BILANGAN KOMPLEKS 1
Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai : Bilangan kompleks Operasi bilangan kompleks Aplikasi bilangan kompleks dalam rangkaian elektronika Tegangan, arus dan impedansi dengan menggunakan bilangan kompleks dan diagram fasor 2
BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks dituliskan sebagai berikut : Dan Lawan dari dinamakan konyugasi kompleks (Complex Conyugate), Dituliskan : Dan berlaku sebaliknya Keterangan : = a + jb = = a jb a= bagian riel (R e ) b= bagian imajiner(i mj ) 3
BILANGAN KOMPLEKS j = 1=( 1) 1 2 j 2 = ( 1) 1 2 ( 1) 1 2 = 1 j 3 = ( 1) 1 2 ( 1) 1 2( 1) 1 2 = j j 4 = ( 1) 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 2 =1 j ( j)= ( 1) 1 2( 1) 1 2 = 1 4
5 Bilangan kompleks dapat juga dioperasikan secara matematika OPERASI BILANGAN KOMPLEKS 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Hitunglah jika : 1 j 4 3j 2 1 BAGAIMANA JIKA?! 1
6 Bilangan kompleks dapat juga dioperasikan secara matematika OPERASI BILANGAN KOMPLEKS * 1 * 1 *2 1 * 1 1 * 1 1 2 1 * 2 * 1 Hitunglah jika : 1 j 4 3j 2 1
BILANGAN KOMPLEKS Bilangan komplex dapat digambarkan dalam sumbu tegak lurus dimana sumbu vertikal sebagai sumbu Imajiner dan sumbu horisontal sebagai sumbu Riel modulus Dari gambar diperoleh : argumen a b cos sin Sehingga dapat dituliskan: a jb cos jsin 7
BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks dapat dituliskan juga : a jb cos jsin e j Dimana : e j cos jsin 8
BILANGAN KOMPLEKS Bilangan konyugasi kompleks : a jb cos jsin e j Dimana : e j cos jsin 9
BILANGAN KOMPLEKS BAGAIMANA JIKA 1 Y?! BAGAIMANA 1 GAMBAR Y?! 1 2/25/215
BILANGAN KOMPLEKS Kegunaan Bilangan kompleks atau diperluas dalam ruang kompleks, kita dapat bekerja salah satunya mendapatkan output besaran/norm Riel dari bilangan kompleks tersebut. Besar/Norm dapat diperoleh dari rumusan * Contoh : Diketahui : Tentukan Jawab Diperoleh Sehingga : 4 * 4 3j 43j 4 3j4 3j 2 12j12j 3 25 5 2 j j 11
BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler. Resistor a bj Karena b Sehingga : R a Misalkan : R 4 Maka : R R R 4 j 4 4e 4 j 12
BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler. Induktor L a bj Misalkan : L 7 Karena Maka : L 79 a Sehingga : L bj L L e j 2 L L j7 7e j7 j 2 13
BILANGAN KOMPLEKS Resistor, induktor dan kapasitor dalam bilangan kompleks dan bilangan Euler. Kapasitor C a bj Misalkan : C 4 Karena C 4 9 Maka : a Sehingga : C bj C C e j 2 C C j4 j4 4e j 2 14
BILANGAN KOMPLEKS Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler. Misalkan sumber tegangan : j t j me me j e m e I j t II m cos t bagian riel jm sin t bagian imajiner t m cos jt t bagian riel dari e m 15
BILANGAN KOMPLEKS Informasi yang lengkap Sumber tegangan dan sumber arus dinyatakan dalam bilangan Euler. Misalkan sumber tegangan : jt j j t e e m Suku I merupakan simpangan dengan sudut dan besar amplitudo m dan suku II merupakan fungsi waktu dapat dinyatakan secara implisit. Sehingga penulisan: m I e II j jt me e Dapat diringkas menjadi : m 16
BILANGAN KOMPLEKS Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi cosinus dapat dituliskan bagian Riel (Re) dari bilangan Euler. Misalkan sumber tegangan : m cos jt t Re e m Jika Sumber tegangan atau sumber arus fungsi sinus dapat dituliskan bagian Imajiner (I mj ) dari bilangan Euler. Misalkan sumber arus : I I m sin jt t I I e m mj 17
DIAGRAM FASOR 1. Gambarkan : a) Y=sin (x) b) Y=2 sin (x) c) Y= sin (2x) d) Y= sin (4x) e) Y=2 sin (4x) 1. Gambarkan : a) =sin (t) b) =2 sin (t) c) = sin (2t) d) = sin (4t) e) =2 sin (4t) 18
DIAGRAM FASOR 2. Gambarkan : a) Y=sin (x-45 ) b) Y= sin (x+9 ) c) Y= sin (x-18 ) 2. Gambarkan : a) I=sin (t -45 ) b) I= sin (t +9 ) c) I= sin (t -18 ) 19
DIAGRAM FASOR 3. Gambarkan : a) Y=3 cos (x-45 ) b) Y= 4 cos (x+9 ) c) Y= 5 cos (x-18 ) 3. Gambarkan : a) =3 cos (t -45 ) b) = 4 cos (t +9 ) c) = 5 cos (t -18 ) 2
Contoh-1 Gambarkan : a) sin(ωt); sin(ωt + 45 ); sin(ωt-3 ); sin(ωt + 9 ); -sin(ωt) a) sin(2ωt); sin(3ωt) Penyelesaian-1
Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt+45 )
Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt-3 )
Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt+9 )
Penyelesaian-1 Gambar -sin(ωt)
Penyelesaian-1 Gambar sin(2ωt)
Penyelesaian-1 Gambar sin(3ωt)
Bagaimana...??? Gambar sin(ωt)+cos(ωt) Gambar sin(ωt)-cos(ωt)
Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt)+cos(ωt)
Penyelesaian-1 Gambar sin(ωt)-cos(ωt)
DIAGRAM FASOR Diagram fasor adalah diagram yang menggambarkan fungsi-fungsi yang mempunyai sifat vektor dan fase sudut, dimana digambarkan dalam besar amplitudo dan fase sudutnya saja, sedangkan sifat vektor (ruang, waktu) terkandung (included) didalamnya. Fungsi- fungsi tersebut biasanya fungsi sinus dan/atau cosinus. Atau fungsi dalam bilangan kompleks 31
DIAGRAM FASOR Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau S S t cos t m t sin t m Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana S m Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 32
DIAGRAM FASOR Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau S S t cos t m t sin t m Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana S m Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 33
DIAGRAM FASOR Misalkan sumber tegangan AC, sebagai berikut Atau S t cos t S m t sin t m Gambar diagram fasornya : Penulisan yang lebih sederhana S m Diagram fasornya sama meskipun sinus atau cosinus 34
DIAGRAM FASOR Diagram fasor dan cara penulisan fasor berlaku juga untuk arus dan impedansi Arus I Impedansi I m m Bagaimana, Diagram fasor dan cara penulisan fasor Resistor, Induktor dan Kapasitor??!! 35 2/25/215
DIAGRAM FASOR Resistor Misalkan Pada resistor, arus dan tegangan sefasa sehingga diagram fasornya berada pada sumbu mendatar = R 4 Ditulis lengkapnya R 4 36
DIAGRAM FASOR induktor Pada induktor, beda fasa arus dan tegangan sebesar +9, artinya jika diberikan arus maka oleh induktor fasa tegangannya diubah sebesar +9 Misalkan 7 L Ditulis lengkapnya L 7 9 37
DIAGRAM FASOR Kapasitor Misalkan Pada kapasitor, beda fasa arus dan tegangan sebesar -9, artinya jika diberikan arus maka oleh kapasitor fasa tegangannya diubah sebesar -9 4 C Ditulis lengkapnya ADA ORANG DISINI?! C 4 9 38 2/25/215
DIAGRAM FASOR Soal dan pembahasan : Rangkaian seri RLC dengan sumber tegangan s (t), seperti gambar dibawah ini : Tentukan : a) Impedansi rangkaian b) Arus pada rangkaian c) Diagram fasor impedansi 39 2/25/215
Soal dan pembahasan : Untuk menyelesaikan persoalan diatas, dijelaskan operasi matematik penulisan fasor PERKALIAN Diketahui : Arus I I m Impedansi Maka Tegangannya m I 4
Tegangannya I I m I m m m GA NYAMBUNG?! m Pada perkalian bilangan fasor bilangan skalar dioperasikan perkalian matematik seperti biasa, Sudut fase perkalian menjadi jumlah sudut fase 41
Soal dan pembahasan : Untuk menyelesaikan persoalan diatas, dijelaskan operasi matematik penulisan fasor PEMBAGIAN Diketahui : Tegangan I m Impedansi m Maka Arusnya adalah I 42
Arusnya adalah I m m NYAMBUNG NGGA?! I I m Pada pembagian bilangan fasor bilangan skalar dioperasikan pembagian matematik seperti biasa, Sudut fase pembagian menjadi pengurangan sudut fase 43
Soal dan pembahasan : a) Impedansinya : Sudut 2 R 2 Dituliskan lengkapnya L C 2 7 4 2 4 5 arctan 3 L C arctan 37 R 4 537 44
DIAGRAM FASOR b) Arus pada rangkaian I I 5 537 5cos t 537,1 37 A Dituliskan dengan fungsi waktu I t,1cos t 37 A 45
DIAGRAM FASOR c) Diagram fasor impedansi : 46 2/25/215
DIAGRAM FASOR Soal dan pembahasan : Sesuai dengan nomor soal diatas, tentukan : a) R, L dan C b) Gambarkan diagram fasor tegangan 47 2/25/215
Tegangan pada resistor R R Atau IR R,1 37 4 437 4cos t 37 Tegangan pada Induktor L I,1 37 7 9 L Atau L L 7 53 t 53 7cos Tegangan pada Kapasitor C C Atau I C C,1 37 4 9 4 127 t 127 4cos 48
DIAGRAM FASOR TEGANGAN 49
BILANGAN KOMPLEKS Perhatikan rangkaian berikut ini a) Tentukan Impedansi total rangkaian b) Tentukan Arus pada tiap komponen c) Tentukan ab dan be d) Gambarkan diagram fasor impedansi e) Gambarkan diagram fasor arus 5 2/25/215