts dri ngnn itu titi A ', B' dn ' dn emudin menghuungn titi titi terseut. Untu titi sl tetp dipetn e titi sl, ren titi sl O,) dlh titi singulr tu esingulrn dri w/z. Untu titi A,) pd idng z n dipetn oleh fungsi w/z e titi A', ) pd idng w. Hl ini ren titi A,) pd idng z dpt ditulis segi z i, sehingg diperoleh titi A', ). e titi w dn ren w u i m z i Untu titi B,) pd idng z n dipetn oleh fungsi pemetn w/z B ', pd idng w. Titi B' diperoleh dengn menulisn titi i B segi z i, sehingg diperoleh w sehingg diperoleh oordint B ' terseut. Untu selnutn titi,) pd idng z dipetn e titi ', pd idng w oleh fungsi pemetn w/z Kemudin titi titi terseut dihuungn untu memperoleh Gmr. Untu selnutn it dpt menusun hsil pemetn untu tip persegi pd udrn ng lin dengn cr melun pencerminn. dlh Mtris trnsformsi untu pencerminn terhdp sumu dn sumu u Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6 X R ) sehingg i oordint sutu titi A dintn dlm notsi etor posisi A A dengn oordint ngnn dlh A' segi etor posisi A A ' ' m dpt ditulis A' A X R. A' A Kit dpt melun trnsformsi pencerminn untu titi B dn untu mendptn oordint pencerminnn erturut turut B ' dn '. Kit dpt melun pencerminn dengn cr serup sehingg dpt diperoleh ergi hsil pemetn ng ditunun pd Gmr 6. Gmr 6 diperoleh dengn melun pencerminn Gmr dn Gmr terhdp Sumu dn sumu secr erturut turut menggunn mtris trnsformsi X R dn X R. Gmr 6. Pemetn persegi dn hsil pemetnn mellui pencerminn.. Bngn persegí untu n n persegi Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Dengn menggungn hsil gmr gmr ng diperoleh pd su seelum ini esert ngnn, diperoleh eerp hsil pemetn segimn ditunun pd Gmr 7. Untu persegi dengn umlh ng leih n, ngnn dpt diperoleh dengn lngh lngh ng sm. Gmr 7. Ilustrsi perseguí ng dipetn iri) dn hsil pemetnn nn) oleh w/z. Gmr 7. Ilustrsi perseguí ng dipetn iri) dn hsil pemetnn nn) oleh w/z. Modifisi pemetn w/z dn hsil pemetnn Modifisi ng ditunun pd mlh ini dlh menusun pemetn w dn N himpunn ilngn sli). Dpt ditunun hw pemetn ini merupn pemetn onforml dengn mentn w dlm oordint polr dn memenuhi persmn uch Riemnn. Untu persegi ng dientu dri persegi ng dipetn oleh w ditunun pd Gmr. z Gmr. Pemetn persegi iri) oleh nn).. METODE PENELITIAN Dlm thp ini digi dlm eerp sus, itu: w dn hsil pemetnn z Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6. Menunun hw pemetn dlh pemetn onforml. Mengilustrsin hsil pemetn persegi ng dipetn.. Menunun hw pemetn onforml.. Mengilustrsin hsil pemetn dipetn. w w w w dengn Z himpunn ult negtif), dn untu idng dengn,) dlh pemetn,. untu idng persegi ng. HASIL & PEMBAHASAN. Pemetn w dengn Z himpunn ult negtif) Untu Z m dpt ditulisn segi dengn N himpunn ilngn sli) sehingg w z. Seutlh w z w dengn w u i..) Teorem.. Pemetn z dengn N merupn pemetn onforml. Buti. Perlu ditunun hw w z w merupn pemetn nliti ng dpt ditunun cr itu dengn Koefisien Binomil cr I) dn oordint utu cr II). Pd gin ini ditunun edu cr. r. Kren z i m w z i). Dengn menggunn oefisien Binomil diperoleh w z i) i) i i i.....) Dengn menulisn gin riil dn gin hl dri persmn.) erturut turut diperoleh u 6 6 6... ), Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 ) )... u Sehingg u ) ).) ) u.) ) ) ),.c) ) ) ).d) dengn. Dri persmn.).) elum terliht hw persmn terseut memenuhi persmn uch Riemnn u u dn. Oleh ren itu msing msing turun prsil pd persmn.).d) dirn diperoleh ) )..., u 6.)..., 6 6 6 u 6.)..., ) ) ) 6 6.c)..., 6.d) Dengn menggunn identits!, m, dn. Selin itu )!! )! )) )... ) )!!! )!! )) )... ) ) )! )) )... ) ) ))
