BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan yang mengandung fungsi turunannya. Suatu persamaan yang mengandung fungsi turunannya dinamakan persamaan diferensial.yang dimaksud dengan persamaan diferensial adalah persamaan yangmemuat hubungan antara x, suatu fungsi y dari x dan turunannya:, di mana adalah turunan (derivative) ke n dari terhadap.[13] Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan diferensial biasa (PDB) jika fungsi yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu peubah bebas. Jika fungsi yang tidak diketahui terdiri dari dua atau lebih peubah bebas, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial parsial (PDP). Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut. Ekspresi matematis y, y, y, y (4), y (5),..., y (n) sering kali digunakan untuk menuliskan masing-masing turunan pertama, turunan kedua, turunan ketiga,..., turunan ke-n dari y terhadap peubah bebas yang dimaksudkan.[8] Sebagai contoh, perhatikan persamaan diferensial berikut: a. dimana b. c. d. Persamaan a, b, c, dan d di atas adalah persamaan deferensial orde satu, karena persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertama sebagai turunan tertinggi.
e., adalah persamaan diferensial orde dua, karena persamaan tersebut mengandung turunan kedua sebagai turunan tertinggi. 2.1.1 Sistem Persamaan Diferensial Linier Sistem persamaan diferensial linier adalah persamaan yang terdiri dari lebih dari satu persamaan yang saling terkait. Sistem dari dua persamaan diferensial dengan dua fungsi yang tak diketahui berbentuk: (2.1) Dimana koefisien dan merupakan fungsi t yang kontinu pada suatu selang I dan adalah fungsi yang tak diketahui. Sistem dan memiliki penyelesaian eksplisit jika koefisien koefisien semuanya konstanta. Sistem persamaan diferensial linier dengan buah fungsi-fungsi yang tak diketahui berbentuk: Dengan.[13] (2.2) 2.1.2 Sistem Persamaan Diferensial Tak linier Sistem persamaan diferensial tak linier adalah persamaan yang terdiri dari lebih dari satu persamaan yang saling terkait. Sistem dari dua persamaan diferensial tak linier dengan duafungsi yang tak diketahui berbentuk: (2.3) Dimana ad bc 0 8
Dalam menyelesaikan system persamaan diferensial linier dan system persamaan diferensial tak linier dapat juga menggunakan metode eksplisit yang diperluas sesuai dengan tingkat kesukaran, yaitu dengan metode eliminasi (metode penyelesaian system persamaan diferensial dalam dua fungsi yang tak diketahui dan dengan koefisien konstan) dan metode matriks (metode penyelesaian sistem persamaan diferensial dalam n buah fungsi yang tak diketahui dengan koefisien konstan). Persamaan diferensial tak linier dan sistem persamaan diferensial tak linier sering kali muncul dalam penerapan. Tetapi, hanya beberapa tipe persamaan diferensial linier dan persamaan diferensial tak linier (sebagai contoh: terpisah, homogen, eksak) yang dapat diselesaikan secara eksplisit.[8] 2.2 Nullcline Titik equilibrium dari system persamaan diferensial tak linear diperoleh dengan menentukan titik potong antara nullcline-nullcline. Nullcline dapat ditemukan dengan menetapkan system persamaan diferensial menjadi sama dengan nol.[2] Pada sistem persamaan diferensial dengan bentuk dan, maka akan terdapat dua nullcline yaitu x-nullcline untuk dan y-nullcline untuk. Di x-nullcline laju perubahan sama dengan nol. Demikian pula, laju perubahan pada y-nullcline sama dengan nol.[...] Sebagai contoh, perhatikan sistem persamaan deferensial tak linear berikut: (2.4) Dari persamaan (2.4) diperoleh x-nullcline dengan atau. Dan y-nullcline dengan atau. 9
Diperoleh titik kritis,,, dan ( ). Maka equilibriumnya adalah:,, dan ( ) 2.3 Matriks Jacobi Secara umum, matriks transformasi turunan fungsi Di titik x adalah (2.5) [ ] (2.6) Yaitu matriks berukuran m x n. matriks ini seringkali juga ditulis sebagai matriks Dan disebut Matriks Jacobi.[3] Matriks Jacobi dapat juga digunakan untuk melinearkan sistem persamaan diferensial yang tak linear. Contoh: misalkan terdapat sistem persamaan Dengan titik equiblirium (2, 3), maka dipeoleh (2.7) Substitusi sistem (2.7) pada persamaan (2.6), kemudian substitusi nilai x dan y dari titik equilibrium. 10
