BAB III PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada Graf Lintasan Sebuah graf lintasan P n dapat diperoleh dari sebuah graf lingkaran C n dengan cara menghilangkan satu buah sisinya. Sebagai contoh, gambar berikut ini merupakan graf lingkaran yang kemudian dihilangkan salah satu sisinya sehingga menjadi graf lintasan v v v v v v v v (i) (ii) Gambar. Graf Lingkaran C dan Graf Lintasan P Pada gambar., dengan menghilangkan salah satu sisi dari graf lingkaran C, misalnya sisi v v, maka akan diperoleh graf lintasan P. Berikut ini contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf lintasan P dan P. (i) (ii) Gambar. Dua Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Lintasan
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf lintasan P dari gambar. mempunyai konstanta ajaib k =, sedangkan pada graf lintasan P mempunyai k =. Teorema. (Kotzig dan Rosa, 0) Setiap graf lintasan P n adalah ajaib dengan k = n+ untuk n ganjil. Bukti : untuk n genap dan k = n+ Definisikan sebuah graf lintasan P n dengan V = {v, v, v,, v n } dan E = {v v, v v, v v,, v n- v n }. Kemudian labeli simpul dan sisi P n dengan aturan sebagai berikut : Untuk n genap Labeli simpul : i+ i+n, jika i=,,,,n λ(v i ) =, jika i=,,,,n Labeli sisi : λ(v i v i+ ) = n i perhatikan suatu sisi v j v j+, dengan menggunakan aturan di atas, maka λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j + n + (n j) + j + = k k = n+ Dengan demikian graf lintasan P n ajaib dengan k = n+.
Untuk n ganjil Labeli simpul : λ(v i ) = i+ i++n, jika i=,,,,n, jika i=,,,,n Labeli sisi : λ(v i v i+ ) = n i perhatikan suatu sisi v j v j+, sehingga λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+ n k = n+ + (n j) + j++n Dengan demikian graf lintasan P n ajaib dengan k = n+ = k. Definisi. (Enomoto, dkk. ) Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G disebut super jika λ(v(g)) = {,,,..., V } dan λ(e(g)) = { V +, V +, V +,..., V + E }. Graf yang dapat dilabeli dengan pelabelan total sisi-ajaib super dinamakan graf total sisi-ajaib super. Teorema. (Kotzig dan Rosa, 0), (Baskoro, dkk. 00) Setiap graf lintasan P n adalah ajaib super dengan bilangan ajaib k = n+ untuk n genap dan k = n+ dan k = k = n+ untuk n ganjil.
Bukti : Definisikan sebuah graf lintasan P n dengan V = {v, v, v,, v n } dan E = {v v, v v, v v,, v n- v n }. Kemudian labeli simpul dan sisi P n dengan aturan sebagai berikut : Untuk n genap Labeli simpul: i+ i+n,jika i=,,,,n λ(v i ) =,jika i=,,,,n labeli sisi: λ(v i v i+ ) = n i kemudian perhatikan sebuah sisi v j v j+, sehingga λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+n + (n j) + = k k = n+ Graf lintasan P n ajaib super dengan konstanta k = n+. Untuk n ganjil dengan k Labeli simpul: λ (v i ) = i+ i++n,jika i=,,,,n,jika i=,,,,n labeli sisi: λ (v i v i+ ) = n i kemudian perhatikan sebuah sisi v j v j+ λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+ + (n j) + = k
k = n+ Graf lintasan P n ajaib super dengan konstanta k = n+. Untuk n ganjil dengan k Labeli simpul: i+n i,jika i=,,,,n λ (v i ) =,jika i=,,,,n labeli sisi: λ (v i v i+ ) = n i perhatikan sebuah sisi v j v j+ λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+n k = n+ + (n j) + = k Graf lintasan P n adalah ajaib dengan k = n+. Lemma. (Figueroa-Centeno, 00) Graf G = (V(G), E(G)) dengan V(G) = p dan E(G) = q adalah total sisi-ajaib super jika dan hanya jika terdapat pemetaan bijektif λ : V(G) {,,,..., p}, sedemikian sehingga himpunan S = { λ(x) + λ(y) xy E(G)} terdiri dari bilangan bulat positif berurutan. Dalam hal ini λ dapat diperluas menjadi suatu pelabelan total sisi-ajaib super dari G dengan konstanta ajaib k = p + q + s, dengan s = min(s) dan S = {k (p +), k (p + ),..., k (p + q)}.