PROSIDING ISBN : 978 979 6 M didptn ), ), ) dn u u seterusn sehingg persmn 6.) 6.d) diperoleh dn. Yng errti w memenuhi persmn uch Riemnn. r. Dlm oordint polr w dpt ditulis segi w z r cos θ i sin θ ). Denn menulisn gin riil dn gin hl w diperoleh u r, θ ) r cos θ dn r, θ ) r sin θ. Sehingg u r θ r θ cos cos r r r θ u dn r sin θ rr sin θ r. Jdi memenuhi persmn uch r r Riemnn. Kren w merupn polinom erdert tu dpt ug diseut segi fungsi ' pngt, m turunn w itu w z d untu setip z. Jdi w merupn pemetn onforml. Untu m diperoleh w z. Hsil pemetn dlh gmr ng sm ren fungsi pemetn ini tid menguh entu gmr tetpi hn menggntu sumu sumu oordint, itu sumu mendi sumu u dn sumu mendi sumu erturut turut untu idng z dn idng w. Pd gin selnutn ditunun untu.. Hsil pemetn w, dn Untu nili diperoleh w z dn ini merupn fungsi proli tu fungsi udrt. Berdsrn persmn.) m w i. Dengn menulisn gin riil dn gin hl dri w erturut turut diperoleh u dn. 7) Berdsrn persmn 7) m persmn gris ± pd idng z dipetn segi elurg prol pd idng w, ng ditunun oleh persmn 8.). Yitu ren ± sehingg ± dn u m u ±. 8.) Untu persmn gris ± pd idng z dipetn segi sutu elurg prol pd idng w, itu ± sehingg ± dn u m u ±. 8.) Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Kelurg prol persmn 8.) 8.) merupn sistem ortogonl Gordon,96). Msing msing dri ngn gris ± dn ± dn persegi ditunun pd Gmr... Gmr. Bngn gris ± dn ± esert ngn persegi ABD dengn fungsi w z. Gmr. Bngn gris ± dn ± untu, dn, sert w z. Gmr. Bngn seumlh persegi eruurn dengn fungsi w z.. Pemetn w dengn,) Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Kren,), m dpt ditulisn dengn, N diperoleh Dlm oordint polr dpt diperoleh w. w i re menulisn gin riil dn hln diperoleh Sehingg u r r r r Jdi persmn uch Riemnn dipenuhi. Kren teruti w θ r, <, sehingg cos θ i sin θ. Dengn u r cos θ, r sin θ. u cos θ ; r sin θ ; θ 9.) sin θ ; r cos θ. θ 9.) w' dengn,) merupn pemetn onforml., z m Untu, m diperoleh entu pemetn w. Dengn z menggunn oordint polr diperoleh i θ / θ π θ π w re ) cos i sin,,. ) r θ θ Sehingg untu diperoleh nili utm w cos i sin dn untu r iθ / nili diperoleh θ π θ π w re ) cos i sin. Dengn r mengingt hw sin ) sin cos cos sin dn cos)cos cos sin sin, m θ θ w cos isin w. r Dengn menulisn w u i, m gin riil dn gin hl dpt ditulis segi θ θ u cos dn sin. ) r r Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 6
PROSIDING ISBN : 978 979 6 cosθ Dengn menulisn persmn ) dlm dn diperoleh u. r cos θ Kren cos θ diperoleh r r r u. r r r r cos θ Secr sm, ren sin θ diperoleh r r r. r r r r Sehingg untu setip titi,) pd idng z n dipetn mendi titi, pd idng w. Dengn mengmil nili utm w itu θ < π m ngn seumlh persegi eruurn ditunun pd Gmr pd du cng. Gmr Hsil pemetn w untu persegi. z Kit dpt melun pemetn untu ergi nili ng lin dn menusun spe mtemtis segimn di ts. Untu nili dpt ditunun hsil pemetn ng ditunun pd Gmr. Gmr. Hsil pemetn persegi dengn KESIMPULAN DAN SARAN w dengn. Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 7
PROSIDING ISBN : 978 979 6 Pd mlh ini telh ditunun hsil pemetn persegi n n dri w untu Z himpunn ilngn ult negtif) dn, ). Diperoleh hw hsil pemetn persegi n n untu merupn elurg prol. Sedngn pemetn persegi n n dengn merupn entu lemniscte ng terpotong potong. Beerp pengemngn dpt dilun dengn melun pemetn t onforml untu idng persegi. DAFTAR PUSTAKA hurchill, R. V. 96. omple Vriles nd Applictions,nd Edition. McGrw Hill Boo ompn. New Yor. Gordon, L. I dn Sim Lsher. 96. Elements of omple Vriles. Holt, Rinehrt nd Winston, Inc. Prhusip H. A., dn Sulistono, Pemetn Konforml dn Modifisin untu sutu Bidng Persegi, Prosiding Seminr Nsionl Mtemti UNPAR Septemer 9, hl.mt 9, Vol. Th. 9, ISSN 97 99. Pust We we. http://mthworld.wolfrm.com/onformlmpping.html Seminr Nsionl Mtemti dn Pendidin Mtemti Jurusn Pendidin Mtemti FMIPA UNY, Desemer 9 8