( ) ( ) ( ) Jadi diperoleh matriks Jacobi ( ). 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n x n, maka vector tak nol di dalam dinamakan vector eigen dari A jika adalah kelipatan dari skalar, yakni Untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen dari A dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran dengan menuliskan kembali sebagai Atau secara ekivalen Supaya menjadi nilai eigen, maka persamaan Harus mempunyai pemecahan tak nol, yaitu dengan menentukan bahwa. Yang selanjutnya dinamakan persamaan karakteristik.[1] 11
2.5 Kestabilan Misal dan adalah akar dari persamaan karakteristik (2.8) Dari sistem persamaan diferensial biasa Dengan. (2.9) Maka titik equilibrium (0, 0) dari sistem (2.9) mempunyai tiga keadaan: 1. Asimtotik stabil jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan (2.8) adalah real negatif 2. Stabil, jika dan hanya jika akar-akar dari persamaan (2.8) adalah real negatif dan nol. 3. Tak stabil, jika salah satu atau kedua akar dari persamaan (2.8) adalah real positif atau jika paling sedikit terdapat satu akar yang mempunyai nilai positif.[5] Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat pula ditentukan dengan menentukan nilai dari perkalian dan pertambahan dari akar-akar persamaan karakteristik yang diperoleh. Dengan menuliskan dan persamaan (2.8) dapat juga dinyatakan dengan Di mana merupakan hasil daripenjumlahankedua akar, dan yang merupakan hasil dari perkalian kedua akar. Maka jenis kestabilan dapat ditentukan dengan melihat dari nilai dan seperti di bawah ini: 1. Stabil jika dan 12
2. Tak stabil jika atau.[7] (2.10) Contoh: Tentukan kestabilan dari sistem persamaan diferensial berikut: Penyelesaian: Di sini dan. Nilai dan ( ). Karena nilai dan maka berdasarkan (2.10) persamaan (2.11) mempunyai titik equilibrium yang tak stabil. 2.6 Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial biasa mendeskripsikan bagaimana tingkat perubahan variabel dalam suatu sisitem dipengruhi oleh variabel-variabel di dalam sistem itu sendiri dan juga pengaruh dari luar, yaitu input. Dalam kasus-kasus di mana persamaan sukar diselesaikan secara analitis, maka lebih mudah untuk menyelesaikannya secara numerik. Metode penyelesaian numerik tidak ada batasan mengenai bentuk persamaan diferensial. Penyelesaian berupa tabel nilai-nilai numerik dari fungsi untuk berbagai variabel bebas. Penyelesaian suatu persamaan diferensial dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti maka jarak (interval) antara titik yang berurutan dibuat semakin kecil.[13] Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk persamaan diferensial, akan tetapi penyusun menggunakan metode Runge-Kutta. Metode Runge-kutta mempunyai ketelitian yang lebih besar dibanding metode Eulertanpa memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta: 13
(2.12) dengan disebut fungsi inkremen yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah kemiringan rata-rata sepanjang intrerval. Fungsi inkremen dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai:... ( ) Persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua nilai berhubungan secara rekurensi, artinya muncul dalam persamaan untuk, dan seterusnya. Rekurensi ini membuat metode Runge-Kutta efisien untuk kalkulasi oleh komputer. Ada beberapa jenis metode Runge-Kutta yang tergantung nilai n. Nilai menunjukkan metode Runge-Kutta orde satu, namun dalam penyusunan skripsi ini penulis menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Dengan bentuk umum sebagai berikut: Di mana: * + (2.13) ( ).[4] 14
Untuk memudahkan proses perhitungan, pembahasan dalam penyusunan skripsi ini penulis menggunakan software MATLAB untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode Runge-Kutta orde 4. 15