Bukti : ( ) jika G merupakan graf total sisi-ajaib super dan λ adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada G dengan konstanta ajaib k, maka S = {k λ(xy) xy E(G)} = {k (p + ), k (p + ),..., k (p + q)}. ( ) asumsikan bahwa fungsi λ ada dan misalkan s = min(s) = min{ λ(x) + λ(y) xy E(G)}. Perluas λ sehingga domainnya menjadi V(G) E(G) dengan cara mendefinisikan λ(xy) = p + q + s λ(x) λ(y) untuk setiap sisi xy di G. Diperoleh λ(e(g)) = {p +, p +,..., p + q} dan λ(x) + λ(xy) + λ(y) = p + q + s. Berikut ini dua lemma yang bisa digunakan untuk menemukan pola pelabelan total sisi-ajaib super dari sebuah graf dan menentukan pelabelan dual dari suatu pelabelan total sisi-ajaib super. Lemma. (Baskoro, dkk. 00) Jika G = (V(G), E(G)) adalah sebuah graf total sisi-ajaib super dengan banyak simpul p dan banyak sisi q, maka konstanta ajaib k dari graf G akan memenuhi p + q + k p. Bukti : Jika G adalah graf total sisi-ajaib super, maka simpul-simpul dari G akan menerima label,,,..., p dan sisi-sisinya akan menerima label p +, p +,..., p + q. Sehingga berdasarkan lemma., S = { λ(x) + λ(y) xy E(G)} terdiri dari bilangan bulat terurut a, a +, a +,..., a + (q ) untuk suatu bilangan bulat positif a. Konstanta ajaib terkecil dari G akan tercapai jika a =. Jika a =, maka
simpul-simpul dari G akan dilabeli dan, dimana simpul-simpul ini ajasen, sedangkan konstanta ajaibnya adalah k = (a + q ) + (p + ) = p + q +. Jika label p dan p saling ajasen di G, maka akan didapat kemungkinan konstanta ajaib yang terbesar dari G yaitu k = (p ) + (p + ) + p = p, sehingga didapat p + q + k p. Lemma. (Baskoro, dkk. 00) Jika λ adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k, maka fungsi λ : V(G) E(G) {,,,..., p + q} yang didefinisikan : λ (x) = p+ λ x,jika x V G p+q+ λ x, jika x E G juga merupakan suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k = p + q + k. Pelabelan λ ini kemudian dinamakan pelabelan dual super dari pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G. Bukti : Misalkan xy E(G), maka λ (x) + λ (xy) + λ (y) = (p + λ(x)) + (p + q + λ(xy)) + (p + λ(y)) = p + q + (λ(x) + λ(xy) + λ(y)) = p + q + k. Berdasarkan definisi, teorema, dan lemma yang mendukung pelabelan total sisi-ajaib super yang telah diungkapkan pada paragraf-paragraf sebelumnya, disertai dengan bukti-bukti, maka pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan bisa dilakukan.
Pada bagian ini akan dilakukan pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan tertentu. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Untuk pembahasan selanjutnya graf lintasan didefinisikan memiliki jumlah simpul p dan jumlah sisi q, sehingga untuk graf lintasan P memiliki p = dan q =. Berdasarkan teorema. nilai k untuk pelabelan total sisi-ajaib super (PTSAS) pada P adalah, k =. Jika mengacu pada lemma., maka didapat k =, sehingga PTSAS untuk P hanya satu, yaitu dengan memberi label pada kedua simpulnya dengan label dan, sedangkan sisinya diberi label. PTSAS pada P memiliki pelabelan dual super yaitu PTSAS dengan k =. Ini berarti pelabelan dual super untuk PTSAS pada P adalah dirinya sendiri, yang selanjutnya dinamakan pelabelan self-dual. Pelabelan self-dual tidak berbeda dengan pelabelan asalnya, sehingga tidak memunculkan pelabelan yang baru. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Untuk P, p = dan q =. Adapun gambar P sebelum dilabeli secara total sisi-ajaib super adalah sebagai berikut : v v v
0 Berdasarkan lemma. diperoleh nilai konstanta ajaib k. Jika mengacu pada teorema., maka didapat k = dan k =. Berarti terdapat dua nilai konstanta ajaib yang masing-masing membentuk PTSAS pada P. Untuk k = Tidak seperti PTSAS pada P, yang susunan label pada simpulnya tidak perlu dikonstruksi, PTSAS pada P, dan P n selanjutnya, harus ditentukan susunan label pada simpul-simpulnya berdasarkan ajasensi antar simpul-simpul pada graf tersebut. Untuk menentukan ajasensi antar simpul sekaligus ajasensi antar label simpulnya bisa dibantu dengan menggunakan lemma.. Berdasarkan lemma. diketahui bahwa S adalah himpunan jumlah label simpul yang saling ajasen. Karena label untuk sisinya adalah dan, maka diperoleh S untuk P adalah S(P ) = {, }, S(P ) = {, }. Untuk selanjutnya didefinisikan S = {s, s, s,..., s q }, maka S(P ) = {, } = {s, s }. s = = (, ), artinya pasangan label simpul yang ajasen yang mungkin untuk s adalah label dan label. Disini urutan penulisan tidak berpengaruh, artinya pasangan label (, ) akan tepat sama dengan pasangan label (, ). Pengertian seperti ini akan berlaku dan digunakan untuk seterusnya pada bahasan ini. Karena kemungkinan untuk s = hanya satu pada P ini, maka label haruslah ajasen dengan label. s = = (, ), karena kemungkinan pasangan label simpul yang ajasen pada s hanya satu, maka label harus ajasen dengan label. Ini artinya label harus berderajat dua, sedangkan simpul yang berderajat dua pada P adalah v, oleh karena itu v akan dilabeli dengan, sedangkan label untuk v dan v
adalah atau. Misalkan label untuk v adalah dan label untuk v adalah maka gambar pelabelan akan menjadi seperti berikut : jika label untuk v adalah dan label untuk v adalah maka gambar pelabelan akan menjadi seperti berikut : Terakhir, tinggal melengkapi dengan label-label sisinya supaya terbentuk gambar utuh PTSAS pada P. Cara melabeli sisi-sisinya mudah, berdasarkan definisi PTSAS, maka k λ(v i ) λ(v i+ ) dengan i =,,,, p, adalah label untuk sisi-sisinya. Dengan menggunakan cara tersebut, maka didapat gambaran utuh dua PTSAS pada P sebagai berikut dan Kedua pelabelan tersebut adalah pelabelan yang sama, sehingga bisa diambil salah satunya saja. Pada pembahasan selanjutnya pun, jika ada dua pelabelan yang sama, maka akan diambil salah satunya saja.
Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Dengan demikian PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Himpunan label simpul λ(v(p)) = {a, a, a,, a p }, λ(v i ) = a i, dengan i =,,,...p. Maka himpunan label simpul untuk PTSAS pada P dengan k = adalah λ(v(p )) = {,, }. Berdasarkan lemma., maka himpunan label simpul untuk pelabelan dual supernya adalah λ (V(P )) = {,, }. Yang ditulis merupakan pelabelan simpulnya saja, karena pelabelan sisi mengikuti pelabelan simpulnya. Secara lengkap gambar pelabelannya sebagai berikut Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambar P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v Berdasarkan teorema. graf lintasan P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k =. Label-label untuk sisi-sisinya adalah,, dan, sehingga S(P ) = { -, -, - } = {,, } = {s, s, s } s = = (, ) s = = (, ); (, )
s = = (, ) Dari keterangan tersebut, dapat dikonstruksi sebuah PTSAS pada P dengan langkah-langkah sebagai berikut : Pada s jelas, label harus ajasen dengan label. Pada s ada dua kemungkinan. Kemungkinan pertama, jika diambil pasangan label (, ), maka label juga ajasen dengan label, akibatnya label harus ditempatkan pada simpul yang berderajat dua. Pada s, label harus ajasen dengan label, ini artinya label juga harus ditempatkan pada simpul berderajat dua. Ada dua simpul yang berderajat dua, sehingga tepat akan ditempati oleh label dan label, sedangkan dua simpul lainnya akan labeli oleh dan dengan ketentuan label ajasen dengan label sedangkan label ajasen dengan label, sehingga didapat pelabelan pada P. Secara lengkap, gambaran utuh PTSAS pada P adalah sebagai berikut :
Kemungkinan kedua pada s, jika diambil pasangan label (, ), maka label, selain ajasen dengan label juga ajasen dengan label, akibatnya label yang harus ditempatkan pada simpul yang berderajat dua. Pada s, label ajasen dengan label. Sekarang label yang harus ditempatkan pada simpul berderajat dua adalah label dan, sedangkan label dan menempati dua simpul lainnya, dengan ketentuan label ajasen dengan label, sedangkan label ajasen dengan label, sehingga didapat pelabelan yang kedua pada P. Secara lengkap, gambaran utuh PTSAS pada P adalah sebagai berikut : Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti (sama seperti pada P ) pelabelan dual super untuk PTSAS pada P adalah pelabelan self-dual. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v v
Berdasarkan teorema., P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k = dan k =. Berarti terdapat dua konstanta ajaib yang masing-masing akan membentuk PTSAS pada P. Untuk k = Label-label sisinya adalah,,, dan. Sehingga diperoleh S(P ) = {,,, }. s = = (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) Dari keterangan di atas, terdapat beberapa kemungkinan pasangan label untuk label-label simpulnya, sehingga setelah dikonstruksi akan membentuk PTSAS pada P. Berikut uraiannya : Pada s jelas, label harus ajasen dengan label. Pada s ada dua kemungkinan, misal diambil pasangan label (, ), ini berarti label ditempatkan pada simpul yang berderajat dua, akibatnya label tidak akan ajasen dengan label. Pada s juga terdapat dua kemungkinan, misal diambil pasangan label (, ), berarti label juga ditempatkan pada simpul berderajat dua.
Tetapi jika ini terjadi, tidak akan terbentuk PTSAS, karena pada s dua kemungkinan pasangan label, (, ) dan (, ), keduanya tidak mungkin terjadi karena label dan label sudah terpisah (seperti terlihat pada gambar), sedangkan label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, sehingga tidak mungkin ajasen dengan label. Jadi pada s ambil pasangan label (, ). Berarti sekarang label yang ditempatkan pada simpul berderajat dua. Tetapi, pelabelan ini juga tidak akan membentuk PTSAS, karena pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ) karena label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, sedangkan jika mengambil pasangan label (, ) pun tidak mungkin, karena label dan sudah dipisahkan oleh label. Dengan demikian letak kesalahannya adalah pada pengambilan pasangan label pada s. Pada s diambil pasangan label (, ). Berarti label ditempatkan pada simpul berderajat dua. Kemudian pada s, karena tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), maka diambil pasangan label (, ), artinya label pun ditempatkan pada simpul berderajat dua.
Selanjutnya pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), karena label dengan label sudah dipisahkan oleh label, sehingga diambil pasangan label (, ). Sekarang tinggal dilengkapi dengan label-label sisinya supaya terbentuk gambar utuh PTSAS pada P. Akhirnya terbentuklah PTSAS pada P, dengan gambaran utuh sebagai berikut : Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Dengan demikian PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Himpunan label simpul untuk PTSAS pada P dengan k = adalah λ(v(p )) = {,,,, }. Berdasarkan lemma., himpunan label simpul untuk pelabelan dual supernya adalah λ (V(P )) = {,,,, }. Secara lengkap gambar pelabelannya adalah sebagai berikut :
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Pada P, p = dan q =. Adapun gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai berikut : v v v v v v Berdasarkan teorema., P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k =. Label-label sisi untuk P adalah,,, 0, dan. Sehingga untuk S(P ) = {,,,, }. s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) Dari keterangan tersebut di atas, terdapat beberapa kemungkinan pasangan label simpul untuk membentuk PTSAS pada P. Berikut uraiannya: (untuk uraian berikut ini tidak menuliskan langkah yang mengalami kesalahan, karena pembahasannya akan bertele-tele) Pada s diambil pasangan label (, ), sehingga Pada s terdapat dua kemungkinan, untuk kali ini diambil pasangan label (, ), sehingga label ditempatkan pada simpul berderajat dua
Kemudian pada s, karena tidak memungkinkan mengambil pasangan label (, ), maka kemungkinannya adalah pasangan label (, ) dan (, ), untuk kali ini diambil pasangan label (, ) Selanjutnya pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), karena label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, maka diambil pasangan label (, ) Terakhir pada s, karena tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), maka diambil pasangan label (, ) Sekarang tinggal melengkapi dengan label-label sisinya, sehingga terbentuk PTSAS pada P 0 Pada P terdapat beberapa PTSAS yang berbeda. Untuk pelabelan lainnya didapat dengan menggunakan metode dan cara yang sama seperti telah dijelaskan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya. Untuk pengontruksian dari himpunan S tidak harus berurutan. Artinya pengambilan label tidak harus dari s, kemudian
0 s, s dan seterusnya, tetapi bisa acak, misal dari s baru kemudian ke s, s dan seterusnya. Setelah dilakukan pengonstruksian maka didapat beberapa PTSAS pada P lainnya sebagai berikut : 0 0 0 0 0 Dengan demikian pada P terdapat enam buah PTSAS yang berbeda, pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti pelabelan dual untuk PTSAS pada P adalah pelabelan self-dual. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v v v v
P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k = dan k =. Berarti terdapat dua konstanta ajaib yang masing-masing akan membentuk PTSAS pada P. Setelah dilakukan pengonstruksian pada P seperti yang telah lakukan pada pengontruksian-pengonstruksian PTSAS pada P n sebelumnya, maka didapat beberapa PTSAS untuk P sebagai berikut : Untuk k = 0 0 0 0 0 0 0 0
0 Jadi pada P terdapat sembilan PTSAS yang berbeda. Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Dengan menggunakan metode yang sama, seperti telah dilakukan pada pembahasan sebelumnya untuk mencari pelabelan dual super, didapat PTSAS pada P dengan k = k = sebagai berikut : 0 0 0 0 0 0 0
0 0 Hasil Lengkap PTSAS pada P n dengan n Pada bagian ini tidak disertai dengan gambaran utuh PTSAS-nya, tapi hanya menampilkan himpunan label simpulnya saja. Tabel. Hasil Lengkap PTSAS pada P n, dengan n P n k λ(v(p n )) P {, } P {,, } {,, } P {,,, } {,,, } P {,,,, } {,,,, } P {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } P {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, }
Setelah dilakukan proses pengonstruksian PTSAS pada P n dengan n, serta dari tabel. yang merupakan hasil lengkap dari proses pengonstruksian tersebut, terdapat beberapa hal menarik yang terlihat beraturan (pola). Sehingga selain menggunakan definisi, teorema, dan lemma seperti yang telah dilakukan pada pengonstruksian-pengonstruksian PTSAS sebelumnya, pola ini bisa tambahkan untuk dijadikan panduan mencari/mengonstruksi PTSAS pada P n secara umum. Jika dilihat dari segi konstanta ajaibnya, terlihat bahwa untuk PTSAS pada P n dengan n ganjil, maka konstanta ajaib k = k = k. Artinya PTSAS pada P n dengan konstanta ajaib k merupakan pelabelan dual super dari PTSAS pada P n dengan konstanta ajaib k. Begitu juga berlaku untuk sebaliknya. Sehingga bisa dikatakan PTSAS pada P n dengan n ganjil, dimana terdapat dua konstanta ajaib, maka keduanya saling dual. Dengan demikian, untuk mengonstruksi PTSAS pada P n dengan n ganjil cukup mencari salah satunya saja dari kedua konstanta ajaib tersebut. Sedangkan untuk PTSAS pada P n dengan n genap, konstanta ajaib k = k. Artinya pelabelan dual super untuk PTSAS pada P n dengan n genap adalah dirinya sendiri (self-dual), sehingga tidak perlu lagi mencari pelabelan dual supernya. Adapun pola lainnya yang berhasil ditemukan adalah sebagai berikut : Konjektur. : Misalkan λ adalah PTSAS pada P n dengan himpunan simpul V(P) = {v, v, v, v,, v n }, maka λ(v(p)) = {a, a, a, a,, a n } dengan λ(v i ) = a i, i =,,,, n dan n jumlah simpul. Dan misalkan U = a + a n, maka
Untuk n genap U = a + a n = n + Untuk n ganjil jika k = n+ jika k = n+, maka U = k+,, maka U = k+.. Algoritma Pengonstruksian Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf Lintasan Berdasarkan proses pengonstruksian PTSAS pada graf lintasan P n dengan n di sub bab sebelumnya membuat penulis berpikir bagaimana merancang suatu algoritma yang cukup baik untuk mengonstruksi suatu PTSAS pada graf lintasan P n secara umum. Berikut adalah algoritma untuk mencari/mengonstruksi suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan : Masukan : sejumlah simpul n, n N Keluaran : himpunan label λ(v(p n )) yang membentuk graf total sisi-ajaib super dengan nilai konstanta ajaib tertentu, jumlah total PTSAS yang berbeda dan gambar utuh graf lintasan yang sudah dilabeli secara total sisi ajaib super. Proses :. Cek, apakah n genap atau ganjil. Jika n genap, maka konstanta ajaib k = n+
. Jika n ganjil, maka konstanta ajaib k = n+. Tentukan label-label simpul dan sisinya dan k = n+ = k. Dari konstanta ajaib dan label-label sisinya, tentukan himpunan S. Tentukan ajasensi label-label simpulnya berdasarkan himpunan S yang telah diketahui. Gunakan konjektur. untuk mempermudah penempatan label-label (melakukan pelabelan) pada simpul-simpul graf lintasan yang akan dikonstruksi. Tentukan label-label sisinya dengan menggunakan rumus k λ(v i ) λ(v i+ ) dengan i =,,,, n. Selesai
.. Implementasi dan Simulasi Berikut adalah implementasi dari algoritma pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan yang diimplementasikan dalam bentuk program aplikasi komputer menggunakan bahasa pemrograman Delphi, disertai dengan simulasi penggunaan program tersebut. Tampilan awal dari program aplikasi komputer yang dibuat, tampak pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) awal program aplikasi komputer Pengoperasian program aplikasi tersebut sangat sederhana, dengan mengklik tanda panah atas atau tanda panah bawah pada kolom Jumlah Simpul : maka akan tampak angka-angka yang menunjukkan jumlah simpul sebagai masukan, pada program aplikasi ini jumlah simpul dibatasi dari sampai. Setelah memilih angka yang akan menjadi masukan, pengguna meng-klik tombol CARI, maka program aplikasi akan menampilkan beberapa himpunan label
simpul yang membentuk pelabelan total sisi-ajaib super (PTSAS) pada kolom di bawahnya, jumlah himpunan label simpul yang berbeda pada kolom Total :, dan nilai konstanta ajaib K pada kolom di bawah kolom himpunan label simpul. Pada simulasi ini, angka masukannya adalah dan. Hal ini dikarenakan pada proses pengonstruksian secara manual tidak dilakukan untuk graf lintasan dengan jumlah simpul delapan dan sembilan. Selain itu untuk menguji kehandalan algoritma yang diperoleh dari proses pengonstruksian PTSAS pada P n dengan n. Pada simulasi pertama pengguna memilih angka sebagai masukan pada kolom Jumlah Simpul :, setelah mengklik tombol CARI, maka tampilan program aplikasi akan tampak seperti pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) setelah pengguna memasukkan angka
Terlihat bahwa dengan memilih angka sebagai masukan, diperoleh beberapa himpunan label simpul yang membentuk suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan P, jumlah himpunan label simpul ada seperti terlihat pada kolom Total:. Artinya pada P terdapat PTSAS yang berbeda dan konstanta ajaibnya adalah seperti terlihat pada kolom K = di bawah kolom himpunan label simpul. Apabila pengguna meng-klik salah satu himpunan label simpul, pada simulasi di atas pengguna meng-klik himpunan label simpul {.,,,,,, }, maka akan ditampilkan graf lintasan yang sudah dilabeli dengan himpunan label simpul yang dipilih tadi disertai dengan label sisinya sehingga membentuk graf total sisi-ajaib super, letaknya di kolom paling bawah pada interface program aplikasi. Pada simulasi kedua pengguna memilih angka, yang merupakan angka ganjil sebagai masukannya. Maka tampilan program aplikasi akan tampak seperti pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) setelah pengguna memasukkan angka
0 Dengan memilih angka ganjil, maka kedua kolom di bawah kolom Jumlah Simpul : terisi oleh himpunan label simpul yang membentuk PTSAS, ini disebabkan karena PTSAS pada P n dengan n ganjil memiliki dua konstanta ajaib yang saling dual. Kedua konstanta ajaib itu, K dan K, terlihat di bawah masing-masing kolom himpunan label simpul, sekaligus menunjukkan bahwa himpunan label simpul tersebut membentuk PTSAS dengan konstanta ajaib sesuai dengan nilai K yang berada di bawahnya. Ternyata P memiliki buah PTSAS yang berbeda dan terbagi dua, yaitu PTSAS dengan konstanta ajaib K = dan PTSAS dengan konstanta ajaib K =. Dari beberapa simulasi yang dilakukan penulis, waktu proses (running) simulasi oleh komputer terbilang cepat untuk angka-angka masukan (jumlah simpul) yang kecil. Tetapi untuk jumlah simpul yang banyak, membutuhkan waktu beberapa detik. Contohnya bila pengguna memilih angka sebagai masukkan, maka proses simulasi membutuhkan waktu sekitar detik. Apalagi jika angka masukannya lebih besar, maka proses simulasi yang dibutuhkan pun akan lebih lama. Hal ini dikarenakan semakin besar angka masukan, semakin besar pula ruang random permutasinya.